专题二：数与代数-2026年中考数学复习

**基本信息** 以情境化问题链整合数与代数核心内容，通过跨学科案例（物理运动、经济决策等）构建"概念理解-模型应用-综合迁移"的三阶训练体系，强化数学建模与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1-3题|结合《九章算术》等历史情境考查负数、概率等概念|从数学史引入概念，通过算筹、体检报告等具象化表征建立数感| |数学建模|6、36、38题|以竞赛得分、徒步费用、充电数据为背景的应用问题|从实际问题抽象等量关系，构建不等式、函数模型解决决策问题| |综合应用|44-46题|新定义"相关函数""共生对称抛物线"等创新题型|融合函数变换与几何性质，培养抽象思维与知识迁移能力|

专题二：数与代数 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A A D D D B C D B D 题号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 答案 A C B C D B D C B A B 二、填空题 24.　1，3，4 ; 25.（0，4）或（﹣5，0）; 26. ①② ; 27.+2 (答案不唯一，平行于即可）; 28. -19 ; 29. 30. ; 31. ; 32. 7 . 三、解答题 33．解析 任务一： 从第　二　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　括号内通分时，第二个分式的分子漏乘（a﹣2）　 ； ……………………………………………………2分 任务二： 原式 ………………………………………………………………4分 ； …………………………………………………………………………5分 任务三： ∵a为﹣3＜a＜1的整数， ∴a＝﹣2，﹣1，0， ∵a+2≠0，a﹣2≠0， ∴a≠﹣2，2， ........ 6分 ∴当a＝-1时，原式； …………7分（或 当a＝0时，原式．） 34．任务一： 一 --------------------------------------------------------2分（累计2分） 任务二： = ----------------------------------------------1分（累计3分） =--------------------------------------------------------1分（累计4分） = =----------------------------------------------------------------1分（累计5分） ∵分式有意义，x不能取值0和1 ∴当x=2时， 原式=----------------------------------------------------------------2分（累计7分） 35．(1) ①; 等式的基本性质；①…………………………………………3分（一个空1分） (2)计算 解：方程两边同乘以,得 ………………………………………………4分 ………………………………………………5分 经检验，是原方程的解………………………………………………6分 计算 解： ………………………………………………4分 方程两边同乘以,得 ………………………………………………5分 经检验，是原方程的解………………………………………………6分 36.解：（1）设九年一班参加银湖山线有x人，参加梧桐山线有y人， 由题意得， 解得， 答：九年一班参加银湖山线有20人，参加梧桐山线有10人；………4分 （2）设九年二班参加银湖山线有a人，则参加梧桐山线有（40﹣a）人， 依题意得 解得，………5分 设总共需要花费w元， 根据题意得w＝180+220（40﹣a）＝﹣40a+8800，………6分 ∵k=﹣40＜0， ∴w随a的增大而减小，………7分 又∵a是正整数， ∴当a＝26时，w取最小值，wmin=﹣40×26+8800=7760，………8分 此时参加梧桐山线人数为40-26=14（人）答：九年二班安排参加银湖山线26人，参加梧桐山线14人时花费最少，最少花费7760元.………9分 37．解：（1）设每支A、B能量胶中各含有碳水化合物m克、n克，………………（1分） ，………………（3分） 解得， 答：每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克；………………（4分） （2）设携带A种能量胶x支，……………………（5分） 则18x+14（5﹣x）≥85，…………………………（6分） 解得：x≥3.75， 又x为整数， ∴x只能取4，………………………………（7分） ∴A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支； 对应的碳水化合物总量为：18×4+14×1＝86克．………………（8分） 38.【解答】解：（1）表格1中的函数的图像如图 …………………………1分 当时，设y关于的函数表达式为， 将＝3，y＝10代入， 得， 解得：， …………………………2分 当时，设y关于的函数表达式为， 将＝29，y＝90，＝34，y＝100代入， 得 解得： …………………………3分 ∴y关于的函数表达式为 …………………………4分 设e关于s的函数表达式为， 将s＝100，e＝80和s＝200，e＝60分别代入， 得 解得： ∴e关于s的函数表达式为； …………………………5分 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地， 当s＝250时， ∴行驶250千米后，电动汽车仪表盘显示电量为50%， …………………………1分 ∴从服务区到达目的地的行驶路程为600-250=350公里，需要消耗电量为 所以汽车离开服务区时应有电量为， …………………………2分 ∴充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴50+30+＝90， …………………………3分 ∴， 即电动汽车在服务区充电14分钟． …………………………4分 39.（1）答案一：选①② 设B型无人机速度为km/h，依题意得 …………………………2分 解得，经检验为原方程的解 ………………3分 ∴A型无人机速度：+15=45km/h ……………4分 答：A型无人机速度为45km/h，B型无人机速度为30km/h 答案二：选②③ 设B型无人机速度为km/h，依题意得，30分钟=0.5小时 = …………………………2分 解得 ………………3分 ∴A型无人机速度：+15=45km/h ……………4分 答：A型无人机速度为45km/h，B型无人机速度为30km/h 答案三：选①③ 设B型无人机速度为km/h，依题意得 …………………………2分 解得，经检验为原方程的解 …………………3分 ∴A型无人机速度：+15=45km/h ……………4分 答：A型无人机速度为45km/h，B型无人机速度为30km/h （1） p= = -0.1 x+ 18（10≤x≤60，为正整数） ……………………6分 设每日利润为元，依题意得， …………………………8分 ，抛物线开口向下，利润有最大值； 对称轴为，10 …………………………9分 故当时时，利润取得最大值。 …………………10分 答：为30百单时，利润最大，最大利润是6000元。 40. （8分） .....................................2分 ........................................................................3分 答：员工在8楼办公. ..............................................................................4分 有两种方案. ................6分 .........................................................................8分 41.（1）46cm；L=7+39；………………………………………………4分（一个空2分） （2）解：设买把矮椅子，买摞高凳子，买摞矮凳子， 矮凳子的总高度为米，则与的关系式为 ………………………………………………5分 由题意得：，解得 取正整数 的最大值为8………………………………………………6分 ，解得， 取正整数 的最大值为10………………………………………………7分 由题意得，解得………………………………………………8分 ………………………………………………9分 答：家里柜子最多能放28把椅子. 42.（1）设该用户使用A种模式小时，使用B种模式小时. 由题意得，…………………………………………………2分 解得，………………………………………………………………………3分 答：该用户使用A种模式3小时，使用B种模式2小时. ……………………4分 （2） 设使用B种模式小时，则使用A种模式小时.总费用为元. 由题意得 解得 ∴…………………………………………………………………………5分 总费用为……………………………6分 ∵ ∴随的增大而减小 所以当=1时，……………………………………7分 此时A种模式=（小时） 答：当使用A种模式3小时，使用B种模式1小时时，总费用最小，最小为3.15元. …………………………………………………………………………………8分 43. 解： (1)设样车阶段每天生产x台，则批量阶段每天生产(x-5)台。样车用时天，批量用时天。 根据题意， ，解得=30；30-5=25台……………………………2分 故 样车阶段日产30台，批量阶段日产25台。……………………………… 3分 (2)将(40,3600)和(25,1800)代入C=kv +b： 40k+b=3600 25k+b=1800 解得k=120, b= -1200…………………………………………………………5分 即 C=120v-1200…………………………………………………………………6分 (3)计算各阶段理论能耗: 样车阶段:天数=天，(不足10天，无额外能耗) 日能耗120×30-1200=2400度. 总能耗×2400=800度。…………………………………………………………7分 批量阶段:天数=500÷25=20天(连续25运行) 日能耗120 ×25- 1200=1800度。 前10天正常:10 ×1800=18000度，后10天每天增加5%:每天1800×1.05=1890度，后10天总能耗10×1890=18900度。 批量阶段实际总能耗18000+18900=36900度。…………………………………8分 实际总能耗8000+36900=44900度………………………………………………9分 答:实际总能耗为44900度。……………………………………………………10分 44.(1) ① ……………………………………………………………2分 ② 关于原点旋转180°得：…………………………………………………………3分 代入：，解得………………………………………………………4分 (2) 顶点与关于对称， 由中点公式： ∴ …………………………………………………………6分 (3) 原函数配方得： 绕旋转180°得相关函数：， ………………………………… 7分 对称轴，当时，分三种情况： ① 当，即时： 解得 …………………………………………………9分 ② 当，即时： ，方程无解 ③ 当，即时： 解得 综上所述：m的值为 或 。………………………………………………………11分 45.（1）解：∵抛物线 的图象经过点 A(0, 3) ∴c=3, …………1分 ∵…………2分 ∴顶点坐标为（1,）…………3分 （2） ∵抛物线的顶点在 轴上， ∴抛物线的顶点坐标为（1,0），3-=0 ∴=3 …………4分 ∵抛物线与抛物线是关于原点的“共生对称抛物线” ∴抛物线的顶点坐标为（-1,0），二次项系数为 - ∴抛物线的函数关系式为=…………5分 （3） 抛物线，的函数图象如图所示 1）当时，, ∴不存在…………6分 2）当时，, ∴也不存在…………7分 3）当时 联立得,, 解得：…………8分 ∵点B 在点D 左侧 ∴点B坐标为（，）,点D坐标为（，） ∵与直线 OA交于点C ∴点C坐标为（，） ∵ ∴…………9分 解得： ∴…………10分 （4）…………12分 46.（本题10分）（1）设一次函数上任一点，则点P的类变点 P ′， 由题可得可得————————————————3分 （2）由，其中，可得点，则B ′，又B ′在直线上，可得4=2⋅3k−4，则 ——————————————————6分 （3）由，可得b=2a+4， 由题时，y 随x增大而增大， ∴且a＜0，可得； 又由ax2+（2a+4）x+c＝2ax+n可得ax2+4x+c﹣n＝0， ∴Δ＝42﹣4a（c﹣n）＝0， ∴， ∴，解得， 则点，则，令，点C ′在直线， 且，该直线交y轴于点M， 情况一：当c﹣4≥0时， 当时，，OC ′的最小值是，可得， ∴，又OC ′ ∴c﹣4≥3 ∴即c≥7； 情况二：当c﹣4＜0时， 当OC ′最小为时， 又OC ′ ∴c﹣4≤， ∴c≤； 综上c≥7或c≤．——————————————————10分 47.解：（1）设直线y＝x+2上任意一点（m，m+2）， 则“2级类变点”坐标为 （2m，m+2）， …………………………1分 则x＝2m，y＝m+2 ∴； …………………………2分 （2） 函数与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令x＝0，y＝2，令y＝0，x＝﹣4，则A（﹣4，0），B（0，2） …………………3分 函数的“级类变函数”的函数图像与x轴交于点C 设函数上任意一点（m，）， 则“级类变点”坐标为 （，）， 则， ∴； …………………………4分 令y＝0，，即点 ∵∠BCO=2∠A， ∴∠ABC=∠A= ∴AC=BC， …………………………5分 设AC=BC=，则 据勾股定理， 解之得， ∴，（舍去） 则 …………………………6分 （3）∵M（2，y），点M的“级类变点”N ∴N（4，y）， ∵点M与点N都在二次函数图象上 ∴二次函数的对称轴为 ∴ ∴二次函数 ∴当时，函数y有最小值为2。 …………………………7分 ∵当，二次函数的最小值为6 ①当时，当时，函数有最小值为6 ∴，解之 ∴ …………………………8分 ②当时，当时，函数有最小值为6 ∴，解之 ∴ 综上，当时，二次函数的最小值为6，则或 …………………………10分 48.解： （1）2 ………………2分 （2）设 纵横比k=为 ∴mn=8 ………………5分 （3）∵a≤x≤3a ∴a≥0 ………………6分 设, ∵ ∴对称轴为x=2, ………………7分 ①当3a≤2时，即a≤，纵横比k=， 解得a= …………8分 ②当a≤2≤3a且2-a≥3a-2，即≤a≤，纵横比k=， 解得（舍去） ……………9分 ③当a≤2≤3a且2-a≤3a-2，即a≥1，纵横比k=， 解得 ………………10分 ④当a≥2时，纵横比k=，解得a=（舍去） …………11分 综上，a=或 …………12分 49. （1）根据题意，函数图像经过（0,20）和（10,42.5）两点， 将（0,20）和（10,42.5）代入函数解析式， 得 ............................................2分 解得 所以函数解析式为 .........................3分 （2）将二次函数解析式化成顶点式为 .....................4分 二次函数在时取得最大值 运动员不能完成动作 ........................5分 设新的空中路线的抛物线轨迹的解析式为 函数最大值 = 60 ........................ ...............6分 解得 满足题意的函数解析式为 .............................7分 （2） 【方法一】 设运动员在空中路线的抛物线解析式 为使运动员能够安全落在着陆坡，当水平距离时，竖直高度应该不低于20米 即 解得 ...............................................................9分 着陆坡所在直线可以看作一次函数，设解析式为 直线经过（30,20）和（90,0）两点 将（30,20）和（90,0）代入 得 解得 所以一次函数解析式为 着陆坡的中点坐标为（60,10），为使运动员能留足距离缓冲，当二次函数上的点横坐标为60时，纵坐标应小于10 即 解得 综上二次项系数取值范围为 ...................12分 【方法二】 设运动员在空中路线的抛物线解析式 着陆坡所在直线可以看作一次函数，设解析式为 直线经过（30,20）和（90,0）两点 将（30,20）和（90,0）代入 得 解得 所以一次函数解析式为 将函数解析式联立求交点，设交点横坐标为t 得 解得 （另一个根舍） 为使运动员能够安全落在着陆坡，且能留足距离缓冲距离，需要保证3060 解得 【方法三】 可以通过几何方法，其中E为AC中点D为BC中点，则AB=20，BC=60，DE=10，求出E点坐标（60,10），后续同方法一 50.（1）解：联立 整理得 ，解得 ， ∴对应交点为 ，………………………………………2分（一个点1分） 将 代入 ，得 ，点 在二次函数图象上 将 代入，得 ，点 不在二次函数图象上……………3分 综上，存在合点，合点坐标为 ………………………………………………4分 （2）解：由（1）可知一次函数与反比例函数的交点为 、， “恰好有一个合点” 即仅有一个交点在二次函数图象上…………………………………5分 ① 若二次函数过点 ，不过点 ，则 ，解得 ，验证符合题意；………………………………………………6分 ② 若二次函数过点 ，不过点 ，则： ，解得 ，验证符合题意。………………………………….......7分 综上， 的值为 或 。…………………………………8分 （3）联立 整理得 设 ，由题意方程在 内有两个不等实根，则： …………………………………9分 解得：…………………………………10分 联立 整理得 。 设 ，图象开口向下，对称轴为直线 ， 在 内，当时， 当2时，y=-1…………………………………11分 ∴ 。…………………………………12分 51. ①计算D(A，B) 根据定义D(P1，P2)=max{|x1-x2|，|y1-y2|}， A(1，2)，B(4，-2) |1-4|=3，|2-(-2)|=4 max{3，4}=4 ∴D(A，B)=4 ②求满足条件的点B坐标 设B(0，y)（因为B在y轴上，x=0）， 则|1-0|=1，|2-y|， D(A，B)=max{1，|2-y|}≥2， ∴需要|2-y| ≥2： 当2-y≥ 2时，y≤0； 当2-y≤ -2时，y ≥ 4 取一个满足的坐标答案不唯一，如(0，4)、(0，5)等都可以 （2）画图形并判断形状：正方形 （3）判断是否存在点F并求m范围 抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 第四象限的点满足x>0，y<0： 令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=3（x=﹣1舍去）， ∴第四象限部分是x>3时，y<0。 设E(x，-x2+2x+3)（x>3），F(m，-1)（m>0）， 则D(E，F)=max{|x-m|，|-x2+2x+3 - (-1)|}=max{|x-m|，|-x2+2x+4|} ∵D(E，F) ≤2，即： |x-m| ≤2；|x2+2x+4|≤2 -2≤-x2+2x+4≤2 则当①-x2+2x+4≤ 2，整理得：x2-2x-2≥0，解得x≥1+或x≤1- 则当②-x2+2x+4≥-2，整理得：x2-2x-6≤0，解得1- ≤ x ≤1+ 又∵x>3，得3 < x≤1+ ∵|x-m|≤2：x-2≤ m≤x+2 又m>0，所以m的取值范围是-1≤m≤5. 52． 解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：，.................................2分 解得：．.............................................................3分 答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元； （任务2）（1.6m+291），（1.8m+288）；...................................5分 （任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，......................6分 解得：m＞15，....................................7分 又∵0＜m＜40， ∴15＜m＜40．..........................................8分 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 17．（8分） 背景 两种车型 “长安深蓝SL03”售价：25万元 “北汽极狐阿尔法S” 售价：22万元 素材1 “长安深蓝SL03”和 “北汽极狐阿尔法S ”的进货价格比是6:5， 用120万元可进货的“长安深蓝SL03 ”的数量比 “北汽极狐阿尔法S ”的数量少1台 素材2 某公司准备正好用480万元购进以上两种型号的车，且采购“长安深蓝SL03”不少于10台。 在销售时，公司决定对“长安深蓝SL03”降价销售，每台降价0.4万元；“北汽极狐阿尔法S ”价格不变，所有采购的汽车均能售出。 任务 求两种车型的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务 为了获利最大，需采购两种汽车各多少台？请填空并补全下面的求解过程： 解：设采购“长安深蓝SL03”m台，则需采购“北汽极狐阿尔法S ”        台用含的代数式表示． 53.（1）当n>2时，设立柱的高度为h(n)，依题知h(n)是关于n的一次函数，所以可以设h(n)=kn+b 将n=2，h(n)=12，n=5，h(n)=18代入得： 解得，即h(n)=2n+8 将h(n)=198代入得： 2n+8=198 解得n=95………1分 所以水平距离为（95-1）×4=376（米）………2分 答：乘车中心与山顶的水平距离为376米 （2） 设购买，A型缆车x辆，B型缆车y辆, 6x+2y≥52，即y≥26-3x………3分 因为x，y都是非负整数，且x≥6，应尽量不空车 所以有三种方案x=6，y=8；x=7，y=5；x=8，y=2.………3分 因为A型缆车人均25元，B型缆车人均30元， 所以应尽可能多购买A型缆车………4分 所以应购买A型缆车8辆，B型缆车2辆，最划算.………5分 （3） 立柱耗电量95×0.2=19（度） 缆车耗电量：2000-19=1981（度）………6分 A型缆车人均耗电：（度） B型缆车人均耗电：（度） 为尽可能接待人数多，应选择出售A型缆车………7分 A型缆车往返耗电：20×0.3×2=12（度） 可往返批次：1981÷12=， 所以A型缆车最多可往返165次………8分 165×120=19800 所以乘车中心最多可以接待19800人.………9分 54．解：（1）设抛物线的表达式为：..............................1分 将轨迹上的点A(100,40)，O(0,0)代入上式得......................................................2分 解得： ∴抛物线的函数解析式为：..................4分 自变量x的取值范围：。 （2） ∴ 解得.......................................................................................6分 ∴由图像可知，安全突防区间的总水平长度=450-50=400（km）......................................7分 （3） ∴ 解得 ∴观测点满足观测高度，..........................................................................................9分 观测角度满足 ∴观测点不满足观测角度， ∴该观测点不能有效观测到导弹..................................................................................11分 55.（1）解： ∵过点 ∴设函数表达式为 将点和代入，; 对于： 对于： 解方程组得：= = ∴抛物线解析式为： …………………… 1分 顶点D的横坐标为：== 1 将代入解析式得： = ∴顶点D的坐标为(1,)…………………… 2分 （2）解： 点P(t,)，点Q(t,) PQ = =2…………………… 3分 整理得： …………………… 4分 解得： …………………… 5分 ∴点P …………………… 6分 （3）解： 得： …………………… 7分 解得： ∴ …………………… 8分 作AHx轴交激光线L于点H， ∵ ∴， ∵ ∴ …………………… 9分 解得 ∴ …………………… 10分 56.解：（1）作图： 分 ①分 ②5或 -8分 ③﹣x2﹣8x﹣12分 （2）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的顶点为（3，4）， 对称轴为直线x＝3，由题意得，新抛物线的顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1， ∴“象函数”为y， ∵当t≤x≤1时，t-2≤y≤4， ∴t≤0， ∴当x＝t时，y＝t+1，﹣（t﹣1）2+4＝t+1，解得t＝2（舍去）或t＝﹣3， 综上t＝﹣3；分 （3）， 则顶点Q坐标为，顶点Q在的图象上， 则新抛物线的顶点坐标为， ∴距美函数”为y， 当顶点Q在CD上， 则， ∴k2＝2， ∴，（舍去）， 此时，有2个交点， 当顶点Q在AB上， 则， ∴k2＝8， ∴k，（舍去）， 此时，有6个交点， ∴当时，恰好有4个交点， 当经过点B（4，0）时， 有6个交点， ∴， 解得k3， ∴当k时，恰好有4个交点， 综上，k的取值范围为：．分 57.解：（1） ……2分，累计2分 （2） ① ……1分，累计3分 ……1分，累计4分 ……1分，累计5分 ……1分，累计6分 ② ……1分，累计7分 ……1分，累计8分 （3） ①当时， 当时， ②当时， 当时，有最小值， （舍去） ③当时， 当时， 当时，有最小值， （舍去） 综上所述，的值为。……2分，累计10分 58．(1) ③ -----------------------------------------------------------------2分（累计2分） (2)由（1）得，函数的解析式为 --------------------------------------------------1分（累计3分） ∵ ∴当时，f有最大值，为2000----------------------------------1分（累计4分） 答：当该路段的车流速度为40千米/小时，流量达到最大，最大流量是2000辆/时.---------------------------------------------------------------------------1分（累计5分） (3)由（2）得， ∵ ∴当时，f随v的增大而减小-----------------------------------1分（累计6分） ∵ ∴------------------------------------------------------------1分（累计7分） ∴当时， 答：当车流密度超过50辆/千米时，车流量会开始下降． -----------------------------------------------1分（累计8分） (4)∵ ∴当=1775时 得-------------------------------------------------1分（累计9分） 解得-------------------------------------------------------1分（累计10分） ∴在早7:30过15分钟即7:45启动智能调控，持续时间为45−15=30分钟 ----------------------------------------------------------------------------1分（累计11分） 答：在早高峰7：45启动智能调控，持续时间为30分钟. 59．（1）①能，否…………………………………2分（一个空1分） ②（10,15）…………………………………4分 （2）解：根据因式分解法，已知， 因式分解w为：，…………………………………5分 取 的一组正因数 因此…………………………………6分 解得：，…………………………………7分 ∴埃及拆分对为…………………………………8分 （3）已知 ，通分整理得： 因 且 ，故 ；又因 ，且 ，则 ，故 ，因此 的取值范围为 。 ①当时，， 且 所以当时，，符合条件，拆分对 ， 当时，，，符合条件，拆分对 ，；……………………9分 ②当时，， 且 所以当时，， 不是最简真分数，不符合条件…………………………10分 ③当时，， 且 …………………………………11分 所以当时，，符合条件，拆分对 ， 综上所述，的值可能为6、8、12，最优拆分对为 。……………………………12分 60.解：(1)设 代入 解得 ∴. 当时， 答：当时，速度为 …………………………………………………………………………3分（累计3分） （2）抛物线顶点， 设代入得 解得 …………………………………………………………………………3分（累计6分） (2) 无人机质心高度，顶部高度 安全穿过条件： 当时，，∴ 综上， …………………………………………………………………………3分（累计8分） (3) 由题得， ，当时，随增大而增大 且 解得或 又∵由 (3) 得 答：所以满足赛事规定的为. …………………………………………………………………………3分（累计12分） 61．（11分） 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点，∴，∴； …………………………………………3分 （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 由题意，，，则：， ∴，………………………4分 ∴……………5分 ∴当时，的值最大为；……………6分 （3）解：①∵， ∴时，，∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，……………………………7分 ∵点在对称轴右侧且 ∴当时， ，则； 当时，，………………8分 则；综上：； ………………………………9分 ②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧）， ∴， 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 综上：或．…………………………11分 62.代入（8，16），（8.8，25.6），得，解得………………………2分 ∴ l 关于 v 的函数表达式 ……………………………………3分 （1） ①l=0.6×12+=7.2+9=16.2m ∵16.2＜20，所以可以停下…………………………………………5分 ②v=54km/h=15m/s， 则横向偏移：Δx=s⋅tan5∘=20×0.0875=1.75 米…………………………………6分 安全通道半宽：， ∵1.75＜2.5m， ∴能成功绕过……………………………8分 （2） 已知：t=0.2+0.01v，a=8 代入公式：，化简得，，…………………9分 当无人机安全制动时，l≤s，即≤26， 化简得：29v2+80v−10400≤0………………10分 代入法，v=18，， v=17，， 所以该最大整数速度为17m/s………………12分 （也可以用公式法解29v2+80v−10400=0，结合图像法作答） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：数与代数 一、选择题 1．“负算”是中国古代数学中表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》，领先世界各国古人常用算筹颜色区分正负数：红为正．黑为负．例如．红色算筹“＝|||”表示的数是+23．则黑色算筹“≡|||||”表示的数是（ ） A．+35 B．﹣35 C．+53 D．﹣53 2.小明拿到了自己的体检报告，看到血压栏写着“收缩压：142mmHg (↑)”．根据体检报告惯例，“↑”表示高于标准范围，“↓”表示低于标准范围．已知收缩压正常范围是90-139mmHg，则下列哪个选项可以表示小明收缩压超出正常测量值的范围（　 ） A．+52 mmHg B．-52 mmHg C．+3 mmHg D．-3 mmHg 3.宋代数学家李冶在《测圆海镜》中利用“正负开方术”求解方程，是中国古代负数应用的典型例子。下列各数中，最大的负数是（ ） A． B． C． D． 4.在物理实验中，一个粒子从原点向平面内各个方向等可能地发射（方向角均匀分布在到之间）．则该粒子发射方向与x轴正向夹角不大于的概率是（ A ） A． B． C． D． 5.为增强学生应急避险意识和自救互救能力，学校开展地震应急疏散演练。如图某班级的逃生路线图，小明从教室入口出发，前往校园指定避险点，行至每个岔路口均有两条前方线路可选，且他在每个岔路口选择任意一条线路的可能性相同，则小明顺利到达避险点F的概率是（　　） A． B． C． D． 6.某校举办“乐享数学，智慧成长”数学π活动，一共有18个数学游戏，游戏通关得10分，游戏失败扣5分．若小莉想在这场活动中，得分超过90分，则她至少要通关几个游戏（ ） A．14道 B． 12 道 C．15道 D．13道 7.如图4，平面直角坐标系xOy中，直线l1过点（3，0）且平行于y轴，直线l2过点（0，﹣4）且平行于x轴，点P的坐标为（a，b）．根据图中点P的位置，下列结论正确的是（　　） A．a＜﹣4，b＞3 B．0＜a＜3，b＜3 C．a＞3，b＜﹣4 D．a＞3，﹣4＜b＜0 8.某区要从20名参加数学竞赛的学生中选拔10人参加市级比赛，已知20名学生的竞赛成绩各不相同。协会只向学生公布本人的成绩，学生小安想要知道自己是否能被选拔参加市级比赛，还需要知道这次竞赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9.化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式.若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：反应条件已省略 ① ② ③ ④ 小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是(  ) A. B. C. D. 10.若一次函数y＝kx+b，当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（　　 ） A．减小2 B．增加2 C．减小4 D．增加4 11.实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A．2m B．0 C．2n D．-2n 12.定义新运算为：对任意实数。根据定义，计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 13．2026年4月19日，人形机器人半程马拉松比赛在北京举办。深圳荣耀“闪电”机器人以50分26秒净用时夺冠，打破了人类世界记录56分42秒。人类半马平均速度世界记录约为6.2米每秒，半程马拉松赛程约21.1千米。假设人类选手每秒钟比人类选手世界纪录平均多跑xm，使得人类选手半马速度不低于“闪电”机器人，则列出不等式为（ ） B． C． D 14．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了盐水（ ） A．100克 B．125克 C．150克 D．175克 15．小明和小丽同时到一家水果店买水果。小明买了1 kg苹果和2 kg 梨，共花了26元；小丽买了2 kg 苹果和1 kg 梨，共花了28元。对于该问题，下列说法不正确的是（　　） A． 设苹果单价为x元，可列方程 = 28 B． 设梨单价为y元，可列方程 = 26 C． 设苹果单价为x元，梨单价为y元，可列方程组 D． 苹果单价为 10 元，梨单价为 8 元 16.在物理实验“探究滑块在斜面上的运动”中，某同学想运用函数方法探寻运动规律，测得滑块位移 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系，发现实验数据满足二次函数，实验数据记录如下：根据实验数据，下列判断正确的是（　　） A． B． C. D.关于的方程的两根分别为， t ... 2 4 5 ... s ... m 0 -5 ... 17．素材1 梦幻港湾是某城市的知名旅游景点，图示为该景区之网红打卡点及游览路线图．其中，①④⑥各路段的路程均相等，⑤⑦⑧各路段的路程均相等，②③两路段的路程为600米． 素材2 假设游玩过程中，行走速度恒定为v米/分钟，在每个景点停留游玩的时间都为25分钟；小深游路线①③⑥⑦⑧用时3小时；小圳游路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在离入口路程的2400米处，他到出口还要走5分钟．则小深所走的距离是（ ）文化公园☉ ☉钟书阁 ◎入口 ☉摩天轮 童乐园☉ 水秀场☉ ◎出口 ① ② ③ ⑦ ⑤ ⑥ ④ ⑧ 8题图1 A．2700米 B．4800米 C．7200米 D．10800米 18．如图，在平面直角坐标系中，不能使函数的图象经过一种变换后过点P（﹣4，4）的方式是（　　） A．沿y轴翻折 B．沿函数y＝2x+1的图象翻折 C．绕原点按逆时针方向旋转90° D．绕点（1，﹣3）按顺时针方向旋转90° 19.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”,如图，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中错误的是（　） A.一元二次方程的有一个实数根在-3和-2之间 B.当 C.第19题图 D.是抛物线上的两点，且，，则. 20. 已知函数，若则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，无最大值 C. 当时，有最小值 D. 当时，有最大值 21．某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价高，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元？小宇同学根据题意得到方程，则方程中未知数x所表示的是（    ） A．足球的单价 B．排球的单价 C．足球的数量 D．排球的数量 22．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴交于点，，直线经过点，且与轴交于的中点，以，为顶点，斜边AC长为的Rt△在第一象限内，将△向左平移个单位，若△的各边始终与直线或直线有交点，则的取值范围是　 　 A． B． C． D． 23．【教材呈现】如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成几个部分，部分①是边长为1的正方形纸片的一半，部分②是部分①面积的一半，以此类推，将的值转化为正方形的面积 【类比迁移】小明受到启发，发现图中的线段也存在“减半”关系，比如IE=HB，JF=IE，……因此的值可以转化为这些竖线之和。为实现知识迁移，小明以点B为原点建立平面直角坐标系，构造一次函数 和y＝x的图象，如图2，则= 【问题解决】请你结合小明的思路，计算的值（ ） A． B．2 C． D． 二、填空题 24．已知：x是整数，。设,则所有符合要求的y的正整数值为 　 　 ． 25．如图，第一象限内有两点P（m﹣5，n），Q（m，n﹣4），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是　 　 ． 26．【改编】如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象是轴对称图形；②关于的不等式的解是或或或；③当关于的方程有四个实数解时，-．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 27．请写一个和直线没有交点的直线解析式 (答案不唯一，平行于即可） 28．若定义，且，则= ． 29．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为 ． 30．对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下，例．若，则= ． 31．已知函数，（k＞0），当2≤x≤4时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a 8，则a的值为 　． 32．如图，机械数字2026底边在x轴上，（机械数字相邻两边夹角为直角），反比例函数的图像经过A、C两点，,△ABC的面积为,则k= ． 三、解答题 33．以下是小宝同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式=......第一步 =......第二步 =......第三步 =......第四步 任务一： 从第　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当﹣3＜a＜1时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 34．先化简，再求值：，再从、、中选一个合适的数作为的值代入求值． 小深同学的计算过程如下： 解： =……………第一步 =………………………第二步 =………………………………第三步 ∵分式要有意义，x不能取值0和1 ∴当x=2时， 原式=……………………第四步 任务一：小深同学的解答过程中，第________步出现了错误； 任务二：请你帮助小深同学写出正确的解答过程． 35．在一节数学课上，老师展示了两位同学解方程的过程： 甲：计算 乙：计算 解：方程两边同乘以,得 解： ① ② ① 方程两边同乘以,得② ③ ③ 解得 ④ ④ 经检验，是原方程的增根 ⑤ ⑤ 原方程无解 经检验，是原方程的解 ⑥ ⑥ （1） 甲的解答过程从第 步开始错误，原因是 ； 乙的解答过程从第 步开始错误； （2）从以上两道解方程中任选一题，写出正确的解答过程． 36.践行低碳生活，畅游生态鹏城。为推广绿色低碳生活，深圳市文化广电旅游体育局举办“山海连城”徒步活动。某学校初三年级组织学生参加银湖山线和梧桐山线徒步活动， 素材一 现有旅行社报价如下： 银湖山线 梧桐山线 180元/人 220元/人 素材二 九年一班共有30名学生参加，总费用为5800元。 素材三 九年二班共有40名学生报名参加，为安全考虑，每条线的参加人数不能少于另一条线的一半。 任务一 九年一班参加银湖山线和梧桐山线的学生各有多少人？ 任务二 九年二班该怎样安排每条线的参与人数可以使得花费最少？最少花费多少元？ 37．能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示： 能量 碳水化合物（克） 热量（千卡） 钠（毫克） 钾（毫克） A ？ 120 35 20 B ？ 90 40 15 （1）教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？ （2）依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带） 38.【问题背景】新能源汽车小米YU7采用电能作为动力来源，据官光数据显示，在搭载96.3kWh磷酸铁锂电池快充的情况下，前80%充电较快，后20%充电较慢． 【实验操作】为了解小米YU7电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%) 与时间x（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 时间x（分钟） 0 3 9 ... 18 24 ... 29 34 增加的电量y（%） 0 10 30 ... 60 80 ... 90 100 实验二：探究充满电量状态下小米YU7行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程S（千米）的关系： 数据记录如表汽车行驶过程 已行驶里程S（千米） 0 100 200 250 350 ... 显示电量e(%) 100 80 60 50 30 ... 【建立模型——解决问题】 （1） 根据表 1的数据，在平面直 角坐标系中画出函数的图象，请结合表 1， 表 2 的数据，请选择适当的函数模型，求 出关于y与t 的函数表达式，关于e与s 的函数表达式； （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点 600 千米处的目的地，若电动汽车行驶 250千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20% ，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 39. 深圳某无人机配送公司推出两种服务：同城即时送（使用A型无人机）和跨城急送（使用B型无人机）。 素材一 ①60千米跨城急送时间是10千米同城即时送的时间的4倍； ②A型无人机比B型无人机速度快15km/h； ③A型无人机飞行30分钟的路程是B型无人机飞行1小时的路程少40km 素材二 公司重点推广同城即时送服务。每日订单量为 x（单位：百单，且 x为正整数，10≤x≤60）。 每单的平均收入 p（元）与订单量x的关系如下： 当订单量为 10 百单时，每单收入为 17 元； 每单收入就降低 0.1 元，订单量每增加 1 百单。 素材三 每日总成本 C（元）与订单量 x 的关系为：C=1200x+3000 问题一：根据素材一，从上面3个条件选取2个作为条件，求出A型无人机和B型无人机飞行的飞行速度； 问题二：根据素材二、三，列出每单的平均收入p与订单量x的关系式__________________，当x 为多少百单时，利润最大？最大利润是多少元？ 40．某写字楼总层数是60层，每层楼的高度为4米，为了提高运客效率，安装了两种电梯，一种是高楼层电梯，一种是低楼层电梯，两种电梯的停靠楼层和运行速度如下表： 电梯类型 停靠楼层 运行速度 高楼层 电梯 1层，30-60层 1-30层的运行速度为4m/s 30层-60层运行速度为2m/s 低楼层 电梯 1-30层 1-30层运行速度为2m/s 如果电梯在任意楼层的等待时间均为10s，那么： （1）一名员工在低楼层x层办公，每周要到40层开会，如果先乘坐低楼层电梯到1层，再乘坐高楼层电梯到40层的所需时间为y，则y与x的关系式是______________________； （2）若这名员工到40层开会所需时间为83s，请问员工在哪一层楼办公？ （3）一名访客需要从1层到27层，若可以乘坐任意类型电梯，有几种乘坐方案，哪个方案更省时间，请说理由. 41．小明要为家里网购一些凳子，信息如表格所示． 高凳子 矮凳子 柜子 （柜子里无任何间隔） 请根据以上信息，完成下列问题： （1）单把高凳子高度为 cm，当小明买把高凳子按上图方式叠放时，高凳子的总高度为L米，则L与的关系式是 ； （2）已知矮凳与高凳厚度相同，且两种凳子都要买．要求高凳子与矮凳子不叠放、不躺放，合理摆放使宽度之和恰好为93cm．求柜子最多能放多少把凳子． 42．随着电动车的普及，电动车的安全充电问题越来越受重视，各个小区内的充电棚随处可见．深圳某小区电动自行车充电桩提供两种充电模式： A模式（标准充电）：每充电1小时，可充电0.5千瓦时，收费0.90元． B模式（节能充电）：每充电1小时，可充电0.3千瓦时，收费0.45元． （1）某用户在一次充电过程中，总共充电2.1千瓦时，总共支付费用3.60元．请问该用户使用A、B两种模式各多少小时？ （2）若该用户希望充电总量为1.8千瓦时，且必须在4小时以内完成充电（总充电时间≤4小时）．请求出总费用的最小值，并求出此时A、B模式的时间． 43.项目式学习:深圳新能源汽车生产能耗优化研究 【项目背景】深圳是全球新能源汽车产业的核心城市。某车企积极响应国家“碳达峰、碳中和"战略，计划生产600台新型电动汽车。为了优化生产过程中的能耗，企业成立了“绿色制造”项目小组。生产计划分为两个阶段： 第一阶段：生产100台样车，用于技术验证和路测，生产速度较快； 第二阶段：批量生产剩余的500台，由于增加了质量检测环节，日产量比样车阶段少5台。 实际生产记录显示：批量生产阶段所用的天数是样车生产阶段所用天数的6倍。 项目小组通过智能电表采集了不同日产量下的车间日能耗数据，发现日能C(度)与日产量v(台/天)满足一次函数关系C=kv+b 已知：日产40台时，日耗电3600度；日产25台时，日耗电1800度。 【任务】 (1)求样车阶段和批量生产阶段每天的产量各是多少台? (2)求一次函数中的系数k和b的值； (3)在实际生产中，设备连续运行超过10天后，从第11天起每天额外增加5%的能耗(即当天实际能耗为理论值的1.05倍)。已知批量生产阶段是连续生产，样车阶段天数不足10天，不受此影响。求完成全部600台生产任务的实际总能耗(结果保留整数)。 44．定义：将函数C₁的图象绕点旋转180°，得到新的函数C₂的图象，我们称函数C₂是函数C₁关于点P的相关函数。 例如：当时，函数关于点P(2, 0)的相关函数为。 (1) 当时：① 一次函数关于点P的相关函数为 ▲ 。 ② 点在二次函数关于点P的相关函数图象上，求a的值。 (2) 函数关于点P的相关函数是，则 ▲ 。 (3) 当时，函数关于点的相关函数的最大值为6，求m的值。 45.定义：若两条抛物线的顶点关于某点P中心对称，且二次项系数互为负倒数，则称这两条抛物线为关于点P的“共生对称抛物线”。 已知抛物线 的图象经过点 A(0, 3) ，抛物线与抛物线是关于原点的“共生对称抛物线”。 请解答下列问题： （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）若抛物线的顶点在 轴上，求的值及抛物线的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在图1中直接画出抛物线、的函数图象，若直线 与所画的函数图象分别交于点B 、 D （点B 在点D 左侧），与直线 OA交于点C ，若，求的值； （4）若（3）中的抛物线、与直线有且只有两个公共点，直接写出的取值范围。 46．在精密轨迹控制、智能图形映射等工程领域中，常通过坐标定向缩放实现曲线形态的精准调控。这种仅对横、纵坐标进行独立倍数拉伸的变换，不旋转、不扭曲，能保持曲线基本形状与对称性，是函数图象优化与路径拟合的重要方法。某研究小组基于此类坐标变换，提出专用数学定义，用于解决复杂函数综合问题。 【新定义】 在平面直角坐标系 xOy 中，对函数图象上任意一点 P(x,y) ，进行如下变换： 将横坐标变为原来的 k 倍，纵坐标变为原来的 m 倍（k>0, m>0 ），得到点 P ′ (kx, my) 。 规定： ① 点 P ′ (kx, my)叫做点 P(x,y) 的 (k,m) 类变点； ② 由所有类变点组成的新函数，叫做原函数的(k,m) 类变函数。 【初步感知】（1）一次函数，求该函数的类变函数的表达式。 【深入理解】（2）在（1）的条件下，反比例函数的图象与直线交于点B，点B的 (k,2) 类变点B ′仍在函数的图象上，求k的值。 【综合探究】 （3）对于二次函数，当时，y 的值随x值的增大而增大，且与直线有唯一交点C，设点C的类变点为C ′ ，若OC ′ ，求c的范围。 47.定义：在平面直角坐标系中，对函数图像上任意一点，进行如下变换：将横坐标变为原来的倍（），纵坐标变不变，得到点. 规定：①点叫做点 的“级类变点”；②由所有类变点组成的新函数，叫做原函数的“级类变函数”. 例如：函数上的点（1，2）的“3级类变点”为（3，2），函数的“3级类变函数”为. （1）一次函数，求该函数的“2级类变函数”的表达式； （2）在（1）的条件下，与轴、轴分别交于点A、B，函数的“级类变函数”的函数图像与x轴交于点C，当∠BCO=2∠A时，求的值； （3）直线上点M（2，y），点M的“级类变点”N，且点M与点N都在二次函数图象上，当时，二次函数的最小值为6，求的值. 48．新定义：在平面直角坐标系xOy中，图形的“外接矩形”定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边长度为h，水平边长度为w，矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数k为图形的纵横比． 例如：如图1，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A(1，2)、B(3，5)，则线段AB的外接矩形的水平边长度w=3-1=2，竖直边长度h=5-2=3，纵横比． 结合上述定义，完成下列问题： （1） 如图2，矩形ABCD是一次函数y=ax+2(0 ≤ x ≤ 3)图象的外接矩形，且纵横比k=2， 则a的值为 ； （2）如图3，点P、Q是反比例函数图象上的两点，且横坐标分别为m、n(m<n)，若该函数图象在P、Q之间的图形的外接矩形纵横比k=，求m、n的数量关系； （3）如图4，对于实数a，当a ≤ x ≤ 3a时，二次函数图象的外接矩形纵横比k=3，求a的值． 图1 图2 图3 图4 49.2022年北京冬奥会成功举办，冰雪运动开始备受关注，深圳也开始创造属于深圳人的冰雪天地。2025年，备受瞩目的深圳华发冰雪世界正式亮相，成为粤港澳大湾区的首个超大型室内滑雪场。而在刚刚结束不久的米兰冬奥会上，“五朝元老”徐梦桃在自由式滑雪空中技巧项目成功卫冕，创造历史。此项是运动员从一个跳台高处的助滑坡俯冲，经过一个向上的斜坡后起跳，在空中进行高难度的翻腾后落在着陆坡上。我们可以简化成一个侧面示意图，运动员起跳后的运动轨迹大致模拟成一条抛物线，如图所示。一名运功动员从O点正上方20米处起跳，通过测量运动员水平方向行进距离x米和垂直高度y米，以O点为原点建立平面直角坐标系，水平向右为轴，竖直向上为y轴，得到函数解析式。 （1） 当水平方向行进10米时，到达了42.5米的高度，求运动员空中运动轨迹的二次函数解析式 （2） 运动员可以通过调整在助滑坡上的动作改变起跳的速度，从而改变空中运动的路线。根据多次测量，由于出发角度不变，仅改变速度，空中路线的抛物线轨迹的一次项系数不变。该运动员要进行新的空中技巧动作的训练，该动作需要保证在空中达到最高高度不少于60米，请问以现在的路线能做到吗，如果不能，请求出恰好使最高点达到60米时空中路线的抛物线轨迹的二次项系数。 （3） 在进行空中技巧运动时，很重要的一点是保证落地稳定，可以把着陆坡看成一条直线，着陆坡的起点与起跳点位于同一高度，水平距离为30米，到达地面时与O点水平距离为90米，但是由于运动员需要一定的距离缓冲，必须保证在着陆坡的滑行距离不少于整个着陆坡的一半，求运动员在空中路线的抛物线轨迹的二次项系数取值范围。 50．定义：若一个点同时在一次函数、反比例函数、二次函数的图象上，则称该点为这三个函数的合点． 已知一次函数，二次函数，反比例函数． （1）定义感知 当 时，判断这三个函数是否存在合点？若存在，请求出合点坐标；若不存在，请说明理由． （2）探究延伸 若这三个函数恰好有一个合点，求 的值． （3）综合拓展 将一次函数换为，反比例函数为，二次函数仍为 ． 若这三个函数存在两个不同的合点，且两个合点的横坐标 满足 ，求 与 的取值范围． 51．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1， y1）和P2（x2， y2），将 称为点P1与点P2之间的“先行距离”． 如：P1（5，3）和P2（7，－4）， （1）已知A(1，2) ①若B(4，－2)，则D(A，B)= ； ②若B在y轴上，D(A，B)≥2，写出一个满足条件的点B的坐标： ； （2） 已知O为坐标原点，动点P（x， y）满足D(P，O)=2，请在如图所示平面直角坐标系中直接画出所有符合条件的点P所组成的图形，并判断它的形状为 ； （3）若点E是抛物线在第四象限图像上的动点，点 F 的坐标为（m，－1），其中m > 0，是否存在点F使得D(E，F)≤2，若存在，请求m的取值范围，若不存在，请说明理由． 52． 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 解： 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　 　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　 　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 解： 53.深圳某景区为提升游客登山体验，新建了一条观光缆车线路。缆车由多根垂直立柱支撑，相邻两根立柱间距均为4米。为保障安全与美观，景区规定： 1. 第一根立柱和第二根立柱的高度相同，乘车中心在第一根立柱上方； 2.从第二根立柱开始，每根立柱的顶端必须在一条直线上，现经过测量第1根立柱高12米，第5根立柱高18米； 3.缆车有A和B两种型号，A型缆车最多坐六人，票价150元一辆，B型缆车最多坐两人，票价60元一辆，均为往返双程票，每日运营时间为9:00-17:00. 请解答下列问题： (1)已知山顶距离乘车中心的高度为198米，求乘车中心与山顶的水平距离； (2)现有一旅游团，一共52人，其中有6个家庭，这6个家庭人数均超3人，且同一个家庭需要坐同一辆缆车，请问旅游团有几种购买缆车的方式？哪种最划算？ (3)若每根立柱顶部需安装1盏观光灯，每盏观光灯日耗电量为0.2度。已知每个缆车每趟运行1小时，单程线路可同时运营20辆，A型缆车每小时耗电0.3度，B型缆车每小时耗电0.1度，若这个景区的日供电量不超过2000度，问这个乘车中心每日最多可以接待多少名游客. 54．2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域，射程超过12000公里，展示了我国精确的打击能力和威慑力．弹道导弹的整体轨迹是一条近似抛物线（椭圆弧），全程通常分为3个核心阶段：助推段（主动段）→ 自由飞行段（中段）→ 再入段（末段）。某科技小组运用信息技术模拟导弹运行过程，如图，以发射点为原点O(0,0)，地平线为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。已知弹道导弹的飞行轨迹为抛物线，水平距离发射点250km时到达最高点，落点在x轴上，且轨迹上一点A(100,40)在导弹飞行路径上. （1）求该抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）导弹在飞行时，高度y满足y≥22.5的区域为安全突防区间，求该区间的总水平长度； （3）我们规定，当观测点对导弹的有效观测高度为y≥40，且观测视角限制为：观测点与导弹的连线和x轴的夹角满足，则称这个点为最佳观测点。若在x轴上点B(350,0)处设有观测点，判断该观测点是否为最佳观测点，请说明理由. 55．深圳人才公园设计了一个抛物线形音乐喷泉水幕．在平面直角坐标系中（1单位长度 = 1米），水幕的轮廓是一条抛物线，喷泉中心水柱起点在处，水幕与地面（轴）相交于点 和 ．激光射线，它与水幕交于点 B和点 E（点 E 在第二象限）． 一个智能灯具 P 可沿抛物线在 B, E 之间（不含端点）滑动，从 P 竖直向下发出的光线与激光线 l 交于点 Q． （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 （2）灯具定位调试．设灯具 P 的横坐标为．当调试满足 米时，求点 P 的坐标． （3）系统的联动效果检测．在喷泉右侧 B 点以外的抛物线上有一个辅助灯具 M，直线 AM 与激光线 l 交于点 N．在系统检测时，是否存在点N，使得 △AEN 的面积等于 的面积？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由． 56.【概念认识】在平面直角坐标系xOy中，将函数图象位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿直线x=m对称，再将对称后的部分向左平移n（n≥0）个单位得到新的函数图象M′，我们称这种变换为轴移变换，记作：T{m，n}．由M与M′组成的新的图象对应的函数叫做“象函数”． 【理解探究】某数学学习小组研究二次函数L:y＝﹣x2+2x+3经过T{-1，1}得到的“象函数”，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究，探究过程中得到如表y与x的几组对应值： x … -4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 4 3 0 0 3 4 3 0 -5 … （1）如图，根据上述定义，在平面直角坐标系中，描出函数L经过轴移变换后各对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出轴移变化后的“象函数”图象，并观察图象，填空： ①当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 　 　 ； ②当函数值y＝﹣12时，x的值为 　 ； ③二次函数y＝﹣x2+2x+3经过T{﹣1，1}得到的“象函数”的表达式为：y （2）抛物线y＝﹣x2+4x经过T{1，0}得到“象函数”． 于该“象函数”，当t≤x≤1时，t-2≤y≤4，求t的值； （3）点A（﹣4，0），B（4，0）在x轴上，以AB为一边在x轴上方画矩形ABCD，使AD＝3．抛物线经过T{0，0}得到的“象函数”的图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围. 57．在平面直角坐标系中，定义：对于二次函数，若(为常数，），则称为该二次函数的“型关联函数”。已知二次函数， 【理解】（1）该二次函数的“2型关联函数”的解析式为 ； 【探究】（2）若该二次函数的“型关联函数”的图象顶点在直线上， ①求的值； ②若当时，随的增大而增大，求的取值范围。 【迁移】（3）当时，该二次函数的“型关联函数”的最小值为，请直接写出的值 。 58．实施智慧交通建设，能够提升道路通行效率、保障出行安全、优化便民服务，助力科学治堵与绿色低碳发展. 某智慧交通检测平台监测某路段的大数据信息：该路段的车流量（辆/时）与平均速度（千米/时）之间关系的部分数据如下表： 平均速度（千米/时） … 10 20 26 36 44 52 … 车流量（辆/时） … 875 1500 1755 1980 1980 1820 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画关系最准确的是________；（只填正确答案的序号） ①； ②； ③． (2)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，车流量达到最大？最大车流量是多少？ (3)已知路段单位长度内的车辆数称为密度（辆/千米），且满足．请说明车流密度超过多少时，车流量会开始下降； (4)分析智慧交通检测平台数据发现，该路段每日早高峰时段（7:30-8:30）车流量f（辆/时）与时间t（分钟，0≤t≤60）满足二次函数关系：．若车流量不低于1775辆/时，路口自动启动智能红绿灯调控，求在早高峰何时启动智能调控，调控时间会持续多久？ 59．阅读材料 古埃及人将分子为1的真分数称为单位分数（也叫埃及分数）． 定义：若真分数（，为互质的正整数，）可以表示为（，为正整数，）的形式，则称为的一组埃及拆分对；若的值最小，则称为的最优拆分对．例如，（3，15）是的一组埃及拆分对． 为了能快速求出真分数的埃及拆分对，两位同学想出不同的方法： 小明：试算法 设，先取一个尽可能大的单位分数（即尽可能小），不妨令，则，因此 小红：因式分解法 设，通分整理得， 提取公因式得，可变形为， 因式分解为 ∵25的因数有1，5，25 令，解得 ∴ （1）感知与理解 ① 请判断：__________（填“能”或“否”）写出埃及拆分对；__________（填“能”或“否”）写出埃及拆分对． ② 写出的最优拆分对：__________． （2）迁移与应用 用含的代数式表示（是除以3余2的正整数）的埃及拆分对，并写出推导过程． （3）拓展与延伸 已知最简真分数（为大于5的正整数）的埃及拆分对（，为正整数，），满足 ，请直接写出所有符合条件的的值，并写出最优拆分对． 60．项目背景：2026年3月27日，深圳龙岗成功举办 “天际穿越FPV无人机挑战赛”。4500 架无人机在百米高空构筑全球首条立体光影赛道，动态勾勒出重力门、三联门、空中通道及S弯等立体障碍的光影轮廓，全程在百米高空完成，最大爬升高度达150米，被誉为 “空中F1”。某型号穿越机需依次完成水平加速段、抛物线障碍门穿越、俯冲着陆段三个任务. 【任务一：水平加速段】 无人机沿水平直线跑道匀加速飞行，速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）满足一次函数关系。已知t=2 s时v=8 m/s，t=5 s时v=20 m/s. (1) 求v关于t的函数表达式，并计算t=3 s时的速度. 【任务二：障碍门穿越】 在完成空中通道后，无人机需精准穿过一个竖直平面内的环形障碍门。该障碍门为本次赛事设计的立体光影轮廓，其外形呈抛物线形状（开口向下），顶端位于最高点。已知障碍门底部两端点A、B在同一水平线上，且AB=8米，障碍门最高点距该底部水平线的高度为 5 米。以该底部水平线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系. (2) 求该抛物线障碍门的函数表达式. (3) 已知无人机机身总高度0.2米，顶部距质心高度0.1米；无人机机身总宽度0.4米.设无人机在水平飞行过程中，其质心距该底部水平线的高度为h米（0≤h≤5）。为确保安全穿过，无人机必须沿障碍门对称轴（x=0）水平飞行，且要求无人机机身最高点、左右最宽处均不超过障碍门对应位置的高度.求h的取值范围，并说明理由. 【任务三：俯冲着陆段】 成功穿过三联门后，无人机需从高度H米处沿直线俯冲至地面着陆点。俯冲坡道与水平面的夹角固定为θ=30∘。已知俯冲坡道长度L与高度H、夹角θ满足关系. 赛事规定：为保证安全，俯冲坡道长度不得超过 50 米。同时，无人机在俯冲开始时的飞行高度H（单位：米）与穿越障碍门时的飞行高度h满足关系. (4) 结合任务二中所求的h的取值范围，求满足赛事规定的h的取值范围. 61．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)．求b和c的值； (2)．如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)．定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ① 若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 62.2026年无人机物流配送的飞行安全模型 【问题背景】 2026年，我国低空经济蓬勃发展，无人机物流配送已覆盖全国主要城市。无人机在遇到突发障碍物（如飞鸟、其他无人机、建筑物）时，需要通过传感器和AI算法实现紧急制动或绕行。智能系统总反应时间0.1~0.5秒之间，远低于人工遥控的0.8~1.5秒． 【研究条件】 无人机紧急制动的总飞行距离公式为：，其中l：从感知到停下的总飞行距离（米）；t：反应时间（秒）；v：初始飞行速度（米/秒）；a：减速度（米/秒²，正值） 经实地测试，某款物流无人机在不同速度下的制动数据如下： 速度v（米/秒） 8 16 … 制动距离l（米） 8.8 25.6 … 【模型构建】 （1）请根据表中数据，求出 l 关于 v 的函数表达式。（假设反应时间 t 和减速度 a 为定值）； （2）某架无人机以 v = 12米/秒水平飞行，前方 s=20 米处突然出现一群飞鸟挡住了去路（静止悬停）。 ①若无人机不改变方向，仅依靠紧急制动，能否在飞鸟前停下？ ②当无人机速度为v=54千米/时，若不减速，而是以 5°的偏转角紧急绕行（假设轨迹为直线偏移），请判断能否成功绕过飞鸟（不撞且不偏离安全通道）？（参考数据：安全通道宽度为d＝5米，sin5°＝0.0872，cos5°＝0.9962，tan5°＝0.0875） （3） 实际测试发现，该款无人机的反应时间 t 并非定值，而是随速度变化，满足一次函数关系：t=0.2+0.01v，减速度 a 仍为第（1）问求出的定值。若无人机前方 s=26 米处突然出现障碍物，为确保安全制动，求最大整数速度 v（单位：米/秒）。 学科网（北京）股份有限公司 $