精品解析：2026年四川广安市岳池县春季九年级中考复习第三次阶段测试数学试卷

2026年春季九年级诊断考试 数学 试卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分．在试题卷、草稿纸上答题无效．作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若电梯向上运行6层记为层，则向下运行2层应记为（　　） A. 2层 B. 层 C. 8层 D. 层 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （ ） A. B. C. D. 4. 体积为80的正方体的棱长在（ ） A. 8到9之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 5. 下列标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 7. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十两；牛二羊五，值金八两，问牛羊各值金几何?”译文：五头牛和两只羊共值金10两，两头牛和五只羊共值金8两，问牛和羊各值金多少两?若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ） ①x=1是二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧；  ④不等式4a+2b+c>0一定成立． A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. a的11倍再减去2可以表示为__________． 12. 如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 13. 若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（本题共5个小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求的值，其中是不等式的非负整数解． 16. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的总人数是 人，中位数是 部． （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；并补全条形图． （3）从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 17. 为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38） 18. 已知一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）M是x轴上一点，满足最大，求点M的坐标． （3）求不等式kx＋b－＜0的解集．（直接写出答案） 19. 如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC与BD交于点E，∠ADB∠ACB． （1）求证：∽； （2）若AB⊥AC，AE：EC1：2，求∠ABC的度数． B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本题共5个小题，每小题4分，共20分） 20. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 21. 若是方程的两个实数根，则代数式的值为__． 22. 如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 23. 如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为_______． 24. 如图，在中，，．是内部的一个角，和与分别交于点D和点E，已知． （1）图中与相似的三角形有_______ 个； （2）若，，则的长为_________ ． 五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，第26小题10分，第27小题12分，共30分） 25. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 26. 如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 27. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季九年级诊断考试 数学 试卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分．在试题卷、草稿纸上答题无效．作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若电梯向上运行6层记为层，则向下运行2层应记为（　　） A. 2层 B. 层 C. 8层 D. 层 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查相反意义的量，根据相反意义的量解答即可 【详解】解：电梯向上运行6层记为层，则向下运行2层应记为层， 故选：B 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，一一计算选择. 【详解】根据幂的运算，容易得： ；；；. 故选：D. 【点睛】本题考查指数的运算，属基础题. 3. 若与 互为余角，且 ，则 的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，互余的两个角之和为，因此． 【详解】解：∵与 互为余角， ∴， 又∵， ∴． 故选A． 4. 体积为80的正方体的棱长在（ ） A. 8到9之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方体体积公式得到棱长为，再用夹逼法估算无理数的范围，找到和80相邻的两个立方数，即可得到棱长的范围 【详解】解：设正方体的棱长为，根据正方体体积公式，得， ∵ ，，且， ∴ ，即， 因此体积为80的正方体的棱长在4到5之间 5. 下列标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 6. 用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用“垂线段最短”来记录成绩的，故符合题意； B、是“两点确定一条直线”，故不符合题意； C、是“两点确定一条直线”，故不符合题意； D、是“两点之间，线段最短”，故不符合题意． 7. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式即可判断有没有实数根． 【详解】解：A．=1 =-2 =-3，=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． B．=1 =-1 =1，=1-4=-3＜0，没有实数根，故此选项正确． C．=1 =2 =-3，=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． D．=1 =0 =-1，=4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的公式是解题关键． 8. 在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五，羊二，值金十两；牛二羊五，值金八两，问牛羊各值金几何?”译文：五头牛和两只羊共值金10两，两头牛和五只羊共值金8两，问牛和羊各值金多少两?若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中“五头牛和两只羊共值金10两，两头牛和五只羊共值金8两”，得到两组等量关系，列出方程组即可. 【详解】解：根据题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键就在于读懂题意，找到两组等量关系. 9. 用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的底面圆半径，先求出半圆的弧长，再圆锥底面周长等于半圆弧长求出半径即可，理解圆锥底面周长等于半圆弧长是解题的关键． 【详解】解：半圆的弧长为， ∵圆锥底面周长等于半圆弧长， ∴圆锥的底面半径， 故选：B． 10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ） ①x=1是二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧；  ④不等式4a+2b+c>0一定成立． A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当x=1时，a+b+c=0，因此可知二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根，故①正确；根据a＞b＞c，且a+b+c=0，可知a＞0，函数的开口向上，故②不正确； 根据二次函数的对称轴为x=-，可知无法判断对称轴的位置，故③不正确； 根据其图像开口向上，且当x=2时，4a+2b+c＞a+b+c=0，故不等式4a+2b+c>0一定成立，故④正确. 故选：C. 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. a的11倍再减去2可以表示为__________． 【答案】11a-2##-2+11a 【解析】 【分析】a的11倍即为11a，再减去2即可． 【详解】解：a的11倍再减去2可以表示为11a-2． 故答案为11a-2． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 12. 如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据折痕是角平分线，结合平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵把长方形沿折叠后使两部分重合， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13. 若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知坐标的两点代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解得到和的值，再将点代入解析式即可求出. 【详解】解：将，代入可得： 解方程组得： 因此一次函数解析式为， 将代入得： 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形面积的计算公式求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点； 在中，为的中点 ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键． 三、解答题（本题共5个小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求的值，其中是不等式的非负整数解． 【答案】（1）；（2）；时，原式 【解析】 【分析】（1）利用去绝对值符号，再利用（，p为正整数）和计算和，最后利用代入求值； （2）根据分式的混合运算法则化简分式，注意约分找最大公因式，通分找公分母，再解不等式求得x的取值范围，找到范围内的非负整数，选择不会使得原分式、化简过程中出现的分式以及最后结果中的分式分母不为0的x的值代入求值． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 解得， 不等式的非负整数解为0、1、2， 且， 且， ， 则原式． 【点睛】本题考查了实数的计算和分式的化简求值，解决本题的关键在于熟记计算公式，掌握运算法则，注意分式的意义，并仔细计算． 16. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的总人数是 人，中位数是 部． （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；并补全条形图． （3）从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1），2 （2），如图， （3）解：将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故他们恰好选中同一名著的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据读完3本的人数及比例即可确定总人数，再由中位数的定义求解即可； （2）用360度乘以读完4部的比例即可得出圆心角；根据（1）中过程补全统计图即可； （3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，利用列表法或树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：总人数是（人）， 读完2部的人数是（人）， ∵，， ∴中位数是2部． 【小问2详解】 解：“4部”所在扇形的圆心角为， 由（1）可知读完2部的人数是6人， 图略 【小问3详解】 略 17. 为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38） 【答案】23米 【解析】 【分析】根据锐角三角函数求得线段，从而求得旗杆AB的高度． 【详解】解：在Rt△ADE中，∵ tan∠ADE＝，∠ADE＝54°， ∴ 又∵， ∴ 答：旗杆AB的高度约为23 m． 【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键． 18. 已知一次函数与反比例函数图像交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）M是x轴上一点，满足最大，求点M的坐标． （3）求不等式kx＋b－＜0的解集．（直接写出答案） 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点B的坐标，最后确定一次函数的解析式． (2) 过点作关于轴对称，连接交轴于点，此时最大，设解析式计算即可． （3）根据图像的性质，结合交点的横坐标写出解集即可． 【小问1详解】 将点代入反比例函数， 得， ， 将点代入， 得， 解得， ， 将，点坐标代入一次函数， 得， 解得， ． 【小问2详解】 解：过点作关于轴对称，连接交轴于点，如图所示： 则此时最大为， 根据对称可知， 设的解析式：， 代入和， 得， 解得， 的解析式：， 当时，解得， ． 【小问3详解】 不等式的解集是：或． 【点睛】本题考查了待定系数法，对称求最值，数形结合思想，熟练掌握待定系数法，轴对称思想是解题的关键． 19. 如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC与BD交于点E，∠ADB∠ACB． （1）求证：∽； （2）若AB⊥AC，AE：EC1：2，求∠ABC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠ABC＝60°． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得到∠ADB＝∠ABE，由∠ADB＝∠ACB，得到∠ABE＝∠ACB，于是得到结论； （2）设AE＝x，由AE：EC＝1：2，得到EC＝2x，由（1）得：△ABE∽△ACB，得到，求得AB＝x，证得∠ACB＝30°，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABE， 又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABE＝∠ACB， 又∵∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB； （2）设AE＝x， ∵AE：EC＝1：2， ∴EC＝2x， 由（1）得：△ABE∽△ACB， ∴， ∴AB2＝AE•AC，即AB2＝x•3x， ∴AB＝x， 又∵BA⊥AC，∠BAC＝30°， ∴BC＝2x， ∴∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝60°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本题共5个小题，每小题4分，共20分） 20. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 则平移后点， ， 解得． 21. 若是方程的两个实数根，则代数式的值为__． 【答案】4046 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关性质是解题的关键． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将变形为，再代入得到，即可求解． 【详解】解：整理得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：4046． 22. 如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图所示，连接，，由圆周角定理得到，由等腰三角形三线合一的性质得到，，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 23. 如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则根据等边对等角和角之间的关系可求出，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是的高， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 24. 如图，在中，，．是内部的一个角，和与分别交于点D和点E，已知． （1）图中与相似的三角形有_______ 个； （2）若，，则的长为_________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形性质得出角的度数，再依据相似三角形的判定（两角分别相等）来确定； （2）通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到直角三角形中，利用全等三角形性质和勾股定理求解的长． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴与相似的三角形有个． （2）∵， ∴ 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，， ∵ ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ 在中，， 由勾股定理得： ∴． 五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，第26小题10分，第27小题12分，共30分） 25. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，依题意，得，然后进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为w人，由题意易得，，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为w人， 则． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 26. 如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． 【答案】（1）见解析 （2）选择条件①，四边形是矩形；选择条件②，四边形是菱形．证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，从而利用证明； （2）若选择①，先证明四边形是平行四边形，再证从而得是矩形；若选择②，先证明四边形是平行四边形，再证，从而得是菱形． 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ，，， ， ，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解： 连接、， 选择条件①，四边形是矩形； 证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 四边形是矩形； 选择条件②，四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，四边形平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定． 27. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $