2026年河南郑州市中原区第五十一中学二模数学试题

**基本信息** 以现实情境为载体，分层考查抽象能力、运算能力和数据意识，适配初中数学模拟预测需求 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3题/30分|方程应用、几何证明、统计分析|结合科技热点设计问题，如环保数据统计题考查数据意识，几何探究题体现空间观念与推理能力|

2025一2026学年下学期九年级模拟考试 数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考试时间100分钟，满分120分。考生应首先阅读试题卷及答 题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正 确的) 1.-5的绝对值是() A.-5B.5 2.2025年第一季度，我国货物贸易进出口总值10.3万亿元，同比增长1.3%.数据“10.3万亿” 用科学记数法表示为() A.1.03×103B.10.3×102 C.1.03×1013 D.0.103×1014 3.如图，下列哪个花瓶的表面可以大致看作右图中的平面图形绕虚线旋转一周得到 的( C A B D 4.如图，AB/CD,∠ABE=130°，∠E=85°，则∠C的度数为() A.25 B.28 C.35° D.369 5.下列运算正确的是 Ax2÷x-3=x5 B.2x2+3x3=5x5 C.(xy232=x2y5 D.(x-y2=x2-y2 6.若点A(k,b)是平面直角坐标系中第三象限内一点，则关于x的一元二次方程x2+bx-kb=O 的根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4点E在边AD上运动，连接CE.将矩形ABCD沿直线CE折叠，点B 的对应点为B',当点B'落在矩形ABCD对角线所在的直线上时，AE的长为 A.2 B C D 8.如图，在正六边形ABCDEF中，点M,N,P分别在边AB,CD,AF上，且N是CD的中点，∠NMP=90. 若AB=12,AM=4,则tan∠PMA=( A CN 11 D9 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2,A(L,O),∠DAB=60.将 菱形ABCD绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，则第90次旋转结束时，点C的坐标为（) A.(-3,-2 B.(-2,-V3)C.(-3,-3)D.(-3,-1) (第7题) (第8题) (第9题》 数学试卷第2页（共6页） 10.如图(1)，15℃时，向盛有100g水的甲、乙两个烧杯中，分别加入50克的A.B两种固体物质， 使其充分溶解.A,B两种物质在水中的溶解度曲线如图(2)所示，下列说法错误的是() A物质 物质 溶解度付 有利余圆体 无余调体 1530画度/C (图1) (图2) 信息栏 固体物质的溶解度是指在一定温度下，该物质在100g溶剂（通常溶剂为水）中 达到饱和状态时所溶解的质量 一种或几种物质分散到另一种物质中形成的均一、稳定的混合物称为溶液. A. A,B两种物质的溶解度都随温度的升高而增大 B.a曲线表示的是A物质的溶解度曲线 C. 15℃时，甲烧杯中溶液的质量为150g D.30℃时，A物质的溶解度大于B物质的溶解度 二、填空题（每小题3分，5小题，共15分） 11.若分式号的值为0，则x的值为 12.已知A(-2,yB(,y2,C2,y3是抛物线y=mx2-mx+4(m>0)上的点，则yy2y3的大小关 系为 (用“<”连接) 13.2025年4月1日，第42届中国洛阳牡丹文化节开幕.小文从网上精心挑选出4张关于洛阳牡丹花 的风景照片并打印出来，如图，小文将这些照片正面分别标上序号，然后背面朝上（这些照片除 正面外，其余完全相同)摆放在桌面上，并洗匀.小文准备从中随机抽取2张送给好朋友小明，则 他恰好抽到①③号照片的概率为 14.如图，菱形ABCD的边长为6cm,∠ABC=I20,弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧， 弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm'. 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC=4,D为平面内一点，且BD=2,P为线段AD的 中点，连接CP,则CP的最大值为 ,最小值为 (第14题) (第15题) 数学试卷第2页（共6页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：3×√12-27+4-1 2)化简：留-刃÷号 17.(9分)郑州黄河鲤鱼，河南省郑州市特产，全国农产品地理标志.某黄河鲤鱼养殖基地准 备从A,B两种饲料中选择一种进行长期投喂.该基地在两个自然条件相同的鱼塘中投入相同数 量的鱼苗，除了分别投喂这两种饲料外，其他投喂条件均相同.过了一段时间，在两鱼塘中 各随机捞取10条鲤鱼，称量质量后，绘制了如下统计图表. 被投喂A,B两种饲料的鯉鱼的质量折线统计图 质量Me 1.8 →投限A种间料 …,投限B种闻料 0 4 01234567891可机鱼编9 被投喂A,B两种饲料的鲤鱼的质量数据分析表 平均数/kg中位数/kg方差 被投喂A种饲料的鲤鱼的质量1.04 1.1 6 被投喂B种饲料的鲤鱼的质量1.02 a c 根据以上信息，回答下列问题： (1)a的值为 b,c之间的大小关系为 (2)你认为该基地应选择A,B哪种饲料进行长期投喂？请说明理由（说出一条理由即可）. (3)若该基地在两个鱼塘各投入了1000条鱼苗，试估计两鱼塘中质量x(kg)满足0.8≤x ≤1.4的鲤鱼的条数. 18.(9分)如图，在△ABC中，∠BAC=90 (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①在AC的延长线上作出点D,使得∠DBC=∠ABC; ②作BC边的垂直平分线，分别与AB,BD交于点E,F,连接CE,CF. (2)①求证：四边形BECF是菱形： ②若AB=6,AC=3,求CD的长. 19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边所在直线的表达式是y=x,且与反 比例函数y=:>0)的图象交于点A(2,a),该边的对边与反比例函数y=:>的图象交 于点C(1,b),交轴于点B (1)求反比例函数的表达式： (2)若P为r轴上一动点，求PA+PB的最小值. 九年级数学试卷第6页（共6页） 20.(9分)如图，某园林中A,B,C,D四个亭子（可看作四个点）在⊙0上，且亭子B在亭子A 的南偏西70°方向上，亭子C在亭子B的正南方向上.该园林管理部门计划在AD的延长线 上再修建一个亭子E,使DE=500m,测得此时∠AEC=40 (1)连接CD,求LDCE的度数. (2)该部门计划在亭子C,E之间修建一条直线连廊，求该连廊的长度.（结果精确到0.1 m.参考数据：V3≈1.73，sin40≈0.64，cos40≈0.77，tan40≈0.84，sin70≈ 0.94cos70≈0.34，tan70≈2.75) 北 丛东 70 0 0. 40E 21.(9分)什锦糖是糖果混合销售的一种创新称呼.某糖果店准备用A,B两种糖果混合成什锦 糖进行销售，现有以下信息：①A种糖果每千克的售价比B种糖果每千克的售价高80%：② 顾客在该糖果店用1800元买A种糖果的质量比用800元买B种糖果的质量多10千克. ③A,B两种糖果每千克的进价分别为20元、12元， 请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出A,B两种糖果每千克的售价。 (2)糖果店计划配制什锦糖100千克进行销售，其中A种糖果的质量不少于B种糖果质量的 号已知该糖果店将A,B两种糖果每千克售价的平均数作为什锦糖每千克的售价，求A,B 两种糖果的质量分别为多少千克时，该糖果店销售完这100千克什锦糖获得的利润最大. 九年级数学试卷第6页（共6页） 22.(10分)郑州“彩虹桥”（如图(1）)因桥体上方的弧形钢拱宛如彩虹而得名，它是郑州 北三环快速路的重要组成部分，也是郑州市的标志性建筑之一.已知该桥体上方的弧形钢拱 呈抛物线形状，某数学小组对中间钢拱展开研究，测得桥拱最高点P距桥面36米，桥拱的跨 度OA约为120米.以钢拱的左端点为坐标原点0，桥面为x轴建立平面直角坐标系，如图(2)， 其中x(米)是钢拱距其左端点的水平距离，y(米)是钢拱距离桥面的高度， (1)求钢拱所在抛物线的表达式. (2)相关部门利用装载A机械手的工程车在钢拱上安装彩灯，A机械手下端固定在车厢 上，工作时可垂直上升或下降.工程车（视为点）从原点O出发，沿OA方向以1m/s的 速度匀速行驶，设运动时间为s.问：在运动过程中，是否存在某一时刻，使得A机械 手到点O的距离是工程车到点O距离的V2倍？若存在，请求出的值：若不存在，请说 明理由， 图(1) 图(2) 九年级数学试卷第6页（共6页） 23.(10分)在平面直角坐标系xOy中，等边三角形0AB的顶点A在x轴正半轴上，顶点B在第 四象限.P是)y轴上一动点，连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC,连接B C.(1)如图(1)，当点P的坐标为(0，-3)时，BC的长是 ,∠0BC=_。. (2)如图(2)，点P在)轴负半轴上，且OA=OP,连接PB,求是的值， (3)若点A的坐标为((W3,O),点P在y轴正半轴上，O,P,C三点不共线，且△OPC的面 积为9，请直接写出点P的坐标。 8 九年级数学试卷第6页（共6页） 2025一2026学年下学期九年级模拟考试 数学答案 一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A A D D B 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.x=-1 12.2≤4≤413. 6 14.9V3 15.2V2+1,2V21 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16.(1) (2) 17.(1)1b>c 4分 (2)应选择A种饲料进行长期投喂.。 5分 理由：样本中被投喂A种饲料的鲤鱼质量的平均数比被投喂B种饲料的鲤鱼质量 的平均数大，说明被投喂A种饲料的鲤鱼的总产量高......7分 或： 应选择B种饲料进行长期投喂.… .5分 理由：样本中被投喂B种饲料的鲤鱼质量的方差小，说明每条被投喂B种饲料的 鲤鱼的质量比较整齐，个头相差小 7分 (答案不唯一，合理即可)》 (3)1000×高+1000×品=130（刻， 10 答：估计两鱼塘中质量x(kg)满足0.8≤x≤1.4的鲤鱼有1300条， .9分 九年级xx参考答案第1页（共x页） 18.(1)作图如图所示。（作法不唯一，正确即可).…4分 正确作图并保留作图痕迹，得4分， B D (2)①证明：直线EF垂直平分线段BC,∴.EB=EC, ∴.∠EBC=∠ECB 由作图可知∠EBC=∠FBC, '∠FBC=∠ECB ∴.BF/EC 同理可得BE/CF, .四边形BECF是平行四边形. 又EB=EC ∴.四边形BECF是菱 .6分 →→正确证得四边形BECF是菱形，得2分. ②设BE=x,则EC=X,AE=6-X. 在Rt△AEC中，AE2+AC2=EC2,即6-xP+32=x2 九年级xx参考答案第2页（共x页） 解得：x=华CF=CB=安 7分 →→正确求出CF的长，得1分. .CF/∥AB,∴.△CFD-△ABD, CcD 即5=0CD=5 9分 →→正确求出CD的长，得2分. 20.(1)如图，易知MN//BC,∠BAN=70°， ÷∠B=180°-∠BAN=110° (2分) 四边形ABCD是OO的内接四边形， ÷∠ADC+∠B=180°，÷∠ADC=180°-110°=70°， ·∠DCE=∠ADC-∠E=70°-40°=30°. (4分) M4东 70 B N D 0。 H 40>E (2)如图，过点D作DHLCE于点H, 在Rt△DHE中，∠E=40°，DE=500, .DH=DEsin40°≈500×0.64=320 九年级xx参考答案第3页（共x页） HE=DEc0s40°≈500×0.77=385. (6分) 在Rt△CDH中，∠DCH=30DH=320, ·CH=V3DH≈1.73×320=553.6， (7分) :CE=CH+HE=553.6+385=938.6(m). 答：连廊的长度约为938.6m. (9分) 21.(1)设B种糖果每千克的售价为x元，则A种糖果每千克的售价为1.8x元. 根据题意，得18001.8x-800x=10, (2分) 解得x=20 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意. 1.8x=1.8×20=36(元). 答：A种糖果每千克的售价为36元，B种糖果每千克的售价为20元.(4分) (2)设A种糖果的质量为a千克，则B种糖果的质量为(100-a)千克，该糖果 店销售完这100千克什锦糖获得的利润为w0元， 根据题意，得a≥13(100-a), 解得a≥25， (6分) ·.25≤a<100 根据题意，得w=36+202×100-20a-12(100-a)=-8a+ 1600. (7分) .-8<0, ∴，w随a的增大而减小. 又25≤a<100, 当a=25时，w最大，此时100-a=75. 答：当A种糖果的质量为25千克，B种糖果的质量为75千克时，该糖果店销售完 这100千克什锦糖获得的利润最大 (9分) 九年级xx参考答案第4顷（共x页） 22.(1)由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(60,36)， :,可设抛物线的表达式为y=a(x-60)2+36(点拨：若知道抛物线的顶点坐标， 可设顶点式) . (2分 把(0,0)代入，得0=3600a+36, 解得a=-1100, (3分 .抛物线的表达式为y=-1100(x-60)2+36=-1100x2+65x. (4分 (2)存在 (5分 记AI机械手为M, 如图，过点M作MB⊥x轴，垂足为B,则∠OBM=90 M B Ax 连接0M,由题意知OM=20B, .cosm∠B0M=0B0M=22, .∠B0M=45。,∴.0B=MB. (7分) 设点M的坐标为(t,-1100t2+65t), 则t=-1100t2+65t,解得t1=0(舍去)，t2=20 :当t=20时，AI机械手到点0的距离是工程车到点0距离的2倍. (10分) 23.(1)3150(2分) 解法提示：易证△OAP△BAC,,∴.BC=O0P=3,∠ABC=∠AOP=90。.易知∠ABO=6 九年级xx参考答案第5页（共x页）】 0▣，∴.∠0BC=60+90=150▣. (2):△0AB是等边三角形， ∴.0A=AB,∠0AB=60 · 由旋转可知，AP=AC∠PAC=60。=∠0AB, ∴.∠PAC∠PAB=∠OAB-∠PAB,即∠BAC=∠OAP, ∴.△OAP=△BAC, :∠ABC=∠A0P=90。(4分) .∠A0B=60∠A0P=90,∴.∠P0B=30- 又0P=OA=0B,∴.∠OBP=∠OPB=75。. .0A=0P,∠A0P=90,∴.∠0AP=∠0PA=45, .∠APB=75。-45。=30。,,∠BAC=∠0AP=45 .△ABC是等腰直角三角形 (5分) 如图(1)，延长PB交AC于点D. 图(1) ,∠PAD=60,∠APD=30,∴.∠ADP=90- PD=3AD,BD=AD=CD. PB=PD-BD=(3-1)AD,AC=2AD, PBAC=(3-1)AD2AD=3-12.(8分) (3)点P的坐标为(3,0)或(3+32,0) (10分) 解法提示：由(2)可知∠ABC=∠AOP=90。(关键点)，OP=BC. 设直线BC与y轴交于点M,OP=BC=x. 过点C作CELy轴于点E .'∠M0B=30,∠0BM=∠ABC-∠AB0=90.-60=30 0M=BW=0B3=6. 分以下两种情况讨论， 九年级xx参考答案第6页（共x页）】 ①当点C在y轴右侧时，如图(2)， 此时MC=6-x,∠BME=60。, ∴.CE=32(6-x) ∴.S△0PC=120P.CE=12·X·32(6-x)=34x(6-x)=934. 解得x1=x2=3, ,点P的坐标为(3,0). 图(2)图(3) ②当点C在y轴左侧时，如图(3)， 此时MC=x-6,∠CME=60。, ∴.CE=32(x-6) ∴.S△0PC=120P.CE=12·x·32(x-6)=34x(x-6)=934 解得x1=3+32,x2=3-32((不符合题意，舍去)， .点P的坐标为(3+32,0) 综上可知，点P的坐标为(3,0)或(3+32,0) 九年级xx参考答案第7页（共x页）