13.1.3 三角形中几条重要线段（培优课件）-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形高线、中线、角平分线，从定义辨析、位置特征入手，通过对比锐角、直角、钝角三角形三线位置差异构建知识支架，衔接性质应用与计算，形成完整学习脉络。 其亮点在于结合数学眼光观察三线位置规律，数学思维推理性质（如中线平分面积），通过动手画图、分层例题（如面积法求高、中线周长差计算）及易错点分类讨论，助学生发展几何直观与推理意识，教师可利用同步练习和梯度设计提升教学效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.1.3 三角形中几条重要线段 第13章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 13.1.3 三角形中几条重要线段 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦三角形三条重要线段：高线、中线、角平分线，涵盖定义辨析、位置特征、性质应用、面积平分、角度与线段计算等核心必考题型，区分锐角、直角、钝角三角形三线位置差异，知识点全面、难度梯度适中，适配课后同步巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三角形的中线是（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 曲线 2. 把三角形面积平分的线段是（） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 任意线段 3. 钝角三角形的高在三角形外部的条数是（） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 4. 在三角形中，将一个内角分成两个相等角的线段是（） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 垂直平分线 5. 下列说法正确的是（） A. 三条高一定都在三角形内部 B. 三条中线一定在三角形内部 C. 三条角平分线可能在外部 D. 直角三角形没有高 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形的三条重要线段分别是：________、________、________。 2. 三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形________部。 3. 直角三角形的两条________与直角边重合。 4. 若AD是△ABC的中线，则BD________CD（填“＞”“＜”或“=”）。 5. 若AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，则∠BAD=________°。 三、解答题（共60分） 1.（20分）简述三角形高线、中线、角平分线的定义，并说明哪种线段可以平分三角形面积。 2.（20分）已知AD是△ABC的中线，AB=6，AC=4，△ABD的周长为15，求△ACD的周长。 3.（20分）在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，已知∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度数。 参考答案与简单解析 一、选择题 1.C 解析：三角形的高、中线、角平分线均为线段。 2.B 解析：中线平分底边，等底同高，平分三角形面积。 3.C 解析：钝角三角形钝角边上的高在内部，另外两条高在外部。 4.C 解析：角平分线的定义：平分三角形内角的线段。 5.B 解析：中线、角平分线恒在内部；高不一定。 二、填空题 1.高线、中线、角平分线 2.内 3.高线 4.= 5.40 三、解答题 1. 高线：从顶点向对边作垂线段；中线：顶点与对边中点的连线段；角平分线：平分内角且端点在对边上的线段。中线可平分三角形面积。 2. 解：AD为中线，BD=CD。△ABD周长=AB+BD+AD=15，得BD+AD=9。△ACD周长=AC+CD+AD=4+9=13。 3. 解：∠BAC=180°-50°-70°=60°，AE平分∠BAC，∠BAE=30°；AD⊥BC，∠BAD=90°-50°=40°；∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°。 学习目标 1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念 2.会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高；（重点） 3.学会用数学知识解决实际问题的能力（难点） 学习目标 三角形的高的定义 A B C D 如右图，线段 AD 是 BC 边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 三角形的高 1 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高. 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. (1) 你能画出三角形的三条高吗？ (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. 直角边 BC 边上的高是 ； 直角边 AB 边上的高是 ； (2) AC 边上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高呢？ AB 边上呢？ BC 边上呢？ BF CE AD A B C D F (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高 不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 三角形的角平分线 2 概念：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2， 线段 AD 就是∠ABC 的一条角平分线. A B C D 1 想一想：三角形的角平分线与角的平分线有什么不同? 不同点是：前者是线段，后者是射线. 2 B D C A B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 即为三角形的∠A 的平分线. A B C A D 问题2：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题1：一个三角形有几条角平分线？ 3 例3 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵DC平分∠ACB， 又DE∥BC， ∴∠AED =∠ACB = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 典例精析 A B C E D 例4 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°. 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，线段 AE 是 BC 边上的中线. 三角形的“中线” B C A BE = EC E 三角形的中线 3 (1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系？ 三条中线 交于一点 议一议 (2) 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流. 总结 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 思考1:如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 思考2:通过思考 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 例5 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 BA＝____cm. 提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差. 7 典例精析 三角形的 重要线段 概念 图形 表示方法 三角形的 角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 三角形 的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 因为 AD是△ABC的边BC上的中线， 所以BD=CD= BC. 三角形 的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. A B C D A B C D   A B C D 知识点1 三角形的高 1.在△ABC中，∠BAC是钝角，下列画AC边上的高线正确的是(　　) D 返回 基础提优题 2. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝10，AF＝6，则△ABC的面积是(　　) A.60　　 B.120　　 C.90　　 D.100 (第2题) B 基础提优题 【点拨】由题意，得BG＝CH＝AF＝6，DG＝DF，EF＝EH，所以DG＋EH＝DE＝10.所以BC＝GH＝10＋10＝20.又因为△ABC的边BC上的高为AF＋BG＝12.所以S△ABC＝×12×20＝120.故选B. 返回 (第2题) 基础提优题 知识点2 三角形的角平分线 3.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　) A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠3＝∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 (第3题) D 返回 基础提优题 4.如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线.若∠BAC＝80°，则∠EAD＝　　　. 20° 返回 基础提优题 知识点3 三角形的中线 5.如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为　　　. (第5题) 10 返回 基础提优题 6.［2026合肥模拟］如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是(　　) A.AD⊥BC　　 B.∠BAD＝∠CAD C.AB＝AC　　 D.BD＝CD (第6题) D 返回 基础提优题 7.如图，在数学活动课上，小沐同学画了两个三角形，它们面积之间的关系是(　　) A.S△ABC＞S△DEF　　 B.S△ABC＜S△DEF C.S△ABC＝S△DEF　　 D.不能确定 C 基础提优题 【点拨】因为AC＝DF＝5，∠BAC＋∠EDF＝60°＋120°＝180°，所以可将△ABC和△DEF拼在一起，如图所示，则点B，D(A)，E在同一条直线上.因为AB＝DE＝4，所以FD为△BEF的边BE上的中线，即△ABC与△DEF等底同高，所以S△ABC＝S△DEF，故选C. 返回 基础提优题 易错点 忽略对三角形的形状分类讨论而致错 8.在△ABC中，∠B＝30°，过点A作AD⊥BC于点D，∠CAD＝22°，则∠BAC＝　　 　　. 82°或38° 基础提优题 【点拨】如图，当△ABC是锐角三角形时，因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°.所以∠BAD＝180°－90°－30°＝60°，所以∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°＋22°＝82°；当△ABC′是钝角三角形时，∠BAC′＝∠BAD－∠DAC′＝60°－22°＝38°.综上，∠BAC＝82°或38°. 返回 基础提优题 9. 如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD.给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF.其中一定正确的是(　　) A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ A 综合应用题 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 定义 课堂小结 $