2025-2026学年人教版七年级数学下册-期末模拟试题卷（四）

**基本信息** 2025-2026学年七年级数学期末模拟卷，以代数、几何、统计为核心，融合《孙子算经》《九章算术》等文化素材与文明养犬调查、监控设备购买等实际问题，梯度覆盖基础运算、逻辑推理与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|实数比较、方程组、平行线判定、抽样调查|结合数轴考查不等式性质，强化抽象能力| |填空题|6/18|三角板角度、方程组参数、频数频率、新定义“吉祥点”|设计“吉祥点”坐标问题，发展几何直观与创新意识| |解答题|11/84|实数运算、方程组求解、平行线证明、统计图表、方案设计|含《九章算术》算筹方程、监控设备购买方案等，体现模型意识与应用能力，如第22题通过不等式组解决资金与覆盖范围优化，培养推理能力|

2025-2026学年下学期七年级数学期末模拟试题卷04 注意事项： 1.考试时间：120分钟 分值：120分 2.请按试题序号在答题卡相应的位置作答，答在试题卷或其它位置无效 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1．在这四个数中，比小的是（   ） A． B． C．0 D． 2．已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．互补的角是邻补角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 4．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查；②12000名学生是总体；③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分) 7．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为______． 8．若方程组的解满足，则a的值为_______． 9．已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 10．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是______． 11．对于三个数，我们规定用表示这三个数的平均数，用示这三个数中最小的数．例如：，，如果，那么___________． 12．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有_______． 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13．计算、解方程组： (1)； (2)． 14．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)若的立方根是2，求的算术平方根． 15．已知点在平面直角坐标系中． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值． 16．如图，，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 17．在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点的对应点为，点，的对应点分别是，F． (1)过点作的平行线． (2)请画出平移后的． (3)连接，，则这两条线段之间的关系是__________ 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18．在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： (1)任务一：图2所表示的方程组为_____． (2)任务二：请解你所列的方程组． 19．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 20．为配合今年的“文明养犬”宣传活动，淘气和同学们在学校所在社区开展了支持的文明养犬方式”为主题的问卷调查活动，征求市民的意见，并将调查结果分析当绘制成了如下统计图． (1)淘气和同学们一共随机调查了（    ）人． (2)请你把扇形统计图、条形统计图都补充完整． (3)若该社区共有2000位居民，请你估计支持“定期注射疫苗”方式的居民约有多少． 五.解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 22．为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 (1)求a、b的值． (2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ (3)在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 六.解答题（本大题共12分） 23．如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期七年级数学期末模拟试题卷04 （参考答案及解析） 1．D 【分析】本题考查实数比较大小，根据题意，得到即可确定答案．掌握实数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 在这四个数中，比小的是， 故选：D． 2．A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直与平行线的判定方法，邻补角的定义等知识，难度不大． 利用平行线的性质、垂直与平行线的判定方法，邻补角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析． ①这种调查方式是抽样调查，说法正确； ②12000名学生的身高情况是总体，原说法错误； ③600名学生的身高情况是总体的一个样本，原说法错误； ④每名学生的身高是个体，说法正确； ⑤样本容量是600，原说法正确； 所以正确的判断有①④⑤，共3个． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组． 【详解】根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程， 根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程， 所以可列方程组为． 故选：A． 7．/75度 【分析】本题考查三角形的外角性质、三角板有关的角度计算，如图，利用三角形的外角求得即可求解． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．3 【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次方程，先将两个方程相加得到，再根据已知得到，进而解方程可得答案． 【详解】解：对于方程组， 由得，则， ∵方程组的解满足， ∴，解得， 故答案为：3． 9．8 【分析】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算． 【详解】解：根据题意得：第一组到第四组的频率和是： ， 又∵第五组的频率是， ∴第六组的频率为， ∴第六组的频数为：． 故答案为：8． 10． 【分析】先解不等式组，再根据仅有４个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有4个， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 11．或/或 【分析】根据定义规程，先算出的平均数，再根据分类讨论，当时；当时；当时，的值并检验，由此即可求解． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，则，，符合题意； 当时，， ∴，则，，不符合题意； 当时，， ∴，则，，符合题意； 综上所示，如果，那么的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解定义新运算的规程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 12．①②④ 【分析】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【详解】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确； ②∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉祥点”，故说法②正确； ③∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法③错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， ∴，故说法④正确； 综上可知，说法①②④正确； 故答案为：①②④． 13．(1) (2)方程组的解是 【分析】本题考查实数的运算、解二元一次方程组，正确求解是解答的关键． （1）先根据立方根、平方根的定义、绝对值的性质求解，再加减运算即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 将①代入②中，得，解得， 将代入①中，得， ∴方程组的解为． 14．(1)， (2)5 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根，算术平方根，立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根的定义即可求出答案； （2）求出的值，再求出b的值，最后求出的算术平方根．． 【详解】（1）一个正数的两个不同的平方根分别是和 ， 解得， ，， ； （2）的立方根是2， ， ， ， ， ， 的算术平方根是． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，在y轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求解即可； （2）坐标系中点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据两直线平行，同旁内角互补，得，因为，故，即可作答． （2）先由，得，再结合平分，故，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据网格的特点作平行线即可； （2）由点和点的位置可确定平移方式为“向右平移格，向下平移格”，即可确定，点平移后的对应点，，最后顺次连接，，三点即可； （3）根据平移的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图1规律，列出图2关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论． （2）利用加减消元法，即消去x，再求出y即可求解． 【详解】（1）解：依题意得； 故答案为. （2）， 得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 20．(1)200 (2)统计图见解析 (3)600人 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． （1）由“办理养犬登记”的数除以所占的百分比即可求出调查的总人数； （2）由“外出拴绳”除以总数得出所占的百分比，总数减去“外出拴绳”、“办理养犬登记” “不去登记”得出“定期注射疫苗”数，然后除以总数得出所占的百分比，补全条形统计图即可； （3）利用“定期注射疫苗”所占的百分比，乘以2000即可得到结果． 【详解】（1）（人） 淘气和同学们一共随机调查了200人， 故答案为：200 （2）外出栓绳的：， 定期注射疫苗的：（人）， ， 完整统计图为： （3）（人）， 估计支持“定期注射疫苗”方式的居民约有600人． 21．(1)否 (2)10 (3)或或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【详解】（1）解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． （2）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 22．(1) (2)学校有三种购买方案：方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台；方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； (3)购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元”列方程组，求解即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“购买该批设备的资金不超过11000元”列不等式，求出不等式的正整数解即可得出答案； （3）首先分别计算出三种方案的监控半径覆盖范围是否满足要求，再计算所需资金，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 由题意得：， 解得：， ∵两种型号的设备均要至少买一台， ∴，2，3， ∴学校有三种购买方案： 方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台； 方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台； 方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； （3）方案一的监控半径覆盖范围为：，不满足要求； 方案二的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； 方案三的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； ∵， ∴方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱． 23．(1)，见解析 (2)①；②或，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键． （1）由平分，得到，又，所以 ，证得； ①由平分，平分，得到，由可得，，，即可得到结果； ②当点G在点F的左侧时，由平分，平分，得到，由，得到， ，从而得到结果． 【详解】（1）解：如图1，， 理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）①如图2，平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ②和之间的数量关系为或． 理由如下： 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 综上得，和之间的数量关系为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $