13.2.3 三角形内角和定理的证明及推论1、2 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理的证明及推论1、2，通过动手拼图活动引导学生直观感知内角和为180°，再过渡到严谨证明，衔接前期几何基础，构建从直观操作到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于强化几何推理书写与角度运算，通过多种证法（如作平行线、延长边）培养推理能力，规范证明过程提升数学表达。结合数学眼光（动手拼图发现规律）、数学思维（多证法逻辑推导），例题与提优题助力学生巩固，教师可借助详细解析高效教学，促进学生逻辑思维与应用能力发展。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.2.3三角形内角和定理的证明及推论1、2 第13章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 13.2.3 三角形内角和定理的证明及推论1、2 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦本节核心重难点，包含三角形内角和定理的严谨证明、两大推论的理解与应用、三角形外角性质、内外角综合计算、利用推论判断三角形形状等高频考点。主打几何推理书写与角度运算，衔接前期几何证明基础，强化几何逻辑思维，适配课后同步巩固与专项突破。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三角形内角和定理的内容是三角形的三个内角和为（） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 2. 三角形外角推论1的内容是（） A. 三角形的一个外角等于任意一个内角 B. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 C. 三角形的外角大于任意内角 D. 三角形外角和为180° 3. 根据推论2，三角形的一个外角一定（） A. 小于与它不相邻的内角 B. 大于与它不相邻的任意一个内角 C. 等于相邻内角 D. 大于所有内角 4. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角度数为（） A. 110° B. 70° C. 50° D. 60° 5. 下列说法错误的是（） A. 三角形任意外角大于不相邻内角 B. 直角三角形两外角一定为钝角 C. 三角形外角可利用内角和定理推导 D. 外角一定大于相邻内角 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________。 2. 推论1：三角形的一个外角等于________________________。 3. 推论2：三角形的一个外角________与它不相邻的任意一个内角。 4. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角为________°。 5. 三角形的一个内角为30°，则它的相邻外角为________°。 三、解答题（共60分） 1.（20分）完整证明三角形内角和定理：已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°。（要求作辅助线，规范书写证明过程） 2.（20分）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，已知∠A=60°，∠B=45°，求∠ACD的度数，并写出推理依据。 3.（20分）利用三角形外角推论，证明：三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任意一个内角。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：三角形内角和定理为固定结论，三内角和为180°。 2.B 解析：推论1核心：外角等于不相邻两个内角和，是角度计算核心依据。 3.B 解析：推论2规定，三角形外角大于任意一个不相邻的内角。 4.A 解析：外角=∠A+∠B=50°+60°=110°，直接利用推论1求解。 5.D 解析：钝角三角形中，钝角的相邻外角为锐角，小于相邻内角。 二、填空题 1.180° 2.与它不相邻的两个内角的和 3.大于 4.100 5.150 三、解答题 1. 证明：过点A作EF∥BC。∵EF∥BC（辅助线作法），∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等）。又∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义），∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）。即三角形内角和为180°。 2. 解：∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角推论1，外角等于与它不相邻的两个内角和。∴∠ACD=∠A+∠B=60°+45°=105°。 3. 证明：设△ABC中，∠ACD为外角。由推论1得：∠ACD=∠A+∠B。∵∠A＞0°，∠B＞0°，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。即三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任意一个内角。 （字数：810） 学习目标 1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用 2.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2; （重点、难点） 3.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处;（难点） 学习目标 活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 三角形的内角和的证明 1 三角形三个内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 要点归纳 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 三角形的内角和定理的运用 2 【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 问题1：在△ABC 中，∠C = 90°，求 ∠A +∠B 的度数？由此你能得到什么结论？ 问题2：在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，则∠C 度数为多少？由此你能得到什么结论？ 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠C＝ 90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠A ＋∠B＝90°， ∴∠C＝90°. 三角形内角和定理的推论1、2 3 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和推论 1： 三角形内角和推论 2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题 叫做推论. 要点归纳 知识点1 三角形内角和定理的证明 1.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是(　　) 返回 D 基础提优题 知识点2 直角三角形的性质 2.如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.则下列结论中一定正确的是(　　) A.∠1＝∠A　　B.∠1＋∠B＝90° C.∠2＝∠A　　D.∠A＝∠B (第2题) 返回 C 基础提优题 3.［2026淮北第一中学期中］两个直角三角板如图放置，则∠BFE与∠CAF的度数之和等于(　　) A.140° B.145° C.150° D.155° (第3题) 返回 C 基础提优题 4.［2026芜湖期中］如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为(　　) A.10°　　 B.15°　　 C.20°　　 D.25° (第4题) A 基础提优题 【点拨】∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.又∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝50°.∵AD是△ABC的高， ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝10°. 返回 (第4题) 基础提优题 5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，点E，F分别为AB，AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A′处，EA′，FA′分别交BC边于点M，N.若∠BEA′＝80°，则∠CFA′的度数为(　　) A.100°　　 B.110°　　 C.115°　　 D.120° (第5题) A 基础提优题 【点拨】∵∠BEA′＝80°，∴∠AEA′＝180°－∠BEA′＝100°.由折叠得∠AFA′＝2∠AFE，∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝50°.∵∠A＝90°，∴∠AFE＝90°－∠AEF＝40°.∴∠AFA′＝2∠AFE＝80°. ∴∠CFA′＝180°－∠AFA′＝100°.故选A. 返回 (第5题) 基础提优题 知识点3 直角三角形的判定 6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A.∠A＝∠B＝3∠C B.∠A－∠B＝∠C C.∠A＋∠B＝∠C D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 A 基础提优题 【证明】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠DBF＋∠BFD＝90°. 又∵∠BFD＝∠AFE＝70°，∴∠DBF＝20°. 又∵∠ABD＝40°，∴∠ABF＝20°＝∠DBF. ∴BE平分∠ABC. 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC 上任意一点，连接BE交AD于点F. (1)若∠ABD＝40°，∠AFE＝70°，求证：BE平分∠ABC； 基础提优题 (2)在(1)的条件下，若∠AFE＝∠AEF，请直接写出图中所有的直角三角形. 返回 【解】△ABC，△ABE，△ABD，△ACD，△BDF都是直角三角形. 基础提优题 易错点 忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解 8. 在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值是　　　. 2或6 【点拨】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，mx，4x.当∠C为直角时，2x＋mx＝4x，解得m＝2；当∠B为直角时，2x＋4x＝mx，解得m＝6.故答案为2或6. 基础提优题 三角形内角和定理的证明及推论 1、2 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂小结 $