暑假作业08 导数零点、恒成立能成立及综合问题（6种题型，巩固培优）高二数学沪教版

**基本信息** 聚焦导数综合问题，构建“原理-步骤-技巧”三维方法体系，以递进式知识逻辑实现从基础到复杂问题的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数零点问题|4道|四步解题法（定义域-求导-算极值-判定零点）|从函数零点定义出发，结合单调性极值分析，形成零点判定完整逻辑链| |恒成立与能成立问题|4道|分离参数法优先+分类讨论法|基于函数最值思想，建立不等式与参数范围的转化关系| |隐零点问题|4道|设点-缩区间-代换-求范围四步操作|针对超越方程无法求解问题，通过等式代换实现超越式消元| |双变量问题|4道|比值换元、差值换元、对称构造|将双变量转化为单变量，利用函数单调性简化问题| |极值点偏移问题|4道|对称构造法、比值换元法、对数均值不等式|基于极值点定义，通过构造函数或不等式证明偏移关系|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 导数零点、恒成立能成立及综合问题 【知识点1 利用导数研究函数零点问题】 核心原理 零点： 的实根；等价于 与 轴交点； 变形：，转化单函数零点。 标准解题步骤 1. 写出定义域，构造目标函数 ； 1. 求导 ，讨论单调性、极值； 1. 计算极值、区间端点/无穷处极限； 1. 零点判定： · 极小值 或极大值 ：无零点； · 极值 ：一个零点； · 极小值 ，两端函数值异号：多个零点； 常见考法 1. 求零点个数； 1. 已知零点个数求参数范围； 1. 证明存在唯一零点。 零点存在定理 区间 ， 连续，，则至少 1 个零点；结合单调性证唯一。 【知识点2 利用导数研究不等式恒成立问题与能成立问题】 设 1. 恒成立 恒成立 恒成立 2. 能成立（存在） 两大解法 1. 分离参数法（优先） 恒成立 ； 恒成立 ； 1. 分类讨论法 无法分离、分离后函数复杂时，直接对参数讨论 最值。 补充不等式型 恒成立 恒成立 【知识点3 隐零点问题】 特征 无法精确解出根（超越方程：、 等），零点 只存在、写不出解析式。 万能操作步骤 1. 设隐零点：，得到等式代换式（如 ）； 1. 判定 所在区间（零点存在定理缩小区间）； 1. 把 里的指数、对数用导数零点等式替换，消超越式； 1. 结合 范围求出 最值/范围； 典型场景 证明不等式、求函数最小最大值、零点个数判定。 【知识点4 双变量问题】 题型 1：独立双变量（ 无约束） 例： 思路：，只求单个函数最值差。 题型 2：绑定双变量（，常带 、） 1. 比值换元（） 多用于含 结构，整体化为单变量 函数； 1. 差值换元 ； 1. 对称构造 不等式两边同构，拆成 与 ，利用 单调性比较大小； 经典同构模板 ，令 ，看单调性判断 大小关系。 【知识点5 极值点偏移问题】 基础定义 函数 有两极值点/两零点 ，对称轴 ， 若极值点 ，称为偏移： - ：左偏； - ：右偏。 三大标准解法 1. 对称构造法（最通用） 求证 ：构造 ，判断 单调性，比较 推出大小； 1. 比值换元法 令 ，转化单变量不等式证明； 1. 对数均值不等式（速解工具） 大题使用前需简单证明，小题直接用。 【题型1 利用导数研究函数零点问题】 1．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围： 3．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题与能成立问题】 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 2．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 3．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 4．已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【题型3 利用导数证明不等式】 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 2．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 3．已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当，时，证明：． 4．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：． 【题型4 隐零点问题】 1．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 2．已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 3．已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 4．已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【题型5 双变量问题】 1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 2．已知，求证：． 3．已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 4．定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【题型6 极值点偏移问题】 1．已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 2．已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 3．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明. 4．已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 1．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，设函数，若对任意恒成立，则的所有可能取值构成的集合为__________． 4．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 5．已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若，（其中），，都有，求的取值范围. 1．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 3．对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 4．设函数，如果存在函数（、为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______． 5．帕德逼近在函数近似理论中具有重要地位，它通过有理函数（两个多项式之比）实现对给定函数的高效逼近，有效克服了传统多项式近似在大区间内误差累积的缺陷.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，. 其中，.已知在处的阶帕德近似为.（其中为自然常数，） (1)求，的值； (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时， 6．记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 导数零点、恒成立能成立及综合问题 【知识点1 利用导数研究函数零点问题】 核心原理 零点： 的实根；等价于 与 轴交点； 变形：，转化单函数零点。 标准解题步骤 1. 写出定义域，构造目标函数 ； 1. 求导 ，讨论单调性、极值； 1. 计算极值、区间端点/无穷处极限； 1. 零点判定： · 极小值 或极大值 ：无零点； · 极值 ：一个零点； · 极小值 ，两端函数值异号：多个零点； 常见考法 1. 求零点个数； 1. 已知零点个数求参数范围； 1. 证明存在唯一零点。 零点存在定理 区间 ， 连续，，则至少 1 个零点；结合单调性证唯一。 【知识点2 利用导数研究不等式恒成立问题与能成立问题】 设 1. 恒成立 恒成立 恒成立 2. 能成立（存在） 两大解法 1. 分离参数法（优先） 恒成立 ； 恒成立 ； 1. 分类讨论法 无法分离、分离后函数复杂时，直接对参数讨论 最值。 补充不等式型 恒成立 恒成立 【知识点3 隐零点问题】 特征 无法精确解出根（超越方程：、 等），零点 只存在、写不出解析式。 万能操作步骤 1. 设隐零点：，得到等式代换式（如 ）； 1. 判定 所在区间（零点存在定理缩小区间）； 1. 把 里的指数、对数用导数零点等式替换，消超越式； 1. 结合 范围求出 最值/范围； 典型场景 证明不等式、求函数最小最大值、零点个数判定。 【知识点4 双变量问题】 题型 1：独立双变量（ 无约束） 例： 思路：，只求单个函数最值差。 题型 2：绑定双变量（，常带 、） 1. 比值换元（） 多用于含 结构，整体化为单变量 函数； 1. 差值换元 ； 1. 对称构造 不等式两边同构，拆成 与 ，利用 单调性比较大小； 经典同构模板 ，令 ，看单调性判断 大小关系。 【知识点5 极值点偏移问题】 基础定义 函数 有两极值点/两零点 ，对称轴 ， 若极值点 ，称为偏移： - ：左偏； - ：右偏。 三大标准解法 1. 对称构造法（最通用） 求证 ：构造 ，判断 单调性，比较 推出大小； 1. 比值换元法 令 ，转化单变量不等式证明； 1. 对数均值不等式（速解工具） 大题使用前需简单证明，小题直接用。 【题型1 利用导数研究函数零点问题】 1．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求的取值范围： 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由导数的几何意义，确定切线斜率，进而可求解； （2）问题转换成与图象的交点，结合函数的单调性，最值，即可求解. 【详解】（1）定义域为．． 因此，切线斜率为：． ， ∴切线方程为：， 即：． （2）有两个零点， 即：与图象有两个交点． 由（1）知，令，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减，则． 当时，；当时，． 因为与图象有两个交点， ． 3．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，确定切线方程，进而可求解. （2）问题转换成曲线与直线有两个交点，通过求导，确定的图象，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. （2）因为，函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，， 且当时，，当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)对函数求导求出时的斜率后即可求出切线方程. (2)通过函数求导并分类讨论求出函数的单调区间，并通过两个零点这一前提条件求出的值. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， ， 切线斜率 ，又. 故可得切线方程为. （2）时，显然有且仅有一个零点，矛盾， 时，，考虑， 此时， 当时，若，则，单调递增，且 ， 由零点存在定理知其在内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点． 注意到时，，单调递减：时，，单调递增， 由唯一零点知 ，得． 当时，若，则，单调递增，且， ， 由零点存在定理知其在区间内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点， 注意到时，，单调递增； 时，，单调递减， 由唯一零点知 ，得． 综上，的取值集合是． 【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题与能成立问题】 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. (2) 【分析】（1）先对函数求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）利用（1）可知的单调性与的关系，分情况讨论，进而利用即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 2．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 3．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 4．已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式得出，令，由题意可知，可得出，再令，利用导数分析该函数的单调性与极值，结合题意可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，， 由可得，由得， 所以函数的减区间为，增区间为. （2）由，得， 令，则， 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以，存在，不等式成立， 则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数的取值范围为. 【题型3 利用导数证明不等式】 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出函数最大值即可. （3）求出函数，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. （3）依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 2．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 3．已知 (1)设函数，讨论函数的单调性； (2)当，时，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）在，两种情况下求解可得单调性； （2）由题设可得，所证不等式等价于，然后由的单调性可证明不等式. 【详解】（1）由题可得：，其中. . 当时，令，， 则此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，，则此时在上单调递增. 综上可得：时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. （2）当时，，又，则， 则要证：， 即证 .令， 则，令. 则；， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即，从而命题得证. 4．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增． (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义及导数运算即可求解； （2）分类讨论的范围，结合导函数的正负即可求解； （3）构造函数，根据导数及基本不等式即可证明． 【详解】（1）当时，，则，， 所以，切点， 所以切线方程为，即． （2）， 若，则，在内单调递增， 若，当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增． 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）证明：当时，由，得， 设，则， 设，，则在内单调递增， 因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以， 当且仅当，即时，而已证，故，所以等号取不到， 所以时，． 【题型4 隐零点问题】 1．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 2．已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明； （2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解. 【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为， 因为， ， 所以，所以关于对称， 即曲线是轴对称图形； （2）因为， 则， 令， 则， 令， 则，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 又， 则，即，所以， 所以不等式的解集为. 3．已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，得出，将问题化为证，构造函数并证明其单调性，得出，即可得出结论； （2）写出表达式，利用换元法转化为证明恒成立问题，构造函数并求导，将导数进行二次求导，分类讨论得出导函数的单调性，进而确定原函数的单调性，进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在中，， 当时，，要证，只需证， 令，则， 令，得， 所以当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，即， 所以. （2）由题意及（1）得，，， 在中， ， 令，由题意，在时恒成立， 设，， 则， 令， 当时，， 所以，在上单调递减， 所以，符合题意， 当时，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，且时，，即， 所以在上单调递增，所以，不符合题意， 综上所述，的取值范围为. 4．已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)且 【分析】（1）求导后构造函数，再次求导分析单调性，得到，然后再分析的单调性即可； （2）分和时讨论，当时分离参数，构造函数，求导分析单调性即可； （3）求导后将问题转化为有三个变号零点，当时分离参数并构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令， 所以当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，即恒成立， 当时，显然成立； 当时，分离参数，即恒成立， 令，则， 令，可得， 所以当时，，为增函数；时，，为减函数；当时，，为增函数， 当时，；当时，；当时，；当时，， 画出其大致图像 所以. （3）， ， 因为有三个极值点，所以有三个变号零点， 即有三个变号零点， 容易得到是方程的一个根，不是方程的根， 当时，分离变量，， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 画出其大致图像为 极小值， 因为已经是方程的一个根， 所以要使与有两个交点，即且. 【题型5 双变量问题】 1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 2．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将要证明的等式进行变形，将双变量问题通过集中转化为单变量，再换元构造函数，研究其导函数证明即可. 【详解】由，得， 先证明，只要证， 令，则只要证当时，恒成立. 令，则， 所以在上单调递增，所以， 即成立，从而成立，即， 再证明，只需要证明， 令，则只要证当时， 令，， 所以在上单调递减，所以， 即成立，从而成立，即成立， 综上，当时，成立. 3．已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. (2)证明：由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）略 4．定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【答案】(1)1 (2) 由（1）知，，即， 当时，  ． ． ． (3) “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得，      要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【分析】（1）利用定义的运算得到的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于的方程，解方程得解. （2）借助（1）问中的结论，，得到，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，从而得证. （3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出，将所证转化为，通过消元，然后构造函数，借助导数证明即可. 【详解】（1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． （2）略 （3）略 【题型6 极值点偏移问题】 1．已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2),, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性； （3）利用切割线放缩证明. 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）略 2．已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可； （2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 3．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定的取值范围，构造差函数证明即可. 【详解】（1）当时，，易知， 所以曲线在点处的切线方程为：； （2）由已知可得， ①若，则，， 即在上单调递增，上单调递减，， 又时，，所以函数存在两个零点； ②若时，，显然不符合题意； ③若时，令， 当时，令或，令， 即在上单调递减，和上单调递增， 函数极小值为，函数极大值为， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，，则单调递增，至多一个零点，不符合题意； 当时，令或，令， 即在上单调递减，和上单调递增， 函数极大值为，函数极小值为， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 综上所述，时函数有两个零点，则一正一负， 不妨令，设， 令，即在R上单调递增， 所以，， 故时，有，时，有， 即，所以， 则， 又因为在上单调递减，故，证毕. 4．已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示，    所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 1．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用导数分析函数的单调性、最值及零点（记为)，由关于x的不等式恒成立，函数的零点恰好是的零点，结合韦达定理对化简，可得，构造函数，利用导数分析单调性，求得其最大值即可. 【详解】设，则. 令，得. 因为是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最小值为. 因为，，且当时，， 所以有两个不同的零点，记为. 又关于x的不等式恒成立，所以恰为函数的零点. 即. 所以. 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即的最大值为 2．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围. 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 3．已知，设函数，若对任意恒成立，则的所有可能取值构成的集合为__________． 【答案】 【分析】根据题意转化已知条件为，对任意恒成立，设，求导并利用导数分析函数单调性求出最大值，把问题转化为，分析知当且仅当时取等，进而求解． 【详解】对任意，， ，故， 已知， ，上式即， 设， 令，解得，则在上单调递增，在上单调递减， 为的一个极大值点，， 由题意，对任意恒成立， ， 由上述分析可知，当且仅当时取等， 的所有可能取值构成的集合为． 4．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】将问题化为能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围. 【详解】要使得存在满足， 先将不等式进行等价变形为， 两边同乘得， 整理为关于的不等式，即， 令，问题转化为存在使得，即， 对求导，​令，则，即， 由、、在上单调递增，且，， 根据函数的单调性知在上单调递增，而， 所以，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 观察到时，代入得，恰与等价，此时， 故极值点满足，即，故， 因此，存在使成立，当且仅当，则实数的取值范围是. 5．已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若，（其中），，都有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) (3) 【分析】（1）求导后，分与进行讨论，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）由（1）可得不合题意，则可利用时的单调性表示出函数最小值，利用最小值大于等于零计算即可得解； （3）由题意可得，分别计算与，可得，再构造函数，结合其单调性可得. 【详解】（1）， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； （3）由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 1．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的条件，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出的值，再比较大小即可选出正确选项. 【详解】若，则，由，又， 解得，即． 若，则，由，令， 函数为增函数，，，故． 若，则，由，得，故． 综上，． 故选：B 2．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 3．对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【分析】根据定义计算得到，，，，，的性质，通过代入比较大小即可求解. 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 4．设函数，如果存在函数（、为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可知对任意的，，参变量分离得，求出函数在上的最大值，结合得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，，即， 参变量分离可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，故当时，，即， 所以当时，， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减，即， 由不等式的性质可得，即，当且仅当时，等号成立， 故函数在上的最大值为，所以， 即实数的取值范围是. 5．帕德逼近在函数近似理论中具有重要地位，它通过有理函数（两个多项式之比）实现对给定函数的高效逼近，有效克服了传统多项式近似在大区间内误差累积的缺陷.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，. 其中，.已知在处的阶帕德近似为.（其中为自然常数，） (1)求，的值； (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时， 【答案】(1)0，1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得. （2）构造函数，根据，结合函数单调性，由得满足题意，再证明充分性即可. （3）将证明，转换成证明，构造函数，求导，结合即可证明. 【详解】（1）， ； 所以； （2）由（1）得：. 令， 因为， 所以若恒成立，则在附近单调递增，即， 又， 所以，则. 下面证明充分性，即当时，不等式对于任意的恒成立， 由于当时，， 所以，当时，则恒成立， 当时，， 令， ， 所以，在上单调递增， 又，所以恒成立，即在上成立， 所以，成立，充分性得证， 综上，当时，不等式对于任意的恒成立， 即的取值范围为. （3）欲证明，只需证明，           令，， 当时，           当时，， 下证，由（2）可知， ，           取，则有， 所以当时，. 6．记在上的最大值为，在上的最小值为. (1)若，求与； (2)若，且对给定的实数，存在，使得，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，，，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数在区间上的单调性计算即可得； （2）由三角函数性质可得，则在区间上必须能取到与，结合三角函数性质计算即可得； （3）利用导数求出该三次函数单调性及其极值点后，令，分、、及讨论即可得. 【详解】（1）由在上单调递减， 故，； （2）由，故， 由，故，， 故存在，使得，， 由，即在区间上必须能取到与， 令，， 即，， 则可为、，可为、， 故有且，即； （3）由，得 令，得 解得 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 且 设 当或时，方程只有一个实根，设为.此时与分别在两侧出现. 要使上的最小值为且上的最大值为，只能使，，故. 当或时，可看作下面三交点情形的端点情况，所得也包含在下面的范围内. 当时，方程有三个不同实根，记为 由函数的单调性可知 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 因为，所以区间必须在的部分，并且要接触到水平线.因此或. 于是可能出现以下情况： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 综上，对于固定的，一定有 下面估计.由的三个根为，，， 根据根与系数的关系，得 令，则，且 由，代入上式得 于是 所以，从而， 最后说明端点和中间值都可以取到.当时，， 即， 所以三个根为，，. 此时对应，对应. 由前面的四种位置关系可得能取到、以及端点.当从连续变化到时， 从连续变化到，从连续变化到， 因此负值部分也能连续取遍.所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $