第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了三角形的边角关系、三线（高、中线、角平分线）、命题与证明等核心内容，通过概念定义、性质归纳与考点例题串联，构建“概念-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，基础题巩固三边关系等概念，中档题训练内角和计算，几何证明题提升推理能力，如“飞镖模型”证明培养几何直观与推理意识。生活实例（三角板拼图）体现应用意识，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情，提高复习效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 章末复习 第13章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 综合练习题（沪科版八年级上册） 本套试卷覆盖第13章全章所有核心考点：三角形三边关系、三角形内角与外角性质、三角形三线（中线、高线、角平分线）、定义与命题、真假命题、公理与定理、完整几何证明推理。题型梯度分明，基础巩固+中档计算+几何证明大题，完全适配单元检测、期末复习。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段，能组成三角形的是（） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 1，2，4 D. 2，2，4 2. 下列语句是命题的是（） A. 过点P作直线垂线 B. 三角形的内角和是180° C. 欢迎做题 D. 请画图 3. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则△ABC的形状是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 关于三角形重要线段，说法正确的是（） A. 高一定在三角形内部 B. 中线平分三角形的面积 C. 角平分线是射线 D. 直角三角形没有高 5. 三角形的一个外角为110°，一个不相邻内角为50°，则另一个不相邻内角为（） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形两边之和________第三边，两边之差________第三边。 2. 命题由________和________两部分组成。 3. 三角形的外角和为________°，内角和为________°。 4. 直角三角形的两个锐角________。 5. 三角形的________、________、________都在三角形内部。 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知三角形两边长为3和7，（1）求第三边x的取值范围；（2）若第三边为整数，求周长的最大值。 2.（20分）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式，并写出题设和结论，判断真假。 3.（20分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=55°，AD是角平分线。求∠BAC、∠BAD的度数。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只有3+4＞5成立。 2.B 解析：命题是可以判断真假的陈述句，其余均不是判断语句。 3.A 解析：∠C=180°-40°-60°=80°，三个角均为锐角，为锐角三角形。 4.B 解析：中线等分底边，等底同高，平分三角形面积；高不一定在内部，三线均为线段。 5.A 解析：外角等于不相邻两内角和，110°-50°=40°。 二、填空题 1.大于、小于 2.题设、结论 3.360、180 4.互余 5.中线、角平分线、锐角三角形的高 三、解答题 1. 解：（1）由三边关系可得：7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10；（2）x为整数，x最大取9，周长最大值=3+7+9=19。 2. 解：改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等；是真命题。 3. 解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-55°=80°；∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=$$\frac12$$∠BAC=40°。 ①三角形有三条边，三个内角，三个顶点； ②组成三角形的线段叫作三角形的边； ③相邻两边所组成的角叫作三角形内角，简称角； ④相邻两边的公共端点是三角形的顶点； ⑤三角形 ABC 用符号表示为△ABC； ⑥三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示. A B C 不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫作三角形． 一、三角形的相关概念 注意： 1.三边关系的依据是：两点之间线段最短. 2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形. 3.三角形第三边的取值范围是： 两边之差＜第三边＜两边之和 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边. 二、三角形的三边关系 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：① AD 是△ABC 的边 BC 上的高； ② AD⊥BC 于 D；③∠ADB =∠ADC = 90°. 三、三角形的高、中线、角平分线： 注意：① 三角形的高是线段； ② 锐角三角形三条高全在三角形的内部； 直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部； 钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部. ③ 三角形三条高所在直线交于一点． 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段． 表示法： ① AD 是△ABC 的边 BC 上的中线； ② BD = DC = BC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． 　3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与 它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段. 表示法： ① AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线. ② ∠1 =∠2 = ∠BAC. 1 2 ( ( 注意：① 命题有真命题和假命题两种. 对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫作命题. ② 命题由题设和结论两部分组成. 前一部分称之为条件，后一部分称之为结论. ③ 命题通常是用“如果······ 那么······”的形式给出. ④ “如果 p，那么 q”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果 q，那么 p” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作逆命题. 四、命题与证明 ⑤ 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题. ⑥ 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°． (2) 从剪拼可以看出：∠A +∠B +∠C = 180° (1) 从折叠可以看出：∠A +∠B +∠C = 180° (3) 由推理证明可知：∠A +∠B +∠C = 180° 2. 三角形内角和定理及推论 三角形的外角的定义：由三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形的外角与内角的关系： 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 4.三角形的外角和为 360°. 例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，得 8 - 3＜a＜8 + 3， ∴ 5＜a＜11. 又∵第三边长为奇数， ∴ 第三条边长为 7 cm 或 9 cm. 考点一 三角形的三边关系 例2 下列条件中，能判定△ABC 为直角三角形的是 ( ) A．∠A = 2∠B = 3∠C B．∠A +∠B = 2∠C C．∠A =∠B = 30° D．∠A =  ∠B =  ∠C 【分析】根据“三角形内角和定理和为180°”求出各选项中△ABC 的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．【答案】故选 D． D 考点二 三角形内角和定理及推论 例3 下列说法错误的是（ ） A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积 B.直角三角形的高线只有一条 C.三角形的三条角平分线都在三角形内 D.钝角三角形内只有一条高线 B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断.【答案】B 考点三 三角形的角平分线、中线和高 例4 分别写出下列命题的条件及结论，并判断真假，是假命题的举出反例. （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c； （3）三角形的中线平分该三角形的面积. 【分析】先把各个命题写成“如果……那么……”的形式，方便找出条件及结论. 考点四 命题与证明 解：(1) 条件：两个角相等，结论：它们是对顶角. 假命题，反例：两个角也有可能是两条平行线的同位角或内错角. (2) 条件： a＞b，b＞c，结论： a＞c，真命题. (3) 条件：三角形的一条中线分三角形为两个小三角形，结论：这两个小三角形面积相等. 真命题. 说明假命题的方法： 举反例 使之具有命题的条件，而不具有命题的结论. 方法总结 例5 如图，求证：∠A +∠B +∠C =∠ADC. 【分析】作射线 BD.通过三角形外角的性质进行转化即可求证. 证明：如图，作射线 BD. A B C D E ） ） ） ） 1 2 3 4 根据三角形外角的性质， 则有∠3 =∠1 +∠A ①，∠4 =∠2 +∠C ②. 由① + ②得∠3 +∠4 =∠1 +∠A +∠2 +∠C， 故∠A+∠B+∠C =∠ADC 得证. 考点五 三角形的外角 这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间的数量关系，即∠A +∠B +∠C =∠ADC.运用这一结论，能提高我们解题的准确性和速度. 其他证法： A B C D A B C D E 证法二 证法三 方法总结 两个概念 概念1　与三角形有关的概念 1.如图，在△ABC中，D是BC边上一点， E是AD上一点. (1)以AC为边的三角形共有　　个，它们是　　　　　 . 　 ； (2)∠1是△　　　和△　　　的内角； (3)在△ACE中，∠CAE的对边是　　. 返回 3 △ACE，△ACD， △ACB BCE CDE CE 概念2　与命题有关的概念 2.［多选题］下列命题是真命题的有(　　) A.若a＝b，则ac＝bc B.若a＞b，则ac＞bc C.两个有理数的积仍为有理数 D.两个无理数的积仍为无理数 AC 【点拨】A.由等式的性质可得，若a＝b，则ac＝bc，原命题为真命题；B.由不等式的性质可得，若a＞b，只有当c＞0时，ac＞bc，原命题为假命题；C.两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题；D.两个无理数的积不一定为无理数，比如×＝2，原命题为假命题.故选AC. 返回 三种线段 线段1　三角形的高 3.如图，在△ABC中，AD，CE是三角形的高，若AB＝5，BC＝6，AD＝4，则线段CE的长为(　　) A.　　 B.4　　 C.5　 D.6 (第3题) A 返回 线段2　三角形的中线 4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于(　　) A.2 cm2　　 B.1 cm2 C. cm2　　 D. cm2 (第4题) 返回 B 线段3　三角形的角平分线 5. ［2026亳州模拟］如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H.求证： (1)∠BGC＝90°＋∠BAC； 【证明】由三角形内角和定理可知∠ABC＋ ∠ACB＝180°－∠BAC.∵BG，CG分别平 分∠ABC，∠ACB，∴∠ABG＝∠GBC＝ ∠ABC，∠ACG＝∠GCB＝∠ACB，∴∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠BAC)＝90°－∠BAC，∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)＝90°＋∠BAC. (2)∠1＝∠2. 返回 【证明】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC，∴∠1＝∠BAD＋∠ABG＝∠BAC ＋∠ABC.∵GH⊥BC，∴∠GHC＝90°，∴∠2＝90°－∠GCH＝90°－∠ACB＝90°－(180°－∠BAC－∠ABC)＝∠BAC＋∠ABC，∴∠1＝∠2. 两个关系 关系1　三角形的三边关系 6.在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，则AC的长为(　　) A.16　　 B.11 C.16或8　　 D.11或1 C 返回 关系2　三角形内、外角的关系 7. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①∠BOC＝90°＋∠A；②∠D＝∠A；③∠A＝∠E；④∠E＋∠DCF＝90°＋∠ABD. 其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④ C 【点拨】∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB.∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A. ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－＝90°＋∠A，故①正确； ∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝∠ACF. ∵∠ACF＝∠ABC＋∠A，∠DCF＝∠OBC＋∠D， ∴∠OBC＋∠D＝∠ABC＋∠A. ∴∠D＝∠A，故②正确； 如图.∵∠MBC＝∠A＋∠ACB，∠BCN＝∠A＋∠ABC，∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°， ∴∠MBC＋∠BCN＝∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A＝180°＋∠A. ∵BE平分∠MBC，易知CE平分∠BCN，∴∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠BCN，∴∠EBC＋∠ECB＝90°＋∠A.∴∠E＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝90°－∠A.∴∠A＝180°－2∠E，故③错误； ∵∠DCF＝∠DBC＋∠D，∠D＝∠A，∴∠E＋∠DCF＝90°－∠A＋∠DBC＋∠A＝90°＋∠DBC.∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E＋∠DCF＝90°＋∠ABD，故④正确. 综上，正确的有①②④.故选C. 返回 8.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.图①②都是由一副三角板拼成的. (1)求图①中∠ADC的度数； 【解】∵∠F＝30°，∴∠ACB＝60°. ∵∠E＝45°，∴∠EAC＝45°. ∴∠ADC＝180°－∠EAC－∠ACB＝180°－45°－60°＝75°. (2)在图②中，已知AE∥BC，求∠AFD的度数. 返回 【解】∵∠B＝60°，∴∠C＝30°. ∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°. 又∵∠E＝45°，∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°. 一个计算——三角形中的简单计算 9.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线. (1)若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长； 【解】∵AF是△ABC的中线，CF＝4， ∴BC＝2CF＝8. ∵S△ABC＝BC•AD＝20，∴AD＝5. (2)若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数. 返回 【解】∵∠C＝70°，∠B＝26°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－26°－70° ＝84°. ∵AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线， ∴∠EAC＝∠BAC＝42°，∠ADC＝90°. ∴∠DAC＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝42°－20°＝22°. 10. 如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，求∠ABX＋∠ACX的度数. 【解】方法一：在△XBC中，因为∠X＝90°， 所以∠XBC＋∠XCB＝90°. 在△ABC中，因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－30°＝150°， 所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°. 方法二：如图①，延长YX交AC于点D. 因为∠YXZ＝90°，所以∠DXC＝90°， 所以∠ACX＋∠XDC＝90°. 因为∠BDC＝∠A＋∠ABD， 所以∠A＋∠ABD＋∠ACX＝90°， 所以∠ABX＋∠ACX＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 方法三：如图②，连接AX并延长交YZ于点P， 则∠BXP＝∠BAX＋∠ABX， ∠CXP＝∠CAX＋∠ACX， 所以∠BXP＋∠CXP＝∠BAX＋∠ABX＋∠CAX＋∠ACX， 即∠BXC＝∠ABX＋∠ACX＋∠BAC. 因为∠BXC＝90°，∠BAC＝30°， 所以∠ABX＋∠ACX＝90°－30°＝60°. 返回 三角形角的关系 三角形按角分类 直角三角形 斜三角形 三角形的内角和等于 180° 锐角三角形 钝角三角形 三角形内角和定理的证明及推论1、2 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂小结 三角形的外角 外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角. 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的外角和等于360°. 课堂小结 $