广东梅县东山中学2026届高三下学期适应性考试（一）数学试卷

广东梅县东山中学2026届高三下学期适应性 考试（一） 数学试卷 命题：廖怡娜，曾巧志 审题：周东贤，陈志远 2026.4 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟， ★祝考试顺利★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的 1.已知A={0,2,4,B={x2x∈A,则AnB=() A.{0 B.{0,2} C.{0,4 D.{2,4 2.若复数z满足(+1)·z=1+v√31则复数z在复平面内所对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小 二乘法得到y关于x的线性回归方程为=0.8x+12.5,则样本点(80,66)的残差为() A.-10.5 B.10.5 C.9.5 D.-9.5 4.已知项角为36的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比5-1 2 根据上述信息，可得sin126°=() A.1+5 4 B.5+5 D.3-5 8 C.5-v5 8 8 5.2023年，深度求索(DeepSeek)公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需 求为lO0 OPetaFLOPS(千亿亿次浮点运算/秒).根据技术规划，DeepSeek的算力每年 增长50%.截止至2025年，其算力已提升至2250 PetaFLOPS,并计划继续保持这一增 长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500 PetaFLOPS？() (参考数据：1g2≈0.301，lg3≈0.477,1g5≈0.699) A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年 6.已知某批零件的尺寸X服从正态分布N(98,σ2)，其中X∈(97,99)的零件为合格品， 且P(X≥99)=0.025，现从这批零件中随机抽取200个，用Y表示这200个零件中合 高三数学试卷第1页共4页 格品的个数，则E(Y)=() A.180 B.185 C.190 D.195 7.已知点F是抛物线y2=4x的焦点，AB,CD是经过点F的弦，且AB1CD,则四边形 ACBD面积的最小值为() A.32 B.16 C.8 D.4 8.已知三棱锥S-ABC,满足SA=SB=SC,且SA,SB,SC两两垂直.在底面△ABC 内有一动点P到三个侧面的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是( ) A.一条线段 B.一个点 C.一段圆弧 D.一段抛物线 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正方形ABCD的边长为2，向量a,b满足AB=2d,AD=2a+b,则() A.B=2v2 B.ab C.a.b=2 D.(4a+71b 10.函数f(x)=Atan(ωx+p)(ω>0,0<p<D的部分图象如图所示，则() A.w=1 B.f(孕=-3 2W3 C.函数y=fx)的图象关于直线x=对称 5π： O D.若函数y=f(x1+fx)在区间(-g,)上不单调， 6 6 则实数1的取值范围是[-1,1] 11.己知实数a,b,c互不相等，且满足a+b+c=4,ab+bc+ac=3,abc=-1, 下列说法正确的有() A.a2+b2+c2=10 B.a3+b3+c3=25 C.a4+b4+c4=88 D.对任意n∈N*,an+bn+cn均为整数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 13.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数abcde,其中满足a>b>c<d<e的 五位数有n个，则在1+(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n的展开式中，x2 的系数是 (用数字作答) 高三数学试卷第2页共4页 14.函数f:R→R满足Vx,y∈R,f(x+fy)=ff(x)+y,且f(1)=2026,则 f(2026)=」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=CD=DD1=4,AB=2, AB//CD,AD1CD,E,F分别为C1D1,BC的中点. D A B D B (1)证明：AE/平面BCC1B1 (2)求平面AEF与平面ADD1A1夹角的余弦值. 16.(15分)已知数列{an的前n项积为bn,且2+1=-1. .pn an (1)证明：b}是等差数列： (2)设cn=1+o-1)on+3' 记数列cn的前n项和为Sn,求证正Sn≥号 17.(15分)已知函数f(x)=xsinx+ax2-1. (1)当a=0时，求f(x)在区间0，上的零点个数： (2)当xe[0,,a=-时，求证：f()≥-1. 18.(17分)在平面直角坐标系x0y中，点A(-1,0),B(1,0),Q(-4,0),动点P满足IPA+ IPB|=4,记点P的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)过点Q且斜率不为0的直线1与C相交于两点E,F(E在F的左侧).设直线AE, AF的斜率分别为k1,k2, ①求证：为定值： ②设直线AF,BE相交于点M,求证：IMA-IMB|为定值 高三数学试卷第3页共4页 19.(17分)设(X,Y)的所有可能取值为(x,y),称pi=P(X=x,Y=y)(i= 1,2,…,几，j=1,2,…,m)为二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列，用表格表示为： YX y1 y2 yk ym Pi. X1 p11 p12 Pik Pim P1 X2 p21 p22 . P2k P2m p2- Xk Pk1 Pk2 Pkk Pkm Pk. 。 . Xn Pni Pn2 Pnk Pmn Pn. P.j 卫1 D.2 P.k 。。。 Pm 1 仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义P(Y=y)=p,= P对于固定的.若D≥0，则称P=xY=》三职=12，D 为给定Y=y条件下的X条件分布列. 离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：E(XY=y)= ∑1xP(X=xlY=y). (1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为 YX 2 3 Pi 1 0.1 0.3 0.2 0.6 2 0.05 0.2 0.15 0.4 P.j 0.15 0.5 0.35 1 求给定X=1条件下的Y条件分布列： (2)设(X,Y)为二维离散随机变量，且E(X)存在，证明：E(X)=1E(XIY=y)·p: (3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走 出迷宫：第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处：第三个门通一条迷道， 沿此迷道走0分钟也回到原处.假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他 平均要用多少时间才能走出迷宫. 高三数学试卷第4页共4页 广东梅县东山中学2026届高三下学期适应性考试（一） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D 月 A C C A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 AD ACD ABD 6元 35 4051 ZA 15.【详解】(1)证明：如图，连接BC1 D .AB//CD//EC,AB EC=2, B 四边形ABC1E是平行四边形，.2分 D .∴AEI/BC1 3分 BC1C平面BCC1B1,AE2平面BCC1B1, AE/平面BCC1B1. .6分 (2)以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),E(0,2,4),F(2,3,0), 得AE=(-4,2,4),AF=(-2,3,0) 8分 设平面AEF的法向量为元=(x,y,z), 则i.A正=-4x+2y+4z=0 i.AF=-2x+3y=0 令x=3,则y=2,z=2,得平面AEF的一个法向量为=(3,2,2)， ....10分 易得平面ADD1A1的一个法向量为m=(0,1,0), …11分 ∴平面AEF与平面ADD1A1夹角的余弦值为coS0= 1m元1 2v17 元列 17 ..13分 16.【详解】(1)证明：由数列{an的前n项积为bn,得an= (n≥2)，..2分 Dn-1 放有子+=1，从而-b-1=2, .4分 且=a1,则呢+片=1，所以b,=3 .5分 从而{b}是首项为3，公差为2的等差数列 6分 (2)由(1)知，bn=2n+1, 7分 9=1+=1+网=1+（-》 8 9分 所以s=n+(1-)+任-)+（后-）++（信-）+（月-2 31 =n+2n+i-n+2 .12分 观察可知函数f)=x+本一，+止单调递增， 所以{Sn}为递增数列， .14分 所以5≥S,= .15分 高三数学参考答案 17.【详解】(1)当a=0时，f(x)=xsinx-1,求导得f'(x)=sinx+xcosx,1分 在[0，上，f'(x)≥0且不恒为0， 从而f6)在[0，习上严格单调递增， 3分 注意到f(0)=-1<0,f(囹=-1=？>0， 5分 从而f)在区间[0，习上的零点个数为1 ...6分 (2)当xe[o,月，a=-时，f)=xsix-2x2-1,f'()=six+XCOSX--x, 令gx)=f'(x),则g'(x)=2cosx-xsinx- 由(1)知y=xsinx在[0，引上单调递增，从而y=一xsix在[0，到上单调递减， 又y=2cosx在[0，到上单调递减。 所以g')=2cosx-xsinx-在[0，到上单调递减， .8分 注意到g'0)=2->0,g(月=-(+)<0， 从而存在唯一的x∈(0，)，使得g'(x)=0, 所以当x∈(0，xo)时，g'(x>0,g(x)即f'x)在(0，xo)上单调递增， 当x∈(x,习时，g()<0,9)即f'()在(xo,上单调递减， .11分 而f'0)=0,f'(囹=1-2=-1<0， 所以当x∈(0，xo]时，f'(x)>0, 从而存在唯一的x1∈(o,),使得f'(x)=0。 当xE(xo,x1)时，f'(x)>0,f(x)在(xo,x)上单调递增， 当x∈(x,习时，f'(x)<0,fx)在(x,上单调递减， 综上所述，f(x)在(0，)上单调递增，在(x,习上单调递减， ..13分 f0)=-1=f(月=-2-1=-1， 所以当x∈[0，，a=-时，f)2-1 …15分 18.【详解】(1)由AB=2,IPA+|PB|=4>|AB引， 所以点P在以A,B为焦点，4为长轴长的椭圆上， …2分 设椭圆方程为后+兰=1(a>6>0, 焦距为2c,则c=1,a=2, 所以b2=a2-c2=3, 所以C的方程为号+号=1 6分 (2)①由Q(-4,0),直线的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为x=my-4,E(x1,y),F(x2,y2),<0, 联立号+苦=1，相6m2+4y2-24my+36=0, .7分 (x my-4 第1页，共3页 24m 36 则△=144(0m2-4)>0,y21+2=3m24h‘y2=3m2+4 .8分 所以my‘y2=(y1+y2), 又因为A(-10,所以1=k红= 所以略-光--器 y1+y2)-3y1 y+y2)-3y2 =-一111分 21y2 ②①可知，是=-1，所以k+k2=0, 作E关于x轴的对称点G(x1,-y1),则F,A,G三点共线， 又A(-1,0),B(1,0),设M(x0,y0), 则直线AF方程即为直线AG方程x=-1-1.y一1， 又直线BE方程为x=-y十1,13分 y1 作差可得%=兰所以x0=2(兰)-1=子 所以=山=品 15分 又x1<0,得出x0<0, 又因为避+鉴=1， 3 所学+学=1，即4-学10<0， 16分 所以点M在以A,B为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动： 所以IMA-IMB|=-1. 17分 E 19.【详解】(1)因为P(X=1)=p1=0.6,所以用第一行各元素分别除以0.6，可得 给定X=1条件下的Y条件分布列： Y1X=1 1 2 3 1 1 1 6 -2 3 .4分 (2)二维离散随机变量(X,Y)的概率为P(X=xY=y)=p(=1,2,…,n,j= 1,2,…,m),又由p1j=pwpj 0mA(②∑∑） ∑∑w .7分 高三数学参考答案 于是，EC=∑（②1pwp）-》②=1P)py9分 由1xP=E(XIY=y),有E(X)=1E(XY=y)p.·11分 (3)由(2)知，对于二维离散随机变量（化，），E(X)=1E(XIY=y)·P(Y=y): 设他需要X小时离开迷宫，记Y表示第一次所选的门，事件{Y=表示选第个门， 由题设有P(W=1)=P(Y=2)=P(Y=3)= .....12分 因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以E(XY=1)=30.…13分 又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以E(XY=2)=50+E()..14分 又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以E(XY=3)=70+E(X)...15分 所以E(X)=号×(30+50+E(X)+70+E(X)=50+2E(X).16分 解得E(X)=150,即他平均要150分钟才能离开迷宫.17分 2.D 【详解】因为1+V列-2，所以2=品=品=1-i 则复数z对应点为(1，-1)，则其所对应的点在第四象限。 3.A 【详解】x=80时的预测值)=0.8×80+12.5=64+12.5=76.5， x=80时的真实为值66，样本点(80,66)的残差为66-76.5=-10.5. 4.A 【详解】结合诱导公式及余弦定理得，sin1260=cos36°=1+5 4 5.C 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250 PetaFLOPS, 到2026年，其算力提升至2250×1.5 PetaFLOPS, 到2027年，其算力提升至2250×1.52 PetaFLOPS,…, 以此类推可知，从2025年起，到第n(n∈N*)年，DeepSeek的算力提升至2250× 1.5"PetaFLOPS, 由250×月”>750.可得” >0 31 所以，n>log3 0g9 1-lg3 ≈、1-047 2 1g3-lg20.477-0.301 ≈2.972， 所以，DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500 PetaFLOPS,故选：C. 6.C 【详解】由P(X≥99)=0.025，可得P(97<X<99)=1-2×0.025=0.95, 则Y~B(200,0.95),故E(Y)=200×0.95=190.故选：C 7.A 【详解】显然焦点F的坐标为(1,0)，所以可设直线AB的方程为y=k(x-1), 代入y2=4x并整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 所以x1+为=2+径，AB=为+名+2=4+3，同理可得1CD=4+4k2, 所以5-A8cD1-.42+1)=8型-8(k2+京+2）≥32 第2页，共3页 8.A 【详解】在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC,且SA,SB,SC两两垂直， ..AB=VSA2 +SB2,AC=VSA2 SC2,BC=VSC2 SB2, ·.AB=AC=BC,即△ABC为等边三角形， 设点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次为h1、h2、h3,如下图所示： S 由题意可知，h1+hg=2h2,则号SASABh1+SAsAch3=2×SAsBch2, Vp-SAB+Vp-SAC 2Vp-SBC'BOVS-PAB Vs-PAC 2Vs-PBC' 所以，SAPAR十SAPAC=2S△PBC, 不妨设点P到边AB、BC、AC的距离分别为d1、d2、d3, 设等边△ABC的边长为a,则SABc=誓a2, 又因为SAPA+Sopec+SaPa=SAADC,即时a(d1+d2+dg)=a2, 所以，d+d2+d=竖a,回 由SAPAB+S△PAc=2S△PBc,可得a(d1+dg)=2×2ad2,可得d1+d=2d2,② 联立①@可得d,=a, 所以，点P的轨迹是一条与BC平行且与BC之间的距离为二a的线段.故选：A. 9.AD 【详解】由条件可b=AD-AB=BD,所以b1=BD=22,A正确： d=AB,与BD不垂直，B错误： ai=AB.BD=-2,C错误： 4a+b=AB+AD=AC,根据正方形的性质有AC1BD,所以(4d+b)1b,D正确 10.ACD 【详解】函数的最小正周期为T,则有7=无=名()→0=1， 即f(x)=Atan(x+p),因此A正确： 关于B,由函数的图象可知：石+p=:→p=即f()=Atan(x+): 由图象可知：f(0)=Atan=2W3→A=2,f(x)=2tan(x+ f(-2V3,故B错误. 高三数学参考答案 因为f(-x)儿=2tan(g-x+引=I2 tanxl, f(+x儿=|2an(爱+x+引=l2a, 所以（侣--=下（号+x儿函数=fx的图象关于直线x-对称，C正确： y=If()I+af()=2tan (x+)+2atan (x+). 当x∈(-3，)时，y=lfx)l+f(x)=|2tan(x++2tan(x+) -2tam(x+)+2tan(x+)-=(2+2)tan(x+) 当xe(-要，-引时，y=f1+f)=2tan(x+引+2tan(x+) =-2tan(x+)+2atan(x+)=(-2+2)tan(x+) 当函数y=f(x)1+f(x)在区间(-，)上不单调时， 则有(2+2)(-2+2)≤0→-1≤1≤1，故D正确 11.ABD 【详解】因为a+b+c=4且ab+bc+ac=3,abc=-1, 所以a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=16-6=10,故A正确： Ha3+b3+c3=(a+b+c)[(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)]+3abc =4(10-3)-3=25,故B正确： 设Sn=an+bn+cm,n∈N*,则S1=4,S2=10,S3=25, an+3+bn+3+cn+3 =(a+b+c)(an+2+bn+2+cm+2)-(ab+bc+ac)(an+i+ bn+i+cn+1)+abc(an bn+cm), 即S+3=4Sn+2-3Sn+1-Sn,所以S4=4S3-3S2-S1=100-30-4=66,故C错； 因为S∈Z,i=1,2,3,4,则S5∈Z,可得S6∈Z,…, 依次类推可得：对任意n∈N*,Sn=a”+b”+c”均为整数，故D正确。 12.6π 【详解】设圆锥的母线为，则1=2π×1，所以1=6，则圆锥的侧面积为㎡l=6π 13.35 【详解】abcde中a>b>c<d<e,则c=1,ab与de分别为定序排列， 从2、3、4、5中任选2个数为a,b,则剩余的2个数为d,e, 故这样的五位数有c星=6个，所以n=6, 则1+(1+x)1+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)的展开式中， x2的系数为C2+C好+C子+…+C名=C3+C子+C子+…+C名=C=35 14.4051 【详解】令x=0可得f(0+fy)=ffy)=ff(0)+y①， 根据①且令y=f),从而ff(fy))=ff(O)+fy): 根据题设及①有fUfy))=fff(O)+y=ffy)+f(O)②， 联立①②，有ff(O)+fy)=ffy)+f(O)=ff(O)+y+f(O), 即f(y)=y+f(O) 令y=1可得f(0)=2025,因此f(2026)=2026+f(0)=2026+2025=4051. 第3页，共3页