精品解析：2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题

九年级学科素养评价（数学） 注意事项： 1．答题前，考生务必将考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利200元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【详解】解：若盈利200元记作元，则亏损100元应记作元． 2. 2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：．则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，统计各数值出现的次数即可求解； 【详解】解：∵出现的次数最多（3次）， ∴众数为， 故选：B 3. 预计到2026年，中国用户数量将超过．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值，判断即可． 【详解】根据科学记数法的要求，需满足， ， ． 4. 如图是由一个长方体底座和一个三棱柱屋顶组成的“迷你屋”模型，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由几何体的特征可知，其左视图的屋顶部分为三角形，底座部分为矩形，只有选项D符合． 5. 已知点在一次函数的图像上，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入一次函数并求解即可． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得． 6. 如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 点动成线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，其中的数学原理是两点确定一条直线． 7. 将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数图象的平移规律为“上加下减，左加右减”，向下平移只需要对原解析式的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为． 8. 运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，对各项进行逐项运算即可作出判断． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意． 故选：C． 9. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意； C、时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法正确，符合题意； D、溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法错误，不符合题意． 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为a，b， ，， 则原式， 故选：C． 11. 某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前3天完成任务”的等量关系列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 根据题意得，． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点，作轴于点，容易证明四边形是矩形，则，，，结合题干可证明，则，，因此四边形是正方形．利用正方形的性质和、的值可计算出，则点，代入求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， 又∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若，则的余角_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据余角的定义，互余的两个角的和为， 可得的余角为：． 15. 为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：依题意，把“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题分别记为，，， 列表如下： D D 共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种， 这两个班选择同一主题的概率是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 由①②得，解得， 将代入①得，解得， 原方程组的解为． 18. 某校为增强学生体质，拟组织篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳、足球五个训练项目，要求每个学生都选择其中一项．为更合理安排项目训练，学校进行了随机抽样调查，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：请根据以上图表信息解答下列问题： 某校五个训练项目抽样的学生数的频数表 运动项目 频数 频率 篮球 羽毛球 乒乓球 跳绳 足球 （1）频数分布表中的 ， ． （2）在扇形统计图中，求“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数． （3）若全校共有人，请估计全校学生选择羽毛球的人数． 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】此题考查了频率分布直方图，频率频数总数，概率公式，读懂统计表，灵活运用统计知识是解决问题的关键． （1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占的百分比，求出的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出的值； （2）由于已知喜欢乒乓球的百分比，故可用的值，即可求出对应的扇形圆心角的度数；用总人数乘以最喜爱篮球的学生人数所占的百分比即可得出答案； （3）用1500乘以羽毛球所占的频率，列式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人 （人 故频数分布表中的，； 故答案为：24，； 【小问2详解】 ． 故在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人， 答：全校学生选择羽毛球的人数为300人． 19. 如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． （1）作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】（1） 解：如图射线即为所求； （2） 证明： ，为边上的高， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查用直尺和圆规作角的平分线，三角形全等的判定和性质以及垂直的判定； （1）按用直尺和圆规作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，结合对顶角证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知训练场球筐中有A、B两种品牌的排球共个，设A品牌排球有个． （1）小磊说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”小伟根据他的说法列出了方程：．请用小伟所列方程分析小磊的说法是否正确； （2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个． 【答案】（1） 不正确，理由如下： 解得， ∵x表示排球的个数，必须为正整数，而不是正整数， ∴小磊的说法不正确 ； （2） A品牌球最多有个． 【解析】 【分析】（1）先解该一元一次方程，再根据方程的解不是正整数说理即可； （2）根据题意可得B品牌球有个，然后根据B品牌球比A品牌球至少多个，建立不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设A品牌排球有个，B品牌球有个， 根据题意，得， 解得 答：A品牌球最多有个． 21. 如图，点是的内心（内切圆的圆心），连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接 （1）设，则________；（用含的式子表示） （2）求证： （3）若，，求的长 【答案】（1） （2）证明：连接， 点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 根据圆周角定理，得， ， ， ， ； ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，，，根据，列式解答即可． 【小问1详解】 解：点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 根据圆周角定理，得， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ，， 根据题意，得，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 22. 某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 （1）若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” （2）当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： （3）在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 【答案】（1）； （2）小组成员的结论成立．理由如下： ， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值为； ②当时，在顶点处取得最小值， ∴当时，取得最小值为； ③当时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为， ∴当或时，函数的最小值在端点处取得，而不是顶点处， ∴小组成员的结论成立． （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）先根据二次函数的图象与性质确定开口方向和对称轴，再分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性计算函数的最小值即可； （3）结合（2）的结论容易计算出，将代入，求出与，进而求出线段的长度． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，的最小值为， ∵，与题干的最小值为矛盾， ∴， 又∵， ∴， 由（2）可知，此时的最小值为， ∴， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的方向向终点运动，连接（点不与点A、重合），点运动的时间为（秒）． （1）点到的距离为________； （2）点在上运动时，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； （3）点在运动的过程中，以为斜边向的右侧作等腰直角三角形．若边与的边所成的角被的直角边平分时，求与重叠部分图形的面积． 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，利用特殊角的三角函数求解即可； （2）过点B作于点N，取的中点M，则，过点M作于点M，交于点E，则是线段的垂直平分线，根据平行四边形的性质，矩形的判定和性质求解即可； （3）设的交点为G，过点G作于点H，并设，则，当时，设的交点为P，过点P作于点Q，并设，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点H， ，， ； 【小问2详解】 解：过点B作于点N， ，，， ，； 取的中点M，则， 过点M作于点M，交于点E， 则是线段的垂直平分线， 故， 故是以为底的等腰三角形， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ； 【小问3详解】 解：解：过点B作于点H，连接， ，， ；， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 当与重合时，则， 故， ，符合题意； 设的交点为G，过点G作于点H，并设， 则， ，， ， 根据题意，得， ， 解得， 故重叠部分的面积为：； 当时，则， 故， ，符合题意； 设的交点为P，过点P作于点Q，并设， 则， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 根据题意，得， ， 解得， 故重叠部分的面积为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学科素养评价（数学） 注意事项： 1．答题前，考生务必将考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利200元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：．则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 3. 预计到2026年，中国用户数量将超过．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由一个长方体底座和一个三棱柱屋顶组成的“迷你屋”模型，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在一次函数的图像上，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 点动成线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7. 将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 9. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 10. 已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 11. 某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 分解因式：____________． 14. 若，则的余角_____． 15. 为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 16. 如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 三、解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2）解方程组： 18. 某校为增强学生体质，拟组织篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳、足球五个训练项目，要求每个学生都选择其中一项．为更合理安排项目训练，学校进行了随机抽样调查，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：请根据以上图表信息解答下列问题： 某校五个训练项目抽样的学生数的频数表 运动项目 频数 频率 篮球 羽毛球 乒乓球 跳绳 足球 （1）频数分布表中的 ， ． （2）在扇形统计图中，求“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数． （3）若全校共有人，请估计全校学生选择羽毛球的人数． 19. 如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． （1）作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，，求证：． 20. 已知训练场球筐中有A、B两种品牌的排球共个，设A品牌排球有个． （1）小磊说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”小伟根据他的说法列出了方程：．请用小伟所列方程分析小磊的说法是否正确； （2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个． 21. 如图，点是的内心（内切圆的圆心），连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接 （1）设，则________；（用含的式子表示） （2）求证： （3）若，，求的长 22. 某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 （1）若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” （2）当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： （3）在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的方向向终点运动，连接（点不与点A、重合），点运动的时间为（秒）． （1）点到的距离为________； （2）点在上运动时，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； （3）点在运动的过程中，以为斜边向的右侧作等腰直角三角形．若边与的边所成的角被的直角边平分时，求与重叠部分图形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $