期末押题卷02-2025-2026学年高一下学期数学期末重点题型归纳及过关检测（苏教版）

**基本信息** 高一数学必修二期末押题卷，通过选择、填空、解答题分层考查复数、立体几何等知识，以搜索指数图表分析、向量变换新定义等情境，培养数据意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数虚部、圆锥体积、三角函数定义、向量投影、概率独立事件|第7题搜索指数图表分析方差与平均值，体现数据意识| |填空题|3题15分|随机数法、函数值域、二面角距离|第14题二面角距离计算，考查空间观念| |解答题|5题77分|解三角形、复数与向量、频率分布直方图、立体几何证明与二面角、向量变换与函数零点|第19题“θ变换”新定义结合向量旋转与函数零点，考查创新应用；第17题频率分布直方图分析，培养数据分析能力|

2025-2026学年下学期期末考试押题卷02 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．化简 (     ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 2．已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 的虚部是 故选：C 3．若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为，母线长为， 因为圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形， 所以，所以， 圆锥的高， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【解析】由题意，所以， 所以. 故选：C. 5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 6．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2024年9月到2025年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图. 根据该走势图，下列结论正确的是（    ） A．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度呈周期性变化 B．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度不断减弱 C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年10月份的方差小于2024年11月份的方差 D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年12月份的平均值大于2025年1月份的平均值 【答案】D 【解析】观察走势图可知A，B错误；从走势来看，2024年10月份网民对该关键词的搜索指数的方差大于2024年11月份网民对该关键词的搜索指数的方差，C错误；从走势图来看，2024年12月份网民对该关键词的搜索指数的平均数大于2025年1月份网民对该关键词的搜索指数的平均数，D正确. 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（    ） A．向量方向上的单位向量为 B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．当时， 【答案】BC 【解析】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC 10．已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若事件与事件互斥，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．若事件发生时事件一定发生，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ABD 【解析】对于A，事件与事件互斥，，故A正确； 对于B，事件与事件相互独立，， ，故B正确； 对于C，若事件发生时事件一定发生，则，故C错误； 对于D，因则事件与事件相互独立， 故事件与事件相互独立，故D正确. 故选:ABD. 11．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【解析】在圆内接四边形中，连接，，， 对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______. 630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238 844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206 【答案】19 【解析】从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取， 抽出的前5名同学的号码是，所以第5名同学的号码是19. 故答案为：19. 13．函数的值域是__________． 【答案】 【解析】利用诱导公式 ，二倍角公式 ， 代入原函数得： 换元转化为二次函数： 令 ， 由余弦函数性质得 ，函数转化为：， 该二次函数开口向上，对称轴为 ​， 因此二次函数在 上单调递减， 当 时，取最小值 ， 当 时，取最大值 ， 因此 的值域为. 14．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________． 【答案】/ 【解析】令于，于，平面，则， 由，得， 又是平面内的两条相交直线，则平面， 又平面，于是， 是二面角的平面角，， 则，在中，由余弦定理得， 而到的距离是四边形外接圆直径， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，三个内角的对边分别为. (1)若，求； (2)若边上的高，求的周长. 【解析】（1）由余弦定理 得， 联立，解得（舍）或， 由正弦定理得，得 解得. （2）由题得的面积， . 由余弦定理得， ， ， 的周长为. 16．（15分） 已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 17．（15分） 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【解析】（1）； （2）；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)若与所成角的余弦值为，求的值． 【解析】（1）略. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 所以二面角的正弦值为． （3）因为平面，平面，平面平面，所以，故与所成角等于与所成角． 由（2）知，所以． 由题意得，则． ①如图，当在线段上时， 因为，， 所以 ． 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，故． ②如图，当在线段的延长线上时， 因为，， 由图知， 则， 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，． 综上得，或． 19．（17分） 平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量. (1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标. (2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值. (3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围. 【解析】（1）由题意可知， 逆时针旋转角后得， ， ， 故. 由变换可知 ， ， 所以点的坐标为. （2）连续对作次变换，等价于将向量逆时针旋转角. 由，得，， 即，， 当时，， 因为，所以时. （3）由可知， ， 所以， 得. 由，得， 因为在上有且仅有两个不同的根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末考试押题卷02 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．化简 (     ) A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C．7 D． 5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2024年9月到2025年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图. 根据该走势图，下列结论正确的是（    ） A．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度呈周期性变化 B．这半年中，网民对该关键词相关信息的关注度不断减弱 C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年10月份的方差小于2024年11月份的方差 D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2024年12月份的平均值大于2025年1月份的平均值 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（    ） A．向量方向上的单位向量为 B．当时，向量在向量上的投影向量为 C．当与的夹角为锐角时， D．当时， 10．已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若事件与事件互斥，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．若事件发生时事件一定发生，则 D．若，则事件与事件相互独立 11．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______. 630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238 844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206 13．函数的值域是__________． 14．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，三个内角的对边分别为. (1)若，求； (2)若边上的高，求的周长. 16．（15分） 已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17．（15分） 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)若与所成角的余弦值为，求的值． 19．（17分） 平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量. (1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标. (2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值. (3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围. 第4页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $