13.1.1三角形中边的关系（培优课件）-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形中边的关系”，通过中国传统建筑、埃及金字塔等现实图形导入，引导学生抽象三角形定义，逐步学习边、顶点、角等要素，按边分类及三边关系，辅以“辨一辨”“找一找”等学习支架构建知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如用现实情境培养抽象能力，通过等腰三角形分类讨论例题发展推理意识，以规范符号表示强化模型观念。采用例题精析与分层练习结合的教学方法，帮助学生夯实基础，教师可直接用于课堂教学提升效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.1.1三角形中边的关系 第13章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 12.3.3 用一次函数解双函数的实际问题 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦双一次函数实际应用核心考点，是本章重难点题型。主要考查根据两种不同方案、两种收费方式、两类行程问题建立两个一次函数模型，通过求交点、对比函数值大小，判断最优方案、费用高低、位置关系等实际问题，核心利用数形结合与方程思想，贴合期末考试高频大题考点，难度循序渐进，适配课后专项巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 解决双一次函数实际问题的关键是（） A. 只列一个函数解析式 B. 建立两个一次函数模型，对比分析函数值 C. 直接估算结果 D. 只用图象观察，不计算 2. 两个不同收费方案对应的一次函数图象交点的实际意义是（） A. 两种方案费用相等时的自变量取值 B. 其中一种方案的最低费用 C. 其中一种方案的最高费用 D. 无实际意义 3. 甲、乙两种付费方案对应函数y₁、y₂，当y₁＜y₂时，说明（） A. 甲方案费用更低 B. 乙方案费用更低 C. 两种方案费用相等 D. 无法比较 4. 两函数图象交点右侧，若y₁图象在y₂上方，则（） A. y₁＜y₂ B. y₁＞y₂ C. y₁=y₂ D. 无法判断 5. 双函数实际问题中，交点横坐标是区分两种方案优劣的（） A. 任意数值 B. 分界点 C. 最大值 D. 最小值 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 双一次函数实际问题，通常需要先________两个函数解析式，再通过________求等量临界点。 2. 当两个一次函数值相等时，对应图象的________坐标，是方案优劣的分界值。 3. 若在自变量取值范围内，y₁始终小于y₂，则________方案更划算。 4. 方案对比问题中，交点左边和右边，________会发生改变。 5. 利用双函数解决实际问题的核心思想是________思想和方程思想。 三、解答题（共60分） 1.（20分）某书店租书有两种会员方案：方案A无年费，每租1本书收费2元；方案B年费30元，每租1本书收费1元。设租书数量为x本，总费用分别为y₁、y₂元。（1）分别写出y₁、y₂关于x的函数解析式；（2）求两种方案费用相等时的租书数量。 2.（20分）甲、乙两家快递公司收费：甲公司首重免费，超出部分每千克4元；乙公司无论重量，每千克3元，另收基础服务费10元。设快递重量为x千克（x＞0），费用为y₁、y₂元。求x取何值时，乙公司收费更便宜？ 3.（20分）甲、乙两人骑车沿同一路线出发，甲先出发，路程y（米）与时间x（分钟）的函数：甲y₁=200x，乙y₂=250x-500。（1）求乙出发多久后追上甲；（2）分析何时乙在甲前方。 参考答案与简单解析 一、选择题 1.B 解析：双函数问题需建立两个函数模型，通过数值、图象对比解决实际问题。 2.A 解析：交点处两个函数值相等，即两种方案费用、路程等实际量相等。 3.A 解析：函数值代表费用，数值越小，对应方案越优惠。 4.B 解析：图象上方函数值更大，下方函数值更小。 5.B 解析：交点是两种方案优劣切换的分界临界点。 二、填空题 1.列出、联立方程 2.横 3.甲 4.最优方案 5.数形结合 三、解答题 1.（1）y₁=2x，y₂=x+30；（2）联立2x=x+30，解得x=30，租书30本时两种方案费用相等。 2. y₁=4x，y₂=3x+10；联立得x=10，当x＞10时，y₂＜y₁，乙公司更便宜。 3.（1）联立200x=250x-500，解得x=10，10分钟后乙追上甲；（2）x＞10时，乙在甲前方。 （字数：806） 学习目标 1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形 2.会根据边是否相等对三角形进行分类; 3.会判定已知三条线段能否构成三角形，会求三 角形第三边的取值范围．（重点、难点） 学习目标 中国传统建筑 现代建筑 埃及金字塔 问题：你能从下列图形中找出一些三角形吗？ 问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. A B C 三角形的概念 1 问题2：三角形中有几条线段?有几个角? 有三条线段，三个角 4 边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边. 顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C 叫作三角形的内角， 简称三角形的角. 边 边 边 顶点 角 角 角 顶点 顶点 B A C 记法：三角形 ABC 用符号表示________. 边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写字母分别表示为________. B C A 在 △ABC 中， AB边所对的角是： ∠A所对的边是： ∠C BC 三角形的对边与对角： △ABC c，b，a 说一说：再说几个对边与对角的关系试试. 边 c 边 b 边 a 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上； ②联接方式：首尾依次. 三角形应满足以下两个条件： 表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，除此△ABC 还可记作△BCA， △CAB，△ACB 等. 要点归纳 5个，它们分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△ECD. 找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E (2)以 AB 为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. (3)以 E 为顶点的三角形有哪些？ △ABE 、△BCE、 △CDE. (4) 以∠D 为角的三角形有哪些？ △ BCD、△DEC. (5) 说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边. △BCD 的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD. 顶点 B 所对应的边为 DC，顶点 C 所对应的边为 BD，顶点 D 所对应的边为 BC. A B C D E 腰 腰 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 底 边 顶角 底角 底角 思考：你能找出下列三角形各自的特点吗？ 三角形按边分类 2 三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫作等边三角形． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 要点归纳 等边三角形是特殊的等腰三角形. 三角形 不等边三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照边长关系进行分类 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等的三角形） 判断： （1）等边三角形是等腰三角形.（ ） √ （2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （3）三角形按边长关系可分为等腰三角形、等边 三角形和不等边三角形.（ ） × 我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？ 为什么？ 邮局 学校 商店 小明家 小明 三角形的三边关系 3 A B C 路线 1：从 A 到 C 再到 B 的路线走； 路线 2：沿线段 AB 走. 请问：路线 1、路线 2 哪条路程较短，你能说出根据吗？ 路线 2 较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： 三角形任何两边的和大于第三边 三角形的三边关系定理 想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？ 三角形任何两边的差小于第三边 三角形三边的关系定理的理论根据是？ 两点之间，线段最短. 例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3 cm、8 cm、4 cm；（2）5 cm、6 cm、11 cm； （3）5 cm、6 cm、10 cm. 总结：判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可. 解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm． （2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm． （3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm． 典例精析 例2 一个三角形的三边长分别为 4，7，x，那么 x 的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 解析：因为三角形的三边长分别为 4，7，x，所以7－4＜x＜7＋4，即 3＜x＜11. A 例3 等腰三角形中，周长为 18 cm. (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长； (2) 如果一边长为 4 cm，求另两边长. 解：(1) 设等腰三角形底边长为 x cm，则腰长为 2x cm. 根据题意，得 x + 2x + 2x = 18. 解方程，得 x = 3.6. 所以该三角形三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm. (2) ①若等腰三角形的底边长为 4 cm，设腰长为 y cm， 根据题意，得 2y + 4 = 18. 解方程，得 y = 7. ②若等腰三角形的腰长为 4 cm，设底边长为 z cm， 根据题意，得 2×4 + z = 18. 解方程，得 z = 10. 由于 4 + 4＜10，可知以 4 cm为腰长不能构成周长为 18 cm 的等腰三角形. 所以该三角形的另两边长都是 7 cm. 知识点1 三角形及其相关概念 1.如图是小荣用三根火柴组成的图形，其中组成的图形是三角形的是(　　) A　　 B　　 C　　 D D 返回 基础提优题 2.如图所示，在△ABC中，点D，E分别在BC， AB上，连接AD，CE，且AD交CE于点F. (1)图中的三角形有　　 　。 　 ； (2)以∠ADC为内角的三角形有　　　　 　　； (第2题) △AEF，△ABD，△AEC，△ABC，△AFC，△ACD，△CDF，△BCE △ACD，△CDF (3)∠ACE的对边为　　　　； (4)以线段BC为边的三角形有　　　 　. AF，AE △ABC，△BCE 返回 基础提优题 知识点2 三角形的分类(按边) 3.如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(　　) A.M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不 相等的三角形 B.M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不 相等的三角形 C.M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D.M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形. (第3题) D 返回 基础提优题 4.若一个三角形的三边长之比是221，周长是10，则此三角形按边分是(　　) A.等腰三角形　　　　 B.等边三角形 C.三边都不相等的三角形 D.以上都不对 A 返回 基础提优题 知识点3 三角形的三边关系 5.若使用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是(　 ) A.只有①可以　　B.只有②可以 C.①②都可以　　D.①②都不可以 A 返回 基础提优题 6. 某中学八年级(2)班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是(　　) A.1 km　　 B.2 km　　 C.3 km　　 D.8 km A 返回 7.若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简｜x－5｜－2｜x－12｜的结果是　　　　. 3x－29 基础提优题 8.［2026六安期中］已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为偶数. (1)若AC＝9，BC＝3，求AB的长； 【解】因为由三角形的三边关系知，AC－BC＜AB＜AC＋BC，即9－3＜AB＜9＋3，所以6＜AB＜12. 又因为△ABC的周长为偶数，而AC，BC为奇数， 所以AB为偶数，故AB＝8或AB＝10. 基础提优题 (2)若AC＋BC＝15，求AB的最大值. 返回 【解】因为AC＋BC＝15，△ABC的周长为偶数， 所以AB＜AC＋BC＝15，AB为奇数. 所以AB的最大值为13. 基础提优题 易错点 忽视组成三角形的不同情况而漏解 9.若(a－3)2＋｜b－5｜＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为　　　　. 11或13 基础提优题 返回 基础提优题 10.如图①所示，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中上下两端长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的物体，则图中a的值可以是(　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 C 综合应用题 【点拨】由题意可知长为8的线段围成的等腰三角形的腰长 为a，则底边长为8－2a.由题意得解得2＜a＜ 4.故选C. 返回 综合应用题 11. ［成都青羊区自主招生］已知7条长度分别为整数a1，a2，…，a7的线段，它们中的任意三条都不能构成三角形，若a1＝1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7＝21，则a6＝(　　) A.18　　 B.13　　 C.8　　 D.5 B 综合应用题 【点拨】不能构成三角形，那么前两个数之和小于或等于第三个数字，最小的a1是1，最小情况如下：1，2，3，5，8，13，21，满足条件，若a1＝1，a7＝21，则a6＝13.故选B. 返回 综合应用题 12. 已知关于x的不等式组 至少有两个整数 解，且存在以3，a，7为边长的三角形，则满足条件的整数a有(　　) A.2个　　 B.3个 C.4个　　 D.5个 C 综合应用题 【点拨】 由存在以3，a，7为边长的三角形，得4＜a＜10.故5＜a＜10，所以满足条件的整数a有4个，故选C. 返回 1.解不等式组 解不等式①，可得x＜a；解不等式②，可得x≥4 2.写出整数解 因为至少有两个整数解，所以最少包含4，5 3.画数轴 4.定范围 因为不等式组至少有两个整数解，表示a的点是空心点，所以a＞5 综合应用题 13. 在综合与实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究.发现：当k＝1时，三角形的各边长度只有1，1，1一种情况，即m＝1；当k＝2时，三角形的各边长度有1，2，2和2，2，2两种情况，即m＝2；当k＝3时，三角形的各边长度有1，3，3；2，2，3；2，3，3和3，3，3四种情况，即m＝4；….若k＝6，则m的值为　　；若k＝19，则m的值为　　　. 12 100 综合应用题 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 按边分类 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a - b|＜x＜a + b(a＞b，x 为第三边) 应用 不等边三角形 等腰三角(包括等边三角形) 课堂小结 $