上海市静安区2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期末试卷通过分层抽样调查、函数极值、圆锥曲线综合应用等问题，以基础题与创新题梯度设计，考查数学抽象、运算推理及数据意识，适配高二学段核心知识与能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|统计（中位数）、解析几何（圆/椭圆方程）、概率（纯虚数概率）|1-6题基础巩固（如圆半径计算），7-12题能力提升（如双曲线离心率）| |选择题|4题/18分|导数应用、离心率比较、概率（骰子坐标）|结合图像考查导数极值（14题），体现几何直观| |解答题|5题/78分|统计抽样、二项式定理、椭圆/双曲线综合、新定义函数|17题数据分析（分层抽样），21题创新应用（“非负增长性质”新定义），考查逻辑推理与数学建模|

高二数学 (满分150分，时间120分钟) 请注意： 1.本资料共21道题目 2.本资料包括题目和答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答 题纸上 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，请在答题纸相应编号的空 格内直接填写结果，其中1—一6题每题正确得4分，7一一12题每题正确得5 分，否则一律得零分. 1.一组数据10.22,10.24,10.25,10.35,10.35,10.50,10.53,10.80,10.90的中位数 是 .10.35 2.已知圆C的一般方程为x2+y2+2x=0,则圆C的半径为 3.已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的方程 是 苦+号=1 4.若复数a+bi(a,bER)(其中i是虚数单位)的实部、虚部均为0~9十个数 字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是 9 100 5.已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状 大小材质等都一样现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法 总数是 P3C=24 6.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为(3,2)， 则IPA|+|PFI的最小值为 .4 7.已知双曲线的标准方程为号-若=1（其中a>0,b>0).若过两点(a,0)、 (0,b)的直线的倾斜角为号，则该双曲线的离心率为 .2 8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中取两个不同的数作为对数1ogaN的真数N和底数a,共可 得 个不同的对数值.53 9.已知单位圆x2+y2=1与x轴相交于A、B两点，点M是直线x+ty+3=0 上的任意一点，若MA·MB>0,则实数t的取值范围是 ·(-2V2,2v2) 第1页共8页 10.已知函数f(x)=x3-ax2-ax(常数a∈R)在x=1处有极值，且关于x的方 程f(x)=m有3个不同的实根，则实数m的取值范围为 .(（-1,) 11.若曲线f(x)=e与圆(x-e2-1)2+y2=r2(r>0)有且仅有一个交点，则， eve2 +1 「11 12.若对任意x、x2e一，2，函数f(x)=xlnx-x都有1f(x)-f(x,)sm,则m 2 的最小值为 2n2-1 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案，请 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，其中第13一14题选对得 4分，第15一一16题选对得5分，否则一律得零分： A13.求函数y=sin2x的导数，下列四个选项中正确的一项是() A.y=2cos2x B.y=cos2x C.y =-2cos2x D.y=-cos2x C14.已知函数y=f(x)(a<x<b)的导函数是 y=f'(x),导函数y=f'(x)的图像如图所示，则 y=f(x) y=f(x)在(a,b)内只有() A.1个驻点 B.1个极值点 C.1个极小值点 D.1个极大值点 ④ B15.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离 心率分别为e、e2、e、e4,其大小关系为( A.e<e2<es<es B.e,<e2<e4<e3 C.e2<e<e3<es D.e2<e<es<e3 D16.以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标(m,n), m,n∈{1,2,3,4,5,6}，则点P落在直线x+y=4和两坐标轴所围成的三角形区域 (包括边界)的概率是() 7 A.12 B c D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题 第2页共8页 纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.（本题满分14分)第1小题6分，第2小题4分，第3小题4分. 某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为 了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的 时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查 (1)在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ (2)从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ (3)经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级 学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小 数) 解：(1)该高中学校每名学生每周用于课外阅读的时长组成该项抽样调查的总体， ……3分 样本量是130.……6分 (对总体的描述只要意思正确都对。例如将“学校每名学生”写成“学校所有学生”“该校 高中学生”等。该小题得分是0,3,6，应没有其他得分情祝) (2)抽取高一年级学生60名，高二年级学生40名，高三年级学生30名.10分 (答案错一个年纸学生数扣2分，错两个或者三个年级学生数则该小题不得分) -”≈0.573，抽取的这3名同学课外阅读全部达标的概率是0.573 (3)C0=980 …14分 (0.5727644652)(式子和结果分步骤给分，各2分) 18.(本题满分14分)第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分. (1)若二项式(2x+)'的展开式中是的系数是84，求实数a的值： (3)若(3x十x)}”(其中m为正整数)的展开式中含有常数项，求n的最小值： (2)设fx)=(x+)(2x-)°，已知f(1)=2,求f(x)展开式中的常数项 解：(1)Tr+1=C(2x)7-r(ax-1)=C527-rax7-2r.……2分 当7-2r=-3时，r=5. 第3页共8页 由的系数是84得，C22a5=84a5,所以a=1.…4分 (2)T+1=C(3x)m-r(x号)=C3m-7xn要，6分 展开式中含有常数项，则存在r使得n-=0,…7分 n=,由于n为正整数且关于r递增，当r=2时，n最小，值为5.9分 (3)f(1)=2,即(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以a=1,……11分 此时fx)=(x+)(2x-)°，按照乘法运算的分配律，(x+)(2x-)°的常数 项由两部分构成：x与(2x-)°展开式中含项的乘积，与(2x-)°展开式中含 x项的乘积.……12分 (2x-)°的通项T+1=C5(2x)5-r(-x1y=(-1y×25r×Cg×x5-2x 展开式中含项为(r=3)-40:展开式中含x项为(r=2)80x. 于是f(x)展开式中的常数项为-40是×x+1×80x=40.14分 19.(本题满分14分)第1小题4分，第2小题10分. 已知椭圆r:三+y2=1(a>1). (1)若椭圆r的离心率为号，求椭圆T的方程： (2)若a=2,过点P(2,1)作斜率为的直线1，依次交椭圆T于M、N两点，且 点M在第一象限.设A(0,1),连接AM延长交x轴于T点，记△ANT的面积为 S,△OMT的面积为S,(0为坐标原点)，求等 第4页共8页 解：(1：因为a>1,b2=1,所以焦点在x轴上，三=子c2=a2-b识，-2 分 所以椭圆r的方程为号+y2=1:-4分 (2)直线1方程为y=x+2“6分 代入椭圆方程+y2=1,得5x2+4x-12=0,“8分 解得M、N两点的坐标分别为M(),N(-2,0),“-10分 入 S=T1×1=4,S2=0r1×g是所以=-14分 20.（本题满分18分)第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知双曲线ax2-y2=1的两条渐近线的夹角为5设直线l1:y=kx+1与双 曲线ax2-y2=1相交于不同两点A、B. (1)求双曲线的方程： (2)若a>1,求实数k的取值范围： (3)若a>1,且A、B两点都在双曲线的右支上，设线段AB的中点为M,斜 率为2k的直线2经过点M.试将直线l2在y轴上的截距m表示成关于k的函数，求 出该函数表达式并求出函数的值域 解：(1)因为ax2-y2=1是双曲线，所以a>0,两条渐近线的法向量分别可取 (Va,1)(-Va,1),夹角为或 由向量夹角公式，解得a=3或a=子“3分 所以双曲线的方程为号-y2=1或3x2-y2=1:“4分 (该小题漏一个方程扣1分) (2)若a>1,则双曲线的方程为3x2-y2=1,将直线l1:y=kx+1代入双曲 第5页共8页 线方程得，(3-k2)x2-2kx-2=0,……6分 方程有两不等实数根，所以。3-k2≠0， 4=4k2+8(3-k2)>08分 所以ke(-6,-√3)U(-V3,3)U(3,V6).…10分 (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由假设A、B两点都在双曲线的右支上，所以x1+ x2>0且x1x2>0,解得ke（-V6,-V3)…12分 设中点M坐标(xo,yo),则x0== 3-k2y%= 3 2. 3-k21 于是直线的方程为：y3=2k(x ,……14分 令x=0得，在y轴上的载距m=一+，所以载距m表示成关于k的函数表 达式为m=223…“16分 k2-3’ 6k m= k3,得驻点k=0e(-V6,-V③)，当kE(-V6,-V3)时，m关于k递增， 且当k>-V6,k→-V6时，m>3,m→3：当k<-V3,k→-V3时，m→+o, 所以此函数的值域为（3，+∞).……18分 21.（本题满分18分)第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 设函数y=f(x)在区间1上可导，若对任意x∈I,都有f(x)+f(x)≥0，则 称函数y=f(x)在区间I上具有非负增长性质”. (1)设f(x)=x2+ax+a+1,若函数y=f(x)在R上具有非负增长性质”，求 实数a的取值范围； (2)设g()=e*sx,试判断函数y=g(x)在区间[0，贸上是否具有非负增 长性质”？并说明理由； (3)设h(x)=nx,已知函数y=h(x)在其定义域上具有“非负增长性质”.设 A(1,0)、P(p,h(p)(p>1)是曲线y=h(x)上的两点，过点A、P分别作曲线y= h(x)的切线，设两条切线的交点为Q,若点Q的纵坐标大于2，求p的最小整数值. 解：(1)因f(x)=x2+ax+a+1,f'(x)=2x+a,……1分 由定义，对任意x∈R,有： 第6页共8页 f'(x)+f(x)=x2+(a+2)x+(2a+1)≥0 记px)=x2+(a+2)x+(2a+1),则函数y=p(x)的图像是开口向上的抛物 线 要使p(x)≥0对任意x∈R恒成立，需判别式△≤0.…2分 由△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a≤0得0≤a≤4. 因此a的取值范围为[0,4].……4分 (2)g'(x)=ex(sinx+cosx),g'(x)+g(x)=ex(2sinx+cosx). 由于e*>0,只需判断()=2smx+cosx在.上的符号.6分 因()=2sinx+cosx=V5sin(x+p),其中锐角p满足：sinp=万， …7分 所以p=arcsin- a宁名0p名从而当x(人时，x+p0.由 26 6 正弦函数的性质，得y=(x)在{o,上恒为正数：于是g'(x)+g(x)>0对xE 6 均成立 故函数y=g(x)在{0.严1上具有“非负增长性质”.…10分 6 (3)y=lnx在其定义域上具有非负增长性质”，所以+nx>0(x>0) (事实上+nx≥1)过点P(p,np)的曲线y=lnx的切线方程为：y-lnp= x-p）, 过点A(1,0)的曲线y=h(x)的切线方程为：y=x-1.……12分 设两条切线的交点Q(xg,少g),联立方程求得0-，0？-1， p-1 于是由y0>2,得m2>3, p-1 即pmp-3p+3>0(p>1) (*)…14分 第7页共8页 合G(p)=plnp-3p+3(p>1),则G'(p)=mp-2,故函数y=G(p)在 (1,e2)上严格减，在(e2,+m)上严格增.所以G(p)n=G(e)=3-e2<0.…15分 而： G(2)=21n2-3<0,G(16)=641n2-45=-0.639<0,G(17)=171n17-48=0.165>0, 故由函数y=G(p)在，+∞)上的单调性及连续函数“零点存在定理，得：函 数y=G(p)在上(L,+∞)存在唯一零点x。,且x。e()上，从而满足(*)的最小正 整数p=17 因此，使得点Q的纵坐标大于2的p的最小整数为17.……18分 第8页共8页 高二数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 请注意： 1.本资料共21道题目. 2.本资料包括题目和答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，其中1——6题每题正确得4分,7——12题每题正确得5分，否则一律得零分. 1．一组数据10.22,10.24,10.25,10.35,10.35,10.50,10.53,10.80,10.90的中位数是 ． 2．已知圆的一般方程为，则圆的半径为 ． 3．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的方程是 ． 4．若复数）（其中是虚数单位）的实部、虚部均为0~9 十个数字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是 ． 5．已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状大小材质等都一样.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是 ． 6．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则 的最小值为 ． 7．已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点（，0）、（0，）的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为 ． 8．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得 个不同的对数值． 9．已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是 ． 10. 已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为 ． 11．若曲线与圆（>0）有且仅有一个交点，则= ． 12．若对任意、，函数都有，则的最小值为 ． 二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，其中第13——14题选对得4分，第15——16题选对得5分，否则一律得零分. 13．求函数的导数，下列四个选项中正确的一项是（ ） A． B． C． D． 14．已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（ ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 15．如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离 心率分别为、、、，其大小关系为（ ） A． B． C． D． 16．以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标（m,n），，则点P落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（ ） A. B. C. D. . 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题4分. 某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查. （1）在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ （2）从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ （3）经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小数） 18．（本题满分14分）第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分. （1）若二项式的展开式中的系数是84，求实数的值； （3）若（其中为正整数）的展开式中含有常数项，求的最小值； （2）设，已知，求展开式中的常数项. 19．（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分. 已知椭圆：（）. （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）若=2，过点P（2,1）作斜率为的直线l，依次交椭圆于M、N两点，且点M在第一象限.设A（0,1），连接AM延长交x轴于T点，记△ANT的面积为，△OMT的面积为（O为坐标原点），求. 20．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为.设直线与双曲线相交于不同两点、. （1）求双曲线的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，且、两点都在双曲线的右支上，设线段AB的中点为M，斜率为的直线经过点M.试将直线在轴上的截距m表示成关于的函数，求出该函数表达式并求出函数的值域. 21．（本题满分18分） 第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 设函数在区间I上可导，若对任意，都有，则称函数在区间I上具有“非负增长性质” . （1）设，若函数在上具有“非负增长性质”，求实数的取值范围； （2）设，试判断函数在区间上是否具有“非负增长性质” ？并说明理由； （3）设，已知函数在其定义域上具有“非负增长性质”.设、（）是曲线上的两点，过点、分别作曲线的切线，设两条切线的交点为，若点的纵坐标大于2，求的最小整数值. 第 4 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $