精品解析：广东梅县东山中学2026届高三下学期适应性考试数学试题

广东梅县东山中学2026届高三适应性考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（ ） A. 4.8 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6 7. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数周期为4，则 B. 当时，函数的图象关于点对称 C. 若函数在单调，则有最大值 D. 若函数在区间上恰有三个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，则的坐标为__________． 13. 已知随机变量，且，则___________ 14. 在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知双曲线的右焦点为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 17. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ （3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围． 18. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．（参考数值：） （1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？ （2）如果携带病毒的人只占2%，按照个人一组，求每个人需要的化验次数的期望？ 19. 设数列是集合且中的数从小到大排列而成，即，，，，，…，现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表： （1）写出这个三角形的第四行和第五行的数； （2）求； （3）设是集合且中的数从小到大排列而成，已知，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东梅县东山中学2026届高三适应性考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，故， 又因为，故. 2. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 3. 已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 4. 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 5. 命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件，全称命题为假命题，则其否定为真命题，将不等式转化为，转化为求函数的最大值，再根据充分不必要条件与集合的关系，即可求解. 【详解】原命题为假命题等价于其否命题“”为真命题，所以， 在区间上单调递增，当时，函数取得最大值，则，又⫋， 所以命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是. 故选：B 6. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（ ） A. 4.8 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6 【答案】B 【解析】 【分析】展开可得是关于的二次函数，利用二次函数性质计算即可得. 【详解】， 即是关于的二次函数，则当取时取最小值， 此时. 7. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等， 圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：， 圆心到直线的距离为：， ， 又，. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 为等差数列 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量运算求出首项与公差，进而求得其通项，再根据选项代值检验，利用等差（比）数列的定义逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故. 对于A，由通项易得，故A正确； 对于B，因，而，即，故B错误； 对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确； 对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确. 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数周期为4，则 B. 当时，函数的图象关于点对称 C. 若函数在单调，则有最大值 D. 若函数在区间上恰有三个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项由周期公式可判断；B选项代入对称中心公式计算即可；用整体法计算的范围，要保证函数单调，这个区间必须落在正弦函数的单调递增区间内，进而判断C选项；D选项同样由整体法计算零点落在对应区间即可计算范围. 【详解】对于选项A，若函数周期为4，可得，解得，即选项A错误； 对于选项B，当时，函数的对称中心横坐标满足，解得，可得选项B正确； 对于选项C，当时，，所以， 若函数在单调，则，解得，即有最大值，可得选项C正确； 对于选项D，令. 设的零点为，因为函数在区间上恰有三个零点， 则，解得，可得选项D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线焦点的坐标为. 13. 已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 14. 在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以 因为，，为外接圆半径， 所以 因为， 所以， 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得，可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知双曲线的右焦点为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的定义即可写出； （2）分、两种情况讨论，分别求出点的坐标，即可求的面积. 【小问1详解】 由题意知，，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 易知，已知， 点在双曲线上且不与坐标轴垂直，则， ①当时，将代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设， 则， 则，解得， 则. 故的面积为或. 17. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ （3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围． 【答案】（1）当时，每瓶饮料的利润最大 （2）当时，每瓶饮料的利润最小 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到每瓶饮料的利润为，利用导数法求解； （2）由（1）根据唯一的极小值点为最小值点求解； （3）由求解. 【小问1详解】 解：由题知：每瓶饮料的利润为： ，， 所以， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 所以，当时，每瓶饮料的利润最大； 【小问2详解】 由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小； 【小问3详解】 由， 解得， 故所求瓶子的半径取值范围是. 18. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．（参考数值：） （1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？ （2）如果携带病毒的人只占2%，按照个人一组，求每个人需要的化验次数的期望？ 【答案】（1）能 （2） 【解析】 【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案. （2）假设k个人一组，设每个人需要的化验次数为Y，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得即可. 【小问1详解】 设平均每个人需要的化验次数为， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则； 因此，X的分布列为，， ， 说明每5个人一组，平均每个人大约需要化验0.43次，， 所以能减少化验次数. 【小问2详解】 假设个人一组，设平均每个人需要的化验次数为， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则； 因此，的分布列为，， ， 所以每个人需要的化验次数的期望为. 19. 设数列是集合且中的数从小到大排列而成，即，，，，，…，现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表： （1）写出这个三角形的第四行和第五行的数； （2）求； （3）设是集合且中的数从小到大排列而成，已知，求的值. 【答案】（1）第四行为，，，；第五行为，，，，；（2） 【解析】 【分析】（1）根据集合元素的属性，结合指数的运算可得结果； （2）根据等差数列的求和公式，判断出，，从而可得结果； （3）根据元素特征可得当时，可得个数，利用分组求和法可求得以时所得数的个数为各项的数列的前项和，结合，，可确定当时，比，小的数的个数，由此可得. 【详解】（1）由题意知：第行时，， 第四行为，，，，即，，，； 同理可得：第五行为，，，，. （2）以三角形数表中每行的数字个数作为数列各项建立等差数列，则，，…，， 则数列前项和， 则，， 是第行第个数，此时，，. （3）当时，可得一个数，； 当时，可得三个数，，，， 以此类推，当时，可得个数； 以时所得数的个数为各项建立数列， 则数列的前项和， ，， 当时，比，小的数有：个， 当时，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查元素与集合的关系，等差数列的求和公式，分组求和法等知识.解决问题的关键是能够以每行的个数或不同取值时所得数的个数为各项建立新的数列，从而利用对应的求和公式确定各行或所得数的个数，由此可推导得到所求内容. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $