暑假作业07 导数与函数的单调性、极值、最值（6种题型，巩固培优）高二数学沪教版

**基本信息** 以导数应用为主线，构建"概念-判定-应用-拓展"四层知识体系，通过系统性方法提炼与分层题型训练，培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4大核心知识点|单调性五步法、极值双判定条件、含参讨论分层逻辑（系数→判别式→根位置）|从基础判定（单调性）到进阶应用（极值/最值），再到复杂拓展（含参讨论），形成概念生成-原理推导-应用深化的递进链条| |题型训练|6类典型题型（每题4小题）|已知单调性/极值/最值求参数的转化策略、导数图像与函数性质互译方法|题型覆盖"正向求解-逆向参数-图像分析-综合应用"，实现方法与题型的精准对应，突出典例对易错点（定义域忽略、根有效性）的警示作用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 导数与函数的单调性、极值、最值 【知识点1 导数与函数的单调性】 1. 判定定理 设 在区间 内可导： 1. 在 上 单调递增 2. 在 上 单调递减 3. 为常函数 2. 求解单调区间标准步骤 1. 求定义域； 1. 求导 ； 1. 解方程 ，找出导数零点； 1. 零点划分定义域为若干小区间； 1. 逐个区间判断 正负，写出增减区间。 补充细节 · 单调区间之间用 逗号 隔开，不能用并集 ； · 个别点 不影响整体单调性（如 ， 导数为 0，全程递增）。 【知识点2 导数与函数的极值】 1. 极值定义 附近： - 左增右减： 为 极大值； - 左减右增： 为 极小值； 极值只是局部最值，不是整个定义域最大最小。 2. 判定第一充分条件（最常用） 1. ； 1. 穿过 时 变号才有极值；不变号无极值（如 在 ）。 3. 第二充分条件（二阶导快速判） ： - 极小值； - 极大值； - 无法判断，退回第一充分条件。 步骤 求导 解 分段看符号变化 标注极大/极小值点与极值。 【知识点3 导数与函数的最值】 1. 闭区间 求最值步骤 1. 求开区间 内所有极值点； 1. 计算极值点函数值、区间端点 、； 1. 全部数值对比：最大为最大值，最小为最小值。 2. 开区间/无穷区间最值判定 只有唯一极值点时： - 唯一极小值 = 全局最小值； - 唯一极大值 = 全局最大值； 若两端极限都比极值大/小，则无全局最大/最小值。 关键区分 极值：局部；最值：整个区间整体。 【知识点4 含参函数单调性讨论】 通用讨论逻辑（以 整理为一次/二次型为主） 1. 先定定义域； 1. 化简 ，因式分解，提取参数； 1. 分层讨论顺序： ① 最高次系数 （降次，变一次函数）； ② 最高次系数 、； ③ 判别式 分 、、； ④ 时比较两根大小、根与定义域边界大小； 1. 每种情况画出导数符号示意图，写出对应单调区间。 经典两类形式 1. 一次型导数：，讨论 、、； 1. 二次型导数： 第一步：；第二步： 看 ；第三步：比较两根位置。 易错点 1. 忽略定义域，把导数零点全部当作有效分界点； 1. 两根相等时只有一个零点，无极值； 1. 根落在定义域外面，只看内部符号。 答题模板 ① 定义域；② 求导整理；③ 分层参数讨论；④ 每种情况写 正负；⑤ 写出单调递增、递减区间。 【题型1 利用导数求函数的单调性、极值、最值】 1．已知函数，且 (1)求值; (2)求平行于直线且与函数曲线相切的直线方程； (3)若，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)， (3)单调递增区间为和；单调递减区间 【分析】（1）求导，令，得到，再结合即可求解； （2）设切点，由导数的几何意义求得切点坐标，即可求解； （3）求导，由，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 对求导： ； 令，得； 整理得： ； 故； 又， 代入中， ， 得； （2）由（1）； 求导； 直线的斜率； 设切点，因为平行直线， 所以；，或 当时切点，切线 当时切点，切线 故切线方程为：和； （3）； ； 令则，； 当或时，单调递增 当时；单调递减 单调递增区间为和；单调递减区间. 2．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 3．设． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)的极大值为，极小值为. (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导，利用导数分析单调性，进而求得单调区间； （2）结合单调性和极值定义求解即可； （3）计算区间端点和区间内所有极值点处的函数值，比较求解最值. 【详解】（1），令，解得，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减。 所以单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）根据（1）可得是极大值点，代入得： 是极小值点，代入得： 所以的极大值为，极小值为. （3）由（2）知函数极值为：，； 因为， ， 故， 所以区间上的最大值为，最小值为. 4．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 【题型2 已知函数单调性求参数】 1．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用函数单调性与导数的关系，将问题转化为导函数非负恒成立，再通过分离参数转化为求新函数的最小值，最后利用导数求函数的极值与最值，确定参数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立. 求导得，故对任意恒成立， 即在上恒成立. 令，，则. 求导得，令，解得（）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，在处取得最小值，. 故，即的取值范围是. 3．若在上严格增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由给定单调区间建立恒成立的不等式并分离参数求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上严格增，得，， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 4．若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】求导得：， 由函数在上单调，则恒成立 或恒成立： 若在上恒成立，即恒成立： 因为，所以的最小值为，因此，得； 若在上恒成立，即恒成立： 因为，的最大值为，因此，得； 综上可得，实数a的取值范围是. 【题型3 已知函数极值求参数】 1．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，把有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不等式组求解． 【详解】函数的定义域为，求导得 ， ，导数的符号由分子决定，令， 函数有两个极值点，等价于在上有两个实根， 则二次方程需满足 ，解得， 的取值范围是． 2．函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解. 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 3．已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】可知， 当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值； 当时，令，解得， 所以时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为， 可得，因为，所以，解得， 即实数的取值范围是. 4．已知函数没有极值点，则______． 【答案】1 【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ∴，即， ∴. 【题型4 已知函数最值求参数】 1．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 2．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 3．已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】分三种情况，利用导数分析的单调性及最值，从而得到的取值范围，求得的最大值. 【详解】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 4．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 【题型5 导数图像与函数单调性、极值、最值的关系】 1．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 【答案】D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得最大值 C．函数在上单调递减 D．在区间内的函数值为负 【答案】C 【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图象可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 故A错误，C正确； 函数在处取得极大值，不一定是最大值，故B错误； 根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，故D错误. 3．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 【答案】③ 【分析】利用原函数和导函数的关系得到原函数的单调性，利用单调性得到极值，结合单调性得到不是最小值. 【详解】当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数； ，，故①错误； 因为当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 故②错误，③正确； 当时，，是单调递减函数，且，， 所以，函数的最小值不是. 故④错误. 4．已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________.    【答案】②③ 【分析】根据图像及导数与函数单调性的关系判断出实线图像是的图像，虚线的图像是的图像，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系求解. 【详解】由图像可知实线图像在区间函数值分别为正、负、正，而 虚线图像在区间分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实线的是的图像，虚线是的图像.所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④错误; 又因为， 由图像可知时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间(0,3)上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、0、3分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点 所以③正确 【题型6 含参函数单调性讨论】 1．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)是的极小值点，极小值为 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）通过导数求函数的极值点和极值； （2）分类讨论，结合导数的正负研究函数的单调性； 【详解】（1）当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. （2）的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 3．已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在单增；当时，在单调递减，在上单调递增 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求得的单调区间. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 4．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，求出的解，再由极值的定义即可求解； （2）根据条件得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 1．函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把极值点问题转化为导数的变号零点问题，分离参数，结合函数图象可得答案. 【详解】，因为在内存在2个极值点， 所以在内存在2个变号零点， 即方程在内有两个不同的实数根， 即在内有两个不同的实数根， 令，则直线与在上有两个不同的公共点， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以有最大值， 因为， 所以直线与在上有两个不同的公共点时，. 2．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 3．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 4．已知直线与曲线，分别交于A，B两点，则_____． 【答案】 【详解】设，所以，， 整理得，， 又在直线上，所以， 要使最小，只需求的最小值， 由得或， 当时，， 当时，， 显然， 所以要求的最小值，则， 令， 则， 令，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以的最小值为. 5．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 (3) 【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值． 【详解】（1）由得. （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得，故， 构造函数，则，令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 6．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 1．已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 2．设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的导数，再分别求出的单调递减区间和的单调递增区间，最后根据“缓减区间”的定义判断各选项即可. 【详解】由题意得， 又，由，得，解得，， 即的单调递减区间为，． 设， 则． 由得，即， 又，则，解得，， 即的单调递增区间为，． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”. 3．已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 4．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 【答案】 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小． 【详解】设，， 当时，，即， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即， 所以． 5．已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：当时，， 要证，即证恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，取得极小值，也是最小值，即， 即恒成立，故原结论成立； (3) 【分析】 （1）依题意，得，解之可得的值； （2）要证，即证恒成立，通过构造函数，结合求导分析，可证得结论成立； （3）由题意，当时，恒成立，通过分离参数，构造函数及求导分析，可得的取值范围． 【详解】（1） 易知函数的定义域为， ∵， ∴. ∴. （2）略. （3）若函数在区间上单调递增， 即当时，恒成立恒成立， 即恒成立，即， 令， 当时，，当时，， ∴在单调递增，在单调递减， 又当时，，当时，， ∴， ∴， 即的取值范围为． 6．已知函数 (1)若曲线在处的切线与直线平行，求该切线方程. (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据切线斜率求出，然后根据函数值和斜率求出切线方程. （2）根据单调性列出不等式，构造新函数，求导判断单调性，求出最小值，即可求得结果. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为曲线在处的切线与直线平行， 所以，解得. 所以，而. 所以该切线方程为，即. （2）对函数求导得，因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，求导得. 当时，则；当时，则； 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 所以要使得在区间上恒成立，则. 所以的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 导数与函数的单调性、极值、最值 【知识点1 导数与函数的单调性】 1. 判定定理 设 在区间 内可导： 1. 在 上 单调递增 2. 在 上 单调递减 3. 为常函数 2. 求解单调区间标准步骤 1. 求定义域； 1. 求导 ； 1. 解方程 ，找出导数零点； 1. 零点划分定义域为若干小区间； 1. 逐个区间判断 正负，写出增减区间。 补充细节 · 单调区间之间用 逗号 隔开，不能用并集 ； · 个别点 不影响整体单调性（如 ， 导数为 0，全程递增）。 【知识点2 导数与函数的极值】 1. 极值定义 附近： - 左增右减： 为 极大值； - 左减右增： 为 极小值； 极值只是局部最值，不是整个定义域最大最小。 2. 判定第一充分条件（最常用） 1. ； 1. 穿过 时 变号才有极值；不变号无极值（如 在 ）。 3. 第二充分条件（二阶导快速判） ： - 极小值； - 极大值； - 无法判断，退回第一充分条件。 步骤 求导 解 分段看符号变化 标注极大/极小值点与极值。 【知识点3 导数与函数的最值】 1. 闭区间 求最值步骤 1. 求开区间 内所有极值点； 1. 计算极值点函数值、区间端点 、； 1. 全部数值对比：最大为最大值，最小为最小值。 2. 开区间/无穷区间最值判定 只有唯一极值点时： - 唯一极小值 = 全局最小值； - 唯一极大值 = 全局最大值； 若两端极限都比极值大/小，则无全局最大/最小值。 关键区分 极值：局部；最值：整个区间整体。 【知识点4 含参函数单调性讨论】 通用讨论逻辑（以 整理为一次/二次型为主） 1. 先定定义域； 1. 化简 ，因式分解，提取参数； 1. 分层讨论顺序： ① 最高次系数 （降次，变一次函数）； ② 最高次系数 、； ③ 判别式 分 、、； ④ 时比较两根大小、根与定义域边界大小； 1. 每种情况画出导数符号示意图，写出对应单调区间。 经典两类形式 1. 一次型导数：，讨论 、、； 1. 二次型导数： 第一步：；第二步： 看 ；第三步：比较两根位置。 易错点 1. 忽略定义域，把导数零点全部当作有效分界点； 1. 两根相等时只有一个零点，无极值； 1. 根落在定义域外面，只看内部符号。 答题模板 ① 定义域；② 求导整理；③ 分层参数讨论；④ 每种情况写 正负；⑤ 写出单调递增、递减区间。 【题型1 利用导数求函数的单调性、极值、最值】 1．已知函数，且 (1)求值; (2)求平行于直线且与函数曲线相切的直线方程； (3)若，求函数的单调区间． 2．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 3．设． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最大值与最小值． 4．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【题型2 已知函数单调性求参数】 1．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若在上严格增，则实数的取值范围是______． 4．若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【题型3 已知函数极值求参数】 1．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 3．已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 4．已知函数没有极值点，则______． 【题型4 已知函数最值求参数】 1．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 2．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 4．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【题型5 导数图像与函数单调性、极值、最值的关系】 1．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得最大值 C．函数在上单调递减 D．在区间内的函数值为负 3．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 4．已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________.    【题型6 含参函数单调性讨论】 1．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 2．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 3．已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 4．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 1．函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 4．已知直线与曲线，分别交于A，B两点，则_____． 5．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 1．已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 4．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 5．已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 6．已知函数 (1)若曲线在处的切线与直线平行，求该切线方程. (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $