辽宁铁岭市2025-2026学年九年级上学期中学生能力训练数学限时作业（一）

2025-2026年中学生能力训练 数学限时作业（一） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为 A． B． C． D． 2．给出下列判断，正确的是 A．四个角相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 3．将一元二次方程化成（，为常数）的形式，则，的值分别是 A．-4，21 B．-4，11 C．4，21 D．-8，69 4．下列方程中有实数根的是 A． B． C． D． 5．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为 A．36 B． C．28 D．30 6．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为 A． B． C．16 D． 7．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为 A． B． C． D． 8．如图，四边形是矩形，连接，，延长到使，连接，则的度数为 A． B． C． D． 9．若关于的方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为 A．10 B．10或-11 C．10或-14 D．-10或14 10．如图，在矩形中，的平分线交于点，且，于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知关于的一元二次方程的一个根是-1，则_______． 12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 13．若，是方程的两个实数根，则的值为________． 14．如图，在矩形中，，，是上一点，将沿翻折点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为________． 15．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．计算（每题4分，共12分） （1）（公式法） （2）（因式分解法） （3）（配方法） 17．（本小题6分） 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示）； （2）在运动过程中，是否存在的值，使得五边形的面积等于，如果存在，请求出此时的t值；如果不存在，请说明理由． 18．（本小题8分） 如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19．（本小题8分） 暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． （1）求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ （2）经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 20．（本小题8分） 如图，点是正方形对角线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）连接，试判断的度数，并证明你的结论． 21．（本小题9分） 阅读下列材料： （1）关于的方程，方程两边同时除以，得， 即，； ； （2）； 根据以上材料，解答下列问题： （1），则_______；_______；_______． （2），分别求和的值． 22．（本小题12分） 【动手操作】 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为，（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【观察发现】 （1）如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点，在折叠过程中，当时，请直接写出线段的长度． 23．（本小题12分） 【问题情境】 如图，在正方形中，，易证：．（不需证明） 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，，则线段与之间的数量关系为_____； （2）如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，，判断线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，延长交边于点，求出的度数； 【拓展提升】 （4）如图3，若该正方形的边长为8，将正方形沿着直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作，垂足为，若，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $