学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（浙江专用，高考全部范围）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，通过立体几何、函数导数等综合题考查数学思维，解答题融合逻辑推理与数学建模，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线倾斜角、圆的位置关系、双曲线、立体几何异面直线成角、导数切线应用|单选基础巩固，多选含概率统计（正态分布、独立性检验）及动态立体几何问题| |填空题|3题/15分|向量运算、函数导数不等式、椭圆离心率|一题两空设计，考查综合应用能力| |解答题|5题/77分|解三角形、数列证明、立体几何线面角、抛物线面积最值、函数零点证明|注重分层设计，含探究性问题（如参数值求解），贴合高考命题趋势|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】B 【解】试题分析：记直线的倾斜角为，∴，故选B. 考点：直线的倾斜角. 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 【答案】A 【解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为. 所以两圆的位置关系是外切. 故选：A 3．“”是“方程表示双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解】因为方程表示双曲线等价于， 所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A. 4．如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】连接，由题得且， 故四边形是平行四边形，所以且， 则的余弦值即为所求． 由可得，故有，解得． 故选：D 5．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解】由题得语文和化学相邻有种顺序；将语文和化学看成整体与英语物理全排列有种顺序，排好后有4个空位，数学不在第一节有3个空位可选，则不同的排课法的种数是，故选B. 6．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（    ） A．，是的极大值点 B．，是的极小值点 C．，不是的极大值点 D．，是的极值点 【答案】B 【解】由题得，的几何意义为当x取同值时，到的距离． 根据题意，当时，单调递减， 当时，单调递增， 又，则有是的极小值点， 故选:B． 7．对于实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解】成立时，需要；成立时，需要，显然由能推出，但由不一定能推出 ，故“”是“”的充分不必要条件，故本题选A. 8．已知，为锐角，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】， . 因为为锐角，且，所以， ， ，（当且仅当时取等号），所以，因此的最大值为，故本题选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 【答案】BCD 【解】对于A，因为随机变量，则，所以，因为，所以，故A错误； 对于B，因为随机变量，则， 所以，， 根据正态分布曲线的对称性可知：，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以， 又因为，所以，则有，故C正确； 对于D，由，则，故D正确； 故选：BCD. 10．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化为 D．可化为 【答案】AC 【解】对AB，根据表格和频率估计概率：事件为动物发病，总样本数为，发病共只， 因此，。由定义 事件为此动物使用药物，发生条件下，用药共只，其中发病只， 因此，。由定义.因此选项A正确，选项B错误. 对CD，利用贝叶斯公式展开推导：根据条件概率公式：， 代入得： 又，因此：，选项C正确，选项D错误 11．设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积有最大值B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球的体积有最大值 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式结合锥体体积公式可判断A选项；将三棱锥补成长方体，利用长方体的几何性质求出外接球半径，结合球体体积公式可判断B选项；作正方体，设平面交线段于点，连接、，结合锥体的体积公式可判断C选项；建系，设，其中，求出外接球半径关于的函数关系式，结合闭区间上连续函数有最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，则， 故，即三棱锥的体积有最大值，A对； 对于B选项，将三棱锥补成长方体，    设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，故三棱锥的外接球的体积为为定值，B对； 对于C选项，作正方体，如下图所示：    设平面交线段于点，连接、， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，同理可得， 故四边形为平行四边形， 因为，，由等角定理结合图形可得， 又因为，，故，则， 设，，则， 不是定值， 因为，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故不为定值，C错； 对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设，其中，则、、、， 设三棱锥的外接球球心为，设球的半径为， 则，解得， 设，其中， 则函数在上连续，由闭区间上的连续函数有最值可知有最大值，D对. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则___________，若，则___________． 【答案】 2 3 【解】因为，，且， 所以，解得； 因为， 所以，解得. 故答案为：2；3 13．已知奇函数且，为的导函数，当时，，且，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解】由题构造函数，求导得， 当时，, 所以在上递增， 因为，所以，则有时，那么此时； 时，那么此时； 当时，为奇函数，则是偶函数，根据对称性，时， 又因，故当时，； 综上的解集为. 14．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解】设，则直线PM的方程为，直线PN的方程为，联立方程组，解得， 联立方程组，解得，则 又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则，，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2. 【详解】（I）由正弦定理得：，                     因为，所以，                             所以由余弦定理得：，                     又在中，， 所以.                                         （II）方法1：由（I）及，得 ，即，                         因为，（当且仅当时等号成立）                     所以. 则（当且仅当时等号成立）                         故的最大值为2.                                     方法2：由正弦定理得，，             则，                 因为，所以，                         故的最大值为2（当时）. 16．已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设数列的通项公式为，， 由，故； 又，，成等比数列，故，解得， 因为，故. 代入可得，，. 故. （2）， 故. 17．如图，在三棱锥中，是棱的中点，，是边长为2的正三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点满足，且平面，（i）求的值；（ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)（i）（ii） 【解】（1）证明：∵在正三角形中，是棱的中点， ∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，∴ ∵，∴ 又∵，∴， ∴； （2）（i）法1．综合法 ∵，∴共面， 延长交于点，连接， ∵平面，平面平面，平面， ∴，， 又是棱的中点，， ∴， ∴， ∴为中点， ∴，即． 法2．坐标法 由（1）可知平面， 平面，， 在中，， ， ，， ，即， 则两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， ， ∴， ， 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则 ∵平面， ∴， ∴． （ii）由（i）可得平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，已知三点，，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限）， 直线过抛物线的焦点. （Ⅰ）若的重心为，求直线的方程； （Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 【解】(Ⅰ)设,,则， 所以，所以，所以 (Ⅱ)设 由得所以即 又设   由得，所以所以 所以即过定点 所以 所以 当且仅当时等号成立 所以的最小值为 19．已知函数． （Ⅰ）当时，求在上的零点个数； （Ⅱ）当时，若有两个零点，求证： 【答案】(Ⅰ)有一个零点； (Ⅱ)见解析 【解】因为，在上递减，递增 (Ⅰ)当时， 在上有一个零点 (Ⅱ)因为有两个零点，所以即. 设则要证，因为 又因为在上单调递增，所以只要证 设 则 所以在上单调递减，，所以 因为有两个零点，所以 方程即 构造函数则 记 则在上单调递增，在上单调递减，所以 设 所以递增，当时，当 时， 所以 即 （） 所以，同理 所以 所以，所以 由得， 综上： 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版全部高考内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 3．“”是“方程表示双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 A． B． C． D． 6．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（    ） A．，是的极大值点 B．，是的极小值点 C．，不是的极大值点 D．，是的极值点 7．对于实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，为锐角，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 10．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化为 D．可化为 11．设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积有最大值B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球的体积有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则___________，若，则___________． 13．已知奇函数且，为的导函数，当时，，且，则不等式的解集为_____． 14．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值. 16．已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求证：． 17．如图，在三棱锥中，是棱的中点，，是边长为2的正三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点满足，且平面，（i）求的值；（ii）求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，已知三点，，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限）， 直线过抛物线的焦点. （Ⅰ）若的重心为，求直线的方程； （Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值． 19．已知函数． （Ⅰ）当时，求在上的零点个数； （Ⅱ）当时，若有两个零点，求证： 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A D B B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 2 3 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2. 【解】（I）由正弦定理得：，                     因为，所以，                             所以由余弦定理得：，                     又在中，， 所以.       （6分）                          （II）方法1：由（I）及，得 ，即，                         因为，（当且仅当时等号成立）                     所以. 则（当且仅当时等号成立）                         故的最大值为2.    （13分） 方法2：由正弦定理得，，             则，                 因为，所以，                         故的最大值为2（当时）. 16．（15分）【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设数列的通项公式为，， 由，故； 又，，成等比数列，故，解得， 因为，故. 代入可得，，. 故.（7分） （2）， 故.（15分） 17． （15分）【答案】(1)证明见解析(2)（i）（ii） 【解】（1）证明：∵在正三角形中，是棱的中点， ∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，∴ ∵，∴ 又∵，∴， ∴；（4分） （2）（i）法1．综合法 ∵，∴共面， 延长交于点，连接， ∵平面，平面平面，平面， ∴，， 又是棱的中点，， ∴， ∴， ∴为中点， ∴，即．（9分） 法2．坐标法 由（1）可知平面， 平面，， 在中，， ， ，， ，即， 则两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， ， ∴， ， 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则 ∵平面， ∴， ∴．（9分） （ii）由（i）可得平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值．（15分） 18．(17分)【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 【解】(Ⅰ)设,,则， 所以，所以，所以（6分） (Ⅱ)设 由得所以即 又设   由得，所以所以 所以即过定点（12分） 所以 所以 当且仅当时等号成立 所以的最小值为（17分） 19．（17分）【答案】(Ⅰ)有一个零点； (Ⅱ)见解析 【解】因为，在上递减，递增（3分） (Ⅰ)当时， 在上有一个零点（6分） (Ⅱ)因为有两个零点，所以即. 设则要证，因为 又因为在上单调递增，所以只要证 设 则 所以在上单调递减，，所以（10分） 因为有两个零点，所以 方程即 构造函数则 记 则在上单调递增，在上单调递减，所以 设 所以递增，当时，当 时， 所以 即 （） 所以，同理 所以 所以，所以 由得， 综上：（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版全部高考内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 3．“”是“方程表示双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为 A． B． C． D． 6．如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（    ） A．，是的极大值点 B．，是的极小值点 C．，不是的极大值点 D．，是的极值点 7．对于实数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，为锐角，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 10．为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 5 45 50 未使用药物 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的权值，在发生的条件下的权值，则（） A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为 C．可化为 D．可化为 11．设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积有最大值B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球的体积有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则___________，若，则___________． 13．已知奇函数且，为的导函数，当时，，且，则不等式的解集为_____． 14．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值. 16．已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求证：． 17．如图，在三棱锥中，是棱的中点，，是边长为2的正三角形，平面平面． (1)证明：； (2)点满足，且平面，（i）求的值；（ii）求直线与平面所成角的正弦值． 18．如图，已知三点，，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限）， 直线过抛物线的焦点. （Ⅰ）若的重心为，求直线的方程； （Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值． 19．已知函数． （Ⅰ）当时，求在上的零点个数； （Ⅱ）当时，若有两个零点，求证： 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 尝 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 箭 12 妇 14 ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）