第13章 解三角形中的边角关系、命题与证明（复习课件）数学沪科版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形中的边角关系、命题与证明等核心知识，通过单元知识图谱将三角形的概念分类、三边关系、内角和定理及推论、重要线段与命题的真假判断证明规范等内容串联，构建“概念-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，注重数学思维与推理能力的培养。例如等腰三角形周长问题通过分类讨论腰与底边渗透分类思想，证明题规范书写步骤强化逻辑推理，针对训练分基础与综合题满足分层需求，知识图谱助力几何直观，有效提升学生知识巩固效果，为教师提供系统复习框架。

单元复习课件 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 沪科版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 2.掌握三角形内角和定理（内角和为180°），会利用直角三角形两锐角互余及通过两锐角互余判定直角三角形。理解命题的概念及组成；真命题与假命题的判断；证明的基本步骤与规范书写。 1.了解三角形的定义、分类（按边、按角），体会三角形概念、分类及各性质间的整体联系。 能用三角形三边关系判断线段能否构成三角形。理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能识别并运用它们进行相关线段计算。 3. 会利用定理及外角性质（外角等于不相邻两内角和、大于不相邻内角，外角和360°），解决角度计算、证明等问题 。学会标准形式命题的改写；理解 “证明的必要性”；证明思路的形成（从 “已知” 到 “求证” 的逻辑链条）。 单元学习目标 三角形中的边角关系、命题与证明 三边长的关系 命题 几条重要的线段 关系 按边三角形分类 角的关系 边角关系 分类 三角形中的边角关系 高、角平分线、中线 按角三角形分类 假命题 定理 原命题 真命题 基本事实 推论 逆命题 互逆 三角形内角和定理 推论1 推论2 推论3 推论4 单元知识图谱 考点一、三角形的概念及其分类 （一）三角形的概念。 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作做三角形. 有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角. 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC　”，读作“三角形ABC ”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB 等. 顶点C 角 顶点A 角 边a 边c 顶点B 边b 考点串讲 考点一、三角形的概念及其分类 （二）三角形的分类。 三角形按边分类 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 不等边三角形 等腰三角形 也可以用图形表示三角形按边分类的情况： 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 考点串讲 考点二、三角形的三边关系 在△ABC中，如果把它的任意两个顶点看作定点，则两定点之间的所有连线中，线段最短。 例如，将B、C看作定点， 则AB+AC>BC 同理，得AC+BC>AB, AB+BC>AC. AB>BC-AC 三角形中任意两边的和大于第三边. 三角形中任意两边的差小于第三边. 考点串讲 考点三、三角形中角的关系 三角形的内角和等于180° 三角形中，任意一个内角都小于180° 锐角 直角 钝角 斜边 直角边 直角边 三角形按角的大小分类： 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 考点串讲 考点四、三角形中重要的几条线段 三角形的 重要线段 概念 图形 几何表示法 三角形 的高线 三角形 的中线 三角形的 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 BD=CD= BC. 三角形一个内角的平分线 与它的对边相交,这个角 顶点与交点之间的线段 ∠1=∠2= ∠BAC 考点串讲 考点四、三角形中重要的几条线段 三 角 形 的 重 要 线 段 高线 中线 角平分线 钝角三角形两短边上的高画法 等积法表示三角形的面积 重心 等分原三角形面积 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 考点串讲 考点五、命题的判断及其真假性 前面几个分别是三角形、三角形的角平分线、有理数的定义；前两个定义揭示了对象的特征性质，后一个有理数的定义明确了所指对象的范围. 像这样，能明确界定某个对象含义的语句叫作定义. 像这样，可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 经判断是正确的命题我们称之为真命题. 经判断是错误的命题我们称之为假命题. 如果一个语句不能判断真假，那么它就不是命题. 考点串讲 考点五、命题的判断及其真假性 判断语句是不是命题的依据： ①命题必须是一个完整的句子； ②这个句子必须对某件事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可. 命题的组成与形式： 命题通常由条件和结论两部分组成.条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 这样的命题通常可写成“如果……那么……”的形式. 考点串讲 考点六、原命题和逆命题 以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”. 如：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”. 考点串讲 考点六、原命题和逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. ①互逆命题是指两个命题之间的一种关系，即条件、结论相反，任何命题都有逆命题； ②互逆命题是相对的，称其中任何一个命题为原命题，另一个命题就是这个原命题的逆命题； ③写一个命题的逆命题时，不能机械地把条件、结论生硬地交换，还应注意语言的表达方式，使叙述的逆命题语句完整、表意正确. 考点串讲 考点七、三角形内角和定理及推论1、2 已知：如图，△ABC.求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. A B C E D 1 2 证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA. (同位角相等，两直线平行) ∴ ∠A=∠1. (两直线平行，内错角相等) ∵B、C、D在同一条直线上，(所作) ∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换) 为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 辅助线通常画成虚线. 考点串讲 考点七、三角形内角和定理及推论1、2 A B C E D A B C l A B C D E F A B C l A B C D E F 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 考点串讲 考点七、三角形内角和定理及推论1、2 在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数. 由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°. 推论1 直角三角形的两锐角互余. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论. A B C 考点串讲 考点七、三角形内角和定理及推论1、2 在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C 的度数. 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°， ∴ ∠C =180°– (∠A+∠B)=180°– 90°= 90°. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. A B C 考点串讲 考点八、三角形的外角 三角形内角和定理的推论： 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∠ABC+∠ACB=∠1 推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. ∠1 > ∠B， ∠1> ∠C ∠1+∠2+∠3=360°. 三角形外角和： B A C 1 2 3 考点串讲 题型一、判断三条线段是否能组成三角形 例1．判断:用下列长度的三条线段能否组成一个三角形. (1)4cm,7cm,2 cm;　　　　　　(2)3 cm,2 cm,1cm;　 (3)10cm,4 cm,6 cm;　　　　　(4)5 cm, 6 cm, 15 cm. 因为４＋２＜７ 所以4cm,7cm,2 cm不能组成一个三角形 因为１＋２＝３ 所以3 cm,2 cm,1cm不能组成一个三角形 因为４＋６＝１０ 所以10cm,4 cm,6 cm不能组成一个三角形 因为５＋６＜１５ 所以5 cm, 6 cm, 15 cm不能组成一个三角形 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 题型剖析 例2. 等腰三角形的周长为18cm。 （1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长； 解 （1）设等腰三角形的底边长为x cm, 则腰长为 2x cm 根据题意,得x+2x+2x=18. 解方程,得x=3.6. 所以该三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2 cm。 方法技巧 根据腰长和底边的数量关系，由周长的定义列出方程即可求解． 题型二、等腰三角形的讨论 题型剖析 题型二、等腰三角形的讨论 例2等腰三角形的周长为18cm。 （2）如果一边长为4cm，求另两边长。 (2)① 若等腰三角形的底边长为4cm,设腰长为ycm 根据题意,得2y+4=18. 解方程,得y=7. ４ｃｍ为底边长 ４ｃｍ为腰长 ②　若等腰三角形的腰长为4cm,设底边长为zcm. 根据题意,得2x4+z=18. 解方程,得z= 10. 由于4 +4 < 10,可知以 4cm 为腰长不能构成周长为 18cm 的等腰三角形. 所以该三角形的另两边长都是7cm. 求出三角形的三边后，需要判断是否符合三角形三边的构成条件 题型剖析 题型三、应用三角形内角和定理求角度 例3.如图13-6，在中，，垂足为点． ,．求和的度数． 解　因为 所以 在中, （三角形的内角和等于180°） 又因为， 所以 同理可得，得 应用三角形的内角和等于180°时，需要写明在哪一个三角形中 “同理”，是指重复前面的推理过程 题型剖析 题型四、三角形的高、中线、角平分线 例4.如图，AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的高，AD=3， BC=5，AC=4，则BE的长是（　　）. A. B.3 C.2 D. A 方法技巧 在三角形中，利用两种不同的方式计算面积，并用等式表示的方法叫做等面积法． 题型剖析 题型四、三角形的高、中线、角平分线 例5.如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于D点，延长BO交AC于E点，若BC=6，AC=4，则BD+AE=________. 5 题型剖析 题型四、三角形的高、中线、角平分线 例6.在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中: ①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE=EC，其中正确的是（　　） Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．①④ Ｄ．②③ Ｄ 题型剖析 考点五、命题 例7.将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_______________________________________________________________________. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 例8..判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例. （1）若点在第三象限，则 . 解：假命题.反例：当，时，点 在第三象限，但 . （2）在不等式 的两边都除以同一个不为0的数，不等号的方向不变. 解：假命题. 反例：在不等式的两边都除以，得 ，不等号的方向改变. 题型剖析 考点五、命题 例9.写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例. (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果a＝0，那么ab＝0. 解：(1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题. (2)逆命题是“如果ab＝0，那么a＝0”，是假命题. 反例：当a＝1，b＝0时，ab＝0，而a≠0. 题型剖析 考点六、证明的格式及书写方法 例10.补充完成下列证明，并填上推理的依据. 已知：如图， ， . 求证： . 证明： ，（已知） _____ ，（邻补角的定义） _____.( ) ____.( ) _____.( ) 同角的补角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 题型剖析 考点六、证明的格式及书写方法 又 ，（已知） _____.( ) .( ) .( ) 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 证明过程中的每一步推理都要有依据，不能想当然地得 出结论. 题型剖析 考点七、三角形内角和定理 例11.补充完成下列证明： 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F. ∵DE∥AB， A　 B　 C　 D　 E　 F　 3　 1　 2　 ∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等) ∵DF∥AC， ∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等) 又 ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换) 题型剖析 考点八、三角形内角和定理推论1、2 例11.在△ABC 中， （1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ； （2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ； （3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则∠B = ； （4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形. 60° 65° 75° 直角 题型剖析 例12. 写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的平 分线所夹的锐角是 ”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题. 思路点拨 写出逆命题 画图→写出已知、求证 利用角平分线、三角 形内角和定理及其推论得出结果. 解：逆命题是“如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是 ，那么这个三角形是直角三角形”. 已知：如图3，在中，是 的平分线， 是的平分线，与 相交于点， 且 . 考点八、三角形内角和定理推论1、2 题型剖析 求证： 是直角三角形. 证明：是的平分线，是 的平分线， ， . . 是直角三角形. 考点八、三角形内角和定理推论1、2 题型剖析 考点九、三角形的外角 例2 如图，已知∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 题型剖析 考点九、三角形的外角 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. ∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30° =101°. A B C D ( ( 20 ° 30 ° ) ) ) ) E 1 2 3 4 题型剖析 考点九、三角形的外角 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 1 E 2 F ) ) 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. ∴∠BDC=∠BAE+∠ABE+∠ACD=51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 题型剖析 考点九、三角形的外角 2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“>”或“<”连接∠A，∠1，∠2，并说明理由. 2 1 B A C D P 解：∠1＞∠2＞∠A. 理由如下： 对于△ABD，∠2是它的一个外角， 又∠A是与∠2不相邻的一个内角， ∴∠2＞∠A. 对于△PCD，∠1是它的一个外角， 又∠2是与∠1不相邻的一个内角， ∴∠1＞∠2. ∴∠1＞∠2＞∠A. 题型剖析 考点九、三角形的外角 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角. 求证：∠1+∠2+∠3=360°. 1 B A C 2 3 证明：∠1=∠ABC+∠ACB， ∠2=∠BAC+∠ACB， ∠3=∠BAC+∠ABC， (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质) ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理) ∴∠1+∠2+∠3=360°. 题型剖析 1.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成___个三角形. 3 2.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为___________. 18cm或21cm 3.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为____. 22cm 4.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长. 解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2 即5＜x＜9 又x为奇数，则第三边的长为7. 针对训练 5．在中， （１）若，则. （２）若，，则 75° 方程思想 （１）设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x 由三角形内角和等于180°，得 3x+4x+5x=180 12x=180 x=15 所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75° (２）由三角形内角和等于180°，得 构建一元一次方程或二元一次方程组解答 针对训练 6．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 Ｃ 线段 直角三角形三条高的交点在直角顶点（在三角形的边上） 中线 针对训练 7.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2,则S阴影=_______cm2. １ 三角形中线的性质 三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分 先说一说，图中有哪些线段可以看作三角形的中线 针对训练 8.下列命题为真命题的是( ). A.两个锐角的和是钝角 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.正数与负数的和为0 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 9.能说明命题“若为实数，则 ”为假命题的反例是( ). A. B. C. D. D 针对训练 10.写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假： （1）如果一个三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角； 解：逆命题是“如果一个三角形有两个内角是锐角，那么它的另一个内角是钝角”. 原命题是真命题，逆命题是假命题. （2）若，则 . 解：逆命题是“若，则 ”. 原命题和逆命题都是假命题. 针对训练 11.“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判断正确的是( ) A.原命题为真命题，逆命题为假命题 B.原命题与逆命题均为真命题 C.原命题为假命题，逆命题为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 A 针对训练 12. 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠EDC=80°. 针对训练 13. 如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. 针对训练 14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B,判断△ADC的形状. 解: ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°. ∵∠ACD=∠B, ∴∠ACD+∠A=90°, ∴△ADC是直角三角形. 针对训练 15. 如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=32°，∠E=36°，求∠BAC的度数； (2)试猜想∠BAC，∠B，∠E三个角之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 解：(1)∵∠ECD=∠B+∠E，∠B=32°，∠E=36°， ∴∠ECD=68°. 又∵CE平分∠ ACD， ∴∠ACE=∠ECD=68°. ∴∠ BAC=∠ACE+∠ E=68°+36°=104°. 针对训练 16. 如图，求∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的度数. A B C D E F G 1 2 解：∵ ∠1是△FBE的外角； ∴ ∠1 = ∠B +∠E， ∴ 同理∠2 = ∠A+∠D. ∵ 在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180°, ∴ ∠A +∠B + ∠C +∠D + ∠E = 180°. 针对训练 15. 如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=32°，∠E=36°，求∠BAC的度数； (2)试猜想∠BAC，∠B，∠E三个角之间存在的数量关系，并证明你的猜想. (2)猜想: ∠BAC=∠B+2∠E .证明如下： ∵∠ECD=∠B+∠E，CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E. 又∵∠BAC=∠ACE+∠E， ∴∠BAC=∠B+∠E+∠E， 即∠BAC=∠B+2∠E. 针对训练 ✅ 知识构建：从“实验操作”→逻辑论证”的推理过程三角形内角和定理→直角三角形的性质、判定 三角形内角和定理→三角形外角与内角的数量关系大小关系→综合模型的构建 ✅ 思想方法： 分类讨论思想、转化思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $