5.1 轴对称 课件 2025-2026学年湘教版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“将军饮马（最短路径问题）”，通过复习“两点之间线段最短”“垂线段最短”等基本事实及轴对称作图，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从实际问题抽象出数学模型。 其亮点在于以模型化教学为主线，涵盖“一定直线异侧/同侧两定点”等四类模型，培养学生数学眼光（抽象问题）、数学思维（逻辑推理证明）和数学语言（归纳解决步骤）。如通过轴对称将同侧点转化为异侧，用三角形三边关系证明路径最短，结合村庄供水等实例。帮助学生掌握转化思想，教师可依托结构化内容提升教学效率。

湘教版数学七年级下册 第5章 轴对称与旋转 专题—— 将军饮马（最短路径问题） 情境导入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短 P l A B C D 复习巩固 3.我们还了解哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边 斜边大于直角边 4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？ l A A′ O 复习巩固 将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 抽象成 作图问题：在直线l上求作一点P，使AP+BP最短问题. A B 数学问题 A l B P l 探索新知 ——一定直线，异侧两定点 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短？ 根据是“两点之间，线段最短”. 连接AB,与直线l相交于一点P. A l B P 探索新知 ——一定直线，异侧两定点 l B A 问题2 点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′. P A B l 抽象成 A′ P 探索新知 ——一定直线，异侧两定点 （2）连接A′B，与直线l相交于点P． 作法 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′ 则点P 即为所求 l P A' B' B A 探索新知 ——一定直线，同侧两定点 能不能作出B点的对称点B',连接AB'，与l还交于P点吗？ 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ l A P' P B A' 证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合) 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知: AP =A′P，AP′=A′P′ ∴AP +BP= A'P +BP = A′B AP′+BP′= A′P′+BP′ 在△A′BP′中， A′B＜A′P′+BP′ ∴AP +BP＜AP′+BP′ 即:AP +BP 最短 探索新知 l P A' B A 同侧转化异侧 两定点在同侧 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”确定所求位置 两定点在异侧 A l B P 归纳小结 模型三：二定直线，一定点 探索新知 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小. M N O A B P2 P1 P M N O P2 P1 P A' B' 模型四：二定直线，二定点 探索新知 如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B. 使四边形PAQB的周长最小. M N O Q1 P1 A B P Q 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 小试牛刀 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 . A B C E F D E' F' 5 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. F' 小试牛刀 3.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是 . A B O P P1 P2 Q R 10 小试牛刀 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”确定所求位置 课堂小结 Lavf60.16.100 $