2026山西中考备考——代数类阅读与思考

一类特殊乘法运算的研究

研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘．

初探算法：例：21×29＝609；43×47＝2021；62×68＝4216；…

发现规律：可以将它们的积分成“前积”和“后积”两部分．例：62×68的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与①_____相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积．

算法推理：两个两位数分别记为和，且b+c＝10，其中，，则上述规律表示为②_____．尝试对此规律进行证明．

…

材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

1．

我们就称这个过程为分母有理化.

材料二：已知x、y是两个正整数，且x＞y记作x+y＝a、xy＝b，则：

我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”

例如：

探索“趣味积数”在数学规律探究中，我们常常会发现一些具有特殊结构的数，它

们隐藏着简洁又有趣的代数特征．今天我们来认识一类新的数——“趣味积数”．

概念习得：若一个正整数m，可以表示成两个连续正整数的乘积再加上1，即满足等式m＝n（n+1）+1（其中n为正整数），那么我们就把这样的数m称为“趣味积数”．

特值举例：当n＝1时，m＝1×2+1＝3，因此3是第一个趣味积数；

当n＝2时，m＝2×3+1＝7，因此7是第二个趣味积数：

…

当n取不同正整数时，可以得到更多的“趣味积数”．

规律剖析：通过对这类数的观察、计算与变形，我们可以进一步研究它的结构特征以及相邻数之间的关系，感受数字规律的奇妙．

（1）结构特征：我们将趣味积数进行另一种变形：n（n+1）+1＝n2+n+1 ＝…．（最后一步）

通过推理发现“趣味积数”还具有另外一种结构特征，即任意一个“趣味积数”都可以被表示成一个正整数与的和的平方再加上．

（2）相邻两个趣味积数之间的关系：

设相邻两个趣味积数分别为m1和m2，则m1＝n（n+1）+1，m2＝（n+1）（n+2）+1

∴m2﹣m1＝…（推理过程）

通过推理发现相邻两个“趣味积数”的差为偶数．