专题08一次函数期末易错压轴题型专项训练(34大题型共计115道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数全章高频易错点与压轴题型，通过易错点归纳与解题思路提炼，构建从概念到综合应用的递进训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错基础|19类|归纳定义理解、参数求解等8类易错点，明确符号运算、取值范围等规避技巧|从正比例函数定义到一次函数图象与性质，形成概念-性质-应用的逻辑链| |压轴综合|15类|提炼对称旋转、几何综合等6类解题步骤，强调关键点转化、分类讨论等策略|结合方程不等式、实际应用，实现代数与几何融合，发展几何直观与应用意识|

专题08一次函数期末易错压轴题型专项训练 本专练聚焦一次函数全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.正比例函数的定义 易错02.识别一次函数 易错03.由一次函数定义求参数 易错04.求一次函数自变量或函数值 易错05.正比例函数的图象与性质 易错06.判断一次函数的图象 易错07.函数解析式判断其经过的象限 易错08.函数经过的象限求参数范围 易错09.一次函数图象与坐标轴交点问题 易错10.画一次函数图象 易错11.一次函数图象平移问题 易错12.判断一次函数的增减性 易错13.由一次函数增减性求参数 易错14.函数增减性判断自变量变化 易错15.一次函数值的大小比较 易错16.直线与坐标轴交点求方程的解 易错17.方程的解判断直线与x轴交点 易错18.图象法解一元一次方程 易错19.直线与坐标轴交点求不等式的解集 压轴20.一次函数图象对称与旋转问题 压轴21.一次函数图象与折叠问题 压轴22.一次函数的规律探究问题 压轴23.求一次函数解析式 压轴24.两直线交点求不等式解集 压轴25.两直线交点与二元一次方程组的解 压轴26.图象法解二元一次方程组 压轴27.求直线围成的图形面积 压轴28.分配方案问题 压轴29.最大利润问题 压轴30.行程问题 压轴31.梯度计价问题 压轴32.一次函数与几何综合 压轴33.一次函数动点问题 压轴34.分类讨论综合题 易错01.正比例函数的定义 典题特征：①给出含参数的函数式，判断是否为正比例函数；②已知函数是正比例函数，求字母参数的值。 易错点：⓵忽略标准形式y=kx(k≠0)，漏写k≠0的限制条件；⓶误将自变量次数为0、2的式子判定为正比例函数，忽略次数必须为1的要求；⓷式子带有常数项时，错当成正比例函数。 1．下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 3．如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 易错02.识别一次函数 典题特征：给出一组函数代数式，从中筛选出全部一次函数（含正比例函数）。 易错点：⓵忽略正比例函数是特殊的一次函数，筛选时漏选正比例函数；⓶含x2、的式子，错误判定为一次函数；⓷忽略一次项系数不能为0的隐藏条件 4．下列函数中属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 易错03.由一次函数定义求参数 典题特征：函数形如y=(m+a)x|m|+b，告知为一次函数，求解参数m。 易错点：⓵仅令自变量次数等于1，漏掉一次项系数≠0的约束；⓶解绝对值方程后，不代入原式验证，保留不符合条件的解；⓷混淆一次函数与正比例函数，额外强行要求常数项为0。 7．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．点在直线上，则代数式的值是_________． 9．已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 易错04.求一次函数自变量或函数值 典题特征：给出完整一次函数解析式，分两类考法：①已知x的取值，计算对应y；②已知y的取值，反求x。 易错点：⓵代入负数、括号时符号运算出错；⓶已知函数值求自变量，移项时忘记变号；⓷题目附带实际背景时，不根据取值范围舍去无效自变量。 10．已知函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．已知一次函数（）的图象经过点，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 12．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（     ） A．2 B．1 C． D． 13．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 易错05.正比例函数的图象与性质. 典题特征：①根据k正负，判断正比例函数图象经过的象限、增减性；②给定两点横坐标，不计算直接比较函数值大小；③判断点是否在正比例函数图象上；④画出正比例函数简易图象。 易错点：⓵记反k对应的增减性，k>0误写为y随x增大而减小；⓶比较两点函数值时，不区分k正负，直接依靠横坐标大小判断；⓷绘制图象仅描原点，缺少(1,k)辅助点，直线位置画错；⓸代入点坐标验证时，正负符号计算失误。 14．在平面直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图像上的是（ ） A．， B．， C．， D．， 15．正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 16．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 易错06.判断一次函数的图象 典题特征：①给出解析式中k、b的正负，选出匹配的直线图象；②给出一次函数图象，反向判断k、b符号。 易错点：⓵混淆k与b的作用，分不清k控制倾斜方向、b控制与y轴交点；⓶b<0时，误认为直线与y轴交于正半轴；⓷直线呈下降趋势时，错判定k>0。 17．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．已知点，，直线． （1）若直线，则____． （2）若直线m与线段有交点，则k的取值范围为____________ 19．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 易错07.函数解析式判断其经过的象限 典题特征：给出完整一次函数解析式，直接写出直线经过的全部象限。 易错点：⓵混淆k、b符号组合对应的象限，如k>0,b<0错写为一、二、三象限；⓶当b=0时，忘记函数退化为正比例函数，少写对应象限；⓷解析式系数带负号，看错正负。 20．一次函数（）的图象一定经过（     ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第三象限 D．第二象限、第三象限 21．若关于的不等式的解集为，则直线不经过第______象限． 22．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（m，n为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 易错08.函数经过的象限求参数范围 典题特征：告知直线经过的象限，解析式含有字母参数，求解参数的取值不等式。 易错点：⓵由经过的象限反推k、b符号时颠倒；⓶联立不等式求解过程中，不等号方向出错；⓷忽略一次函数基础条件k≠0。 23．若一次函数（k是不为0的常数）的函数值y随自变量x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的值可以是（     ） A．2 B． C． D． 24．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 25．已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．若两个一次函数（），（），则称函数为这两个函数的组合函数． (1)一次函数与的组合函数为_____； (2)若一次函数，的组合函数为，则_____，_____； (3)若一次函数与的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围． 易错09.一次函数图象与坐标轴交点问题 典题特征：①求直线与x轴、y轴交点坐标；②已知交点坐标，反向求解析式内参数；③利用交点坐标求线段长、三角形底边长。 易错点：⓵记反求交点条件，求x轴交点令x=0，求y轴交点令y=0；⓶解方程过程中通分、符号计算出错；⓷只写出数字，漏写坐标括号。 27．若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 28．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 29．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 30．如图，某数学探究小组利用几何画板开展一次函数的动态探究活动：在平面直角坐标系中，先固定点，绘制出直线、；再构造一条动直线： (1)分别求直线、直线的解析式； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围________； (3)当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是________． 易错10.画一次函数图象 典题特征：给定一次函数解析式，利用两点法画出图象，并标注关键交点。 易错点：⓵只用单个点作图，不使用两点法；⓶计算交点坐标出错，图象整体偏移；⓷直线两端未延伸，画成有限线段。 31．如图所示，能表示二元一次方程的直线是（    ） A． B． C． D． 32．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 33．已知函数． (1)画出该函数图象； (2)若点在函数图象上，求点的坐标． 易错11.一次函数图象平移问题 典题特征：给出原一次函数解析式，告知上下、左右平移单位长度，求平移后的新解析式。 易错点：⓵上下平移对x加减，左右平移对常数项直接加减；⓶左右平移未给x整体添加括号，左移1单位错写为y=kx+b+1；⓷平移方向记反，把上加下减记为下加上减。 34．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（     ） A． B． C． D． 35．一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 36．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 37．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 易错12.判断一次函数的增减性 典题特征：给出一次函数解析式，直接描述y随x增大的变化趋势。 易错点：⓵依靠常数项b判断增减性；⓶k为负数时，错误判定函数单调递增；⓷增减性文字描述写颠倒。 38．已知关于的一次函数的图象经过点、，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 39．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 40．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 41．已知函数的图像经过点和 (1)求这个函数的表达式； (2)若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 易错13.由一次函数增减性求参数 典题特征：函数含字母参数，告知函数单调递增或递减，求参数取值范围。 易错点：⓵递增对应k<0、递减对应k>0，符号完全写反；⓶求解不等式时，遗漏k≠0；⓷参数为多项式，去括号时变号错误。 42．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 43．点在一次函数的图象上，若，则的取值可以是___________（写出一个即可）． 44．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 45．已知是的一次函数，其图象经过点，． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 易错14.函数增减性判断自变量变化 典题特征：给出两点对应的函数值大小，结合增减性，比较两点横坐标的大小。 易错点：⓵不先判断k正负，直接比较自变量；⓶k<0时，函数值更大对应的自变量反而更小，逻辑颠倒；⓷最终不等号方向书写错误。 46．已知一次函数（k、b为常数，）的图像不经过第二象限，若点、在该一次函数的图像上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 47．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 48．在中，当自变量增加1时，因变量的值就（     ） A．增加3 B．增加1 C．减少3 D．减少1 易错15.一次函数值的大小比较 典题特征：给出两个不同的自变量，不代入计算，依靠增减性直接比较y1、y2大小。 易错点：⓵忽略k正负，仅凭x大小判断函数值；⓶k<0时，比较结果颠倒；⓷代入求值计算时符号出错。 49．一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 50．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是_________． 51．已知是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A．比大4 B．比小4 C．比大2 D．比小2 52．已知∶ 且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)点, 点在的图像上，当时，请比较与的大小． 易错16.直线与坐标轴交点求方程的解 典题特征：①给出直线与x轴交点坐标，直接写出方程kx+b=0的解；②给出一元一次方程的解，写出直线与x轴交点横坐标。 易错点：⓵混淆x轴、y轴交点对应的方程；⓶将完整交点坐标当作方程的解，只需要横坐标；⓷横坐标为负数时，正负抄写错误。 53．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 54．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是______． 55．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 易错17.方程的解判断直线与x轴交点 典题特征：已知方程kx+b=0的解，写出直线y=kx+b与x轴交点完整坐标。 易错点：⓵只写横坐标，忘记补充纵坐标0；⓶解为负数时，坐标符号写错；⓷混淆与y轴交点的对应规律。 56．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 57．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 58．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 易错18.图象法解一元一次方程 典题特征：画出一次函数图象，借助图象读出对应一元一次方程的解。 易错点：⓵错把直线与y轴交点横坐标当作方程解；⓶读图看错坐标轴刻度，取值偏差；⓷不会将一元一次方程转化为对应一次函数。 59．已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 60．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 61．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 易错19.直线与坐标轴交点求不等式的解集 典题特征：已知直线与x轴交点，求解kx+b>0、kx+b<0两类不等式解集。 易错点：⓵不判断k正负，统一写成x>交点横坐标；⓶不等号方向写反；⓷分不清y>0对应图象上方、y<0对应图象下方。 62．已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 63．一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 64．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 65．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 压轴20.一次函数图象对称与旋转问题. 典题特征：给出原直线解析式，要求求其关于x轴/y轴/原点对称、或绕某点旋转后的新解析式，常结合坐标变换考查。 解题思路：①先确定原直线上的关键点（如与坐标轴交点）；②根据对称/旋转规则求出关键点的对应点坐标；③用两点法求新直线解析式；④验证结果是否符合变换方向。 66．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 67．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 68．一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 69．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 压轴21.一次函数图象与折叠问题 典题特征：以矩形、三角形为背景，沿某条直线折叠后点落在坐标轴或直线上，结合一次函数求直线解析式、交点坐标或线段长度。 解题思路：①利用折叠性质找相等线段/角度，用勾股定理求未知点坐标；②根据已知两点求直线解析式；③利用一次函数性质求与坐标轴交点、面积等；④注意折叠后点的位置可能有两种情况，需分类讨论 70．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 71．如图，许段长在学习一次函数时发现，两点坐标知道就能求出直线解析式；在平面直角坐标系中，若四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，他的思路是利用勾股定理及等积法求出D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，数学杨老师说不用那么麻烦，但是具体怎么做，他没说，他只是微微一笑，那么聪明的你，直线的解析式是________． 72．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 73．如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 压轴22.一次函数的规律探究问题 典题特征：给出一组与一次函数相关的点、线段或图形，按一定规律排列，要求写出第n个图形对应的解析式、点坐标或线段长度。 解题思路：①计算前3-4个基础情况，找出点坐标/线段长度的变化规律；②用含n的代数式表示规律，推导一次函数关系式；③验证规律是否符合所有已知条件；④注意n的取值范围和实际意义。 74．如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 75．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 76．如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 压轴23.求一次函数解析式 典题特征：给出两点坐标、一组对应值、平行/垂直关系或实际背景数据，求一次函数解析式，常为综合题的基础步骤。 解题思路：①设解析式y=kx+b（正比例函数设y=kx）；②代入已知条件列方程/方程组，求解k、b；③写出完整解析式，注意自变量取值范围；④验证解析式是否符合所有条件。 77．已知直线和，若直线经过点且满足，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 78．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 79．某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相应的示数F（单位：N）． 【数据记录】 实验次序 1 2 3 4 5 深度 0 2 4 6 8 示数 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F与圆柱体下表面所处的深度h之间满足一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题： (1)求出弹簧测力计示数 F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式； (2)当弹簧测力计的示数时，求圆柱体下表面浸入水中的深度． 压轴24.两直线交点求不等式解集 典题特征：给出两条一次函数图象，根据交点横坐标，求k1x+b1>k2x+b2或k1x+b1<k2x+b2的解集。 解题思路：①联立两直线解析式，求出交点横坐标；②根据直线的高低位置判断不等式对应的x范围；③结合k的正负，确定不等号方向；④用数轴或图象辅助验证解集。 80．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 81．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 82．已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 压轴25.两直线交点与二元一次方程组的解 典题特征：给出两条一次函数解析式，求交点坐标；或已知方程组的解，写出两直线的交点坐标。 解题思路：①联立两直线解析式，组成二元一次方程组；②解方程组，得到的x、y值即为交点横、纵坐标；③将方程组的解转化为坐标形式，注意顺序；④验证交点是否在两条直线上。 83．直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 84．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 85．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 压轴26.图象法解二元一次方程组 典题特征：画出两个一次函数的图象，通过找交点坐标，得到对应二元一次方程组的解。 解题思路：①分别画出两个一次函数的图象；②找出两直线的交点坐标；③交点的横、纵坐标即为方程组中x、y的解；④注意图象刻度误差，需结合解析式验证。 86．如图直线与直线相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 87．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 88．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 压轴27.求直线围成的图形面积. 典题特征：给出多条直线解析式，求它们与坐标轴或互相围成的三角形、四边形的面积。 解题思路：①求出各直线与坐标轴、直线间的交点坐标；②以坐标轴上的线段为底，用点的纵坐标/横坐标为高计算；③利用割补法，将复杂图形拆分为简单三角形/梯形计算；④注意绝对值的使用，避免漏算负半轴上的线段长度。 89．已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 90．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 91．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 压轴28.分配方案问题 典题特征：结合实际背景（如物资调配、人员分配），建立一次函数模型，根据限制条件求分配方案。 解题思路：①设分配数量为变量，建立一次函数关系式；②根据题意列出不等式组，确定变量的取值范围；③结合一次函数的增减性，找出整数解对应的方案；④验证方案是否符合实际限制条件。 92．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 93．某地新建污水处理厂，现有A，B两种型号的污水处理设备可供选择，已知A型设备比B 型设备每日可多处理污水量，5台A型设备的处理能力与6台B型设备的处理能力相同． (1)求A，B两种型号设备的日处理污水量； (2)经测算，污水处理厂每日至少需处理污水，决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台（可单选一种型号），已知A型设备40万元/台，B型设备30万元/台，若要节约经费，则该厂应如何购买？ 94．甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 压轴29.最大利润问题 典题特征：给出商品进价、售价和销量与价格的一次函数关系，求利润最大值及对应定价。 解题思路：①根据利润公式（利润=（售价-进价）×销量），建立一次函数或二次函数模型；②结合函数增减性，在自变量取值范围内求最值；③注意变量的实际意义（如整数、非负数）；④验证结果是否符合题意。 95．某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 96．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的进价； (2)超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 97．某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 (1)求a，b的值． (2)“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． (3)“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 压轴30.行程问题 典题特征：以相遇、追及、往返等行程为背景，用一次函数图象表示路程与时间的关系，求速度、时间或相遇点坐标。 解题思路：①分析图象的横、纵坐标含义，确定关键点（起点、终点、交点）的意义；②根据图象斜率求速度，利用路程=速度×时间计算；③结合函数解析式，求解相遇时间或路程；④注意分段函数的不同阶段，避免混淆变量。 98．某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 99．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． (1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． (2)求图2中线段所在直线的函数表达式． (3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 100．甲、乙两车分别沿着同一条笔直的公路，从相距的、两地同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少并安全到达终点．甲、乙两车距地的路程（单位：）与两车行驶时间（单位：）的图象如图所示． (1)求乙车的行驶速度； (2)求甲车在交通管制前关于的函数表达式； (3)求甲、乙两车之间的距离不大于时的取值范围． 压轴31.梯度计价问题 典题特征：以水费、电费、话费等分段计费为背景，建立一次函数模型，求费用与用量的关系。 解题思路：①根据不同用量区间，写出分段的一次函数解析式；②根据给定用量，判断所属区间，代入对应解析式计算费用；③结合函数图象，理解不同区间的单价差异；④验证计算结果是否符合梯度计价规则。 101．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 102．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 103．2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 压轴32.一次函数与几何综合 典题特征：一次函数图象与三角形、四边形、圆等几何图形结合，求点坐标、线段长度、面积或角度。 解题思路：①根据一次函数解析式，求出关键交点坐标；②利用几何性质（全等、相似、勾股定理）建立等量关系；③设动点坐标，用函数解析式表示，列方程求解；④注意图形的多种可能情况，分类讨论。 104．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 105．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 106．如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标． 107．直线经过和与直线：交于点P，直线，与x轴，，分别交于点A，B，C． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点B，C关于点A对称，求n值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出n值． 压轴33.一次函数动点问题. 典题特征：点在一次函数图象或坐标轴上运动，结合线段、三角形、四边形的性质，求特定条件下的坐标或时间。 解题思路：①用含参数的代数式表示动点坐标；②根据题意列出线段长度、面积或角度的关系式；③解方程求出参数，再回代求动点坐标；④验证动点位置是否在线段/图象上，排除无效解。 108．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 109．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点，点D为x轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)若点D坐标，过点D作直线轴，分别交，于点M，N，求的面积． 110．在四边形中，点 ，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图1，已知：，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设 ，当时，求的值． (2)如图2，若，，点，，，的速度都是1，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 111．如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 压轴34.分类讨论综合题 典题特征：结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形等图形的存在性，或点的位置不确定，需分多种情况讨论的综合题。 解题思路：①按不确定因素分类（如直角顶点、等腰顶点、点的位置）；②每种情况分别设未知数，用一次函数表示点坐标；③根据几何性质列方程求解；④汇总所有解，排除不符合题意的情况，确保不重不漏。 112．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在第一象限内且落在一次函数的图象上，轴于点．动点在轴上运动，连接，．当为等腰直角三角形时，的长为_____． 113．如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 1.14．如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 115．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． (1)求直线的表达式； (2)若为轴上的一点，且的纵坐标小于，当的面积为时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数期末易错压轴题型专项训练 本专练聚焦一次函数全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.正比例函数的定义 易错02.识别一次函数 易错03.由一次函数定义求参数 易错04.求一次函数自变量或函数值 易错05.正比例函数的图象与性质 易错06.判断一次函数的图象 易错07.函数解析式判断其经过的象限 易错08.函数经过的象限求参数范围 易错09.一次函数图象与坐标轴交点问题 易错10.画一次函数图象 易错11.一次函数图象平移问题 易错12.判断一次函数的增减性 易错13.由一次函数增减性求参数 易错14.函数增减性判断自变量变化 易错15.一次函数值的大小比较 易错16.直线与坐标轴交点求方程的解 易错17.方程的解判断直线与x轴交点 易错18.图象法解一元一次方程 易错19.直线与坐标轴交点求不等式的解集 压轴20.一次函数图象对称与旋转问题 压轴21.一次函数图象与折叠问题 压轴22.一次函数的规律探究问题 压轴23.求一次函数解析式 压轴24.两直线交点求不等式解集 压轴25.两直线交点与二元一次方程组的解 压轴26.图象法解二元一次方程组 压轴27.求直线围成的图形面积 压轴28.分配方案问题 压轴29.最大利润问题 压轴30.行程问题 压轴31.梯度计价问题 压轴32.一次函数与几何综合 压轴33.一次函数动点问题 压轴34.分类讨论综合题 易错01.正比例函数的定义 典题特征：①给出含参数的函数式，判断是否为正比例函数；②已知函数是正比例函数，求字母参数的值。 易错点：⓵忽略标准形式y=kx(k≠0)，漏写k≠0的限制条件；⓶误将自变量次数为0、2的式子判定为正比例函数，忽略次数必须为1的要求；⓷式子带有常数项时，错当成正比例函数。 1．下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意； B、的自变量在分母上，不是正比例函数，故此选项不合题意； C、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不合题意； D、不是正比例函数，故此选项不合题意； 2．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 【答案】D 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数），写出各选项变量的函数关系式，再根据定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：正方形面积与边长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项B：等腰三角形周长为，底边长与腰长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项C：短跑中时间与速度的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项D：总价与购买数量的关系式为，是正比例函数，符合题意． 3．如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的概念，根据正比例函数定义可得且，再解即可，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：， 故选：． 易错02.识别一次函数 典题特征：给出一组函数代数式，从中筛选出全部一次函数（含正比例函数）。 易错点：⓵忽略正比例函数是特殊的一次函数，筛选时漏选正比例函数；⓶含x2、的式子，错误判定为一次函数；⓷忽略一次项系数不能为0的隐藏条件 4．下列函数中属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的判断，根据一次函数的定义：形如（，，为常数）的函数叫做一次函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，含和项，不符合一次函数定义，∴ A错误； ∵选项B中，的最高次数为2，不符合一次函数定义，∴ B错误； ∵选项C中，符合一次函数（）的形式，∴ C正确； ∵选项D中，未说明，当时不是一次函数，∴ D错误． 5．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的定义为：形如（k，b为常数，）的函数叫做一次函数，当时，为正比例函数，是特殊的一次函数根据一次函数的定义形式，逐一判断各函数即可得到结果． 【详解】∵① 符合一次函数定义，是一次函数； ② ，符合一次函数定义，是一次函数； ③，是反比例函数，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 符合一次函数定义，是一次函数； ⑤中x的次数为2，是二次函数，不是一次函数； ∴一次函数共有3个． 6．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 易错03.由一次函数定义求参数 典题特征：函数形如y=(m+a)x|m|+b，告知为一次函数，求解参数m。 易错点：⓵仅令自变量次数等于1，漏掉一次项系数≠0的约束；⓶解绝对值方程后，不代入原式验证，保留不符合条件的解；⓷混淆一次函数与正比例函数，额外强行要求常数项为0。 7．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 8．点在直线上，则代数式的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值． 直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论． 【详解】解：点在直线上， ， ， 故答案为：． 9．已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点代入直线中可得出，将变形为，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解： 把点代入直线得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 不等式两边同时除以得，，不等式两边同时乘以得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的性质的综合，掌握一次函数图像的性质，不等式的性质是解题的关键． 易错04.求一次函数自变量或函数值 典题特征：给出完整一次函数解析式，分两类考法：①已知x的取值，计算对应y；②已知y的取值，反求x。 易错点：⓵代入负数、括号时符号运算出错；⓶已知函数值求自变量，移项时忘记变号；⓷题目附带实际背景时，不根据取值范围舍去无效自变量。 10．已知函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在函数的图象上， 将，代入得 ， 即的值为，选项符合题意． 11．已知一次函数（）的图象经过点，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入一次函数解析式，结合的条件判断的符号，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵ 一次函数（）的图象经过点， ∴ 将，代入解析式得 ， 整理得 ， ∵ ， ∴ ， 选项中只有，符合条件，因此选A． 12．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用点在直线上的坐标满足直线解析式，得到关于的表达式，再结合求出的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴，， ∵， ∴ ， ∴或 解得：， 所以的值可能为． 13．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，将把，代入求出即可； （2）把点代入即可求解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例函数关系， ∴设， 把，代入得，， 解得， ∴； （2）解：把代入，得 解得． 易错05.正比例函数的图象与性质. 典题特征：①根据k正负，判断正比例函数图象经过的象限、增减性；②给定两点横坐标，不计算直接比较函数值大小；③判断点是否在正比例函数图象上；④画出正比例函数简易图象。 易错点：⓵记反k对应的增减性，k>0误写为y随x增大而减小；⓶比较两点函数值时，不区分k正负，直接依靠横坐标大小判断；⓷绘制图象仅描原点，缺少(1,k)辅助点，直线位置画错；⓸代入点坐标验证时，正负符号计算失误。 14．在平面直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图像上的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，同一正比例函数图像上的点满足比例系数相等，先根据点求出正比例函数的，再验证点是否满足正比例函数的解析式即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 对选项A验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标一致， ∴，两点在同一个正比例函数图像上，故选项A符合题意； 对选项B验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项B不符合题意； 对选项C验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项C不符合题意； 对选项D验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项D不符合题意． 15．正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 16．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 【答案】(1) (2)点A在图象上 (3)时， 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为． （2）解：当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 易错06.判断一次函数的图象 典题特征：①给出解析式中k、b的正负，选出匹配的直线图象；②给出一次函数图象，反向判断k、b符号。 易错点：⓵混淆k与b的作用，分不清k控制倾斜方向、b控制与y轴交点；⓶b<0时，误认为直线与y轴交于正半轴；⓷直线呈下降趋势时，错判定k>0。 17．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 18．已知点，，直线． （1）若直线，则____． （2）若直线m与线段有交点，则k的取值范围为____________ 【答案】 【分析】（1）设所在直线的函数表达式为，把，代入，求出a和b的值，得出所在直线的函数表达式，即可求解； （2）分别求出当直线m经过点A和点B时的k值，即可求解． 【详解】解：（1）设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴所在直线的函数表达式为， ∵， ∴； （2）当m经过点A时： 把代入得： ， 解得：； 当m经过点B时： 把代入得：， 解得：； ∴k的取值范围为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，两条互相平行的直线k值相等． 19．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 易错07.函数解析式判断其经过的象限 典题特征：给出完整一次函数解析式，直接写出直线经过的全部象限。 易错点：⓵混淆k、b符号组合对应的象限，如k>0,b<0错写为一、二、三象限；⓶当b=0时，忘记函数退化为正比例函数，少写对应象限；⓷解析式系数带负号，看错正负。 20．一次函数（）的图象一定经过（     ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第三象限 D．第二象限、第三象限 【答案】C 【详解】解：一次函数中，一次项系数，分两种情况讨论： 当时，，函数与轴交于负半轴， ∴ 此时函数图象经过第一，三，四象限； 当时，，函数与轴交于正半轴， 此时函数图象经过第一，二，三象限； 综上可知，两种情况中，函数一定经过第一象限和第三象限． 21．若关于的不等式的解集为，则直线不经过第______象限． 【答案】 一 【分析】本题考查一元一次不等式的性质，一次函数的图象性质，掌握由不等式解集确定的符号，结合一次函数图象性质判断象限是解题的关键，需要根据不等式解集条件确定与的正负，再根据一次函数图象性质判断直线不经过的象限． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为 ∴，且，即 ∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 22．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（m，n为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质进行判断． 此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 【详解】解：由，得一次函数与都不过原点， 故A错误； 若，则一次函数与都是增函数，且都交y轴的正半轴； 故C错误； 若，则一次函数是减函数，交y轴的正半轴，是增函数，交y轴的负半轴； 若，则一次函数是增函数，且交y轴的负半轴，是减函数，且交y轴的正半轴； 故B正确； 若，则一次函数与都是减函数，且都交于y轴的负半轴； 故D错误； 故选：B． 易错08.函数经过的象限求参数范围 典题特征：告知直线经过的象限，解析式含有字母参数，求解参数的取值不等式。 易错点：⓵由经过的象限反推k、b符号时颠倒；⓶联立不等式求解过程中，不等号方向出错；⓷忽略一次函数基础条件k≠0。 23．若一次函数（k是不为0的常数）的函数值y随自变量x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的值可以是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，先由函数增减性得到的范围，再由图象不经过第一象限得到与y轴交于负半轴或原点，联立求出的取值范围，结合选项得到答案． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而减小， ∴，排除选项A， ∵函数图象不经过第一象限， ∴函数图象与y轴交于负半轴或原点， ∴， 解得， 结合选项可知，只有符合条件． 24．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可． 【详解】解：一次函数的图象是直线且不经过第二象限， 因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限， 有：，解得，． 25．已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，函数值随自变量增大而减小，得，图像不经过第一象限，得，据此求解即可． 本题考查了一次函数的性质． 【详解】解：∵函数y随x增大而减小， ∴， 解得； ∵图像不经过第一象限， ∴， 解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 26．若两个一次函数（），（），则称函数为这两个函数的组合函数． (1)一次函数与的组合函数为_____； (2)若一次函数，的组合函数为，则_____，_____； (3)若一次函数与的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围． 【答案】(1) (2)4， (3)且， 【详解】（1）解：由组合函数定义可得，一次函数与的组合函数为； （2）解：由组合函数定义可得，一次函数，的组合函数为， ∴， 解得； （3）解：∵一次函数， ∴， 由组合函数定义可得，一次函数，的组合函数为， ∵组合函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得，， 综上所述，且，． 易错09.一次函数图象与坐标轴交点问题 典题特征：①求直线与x轴、y轴交点坐标；②已知交点坐标，反向求解析式内参数；③利用交点坐标求线段长、三角形底边长。 易错点：⓵记反求交点条件，求x轴交点令x=0，求y轴交点令y=0；⓶解方程过程中通分、符号计算出错；⓷只写出数字，漏写坐标括号。 27．若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题结合一次函数的定义和函数图象过原点的条件求解参数，需要注意一次函数的一次项系数不能为0． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点 ∴将代入解析式得 解得 又∵一次函数的一次项系数不为0 ∴，即 ∴． 28．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【答案】10 【分析】先求出、两点的坐标，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在直线中， 令，则； 令，则，解得； ，． ． 29．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先将代入，得出，进一步可得出点的坐标，进而可得出，的长，结合三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将代入得，， 解得，， ， 当时，，即， ． ， ， 的面积为． 30．如图，某数学探究小组利用几何画板开展一次函数的动态探究活动：在平面直角坐标系中，先固定点，绘制出直线、；再构造一条动直线： (1)分别求直线、直线的解析式； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围________； (3)当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是________． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出当直线：过点时m的值，即可求解； （3）设直线与y轴交于点C，直线l与y轴交于点D，连接，求出点C，D的坐标，再利用勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：当直线：过点时， ， 解得：， ∴m的取值范围为； （3）解：如图，设直线与y轴交于点C，直线l与y轴交于点D，连接， 对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是． 易错10.画一次函数图象 典题特征：给定一次函数解析式，利用两点法画出图象，并标注关键交点。 易错点：⓵只用单个点作图，不使用两点法；⓶计算交点坐标出错，图象整体偏移；⓷直线两端未延伸，画成有限线段。 31．如图所示，能表示二元一次方程的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别令、，求出相对应的值，结合图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，，则， 能表示二元一次方程的直线是 ， 故选：C． 32．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 33．已知函数． (1)画出该函数图象； (2)若点在函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数的图象即可； （2）把点代入，求出的值即可得点的坐标． 【详解】（1）解：列表如下： x ⋯ 0 1 ⋯ y ⋯ 0 2 4 ⋯ 描点，连线得： （2）解：把点代入，得： ， 解得， ∴点． 易错11.一次函数图象平移问题 典题特征：给出原一次函数解析式，告知上下、左右平移单位长度，求平移后的新解析式。 易错点：⓵上下平移对x加减，左右平移对常数项直接加减；⓶左右平移未给x整体添加括号，左移1单位错写为y=kx+b+1；⓷平移方向记反，把上加下减记为下加上减。 34．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的上下平移的规律“上加下减”法则，一次函数图象向上或向下平移个单位长度，只需要对原函数的常数项加上或减去即可得到结果． 【详解】解：，向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为． 35．一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 【答案】 【分析】一次函数图象上下平移时，一次项系数保持不变，根据平移性质设出平移后的解析式，代入已知点的坐标求解即可； 【详解】解：一次函数图象上下平移时，一次项系数不变，原函数一次项系数为， 设平移后函数表达式为， 将点代入得：，解得， 平移后图像的函数表达式是． 36．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则得到原直线解析式中k和b的关系，确定原直线过定点，再结合的条件，根据一次函数的性质判定即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位后，解析式为． 将代入 得 ， 整理得 ， ∴直线经过定点． ∵， ∴随的增大而增大， A．，符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 37．在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 且． 【分析】（1）根据函数图象的平移得到，再把点代入计算得到； （2）根据题意，画图分析即可． 【详解】（1）解：函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数图象经过点， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得，， ∴， 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，且大于的值，如图所示， 当时，函数的图象与函数的图象平行，此时，符合题意； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象有交点，设为， ∴当时，，不符合题意； ∴； 当时，如图所示， 此时，函数的图象与函数的图象平行，，不符合题意； 在函数中，当时，， ∴当函数的图象与函数的图象交于时，如图所示， 此时，，解得，， 当时，如图所示，函数的图象与函数的图象有交点，设为， 此时，时，，不符合题意； ∴； 综上，且． 易错12.判断一次函数的增减性 典题特征：给出一次函数解析式，直接描述y随x增大的变化趋势。 易错点：⓵依靠常数项b判断增减性；⓶k为负数时，错误判定函数单调递增；⓷增减性文字描述写颠倒。 38．已知关于的一次函数的图象经过点、，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断一次函数增减性，再比较自变量大小，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，自变量系数， ∴随的增大而减小， 又∵点，的横坐标满足， ∴对应函数值满足． 39．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先比较两点横坐标的大小，再结合判断函数增减性，得到关于的不等式，求解后匹配选项即可． 【详解】解： 点的横坐标为，点的横坐标为， ，即． 又， 一次函数中，随的增大而减小． 根据一次函数增减性，可得一次项系数小于，即， 解得． 观察各选项，只有D选项满足． 40．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 41．已知函数的图像经过点和 (1)求这个函数的表达式； (2)若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和点代入得出关于k、b的方程组，然后解方程组，求出k、b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， ∴． 易错13.由一次函数增减性求参数 典题特征：函数含字母参数，告知函数单调递增或递减，求参数取值范围。 易错点：⓵递增对应k<0、递减对应k>0，符号完全写反；⓶求解不等式时，遗漏k≠0；⓷参数为多项式，去括号时变号错误。 42．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 43．点在一次函数的图象上，若，则的取值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，负数即可） 【分析】根据两点横坐标的大小关系与纵坐标的大小关系，结合一次函数的性质判断的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：点，在一次函数的图象上，且，， 随的增大而减小， ∴，即只要取小于的数都符合要求． 故的取值可以是（答案不唯一）． 44．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 45．已知是的一次函数，其图象经过点，． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）分别求出时和时的函数值，根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一次函数， ∴设该函数的表达式为， ∵其图象经过点，， ∴，解得， ∴这个函数的表达式为． （2）解：当时，， 当时，， ∵函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 易错14.函数增减性判断自变量变化 典题特征：给出两点对应的函数值大小，结合增减性，比较两点横坐标的大小。 易错点：⓵不先判断k正负，直接比较自变量；⓶k<0时，函数值更大对应的自变量反而更小，逻辑颠倒；⓷最终不等号方向书写错误。 46．已知一次函数（k、b为常数，）的图像不经过第二象限，若点、在该一次函数的图像上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数图像的位置判断的符号，再利用一次函数的增减性比较与的大小即可． 【详解】解：∵一次函数（）的图像不经过第二象限， ∴，， ∴该一次函数的函数值随的增大而增大， ∵点、在该函数图像上，且 ∴． 47．若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 48．在中，当自变量增加1时，因变量的值就（     ） A．增加3 B．增加1 C．减少3 D．减少1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是理解一次函数中自变量的变化对因变量的影响，通过代入计算或利用斜率的意义来判断函数值的变化趋势． 先设自变量增加1后变为，代入函数表达式求出对应的函数值，再通过计算函数值的差值，判断因变量的变化情况；也可直接根据一次函数中斜率的意义，得出自变量每增加1，因变量减少3． 【详解】解：设自变量为，则对应的函数值为： 当自变量增加1，变为时，新的函数值为： 这表明，当自变量增加1时，因变量的值减少3． 故选C． 易错15.一次函数值的大小比较 典题特征：给出两个不同的自变量，不代入计算，依靠增减性直接比较y1、y2大小。 易错点：⓵忽略k正负，仅凭x大小判断函数值；⓶k<0时，比较结果颠倒；⓷代入求值计算时符号出错。 49．一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小，结合一次函数的性质即可得到与的大小关系． 【详解】解：在一次函数中，∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 50．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是_________． 【答案】/ 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点和， 则，， ∵， ∴， 当取横坐标为正数时，不等式不变号同理可得． 综上可知：． 51．已知是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A．比大4 B．比小4 C．比大2 D．比小2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数的增减性或代入点坐标计算差值来比较函数值大小．对于一次函数，当时，随的增大而减小；也可通过代入两点坐标，计算与的差值来判断大小关系． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 将、代入函数解析式， 得，， ∴，即比大4； 故选：A． 52．已知∶ 且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)点, 点在的图像上，当时，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，，推导出，整理得，将和分别代入上式，求出 ，得到，即可解答； （2）由(1)可知，是一次函数，且一次项系数，进而根据一次函数的性质比较和的大小即可． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 整理得， 与成正比例， 设， ， ， 整理得， 将和分别代入上式， 得方程组： 解得 ， 将代入，得， 即与之间的函数关系式为． （2）解：由(1)可知，是一次函数，且一次项系数， 随的增大而增大， ， ． 易错16.直线与坐标轴交点求方程的解 典题特征：①给出直线与x轴交点坐标，直接写出方程kx+b=0的解；②给出一元一次方程的解，写出直线与x轴交点横坐标。 易错点：⓵混淆x轴、y轴交点对应的方程；⓶将完整交点坐标当作方程的解，只需要横坐标；⓷横坐标为负数时，正负抄写错误。 53．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 54．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数图象的交点的横坐标就是两个一次函数解析式所构成的一元一次方程的解即可求解，掌握一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点，点的横坐标是， ∴的方程的解为：， 故答案为：． 55．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)的值是，的值是 (2) (3)的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，点的坐标与函数的特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由直线过点，且点的横坐标为1，可求得点的坐标，由直线经过、两点坐标，用待定系数法即可求得、的值即可； （2）由得，观察图象，函数的图象位于函数的图象上方时，自变量的取值即为不等式的解集； （3）由直线的解析式可求得点的坐标，从而得的长，设点的横坐标为，则可表示点、的坐标，从而表示，由列方程即可求得的值，则可得点的坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴的值是，的值是． （2）∵， ∴， 由图象可得，当时，直线在直线上方， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． （3）由（1）知，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或 ∴的坐标为或． 易错17.方程的解判断直线与x轴交点 典题特征：已知方程kx+b=0的解，写出直线y=kx+b与x轴交点完整坐标。 易错点：⓵只写横坐标，忘记补充纵坐标0；⓶解为负数时，坐标符号写错；⓷混淆与y轴交点的对应规律。 56．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 57．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及一次函数与方程的解的关系，两点间距离公式． 根据方程的解求出参数b，再求直线与坐标轴的交点坐标，最后利用两点间距离公式计算线段的长度． 【详解】解：关于x的方程的解为， ∴直线与轴的交点为 ∴将代入，则， 解得， 因此直线表达式， 当时，， 故与y轴交于点； ∴， 故答案为：2． 58．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 易错18.图象法解一元一次方程 典题特征：画出一次函数图象，借助图象读出对应一元一次方程的解。 易错点：⓵错把直线与y轴交点横坐标当作方程解；⓶读图看错坐标轴刻度，取值偏差；⓷不会将一元一次方程转化为对应一次函数。 59．已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系． 根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解． 【详解】∵直线经过点， ∴时，， ∴方程的解为， 故选：． 60．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 61．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 易错19.直线与坐标轴交点求不等式的解集 典题特征：已知直线与x轴交点，求解kx+b>0、kx+b<0两类不等式解集。 易错点：⓵不判断k正负，统一写成x>交点横坐标；⓶不等号方向写反；⓷分不清y>0对应图象上方、y<0对应图象下方。 62．已知关于的不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式的解集是，故不符合题意； B．不等式的解集是，故符合题意； C．不等式的解集是，故不符合题意； D．不等式的解集是，故不符合题意． 63．一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 【答案】 ，2 【分析】根据不等式与一次函数的关系求解即可． 【详解】 解：由图象可知， 当时，函数图象在  x  轴上方或  x 轴上，即 ， 所以不等式的解集为． 因为 x是正整数， 所以x的正整数值为  1，2 ． 64．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与一次函数图象的位置关系，若点在图象下方，则点的纵坐标小于对应横坐标的函数值，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数图象的下面， ∴点的纵坐标小于当时的函数值， ∴， 解得：． 65．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 【答案】(1)这个一次函数的解析式是 (2)， (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出关系式即可； （2）先画出图象，再根据函数的增减性解答； （3）设点C的坐标，再根据面积公式得出方程，求出解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 所以一次函数关系式为； （2）解：如图所示， 当时，，解得； 当时，，解得， ∵一次函数，其中， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． 当时，， 即当时，； （3）解：设点，则，且， ∴， 解得或， ∴点或． 压轴20.一次函数图象对称与旋转问题. 典题特征：给出原直线解析式，要求求其关于x轴/y轴/原点对称、或绕某点旋转后的新解析式，常结合坐标变换考查。 解题思路：①先确定原直线上的关键点（如与坐标轴交点）；②根据对称/旋转规则求出关键点的对应点坐标；③用两点法求新直线解析式；④验证结果是否符合变换方向。 66．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 67．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 68．一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得． 69．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 压轴21.一次函数图象与折叠问题 典题特征：以矩形、三角形为背景，沿某条直线折叠后点落在坐标轴或直线上，结合一次函数求直线解析式、交点坐标或线段长度。 解题思路：①利用折叠性质找相等线段/角度，用勾股定理求未知点坐标；②根据已知两点求直线解析式；③利用一次函数性质求与坐标轴交点、面积等；④注意折叠后点的位置可能有两种情况，需分类讨论 70．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点的坐标得出和的长，利用折叠性质得到的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形，点， ，， 由折叠可得，， 在中，， ，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得，， 解得， ∴直线解析式为， 是直线与轴的交点， ∴令，得， 的坐标为． 71．如图，许段长在学习一次函数时发现，两点坐标知道就能求出直线解析式；在平面直角坐标系中，若四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，他的思路是利用勾股定理及等积法求出D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，数学杨老师说不用那么麻烦，但是具体怎么做，他没说，他只是微微一笑，那么聪明的你，直线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 72．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 73．如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何综合，涉及勾股定理、折叠性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合，熟练掌握勾股定理及待定系数法是解决问题的关键． （1）根据题中数据，在中，利用勾股定理求出，再由折叠性质得到，从而确定，即可得到答案； （2）根据已知条件，利用勾股定理列方程得到，再由待定系数法求出直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， ∵将沿直线折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设， 根据折叠的性质得，， 由（1）知， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得 ， 解得， 故直线的解析式为． 压轴22.一次函数的规律探究问题 典题特征：给出一组与一次函数相关的点、线段或图形，按一定规律排列，要求写出第n个图形对应的解析式、点坐标或线段长度。 解题思路：①计算前3-4个基础情况，找出点坐标/线段长度的变化规律；②用含n的代数式表示规律，推导一次函数关系式；③验证规律是否符合所有已知条件；④注意n的取值范围和实际意义。 74．如图，在平面直角坐标系中，点，…都在轴上，点，…在直线上，，，，，，…，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，掌握等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，找出点坐标的规律是关键． 根据题意得到（为正整数），由此即可求解． 【详解】解：点，…都在轴上，点，…在直线上，， ∴，点的横坐标为， ∴的纵坐标为，即，即 ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，，则，即， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，则，即， ∴， 同理，，， ∴（为正整数）， ∴点的坐标是， 故选：B ． 75．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 76．如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式先求出，再求出第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长． 【详解】解：∵在上， 当时，， ∴， ∴第一个正方形的边长为1， ∴当时，第1个正方形的边长为； ∵在上，， 当时，， ∴， ∴第二个正方形的边长为2， ∴当时，第2个正方形的边长为； 同理，当时，第3个正方形的边长为； …… ∴第个正方形的边长为． 【点睛】解决这类规律问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 压轴23.求一次函数解析式 典题特征：给出两点坐标、一组对应值、平行/垂直关系或实际背景数据，求一次函数解析式，常为综合题的基础步骤。 解题思路：①设解析式y=kx+b（正比例函数设y=kx）；②代入已知条件列方程/方程组，求解k、b；③写出完整解析式，注意自变量取值范围；④验证解析式是否符合所有条件。 77．已知直线和，若直线经过点且满足，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把代入求出b即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ， ∵直线经过点， ， ． 78．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． 79．某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相应的示数F（单位：N）． 【数据记录】 实验次序 1 2 3 4 5 深度 0 2 4 6 8 示数 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F与圆柱体下表面所处的深度h之间满足一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题： (1)求出弹簧测力计示数 F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式； (2)当弹簧测力计的示数时，求圆柱体下表面浸入水中的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设F与h之间的函数关系式为，选取两组对应数值代入求出函数解析式； （2）将代入（1）的解析式求出h即可． 【详解】（1）解：设F与h之间的函数关系式为， 由表中数据可知，当时，；当时，， 将这两组数值代入，得 解得 ∴F与h之间的函数关系式为； （2）当时， ∴. 解得， ∴此时圆柱体下表面浸入水中的深度为． 压轴24.两直线交点求不等式解集 典题特征：给出两条一次函数图象，根据交点横坐标，求k1x+b1>k2x+b2或k1x+b1<k2x+b2的解集。 解题思路：①联立两直线解析式，求出交点横坐标；②根据直线的高低位置判断不等式对应的x范围；③结合k的正负，确定不等号方向；④用数轴或图象辅助验证解集。 80．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：． 81．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 82．已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 【答案】C 【分析】先根据点在直线上求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系解不等式组，得到的取值范围，进而判断正确选项． 【详解】解：∵点在直线上，点在直线上 ∴， 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变 ∴化简得，即 选项A，B均不完整，因此A，B错误． 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向改变 ∴化简得： 解得： ∴，符合选项C，因此C正确，D错误． 压轴25.两直线交点与二元一次方程组的解 典题特征：给出两条一次函数解析式，求交点坐标；或已知方程组的解，写出两直线的交点坐标。 解题思路：①联立两直线解析式，组成二元一次方程组；②解方程组，得到的x、y值即为交点横、纵坐标；③将方程组的解转化为坐标形式，注意顺序；④验证交点是否在两条直线上。 83．直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可求解． 【详解】∵直线和交于点， ∴关于，的方程组的解就是两直线的交点坐标，即． 84．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 85．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 压轴26.图象法解二元一次方程组 典题特征：画出两个一次函数的图象，通过找交点坐标，得到对应二元一次方程组的解。 解题思路：①分别画出两个一次函数的图象；②找出两直线的交点坐标；③交点的横、纵坐标即为方程组中x、y的解；④注意图象刻度误差，需结合解析式验证。 86．如图直线与直线相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数与函数关于y轴对称，函数与函数关于y轴对称，故它们的交点也关于y轴对称即可求解． 【详解】解：∵的图像与的图像关于y轴对称， 的图像与的图像关于y轴对称， ∴直线与直线的交点也关于y轴对称，且对称后的坐标为(-1，-2)，, ∴方程组的解为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，使用数形结合的方法即可求解． 87．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 88．（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【详解】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 压轴27.求直线围成的图形面积. 典题特征：给出多条直线解析式，求它们与坐标轴或互相围成的三角形、四边形的面积。 解题思路：①求出各直线与坐标轴、直线间的交点坐标；②以坐标轴上的线段为底，用点的纵坐标/横坐标为高计算；③利用割补法，将复杂图形拆分为简单三角形/梯形计算；④注意绝对值的使用，避免漏算负半轴上的线段长度。 89．已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：把点代入， 得：， 点． 把点代入， 得：， 点． ， ． 答：的面积为， 故选：C． 90．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 91．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值； (2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______； (3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入，求出b的值，即可求出，把点代入即可求出m的值． （2）根据两直线的交点即可得出方程组的解． （3）分别求出点A，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴， 把点代入，得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． （3）解：在直线：中，令，则，解得， ∴， 直线：中，令，则，解得， ∴， ∴， ∴． 压轴28.分配方案问题 典题特征：结合实际背景（如物资调配、人员分配），建立一次函数模型，根据限制条件求分配方案。 解题思路：①设分配数量为变量，建立一次函数关系式；②根据题意列出不等式组，确定变量的取值范围；③结合一次函数的增减性，找出整数解对应的方案；④验证方案是否符合实际限制条件。 92．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 93．某地新建污水处理厂，现有A，B两种型号的污水处理设备可供选择，已知A型设备比B 型设备每日可多处理污水量，5台A型设备的处理能力与6台B型设备的处理能力相同． (1)求A，B两种型号设备的日处理污水量； (2)经测算，污水处理厂每日至少需处理污水，决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台（可单选一种型号），已知A型设备40万元/台，B型设备30万元/台，若要节约经费，则该厂应如何购买？ 【答案】(1)A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是 (2)应购买A型设备8台，B型设备2台 【分析】（1）设A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是， 根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买A型设备a台，则购买B型设备台，根据题意，列出不等式组，可求出a的取值范围，设总费用为w万元，根据题意，列出函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是， 根据题意，得， 解得：， 答：A型设备的日处理污水量是，B型设备的日处理污水量是； （2）解：设购买A型设备a台，则购买B型设备台， 根据题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为8， 设总费用为w万元，根据题意得： ， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 即要节约经费，应购买A型设备8台，B型设备2台． 94．甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天 (2)安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元 【分析】（1）首先根据甲队30天完成 的工作量，确定甲队单独完成需90天，进而得出甲的工作效率。设乙队单独完成需 天，根据“甲先做30天，甲乙再合做40天完成全部工程”的等量关系列出分式方程，解方程并检验即可得出乙队单独完成所需天数； （2）设甲队施工 天，则乙队施工 天，根据“两队工作量之和不少于1”的条件确定 的取值范围，建立总支出 关于 的一次函数关系式，利用一次函数的增减性（时随增大而增大），确定当取最小值时总支出最少，从而得出最优施工安排及最少开支． 【详解】（1）解：甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的， 因此甲队单独完成这项工程需（天），甲队单独施工1天完成总工程的． 设乙队单独完成这项工程需x天，，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天． （2）解：设甲队单独施工t天，则乙队单独施工天． 根据题意得，解得． 设总支出为y元，则． 因为，所以y随t的增大而增大， 所以时，y最小，此时，（天）． 答：安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元． 压轴29.最大利润问题 典题特征：给出商品进价、售价和销量与价格的一次函数关系，求利润最大值及对应定价。 解题思路：①根据利润公式（利润=（售价-进价）×销量），建立一次函数或二次函数模型；②结合函数增减性，在自变量取值范围内求最值；③注意变量的实际意义（如整数、非负数）；④验证结果是否符合题意。 95．某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 96．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的进价； (2)超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 (2)① ②购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y，然后根据题意列出函数关系式即可；②先根据题意列不等式求得x的取值范围，再根据一次函数的性质求最大利润即可． 【详解】（1）解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，，解得． 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元． （2）解：①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y， 得，即； ②根据题意得，，解得：， 由题意得：， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为. 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 97．某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 (1)求a，b的值． (2)“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． (3)“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 【答案】(1)的值为30，b的值为10 (2)共有6种进货方案，见解析 (3)当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大 【分析】（1）由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进快充个，则购进慢充个，根据题意列出不等式组，求出快充个数的取值范围，结合为正整数即可确定有几种进货方案； （3）设销售完这100个充电器获得的总利润为元，列出总利润与快充数量的关系式， 分情况讨论：当或或时，结合的取值范围及一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：的值为30，b的值为10； （2）解：共有6种进货方案，理由如下： 设购进快充个，则购进慢充个， 由题意得：， 解得：， 由于为整数， 则的取值可以为：75、76、77、78、79、80， 因此，共有6种进货方案； （3）解：设销售完这100个充电器获得的总利润为元， 根据题意得：， 分以下三种情况讨论： 由（2）知，， ①当，即时， 此时随的增大而增大， 则当时，最大，此时； ②当，即时，不随的变化而变化，此时的值为500； ③当，即时，随的增大而减小， 则当时，最大，此时； 综上所述，当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组、一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 压轴30.行程问题 典题特征：以相遇、追及、往返等行程为背景，用一次函数图象表示路程与时间的关系，求速度、时间或相遇点坐标。 解题思路：①分析图象的横、纵坐标含义，确定关键点（起点、终点、交点）的意义；②根据图象斜率求速度，利用路程=速度×时间计算；③结合函数解析式，求解相遇时间或路程；④注意分段函数的不同阶段，避免混淆变量。 98．某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 【答案】(1) (2)两个机器人还应继续向前走． 【分析】（1）设函数解析式为：，根据待定系数法，即可； （2）由表格可得，走了的距离为，要使它们的距离再增加，得到两个机器人的距离，求出总的时间，用总时间减去，即可． 【详解】（1）解：设两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式为： 把，；，代入， ∴， 解得：， ∴函数表达式为：． （2）解：由表格可得，当时，两个机器人的距离为：，要使它们的距离再增加， ∴两个机器人的距离为：； ∴当时，， 解得：， ∴还应继续向前走：． 答：两个机器人还应继续向前走． 99．4月19日，2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松举行，上演了一场“人机大战”，如图1，102支赛队和万名跑者同场参赛，全程为21公里，小明和机器人“逍遥”一起参赛，因赛前临时检修，机器人“逍遥”比小明晚出发了小时，追上小明后休息了一段时间，继续以相同的速度跑步，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图2所示． (1)分别求出机器人“逍遥”和小明跑步的速度． (2)求图2中线段所在直线的函数表达式． (3)当机器人“逍遥”第二次追上小明时，他们距离终点的路程是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）结合函数图象先求出小明的速度，据此得到机器人的跑步时间，根据速度路程时间求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小明的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小明的速度：， 机器人“逍遥”的速度：，， ； （2）解：，， 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得， ； （3）解：设小明的函数解析式为， 把点代入，得， ， 联立得， 解得，， 离终点的路程为． 100．甲、乙两车分别沿着同一条笔直的公路，从相距的、两地同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少并安全到达终点．甲、乙两车距地的路程（单位：）与两车行驶时间（单位：）的图象如图所示． (1)求乙车的行驶速度； (2)求甲车在交通管制前关于的函数表达式； (3)求甲、乙两车之间的距离不大于时的取值范围． 【答案】(1)乙车的速度是 (2)求甲车在交通管制前关于的函数表达式为 (3) 【分析】（1）根据速度公式，结合图象进行求解即可； （2）设刚出发时甲车的速度是，则再出发时速度为，根据总路程列出方程，求出a的值，再用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出乙车离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，再求出甲车再次出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为，然后求出甲、乙两车之间的距离为时x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 乙车的速度是； （2）解：设刚出发时甲车的速度是，则再出发时速度为，根据题意得： ， 解得：， ∴交通管制前甲车的速度为， ∴交通管制前行驶的路程为， 设甲行驶时的位置为点M， ∴M点的坐标为， 设甲车在交通管制前关于的函数表达式为，把代入得： ， 解得：， 甲车在交通管制前关于的函数表达式为； （3）解：设乙车离开地的路程与行驶时间的函数关系式为，把，代入得： ， ∴乙车离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，此时， 甲车刚出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，此时， 设甲车再次出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴甲车再次出发时离开地的路程与行驶时间的函数关系式为， ， 解得或（舍去）， ， 解得， 甲、乙两车之间的距离不大于时的取值范围是． 压轴31.梯度计价问题 典题特征：以水费、电费、话费等分段计费为背景，建立一次函数模型，求费用与用量的关系。 解题思路：①根据不同用量区间，写出分段的一次函数解析式；②根据给定用量，判断所属区间，代入对应解析式计算费用；③结合函数图象，理解不同区间的单价差异；④验证计算结果是否符合梯度计价规则。 101．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 102．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． 103．2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 【答案】(1)；当时，，当时， (2)当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 当时，， 当时， ， 当，即时，，即当充电度数度时，选择甲充电站更划算； 当，即时，，即当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可； 当，即时，，当充电度数度时，选择乙充电站更划算； 综上可知，当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：甲充电站的充电费用； 当时，， 当时，； （2）略 压轴32.一次函数与几何综合 典题特征：一次函数图象与三角形、四边形、圆等几何图形结合，求点坐标、线段长度、面积或角度。 解题思路：①根据一次函数解析式，求出关键交点坐标；②利用几何性质（全等、相似、勾股定理）建立等量关系；③设动点坐标，用函数解析式表示，列方程求解；④注意图形的多种可能情况，分类讨论。 104．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平移的性质可知平移后点的纵坐标不变，将其代入直线解析式求出横坐标，进而求出平移距离． 【详解】如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， ，解得， 直线的解析式为， 设平移后点的对应点为，则点的纵坐标为， 将向左平移，使点落在直线上， 当时，，解得， 平移的距离为． 105．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】求解直线过点，分情况求解：当直线过点时， 当直线过点时，再进一步结合图形求解即可. 【详解】解：∵正方形的边长为3，顶点C的坐标为， ∴，，， ∵， ∴直线过点， 如图， 当直线过点时，则， 解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则， 解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是． 106．如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，再设直线的解析式为，然后代入点坐标求解即可； （2）先求出，则，设，由轴，得，则，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，把代入，得 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把 代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线中，令，得， ∴， ∴， 设，由轴，得， ∴ ∵ ∴ 解得或（舍） ∴． 107．直线经过和与直线：交于点P，直线，与x轴，，分别交于点A，B，C． (1)求直线解析式； (2)将直线向上平移4个单位得直线，直接写出直线的解析式； (3)①若点B，C关于点A对称，求n值； ②若直线与直线，不能围成三角形，直接写出n值． 【答案】(1)直线解析式为； (2)直线的解析式为； (3)①；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）①求得，，根据题意得，据此计算即可求解； ②由题意知直线经过交点，联立求得点的坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：将直线：向上平移4个单位得直线， 则直线的解析式为； （3）解：①由题意得，， ∵点，关于点对称， ∴， 解得； ②∵直线与直线，不能围成三角形， ∴直线经过交点， 联立得， 解得， ∴当时，直线与直线，不能围成三角形． 压轴33.一次函数动点问题. 典题特征：点在一次函数图象或坐标轴上运动，结合线段、三角形、四边形的性质，求特定条件下的坐标或时间。 解题思路：①用含参数的代数式表示动点坐标；②根据题意列出线段长度、面积或角度的关系式；③解方程求出参数，再回代求动点坐标；④验证动点位置是否在线段/图象上，排除无效解。 108．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)当时，，当时， (2)图象见解析；性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； (3)或 【分析】（1）先求出，再直接利用三角形面积公式即可求解； （2）直接画出图象并观察图象特征即可求解； （3）直接观察图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴ 当时，， 当时，， （2）解：图象如图所示： 性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； （3）由图象可知， 当时，或， 解得：或， 当时，自变量x的取值范围是或． 109．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点，点D为x轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)若点D坐标，过点D作直线轴，分别交，于点M，N，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）先求出点C的坐标，点M和点N的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点，与y轴交于点， ，解得， 直线的表达式为； （2）解：直线过点， ， ， ． 点D坐标， 过点D作直线轴，分别交，于点M，N， 当时，，则， 当时，，则， ， ． 110．在四边形中，点 ，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图1，已知：，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设 ，当时，求的值． (2)如图2，若，，点，，，的速度都是1，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且  ② (2)的所有可能取值是， ，，，为整数且 ． 【分析】（1）①，点，的速度都是，点，的速度都是，分别求出点，回到初始位置的周期和，回到初始位置的周期，再计算出它们的最小公倍数即可； ②利用周期性，求出时，，的长度即可求解； （2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关，可求得为一个周期，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在一个周期内有4次，即有4个交点，分别求出对应的时间即可求解． 【详解】（1）解：①∵，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为，又和的最小公倍数为， ∴点，，，恰好同时回到初始位置的时间，整数，且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， ∴ ． （2）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， ，，点，，，的速度都是1，与的最小公倍数为， 当，为整数，且， 点，，，恰好同时达到四边形的顶点处， ∴为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴， 在同一直角坐标系中画出图象，由图可得，在一个周期内有4次，即有4个交点，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得 ， 由，，解得 再由对称性，得 ，， ∴的所有可能取值是， ，，，为整数，且；． 111．如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将直线的解析式整理为：，即可得定点的坐标为； （2）①当时，，求出，，则，将代入直线求出，则，，表示出​，，根据，列方程求解即可； ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L，再证出，得到直线的解析式为，将代入，得，可得出； 【详解】（1）解：将直线的解析式整理为：， 无论取何值，当，即时，，与无关， 因此定点的坐标为． （2）解：①当时，， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∵是中点， ∴， 将代入直线得，解得：， 即， ∵，轴， ∴，， ∴​，， ∵， ∴​，化简得， 当时，， 当时，​， 因此的值为或． ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，得，解得：， ∴点的坐标为． 压轴34.分类讨论综合题 典题特征：结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形等图形的存在性，或点的位置不确定，需分多种情况讨论的综合题。 解题思路：①按不确定因素分类（如直角顶点、等腰顶点、点的位置）；②每种情况分别设未知数，用一次函数表示点坐标；③根据几何性质列方程求解；④汇总所有解，排除不符合题意的情况，确保不重不漏。 112．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在第一象限内且落在一次函数的图象上，轴于点．动点在轴上运动，连接，．当为等腰直角三角形时，的长为_____． 【答案】4或或3 【分析】先求出点坐标，再分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 设， ∵轴， ∴， 当为等腰直角三角形时，分3种情况： ①时，则轴，， ∴，，解得， ∴， ∴， ∴； ②当时，则与点重合，，解得， ∴； ③当时，则，即点在的中垂线上，， 设的中点为，则，即， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为4或或3. 113．如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 1.14．如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点P在y轴上，并且，求P点坐标； (3)如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)P点坐标为或； (3)能，． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）设P点坐标为，求得，根据题意得到，据此求解即可； （3）过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； （2）解：设P点坐标为， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或； （3）解：能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则点， ∵， ∴， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴． 115．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． (1)求直线的表达式； (2)若为轴上的一点，且的纵坐标小于，当的面积为时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于点E，证明得到，，可得，设（），运用待定系数法求出直线解析式为，过点D作轴，交于点H，则，，根据列出方程，求解即可； （3）分三种情况求解：①是对角线；②是对角线；③是对角线． 【详解】（1）解：设直线l的表达式为， ∵直线l过点，， ∴，解得， ∴直线l的表达式为． （2）解：过点D作轴于点E，则， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵为轴上的一点，且的纵坐标小于， ∴设（）， 设过点，的直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为． 过点D作轴，交于点H，则， ∴， ∵，即， 解得， ∴点M的坐标为． （3）解：∵，， ∴， ∵点P在直线上， 设， ①若是对角线，则，如图 ∵，， ∴，解得， 当时，， ∴， ∵在菱形中，，， ∴由平移可得． 当时，， ∴， ∵在菱形中，，， ∴由平移可得． ②若是对角线，则，垂直平分，如图 ∵，， ∴点P的纵坐标为， 把代入直线，得，解得， ∴， ∵菱形关于y轴对称， ∴． ③若是对角线，则，如图 ∵，， ∴， 整理，得，解得或（不合题意，舍去） 当时，， ∴， ∵在菱形中，，， ∴由平移可得． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $