第四章 二次函数 章末复习 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数章末复习，系统梳理定义、三种表达式、图象性质、与一元二次方程关系及应用等核心知识，通过结构梳理搭建学习支架，衔接一次函数与一元二次方程，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以专题形式整合中考题型，结合数形结合思想等方法，如例5通过图象判断二次函数结论培养几何直观与推理意识，应用专题中最大利润问题强化模型意识。学生能提升解题能力，教师可借助结构化资料高效教学。

章末复习 第四章 二次函数 结构必知 结构必知 1. 二次函数的表达式的几种形式：(1)y=ax2；(2)y=ax2+ bx；(3)y=ax2+c；(4)y=ax2+bx+c；(5)y=a(x-h)2；(6)y=a(x-h)2+k；(7)y=a(x-x1)(x-x2). 2. 抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=-， 顶点坐标是( -，). 核心必读 3. 抛物线y=ax2+bx+c中，当a>0 时， 图象开口向上， 在对称轴的左侧， y 随x 的增大而减小， 在对称轴的右侧， y 随x 的增大而增大， 当x=-时， y 有最小值 ； 当a<0 时， 图象开口向下， 在对称轴的左侧， y 随x 的增大而增大， 在对称轴的右侧， y 随x 的增大而减小， 当x=-时， y 有最大值. 核心必读 4. 二次函数与一元二次方程的关系 (1)抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. (2)抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的公共点情况：有两个公共点Δ>0； 有一个公共点Δ=0； 没有公共点Δ<0. 核心必读 5. 利用二次函数解决实际问题的关键是结合题意建立二次函数模型， 利用二次函数的图象和性质求解， 注意自变量的取值要符合实际意义. 核心必读 专题一 二次函数的图象 链接中考 >>二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标几个方面考查；两个二次函数图象之间的关系主要有平移、轴对称、中心对称等，考查的形式主要是选择题. 知识必学 [中考·陕西副卷]关于x 的二次函数y=x2-2mx+m2-1(m>1)的图象可能是图4-1 中的(　　) 例1 知识必学 解：当x=0 时，y=m2-1. 因为m>1，所以y=m2-1>0，函数图象与y 轴的交点应在x 轴的上边，故选项D 错误；y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1，函数图象的对称轴为直线x=m. 因为m>1，所以选项A 错误；当x=m 时，y=-1，因此选项B 错误，选项C 正确． 答案：C 知识必学 专题二 二次函数的性质 链接中考 >>二次函数的性质主要有两个：一是轴对称性，二次函数的图象关于对称轴对称；二是增减性，在对称轴的同侧具有相同的增减性. 考查时两个性质有时同时考查，一般以填空题、选择题的形式出现. 知识必学 [中考·福建] 已知点A(-2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2+bx+1 上，若3<b<4，则下列判断正确的是 ( ) A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 例2 解题秘方：先求出对称轴的范围， 再根据二次函数的增减性进行判断即可. 知识必学 解：因为y=3x2+bx+1，所以当x=0 时，y=1.所以抛物线过点(0，1). 因为3>0，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-=-. 所以抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大. 知识必学 因为3<b<4，所以-<-<-． 因为=->-，=-1<-， 所以点A(-2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于点B(1，y2)到对称轴的距离.所以1<y1<y2. 答案：A 知识必学 专题三 求二次函数的表达式 链接中考 >>二次函数的表达式是两个变量之间的表达式，所以求二次函数的表达式的方法有两种：一种是直接根据两个变量之间的等量关系列出函数表达式；另一种是用待定系数法先设出函数表达式，然后根据函数图象上点的坐标或几对对应值求出函数表达式. 考查的形式多样，填空题、选择题和解答题都有涉及. 知识必学 [中考·福建]如图4-2，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(-2，0)，C(0，-2)． 例3 知识必学 (1)求二次函数的表达式； 解：将A(-2，0)，C(0，-2)的坐标代入y=x2+bx+c， 得解得 所以二次函数的表达式为y=x2+x-2． 知识必学 (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x 轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P 的坐标． 知识必学 解：设P(m，m2+m-2)(m<-2).因为C(0，-2)， 所以OC=2． 因为△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， 所以BD·(m2+m-2)=2×BD·OC. 所以m2+m-2=4，解得m1=-3，m2=2(舍去). 所以点P的坐标为(-3，4). 知识必学 专题四 二次函数与一元二次方程的关系 链接中考 >>二次函数与一元二次方程的关系，关键就是看函数图象与x 轴的交点的横坐标，利用一元二次方程根的判别式解决问题. 知识必学 [中考·淮安] 已知二次函数y= x2-mx+m-1(m为常数). (1)若点(2，-1)在该函数图象上，则m=_______； 例4 解：将(2，-1)代入y=x2-mx+m-1， 得-1=×22-2m+m-1，解得m=2. 2 知识必学 (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点. 证明：Δ=(-m)2-4××(m-1)=m2-2m+2=(m-1)2+1. 因为(m-1)2 ≥ 0，所以(m-1)2+1>0，即Δ>0. 所以该二次函数的图象与x 轴有两个不同的公共点. 知识必学 专题五 二次函数的应用 链接中考 >>二次函数的应用主要有两种形式，第一种是在实际问题中建立二次函数模型，利用二次函数的性质求解；第二种是二次函数与其他知识的综合应用. 考查时多以解答题的形式出现. 知识必学 [中考·南通] 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 例5 知识必学 方案一 方案二 如图4-3， 围成一个面积为450 m2 的矩形花圃. 如图4-4，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m 的进出口(此处不用栅栏). 知识必学 (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； 解题秘方：设与墙垂直的边的长度为x m，根据栅栏总长表示出与墙平行的边的长度，再结合面积公式列方程求解； 知识必学 解：设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60-2x) m. 根据题意，得x(60-2x)=450，解得x1=x2=15. 答：与墙垂直的边的长度为15 m. 知识必学 (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 解题秘方：设与墙平行的边的长度为tm，根据栅栏总长和进出口的长度表示出与墙垂直的边的长度，再结合面积公式得出二次函数表达式，利用二次函数性质求解. 知识必学 解：设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m2. 根据题意，得S=(60+3×2-t)t=-t 2+22t=-(t-33)2+363. 因为-<0，所以当t=33 时，S 取得最大值. 答：当与墙平行的边的长度为33 m 时，花圃的面积最大. 知识必学 专题六 数形结合思想 专题解读 >>本章中涉及数形结合思想的题型有：根据已知的二次函数的图象, 结合二次函数的性质, 对二次函数表达式中各系数之间的关系进行判断; 根据两个函数图象的交点和图象之间的位置关系, 求与两个函数表达式有关的不等式的解集(形找数). 另外, 根据函数的表达式, 画出图象, 依据二次函数的性质确定变量之间的变化趋势等(数促形). 方法必会 [中考·日照]已知二次函数y=ax2+bx+c (a ≠ 0)图象的一部分如图4-5所示，该 函数图象经过点(-1，0)，对称轴为直 线x=2.对于下列结论： ① abc<0；② a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1)(x-5)；④当m>-9a 时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 例6 方法必会 解题秘方：根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点情况等进行判断． 解：由图象可知a<0，c>0，由对称轴在y 轴右侧及a<0 可知b>0，所以abc<0，故①正确.因为函数图象经过点(-1， 0)，所以a-b+c=0.所以a+c=b，故②正确； 方法必会 因为函数图象经过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(5，0).所以多项式ax2+bx+c 可因式分解为a(x+1)(x-5)，故③错误； 因为抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5)=a(x-2)2- 9a，所以抛物线的顶点坐标为(2，-9a). 观察图象可知，当m>-9a 时，关于x 的方程ax2+bx+c=m无实数根，故④正确． 答案：C 方法必会 类型一 利用图象法解方程根的问题 1. [期中·北京海淀区]某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-x2+4|x|-3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： 好题必解 (1)自变量x的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表： 其中m=_______. x … -3.7 -3.3 -2 -1 0 0.7 2 3 3.7 … y … -1.89 -0.69 1 0 -3 -0.69 1 m -1.89 … 0 好题必解 (2)如图，在平面直角坐标系xOy中描出以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象. 解：根据表格数据描点连线绘制函数图象如图. 好题必解 (3)根据函数图象，回答下列问题： ①函数图象与x轴有_____个交点，则对应的方程-x2+4|x|-3=0 有_____个实数根； ②当-2 ≤ x<2时，y的取值范围为_______ ； ③直线y=kx+b经过点(-2，1)，若关于x的方程-x2+4|x|-3=kx+b 有4个互不相等的实数根，则b 的取值范围是________. 4 4 -3≤y≤1 -3＜b＜1 好题必解 类型二 巧用二次函数的最值求字母的值 2.[浙江平湖文涛中学自主招生] 当-2 ≤ x≤ n 时，二次函数y=x2-x-1的最大值与最小值的差为，则n 的值是( ) A.- B.0 C.1 D.- D 好题必解 类型三 利用二次函数解利润最大问题 3. [期末•北京丰台区] 某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，在该时段内，每名工人只能加工A零件2 件，或B 零件1 件，或C 零件1 件. 工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件.若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24 元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2 元；加工C零件每件获利48 元. 好题必解 (1)当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_______； (2)合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为_______元. 11 4006 好题必解 类型四 利用二次函数解动点问题 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C匀速移动.设点P运动的时间为t s(0<t<6). 好题必解 (1)AP=______cm，CQ=______cm( 用含t的代数式表示). t 12-2t 好题必解 (2) 记△BQP的面积为S1 cm2，△DPQ的面积为S2 cm2. ①试判断S1+S2 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 解：是定值.因为AB=6 cm，AP=t cm， 所以BP=AB-AP=(6-t)cm. 又因为BQ=2t cm，所以S1=12BP·BQ=12(6-t)·2t=6t-t2. 好题必解 又S矩形ABCD=AB·BC=6×12=72(cm2)， S△ADP=12AP·AD=12t×12=6t(cm2)； S△DCQ=12CD·CQ=12×6×(12-2t)=(36-6t)cm2， 所以S2=S矩形ABCD-S1-S△ADP-S△DCQ =72-(6t-t2)-6t-(36-6t)=72-6t+t2-6t-36+6t=t2-6t+36， 所以S1+S2=(6t-t2)+(t2-6t+36)=6t-t2+t2-6t+36=36，所以S1+S2是定值，定值为36. 好题必解 ②求S2-S1的最小值. 解：S2-S1=(t2-6t+36)-(6t-t2) =t2-6t+36-6t+t2 =2t2-12t+36=2(t2-6t+9)+18 =2(t-3)2+18. 因为2>0，所以二次函数图象开口向上， 所以当t=3时，S2-S1取得最小值，最小值为18. 好题必解 类型五 利用二次函数解抛物线形问题 5. [中考·武汉] 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动. ［研究背景］羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直. 好题必解 ［收集数据］某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力). 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 好题必解 ［探索发现］数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax2+bx+1.1 的一部分. 好题必解 ［建立模型］求y 与x的函数表达式(不要求写自变量取值范围). 解：将点(2，2.3)，(3，2.6)的坐标分别代入 y=ax2+bx+1.1，得解得 所以y与x的函数表达式为y=-0.1x2+0.8x+1.1. 好题必解 ［应用模型］ (1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到 2.8 m ？请说明理由. 好题必解 解：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8 m，理由如下：令y=2.8，则-0.1x2+0.8x+1.1= 2.8，整理得x2-8x+17=0. 因为Δ=(-8)2-4×1×17=-4<0，所以方程没有实数根. 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8 m. 好题必解 (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其表达式变为y=ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1 m，且球的落地点与球网的水平距离小于 6 m. 求k的取值范围. 好题必解 解：因为保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， 所以a的值不变，即a=-0.1. 所以改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线表达式为y=-0.1x2+kx+1.1. 由题意得当x=5时，y>2.1；当x=5+6=11时，y<0， 所以解得0.7<k<1. 好题必解 $