考点06 空间几何体的表面积与体积 能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何体表面积与体积的动态计算、组合体及外接/内切球问题，以题载法培养空间观念与推理能力，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动态几何体|1题|动点体积最值|直三棱柱性质→体积公式→函数求最值| |旋转体|2题|旋转形成几何体的表面积与体积|平面图形旋转→圆锥/圆柱构成→公式应用| |组合体|2题|圆台与圆柱、圆柱与球的容积|组合体结构分析→体积公式叠加| |外接/内切球|4题|外接球体积最小化、内切球半径|几何体外接球模型→球性质→方程求解| |棱台与棱柱|3题|正三棱台体积侧面积、直四棱柱表面积|棱台/棱柱结构→表面积体积公式→实际建模|

考点06 空间几何体的表面积与体积·能力提升 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，上的动点（不包括端点），若，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】由题意可得为三棱锥的高，设，，由 表示出锥体的体积，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】在直三棱柱中，平面， 故为三棱锥的高， 设，，则， 由，得，故， 则， 故， 故当时，三棱锥的体积有最大值． 故选：D． 2. 已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】求旋转体的体积 【分析】根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：. 因为， 所以，所以. 3．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、圆锥表面积的有关计算、求组合旋转体的表面积 【分析】根据题意，得到该几何体，再根据圆柱和圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 4．某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】首先作出轴截面后，利用条件求出圆台与圆柱的各个长度，即可求出两个几何体的体积. 【详解】作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，其中， 分别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以． 因为上底的直径是下底直径的倍， 所以， 解得．又圆柱的高是圆台高的倍，所以． 设圆台上底半径为，下底半径为，则，， 所以圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以该模型的容积为． 5. 已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用正四棱台的外接球球心必在上、下底面中心的连线上，由上、下底面边长确定，先分析正四棱台的外接球半径最小值就是下底面外接圆半径，从而可求棱台的高和侧面积. 【详解】因为正四棱台上下底均为正方形， 由上､下底面积分别为3，12，可得上､下底面正方形的边分别为， 上､下底面正方形的外接圆半径分别为和， 因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径， 所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心. 则棱台的高， 再由勾股定理计算可得：， 所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：， 即一个侧面的梯形面积为， 则该四棱台的侧面积为. 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.64 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 二、多选题 7．在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据棱台体积公式求解判断A，求出侧面梯形的高即可求解侧面积判断B，根据三角形相似求解等边三角形DEF的边长判断C，根据棱台体积公式求解判断D. 【详解】由题意等边三角形的面积为， 等边三角形的面积为，又正三棱台形容器的高为2，所以正三棱台形容器的体积为， 故A正确； 设的中点为，的中点为，三角形的中心为O， 三角形的中心为，则为侧面梯形的高，如图： 在截面中，，又，， 所以， 所以正三棱台形容器的侧面积为，故B错误； 设等边三角形DEF的边长为，由∽，所以，解得， 即，故C正确； 等边三角形DEF的面积为，正三棱台的高为， 所以水的体积为，故D错误. 故选：AC 8．若高为，底面半径为2的圆锥内切一个球，以下说法正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．内切球的半径为 C．以平行于圆锥底面的平面截圆锥形成圆台，若该圆台与原圆锥共内切球，则其母线长为3 D．圆锥侧面上的切点形成的轨迹长度为 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由侧面积公式即可判断A，由圆锥内切球半径等于轴截面内切圆半径即可判断B，由等腰梯形内切圆条件：上下底之和等于两腰之和，可判断C，由圆锥侧面切点形成的轨迹为圆，通过相似比求得半径即可判断D. 【详解】A：圆锥母线长，侧面积为，故A正确； B：圆锥轴截面为等腰三角形底4，高，腰，其内切圆半径为三角形面积，C为周长. 三角形面积，周长， 故内切圆半径，圆锥内切球半径等于轴截面内切圆半径，故B正确； C：圆台与原圆锥共内切球，故圆台轴截面等腰梯形有内切圆半径 等腰梯形内切圆条件：上下底之和等于两腰之和. 设截得的小圆锥母线长为L，则圆台母线长为 由相似比，小圆锥底面半径，圆台上底为，下底为4， 根据内切圆条件：，解得，故圆台母线长为，C正确; D：圆锥侧面切点形成的轨迹为圆球与圆锥侧面的交线.    圆锥轴截面半顶角满足，球心到顶点距离 切点到顶点距离 设圆锥侧面切点形成的轨迹的圆圆心为， 由相似比，则,轨迹圆半径， 周长为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 9．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用割补法及长方体的体对角线为外接球的直径，结合二次函数的性质及球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图所示， 其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点， 要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故答案为：. 10．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面半径为1，母线长为2，在圆柱内放了一个半径为1的实心球，现在再往圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的个半径同样大小的小球，则的最大值为______．（参考数据：） 【答案】30 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】分别对垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切球的性质得出，进而得解． 【详解】由题意，得，， 所以圆柱内空余部分的体积为． 垂直于底面的轴截面如图1所示， 设小球的半径为，，，． 在中，，． 因为，所以，解得． 过小球的球心且平行于底面的截面如图2所示， 由题可知，， 设，所以，即， 所以下方空余位置可以放（个）． 因为为整数，所以．所以整个空余空间最多可以放（个）， 故答案为：． 四、解答题 11．如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． (1)求旋转体的体积与表面积； (2)求图中所示圆锥的内切球体积． 【答案】(1)旋转体的体积为，旋转体的表面积为 (2) 【难度】0.56 【知识点】球的体积的有关计算、求组合旋转体的表面积、多面体与球体内切外接问题、求旋转体的体积 【分析】（1）先分析该旋转体的组成部分，再利用圆柱与圆锥的体积公式求旋转体的体积，以及该旋转体的表面积公式计算即可； （2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，设球切于点，连接，求出内切球半径代入球体积公式计算即可. 【详解】（1）由图可知，该旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得：， ，所以， 因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积， 因为旋转体的表面积， 所以. （2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接，如图所示： 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球的体积为：. 12．如图1为操场的足球门，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，为的中点，在上且. (1)求证：四点共面； (2)求直四棱柱的表面积； (3)求三棱锥外接球的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)76 (3) 【难度】0.62 【知识点】棱柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）证明即可得到四点共面； （2）先用勾股定理求出的长度，再求表面积即可； （3）将三棱锥补成一个长方体后，三棱锥外接球恰好是长方体的外接球. 【详解】（1）， 又，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以，所以四点共面. （2）过作的垂线交于，，， 直四棱柱的表面积由六个面构成， （3） 由题可知将三棱锥补为长方体，此时三棱锥外接球恰好是长方体的外接球， 于是三棱锥外接球的半径等于长方体的外接球的半径， 设半径为，则，解得， 所以外接球体积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点06 空间几何体的表面积与体积·能力提升 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，上的动点（不包括端点），若，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2. 已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 3．在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 5. 已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 8．若高为，底面半径为2的圆锥内切一个球，以下说法正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．内切球的半径为 C．以平行于圆锥底面的平面截圆锥形成圆台，若该圆台与原圆锥共内切球，则其母线长为3 D．圆锥侧面上的切点形成的轨迹长度为 三、填空题 9．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 10．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面半径为1，母线长为2，在圆柱内放了一个半径为1的实心球，现在再往圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的个半径同样大小的小球，则的最大值为______．（参考数据：） 四、解答题 11．如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． (1)求旋转体的体积与表面积； (2)求图中所示圆锥的内切球体积． 12．如图1为操场的足球门，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，为的中点，在上且. (1)求证：四点共面； (2)求直四棱柱的表面积； (3)求三棱锥外接球的体积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $