2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习专题4：整式乘法（提升练习）

**基本信息** 以整式乘法为核心，通过“基础运算-公式应用-几何建模-探究推理”四级递进设计，融合运算能力与几何直观，系统构建“数式-图形-应用”逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-2、填空9-10|单项式乘多项式法则、幂的运算律|从定义到基本运算，夯实整式乘法基础| |公式应用|选择3-6、填空11-14|平方差/完全平方公式变形、整体代入法|公式正向应用到逆向推导，强化代数推理| |几何建模|选择7-8、填空15-16|图形面积转化、方程思想|几何直观支撑代数表达，体现数形结合| |探究推理|解答20-24|特例归纳-猜想证明-拓展应用、新定义问题解法|从具体到抽象，培养创新意识与应用能力|

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末复习专题4：整式乘法 （提升练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.用简便方法计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3.若，则的值为（　　） A. B. 5 C. D. 4.已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 4 C. 2 D. 1 5.已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 6.若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 由x的取值而定 7.如图，4张边长分别为、的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ） A. B. C. D. 8.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为14，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.计算2a(a+3b)的结果等于______________． 10.计算：______． 11.已知，，则的值是___________． 12.若，则_____． 13. 小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为__________． 14.已知，则的值是________． 15.如图，点在线段上，分别以、、为直径画圆，圆心分别是点、、．已知，比小则图中阴影部分的面积为_________．(用含、的代数式表示)． 16. 图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.利用乘法公式计算下列各题： （1）． （2）． 18.先化简再求值：，其中，． 19.若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 20.（1）【特例探究】比较与 的大小用等号或不等号填空： 当， 时 ， ， 当， 时 ， ， 当， 时 ， ； （2）【猜想证明】无论 取何值，试猜想与 大小关系，并说明理由； （3）【拓展应用】已知，求 的最大值， 21.定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数．为，的“和积数”． （1）若，，求，的“和积数”； （2）若，，求，的“和积数”． 22.如图，长方形的面积为， 三角形的面积为． （1）分别求出与的值(结果用含m 的代数式表示，并化为最简形式)； （2）若一个正方形的边长为，设该正方形的面积为， 试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由． 23. 探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题 背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示 素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为． 素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S． 问题解决 任务1 用含有a，b的代数式分别表示，． 任务2 请比较与的大小关系，并说明理由． 任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由． 24.数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：__________． 【例题解析】：如图3，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ，，即：， 又，． 方法二：从“形”的角度解： ，，又，， ．即． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若，则__________． （3）如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.用简便方法计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3.若，则的值为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】C 4.已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 5.已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】B 6.若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（） A. M＞N B. M＝N C. M＜N D. 由x的取值而定 【答案】A 7.如图，4张边长分别为、的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为14，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.计算2a(a+3b)的结果等于______________． 【答案】 10.计算：______． 【答案】 11.已知，，则的值是___________． 【答案】5 12.若，则_____． 【答案】1 13. 小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为__________． 【答案】7 14.已知，则的值是________． 【答案】13 15.如图，点在线段上，分别以、、为直径画圆，圆心分别是点、、．已知，比小则图中阴影部分的面积为_________．(用含、的代数式表示)． 【答案】 16. 图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则______． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.利用乘法公式计算下列各题： （1）． （2）． 【答案】（1）解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18.先化简再求值：，其中，． 【答案】 ； 当，时，原式． 19.若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【答案】能被整除，理由为： 由题意设（k为正整数）， 则 ， ∴能被整除． 20.（1）【特例探究】比较与 的大小用等号或不等号填空： 当， 时 ， ， 当， 时 ， ， 当， 时 ， ； （2）【猜想证明】无论 取何值，试猜想与 大小关系，并说明理由； （3）【拓展应用】已知，求 的最大值， 【答案】（1）当，时，，， ， 当，时，，， ， 当，时，，， ； 故答案为：，，； （2）； 理由：， ； （3），， ， ， 的最大值为． 21.定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数．为，的“和积数”． （1）若，，求，的“和积数”； （2）若，，求，的“和积数”． 【答案】（1）根据“和积数”的定义，得； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上所述：得值为或． 22.如图，长方形的面积为， 三角形的面积为． （1）分别求出与的值(结果用含m 的代数式表示，并化为最简形式)； （2）若一个正方形的边长为，设该正方形的面积为， 试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意得，； ； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴ ． 23. 探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题 背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示 素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为． 素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S． 问题解决 任务1 用含有a，b的代数式分别表示，． 任务2 请比较与的大小关系，并说明理由． 任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：由题意得，， 如图③所示，，， ∴； 任务2：当时，，当时，，当时，，理由如下： ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则； 任务3：如图④所示，∵， ∴， ， ， ∵始终保持不变， ∴， ∴． 24.数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：__________；图2：__________． 【例题解析】：如图3，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ，，即：， 又，． 方法二：从“形”的角度解： ，，又，， ．即． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若，则__________． （3）如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， 故答案为：10 （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $