精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区通辽第五中学二模数学试题

2025−2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若在粮谷计算中，增加斗记作斗，那么减少斗应记作（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，已知增加记为正，根据相反意义即可推出减少的记法． 【详解】解：∵题目规定增加斗记作斗，即增加用正数表示， ∴与增加意义相反的减少，应用负数表示， ∴减少斗应记作斗． 2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义和三视图画法可以得出答案． 【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱， ∴根据俯视图的画法，从上往下看，看到的是一个长方形． 3. 为切实做好国庆、中秋假期公众出行的服务保障工作，内蒙古交通集团以“最高”标准、“最暖”服务为社会公众营造“畅、安、舒、美”的出行环境．年月日至年月日，交通集团累计减免七座以下小客车万台次，通行费亿元，较上年同期多减免亿元，增幅．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿， 亿． 4. （跨学科试题）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是（ ） A. 4 B. 4.25 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设火焰倒立的像的高度为， 则， 解得：， 即火焰倒立的像的高度是， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 5. 若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 ； 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 因此等腰三角形的周长为或． 6. 如图，在中，为的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由角平分线的意义、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，由三角形内角和即可求得，从而求得的度数． 【详解】解：设， ∵为的平分线， ∴，， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 7. 直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用x轴上点的纵坐标为0的性质求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征计算得到结果． 【详解】解：∵ 点A是直线与轴的交点，轴上点的纵坐标为 ∴令，代入得， 解得 ∴点A的坐标为 ∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数 ∴点A关于轴的对称点坐标为． 8. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点及对称轴可确定a、c、b的符号，进而可判断①与②；由抛物线的对称轴可确定函数的最小值与时函数值的关系，可判断③；由a与b的关系，可判断④． 【详解】解：由图象知，抛物线的开口向上，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，则，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，即，即，故②错误； 抛物线的对称轴为直线，且开口向上，即当时，二次函数取得最小值，而当时函数值为， 所以，故③正确； 由，故④错误； 所以正确的只有1个． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 某种商品的原价每件元，第一次降价打“七折”，第二次降价又减10元，则两次降价后的售价为_____元．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意列出代数式即可． 【详解】解：第一次降价打七折，售价为元；第二次降价减10元，售价为元． 故答案为：． 10. 正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】把海水晒盐、酒精消毒、粉刷墙壁及灯泡发光四张卡片分别记为A、B、C、D，利用列表法即可求解． 【详解】解：把海水晒盐、酒精消毒、粉刷墙壁及灯泡发光四张卡片分别记为A、B、C、D，列表如下： A B C D A B C D 抽到两张卡片正面恰好是化学变化的概率是． 11. 如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走了30米，到达处，测得，则树高为_____米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到米，由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴米， 又∵，， 米． 故答案为：15． 12. 如图，已知，点在上，点在上，于点，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在的外部作射线，使，过点P作于点，交于点，过点作于点，连接，先根据角平分线的性质定理得到，则，那么为的最小值，再解直角三角形即可． 【详解】解：如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于点，过点作于点，连接 ∵ ∴ ∴ ∴此时为的最小值，当点重合，点重合时，取得最小值， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2026 （2）x 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 为进一步加强和改进新时代学校体育工作，促进学生身心健康全面发展，内蒙古自治区教育厅印发了促进中小学生体质强健的“双十条”措施．某校为了解学生假期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生假期每天在家锻炼的时间（用表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成如下频数分布直方图． 学生每天在家锻炼时间频率分布表 时间（分钟） 频率 合计 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 （1）________； （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （3）该校共有名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生假期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生人数． 【答案】（1） （2） （3）估计该校学生假期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生有人 【解析】 【分析】（1）用减去已有的频率可求出的值即可； （2）将的频数除以其频率，得到被调查的人数，再将该人数乘以的频率，求出其频数，即可补全频数分布直方图； （3）将全校人数乘以在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生的频率，即可解答． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：被调查的人数为（人）， 锻炼时间的人数为（人）． 补全的频数分布直方图略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校学生假期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生有人． 15. 某家居商场销售A、B两种型号的吊灯，A种型号吊灯每个进价为200元，B种型号吊灯每个进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3个 6个 1800元 第二天 5个 8个 2640元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A、B两种型号吊灯的销售单价； （2）若商场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的吊灯共30个，求A种型号的吊灯最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，商场销售完这30个吊灯能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出所有相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A种型号吊灯的销售单价为元，B种型号吊灯的销售单价为元 （2）A种型号的吊灯最多能采购个 （3）能实现．共有三种采购方案，方案：采购A种型号吊灯个，B种型号吊灯个；方案：采购A种型号吊灯个，B种型号吊灯个；方案：采购A种型号吊灯个，B种型号吊灯个 【解析】 【分析】（1）设A种型号吊灯的销售单价为元，B种型号吊灯的销售单价为元，根据第一天和第二天的销售收入列出方程组，求解即可； （2）设采购A种型号吊灯个，则采购B种型号吊灯个，根据“用不多于5400元的金额再采购这两种型号的吊灯”列出不等式，求解即可； （3）根据“商场销售完这30个吊灯实现利润不少于1060元的目标”列出不等式，求出整数解即可解答． 【小问1详解】 解：设A种型号吊灯的销售单价为元，B种型号吊灯的销售单价为元， 依题意，得， 解得． 答：A种型号吊灯的销售单价为元，B种型号吊灯的销售单价为元． 【小问2详解】 解：设采购A种型号吊灯个，则采购B种型号吊灯个， 依题意，得， 解得． 答：A种型号的吊灯最多能采购个． 【小问3详解】 解：能实现．理由如下∶ 依题意，得， 解得． 又， ． 为整数， ，，． 共有三种采购方案， 方案：采购A种型号吊灯个，B种型号吊灯个； 方案：采购A种型号吊灯个，B种型号吊灯个； 方案：采购A种型号吊灯个，B种型号吊灯个． 16. 如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． （1）如图，若是的直径，求证：； （2）如图，若不是的直径． ①求证：； ②若，，，则的半径为________． 【答案】（1）证明：连接，， ，， ∴，即． ，， ． 在和中， ， ， ． （2）①证明：如图，过点分别作于点，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则． ， ∴，即． ，，，，， 四边形、四边形、四边形均为矩形． ，，． ． 在和中， ， ， ， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差得到，再证明，根据全等三角形的性质得证结论； （2）①过点分别作于点，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则，，证明四边形、四边形、四边形均为矩形得到，，，得出，从而证明得到，进而可得结论； ②连接，根据垂径定理得到，设，，根据勾股定理在中得到，在中得到，从而构造出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：连接， ，， ， ， ∴，． 由（2）①，知， 设，，则， ， ∵在中，，即， 在中，，即， ∴，解得， ， 即的半径为． 17. 如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】（1） （2）这三条撑杆长度和的最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，顶点， ∵，， ∴， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 18. 完成下列题目 （1）【问题情境】如图，小安把三角板放置到矩形中，使得顶点，，分别落在，，上，则线段与有什么数量关系？请直接写出结论：________； （2）【变式探究】如图，小安把三角板放置到矩形中，使得顶点，，分别在，，边上，若，，求的长； （3）【拓展应用】如图，小安把三角形放到平行四边形中，使得的顶点，，分别落在，，上．若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到线段与的数量关系； （2）过点作于点，证明，则可求得，再证明四边形是矩形，即可求解； （3）延长到点，连接交于点，使得；证明，得，由已知得的值，由平行四边形的性质易得，，进而得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ． ，， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， ． ， ， ， ， ， ， 又， ， ，． ， 四边形是矩形， ， ． 【小问3详解】 解：如图，延长到点，连接交于点，使得． ， ， ， ， ， ， ，， ，， ∴， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ，， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若在粮谷计算中，增加斗记作斗，那么减少斗应记作（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 为切实做好国庆、中秋假期公众出行的服务保障工作，内蒙古交通集团以“最高”标准、“最暖”服务为社会公众营造“畅、安、舒、美”的出行环境．年月日至年月日，交通集团累计减免七座以下小客车万台次，通行费亿元，较上年同期多减免亿元，增幅．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. （跨学科试题）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是（ ） A. 4 B. 4.25 C. 4.5 D. 5 5. 若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，在中，为的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 某种商品的原价每件元，第一次降价打“七折”，第二次降价又减10元，则两次降价后的售价为_____元．（用含的代数式表示） 10. 正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是________． 11. 如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走了30米，到达处，测得，则树高为_____米． 12. 如图，已知，点在上，点在上，于点，若，则的最小值为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 14. 为进一步加强和改进新时代学校体育工作，促进学生身心健康全面发展，内蒙古自治区教育厅印发了促进中小学生体质强健的“双十条”措施．某校为了解学生假期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生假期每天在家锻炼的时间（用表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成如下频数分布直方图． 学生每天在家锻炼时间频率分布表 时间（分钟） 频率 合计 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图 （1）________； （2）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （3）该校共有名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生假期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的学生人数． 15. 某家居商场销售A、B两种型号的吊灯，A种型号吊灯每个进价为200元，B种型号吊灯每个进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3个 6个 1800元 第二天 5个 8个 2640元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） （1）求A、B两种型号吊灯的销售单价； （2）若商场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的吊灯共30个，求A种型号的吊灯最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，商场销售完这30个吊灯能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出所有相应的采购方案；若不能，请说明理由． 16. 如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． （1）如图，若是的直径，求证：； （2）如图，若不是的直径． ①求证：； ②若，，，则的半径为________． 17. 如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 18. 完成下列题目 （1）【问题情境】如图，小安把三角板放置到矩形中，使得顶点，，分别落在，，上，则线段与有什么数量关系？请直接写出结论：________； （2）【变式探究】如图，小安把三角板放置到矩形中，使得顶点，，分别在，，边上，若，，求的长； （3）【拓展应用】如图，小安把三角形放到平行四边形中，使得的顶点，，分别落在，，上．若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $