专题04图形的平移与旋转期末复习讲义（25大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题04图形的平移与旋转期末复习讲义 期末复习◆重点 平移、旋转、中心对称均属于平面全等变换，变换前后图形全等，仅改变图形的空间位置，其形状、大小保持恒定。其中中心对称可看作旋转角度为180°的特殊旋转，旋转问题解题需紧扣旋转中心、旋转角、对应点三大基本要素。 能够辨析生活实例与几何图形中的变换类型，并规范完成各类变换作图。熟练掌握平面直角坐标系中平移、绕原点旋转90°、原点中心对称的坐标变化法则，依托变换的核心性质完成线段长度、角度大小、图形面积的求解。 本章拓展题型涵盖图形变换循环规律推导、平移模型生活化应用问题；核心重难点为借助平移、旋转实现线段等量转化，求解最短距离类几何最值问题。同时，本章节知识常嵌入几何综合大题，作为证明边角等量关系、推导线段与面积数量关系的重要解题依托。 核心题型◆归纳 题型1.辨识生活中的平移现象 题型2.辨识生活中的旋转现象 题型3.判断旋转构成的组合图案 题型4.识别中心对称图形 题型5.确定中心对称图形的对称中心 题型6.图形平移作图 题型7.按条件绘制旋转图形 题型8.作点对称图形、找两图形的对称中心 题型9.方格纸补画中心对称图形，按要求绘制变换图形 题型10.利用平移性质计算线段、周长 题型11.找旋转三要素，计算旋转中心个数 题型12.运用旋转性质证明线段、角相等 题型13.利用中心对称性质求长度、角度、面积 题型14.按平移规则求点平移后的坐标 题型15.由平移前后坐标判断平移方式，求图形平移后的点坐标 题型16.已知平移后坐标求原坐标 题型17.坐标系中的平移 题型18.求点绕原点旋转90°的坐标 题型19.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型20.坐标结合旋转的规律 题型21.关于原点中心对称坐标计算 题型22.平移、旋转、中心对称的图形规律探究题 题型23.平移在生活场景中的实际应用题 题型24.旋转几何综合题 题型25.借助图形变换转化线段求解几何最值问题 重点知识◆梳理 知识点一、图形的平移 1.图形平移的定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移。 如下图所示：将△ABC沿着直线PQ平移到△A'B'C'，我们把点A与点A'叫作对应点，把线段AB与线段A'B'叫作对应线段，∠A与∠A'叫作对应角。△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向，平移距离就是线段BB'（或AA'，或CC'）的长。 2.平移的要点： (1) 平移是图形在同一平面内所作的直线运动。 (2) 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向；二是图形平移的距离。这两个要素缺一不可。 (3) 图形的平移是指图形的整体平移，即经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变。 【知识点二、平移的性质】 类别 详细性质 关键提示 图形整体 平移前后图形全等，图形形状、大小保持不变，仅空间位置发生改变 平移前后对应边、对应角完全相等，为几何证明核心依据 对应线段 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段的方向与平移方向一致； 可利用线段平移完成折线转化、线段拼接，简化几何计算 对应角 平移前后对应角角度完全相等 适用于角度等量代换、直线平行判定类题型 对应点连线 平移后，图形上每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，连接各组对应点的线段平行且相等（方向与平移方向一致）； 图形平移判定、平移距离求解核心定理 【知识点三、平面直角坐标系内点的平移变换规律】 设点P(x,y) ✅水平平移（横坐标变化，纵坐标恒定）：遵循“左减右加”原则， 点向右平移a个单位，坐标变为P(x+a, y)；点向左平移a个单位，坐标变为P(x-a,y)； ✅竖直平移（纵坐标变化，横坐标恒定）：遵循“上加下减”原则， 点向上平移b个单位，坐标变为P(x, y+b)；点向下平移b个单位，坐标变为P(x,y-b)； 【知识点四、旋转的定义、要素、性质】 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个固定的点（旋转中心），按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个固定的角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。如下图： 2.旋转的三要素 旋转中心：固定的点，用字母O表示（通常标注），是旋转的“中心点”，旋转过程中始终不动； 旋转方向：只有两种——顺时针（与钟表指针转动方向一致）和逆时针（与钟表指针转动方向相反），未说明时，默认按逆时针方向旋转； 旋转角：图形绕旋转中心转动的角度，即“任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角”，同一个旋转图形中，所有旋转角都相等。 ★补充说明：旋转的前提是“平面内”； 旋转中心是固定不动的点，可以在图形上，也可以在图形外； 旋转角是“转动的角度”，取值范围是0°＜旋转角≤360°. ★易错点：旋转角不是“图形转动时的夹角”，而是“对应点与旋转中心连线的夹角” 3. 旋转的性质 类别 详细性质 图形整体性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，也不改变图形中线段的长度、角的度数；2.旋转前后的两个图形是全等图形。 对应点与旋转中心 1.对应点到旋转中心的距离相等；2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角，都等于旋转角，且所有旋转角都相等。 对应线段、对应角 对应线段相等，对应角相等；对应线段的夹角、对应角的夹角，都等于旋转角（或与旋转角互补，由图形位置决定）。 图形方向特征 旋转前后，图形的摆放方向发生改变；（平移不改变图形方向，二者核心区别）。 【知识点五、旋转作图的步骤】 作图步骤 具体步骤 确定变换要素 明确旋转中心、旋转方向、旋转角三大核心要素。 选取特征关键点 选取原图形顶点、交点等全部关键特征点。 作出对应关键点 连接各关键点与旋转中心，依照既定方向与角度旋转，作出各组对应点。 顺次连接构图 按照原图形顶点排布顺序，顺次连接对应关键点，得到旋转后图形。 【知识点六、中心对称】 1.中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【知识点七、中心对称图形】 1.中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2.中心对称图形的性质： (1) 对称点的连线被对称中心平分；(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分。 ★常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形，圆既是中心对称图形又是轴对称图形。 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称图形 中心对称 概念 在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 在平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，能够与另一个图形互相重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做它们的对称中心. 图形个数 一个图形 两个图形 联系 关于中心对称的两个图形全等，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分. 题型解析◆精准备考 题型1.辨识生活中的平移现象 1．下列运动属于平移的是（   ） A．荡秋千 B．地球绕着太阳转 C．风车的转动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 2．下列运动变化，属于平移的是_________．（填序号） ①冷水加热过程中小气泡变成大气泡；    ②钟表上分针的走动； ③将一张正方形纸片折叠；    ④乘普通住宅电梯从一楼到十楼． 3．五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 题型2.辨识生活中的旋转现象 1．下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 2．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 3．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 题型3.判断旋转构成的组合图案 1．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    3．确定如图中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转了几次，每一次旋转了多少度． 题型4.识别中心对称图形 1．下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（    ） A．千问 B．ChatGPT C．Deepseek D．元宝 2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 3．如图，已知点O为边的中点． (1)作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 题型5.确定中心对称图形的对称中心 1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 3．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 题型6.图形平移作图 1．如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 2．作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 3．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 题型7.按条件绘制旋转图形 1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） (2)画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 题型8.作点对称图形、找两图形的对称中心 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 3．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 题型9.方格纸补画中心对称图形，按要求绘制变换图形 1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 3．如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 题型10.利用平移性质计算线段、周长 1．如图，在中，，，，平分，平分．将平移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点．若，，则的长为________． 3．如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 题型11.找旋转三要素，计算旋转中心个数 1．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 3．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将向左平移3个单位后得到的图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为． 题型12.运用旋转性质证明线段、角相等 1．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 3．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 题型13.利用中心对称性质求长度、角度、面积 1．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 3．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 题型14.按平移规则求点平移后的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，将平移后得到，且点的对应点是，点的对应点分别为． (1)点之间的距离是__________； (2)请在图中画出． 题型15.由平移前后坐标判断平移方式，求图形平移后的点坐标 1．已知点，将线段平移至，点和点的对应点分别为点和点，若点，，则的值（   ） A． B．2 C． D．3 2．线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 题型16.已知平移后坐标求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点，则点的原坐标为（    ） A． B． C． D． 2．将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是_____ 3．在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 题型17.坐标系中的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 2．将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 3．如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 题型18.求点绕原点旋转90°的坐标 1．在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． (1)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出． (2)画出绕原点O顺时针旋转得到的． (3)画出关于原点O对称的图形． 题型19.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点B在x轴上，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段． （1）当点B坐标为时，点C坐标为______； （2）当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为______． 3．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______； (2)将绕点B顺时针旋转，请画出旋转后对应的． 题型20.坐标结合旋转的规律 1．盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．若点经过“011011011…”共2026次变换后得到点，则的坐标为______． 3．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 题型21.关于原点中心对称坐标计算 1．点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．若点与点关于原点O成中心对称，则________． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 题型22.平移、旋转、中心对称的图形规律探究题 1．如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 题型23.平移在生活场景中的实际应用题 1．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 2．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（小桥与长方形荷塘的长或宽平行），桥宽忽略不计，若荷塘的长为，宽为，则小桥的总长度为______． 3．如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 题型24.旋转几何综合题 1．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．图，为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点O顺时针方向旋转得到线段（其中A与对应）． (1)在图中画出线段； (2)与所在直线的夹角为 ___________； (3)若是线段上的一点，则点P旋转后对应点的坐标为 ___________（用含a，b的式子表示）． 题型25.借助图形变换转化线段求解几何最值问题 1．如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 2．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 3．1.（1）问题提出：如图①，在中，将线段向左平移到的位置，点的对应点分别是，连接，交于点O，若，，则______°； （2）问题探究：如图②，在等边中，点D是右侧平面上一点，连接，以点B为旋转中心将顺时针旋转，得到，连接，若，，求线段的最小值； （3）问题解决：如图③，要在一块空地上规划出一个四边形景观湖，连接．根据规划要求米，与所夹锐角为．考虑游客安全问题的同时达到美观的效果，现要沿和修建绿化带（宽度忽略不计）．为节省费用要使绿化带的总长最短，问的长度是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的平移与旋转期末复习讲义 期末复习◆重点 平移、旋转、中心对称均属于平面全等变换，变换前后图形全等，仅改变图形的空间位置，其形状、大小保持恒定。其中中心对称可看作旋转角度为180°的特殊旋转，旋转问题解题需紧扣旋转中心、旋转角、对应点三大基本要素。 能够辨析生活实例与几何图形中的变换类型，并规范完成各类变换作图。熟练掌握平面直角坐标系中平移、绕原点旋转90°、原点中心对称的坐标变化法则，依托变换的核心性质完成线段长度、角度大小、图形面积的求解。 本章拓展题型涵盖图形变换循环规律推导、平移模型生活化应用问题；核心重难点为借助平移、旋转实现线段等量转化，求解最短距离类几何最值问题。同时，本章节知识常嵌入几何综合大题，作为证明边角等量关系、推导线段与面积数量关系的重要解题依托。 核心题型◆归纳 题型1.辨识生活中的平移现象 题型2.辨识生活中的旋转现象 题型3.判断旋转构成的组合图案 题型4.识别中心对称图形 题型5.确定中心对称图形的对称中心 题型6.图形平移作图 题型7.按条件绘制旋转图形 题型8.作点对称图形、找两图形的对称中心 题型9.方格纸补画中心对称图形，按要求绘制变换图形 题型10.利用平移性质计算线段、周长 题型11.找旋转三要素，计算旋转中心个数 题型12.运用旋转性质证明线段、角相等 题型13.利用中心对称性质求长度、角度、面积 题型14.按平移规则求点平移后的坐标 题型15.由平移前后坐标判断平移方式，求图形平移后的点坐标 题型16.已知平移后坐标求原坐标 题型17.坐标系中的平移 题型18.求点绕原点旋转90°的坐标 题型19.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型20.坐标结合旋转的规律 题型21.关于原点中心对称坐标计算 题型22.平移、旋转、中心对称的图形规律探究题 题型23.平移在生活场景中的实际应用题 题型24.旋转几何综合题 题型25.借助图形变换转化线段求解几何最值问题 重点知识◆梳理 知识点一、图形的平移 1.图形平移的定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移。 如下图所示：将△ABC沿着直线PQ平移到△A'B'C'，我们把点A与点A'叫作对应点，把线段AB与线段A'B'叫作对应线段，∠A与∠A'叫作对应角。△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向，平移距离就是线段BB'（或AA'，或CC'）的长。 2.平移的要点： (1) 平移是图形在同一平面内所作的直线运动。 (2) 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向；二是图形平移的距离。这两个要素缺一不可。 (3) 图形的平移是指图形的整体平移，即经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变。 【知识点二、平移的性质】 类别 详细性质 关键提示 图形整体 平移前后图形全等，图形形状、大小保持不变，仅空间位置发生改变 平移前后对应边、对应角完全相等，为几何证明核心依据 对应线段 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段的方向与平移方向一致 可利用线段平移完成折线转化、线段拼接，简化几何计算 对应角 平移前后对应角角度完全相等 适用于角度等量代换、直线平行判定类题型 对应点连线 平移后，图形上每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，连接各组对应点的线段平行且相等（方向与平移方向一致） 图形平移判定、平移距离求解核心定理 【知识点三、平面直角坐标系内点的平移变换规律】 设点P(x,y) ✅水平平移（横坐标变化，纵坐标恒定）：遵循“左减右加”原则， 点向右平移a个单位，坐标变为P(x+a,y)；点向左平移a个单位，坐标变为P(x-a,y)； ✅竖直平移（纵坐标变化，横坐标恒定）：遵循“上加下减”原则， 点向上平移b个单位，坐标变为P(x, y+b)；点向下平移b个单位，坐标变为P(x,y-b)； 【知识点四、旋转的定义、要素、性质】 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个固定的点（旋转中心），按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个固定的角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。如下图： 2.旋转的三要素 旋转中心：固定的点，用字母O表示（通常标注），是旋转的“中心点”，旋转过程中始终不动； 旋转方向：只有两种——顺时针（与钟表指针转动方向一致）和逆时针（与钟表指针转动方向相反），未说明时，默认按逆时针方向旋转； 旋转角：图形绕旋转中心转动的角度，即“任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角”，同一个旋转图形中，所有旋转角都相等。 ★补充说明：旋转的前提是“平面内”； 旋转中心是固定不动的点，可以在图形上，也可以在图形外； 旋转角是“转动的角度”，取值范围是0°＜旋转角≤360°. ★易错点：旋转角不是“图形转动时的夹角”，而是“对应点与旋转中心连线的夹角” 3. 旋转的性质 类别 详细性质 图形整体性质 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，也不改变图形中线段的长度、角的度数；2.旋转前后的两个图形是全等图形。 对应点与旋转中心 1.对应点到旋转中心的距离相等；2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角，都等于旋转角，且所有旋转角都相等。 对应线段、对应角 对应线段相等，对应角相等；对应线段的夹角、对应角的夹角，都等于旋转角（或与旋转角互补，由图形位置决定）。 图形方向特征 旋转前后，图形的摆放方向发生改变；（平移不改变图形方向，二者核心区别）。 【知识点五、旋转作图的步骤】 作图步骤 具体步骤 确定变换要素 明确旋转中心、旋转方向、旋转角三大核心要素。 选取特征关键点 选取原图形顶点、交点等全部关键特征点。 作出对应关键点 连接各关键点与旋转中心，依照既定方向与角度旋转，作出各组对应点。 顺次连接构图 按照原图形顶点排布顺序，顺次连接对应关键点，得到旋转后图形。 【知识点六、中心对称】 1.中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【知识点七、中心对称图形】 1.中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2.中心对称图形的性质： (1) 对称点的连线被对称中心平分；(2)过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分。 ★常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形，圆既是中心对称图形又是轴对称图形。 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称图形 中心对称 概念 在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 在平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，能够与另一个图形互相重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做它们的对称中心. 图形个数 一个图形 两个图形 联系 关于中心对称的两个图形全等，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分. 题型解析◆精准备考 题型1.辨识生活中的平移现象 1．下列运动属于平移的是（   ） A．荡秋千 B．地球绕着太阳转 C．风车的转动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 【答案】D 【分析】本题考查平移的判断，掌握平移的定义是解题关键，平移指在平面内，将一个图形上所有点都按照同一方向作相同距离的移动，图形运动方向不发生改变，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项荡秋千是摆动，运动方向不断改变，不属于平移，不符合题意； B选项地球绕着太阳转是圆周运动，运动方向不断改变，不属于平移，不符合题意； C选项风车的转动是旋转运动，运动方向不断改变，不属于平移，不符合题意； D选项急刹车时，汽车在地面上的滑动，汽车所有点都沿同一方向做相同距离移动，运动方向不变，符合平移定义，属于平移，符合题意． 2．下列运动变化，属于平移的是_________．（填序号） ①冷水加热过程中小气泡变成大气泡；    ②钟表上分针的走动； ③将一张正方形纸片折叠；    ④乘普通住宅电梯从一楼到十楼． 【答案】④ 【分析】图形移动过程中形状与大小不变，仅位置改变，逐一判断各运动变化是否符合平移的要求． 【详解】解：①冷水加热过程中小气泡变成大气泡，气泡的大小发生改变，不符合平移定义，不属于平移； ②钟表上分针的走动是绕定点的旋转运动，不属于平移； ③将正方形纸片折叠，图形的位置和方向发生改变，不符合平移定义，不属于平移； ④乘普通住宅电梯从一楼到十楼，电梯整体沿固定方向移动，移动过程中形状和大小均不改变，仅位置发生改变，符合平移的定义，属于平移． 3．五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论； （2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可． 【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系； 图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动； 故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移； （2） 生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符合垂直关系或平行关系的直线均可． 题型2.辨识生活中的旋转现象 1．下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 2．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 3．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 题型3.判断旋转构成的组合图案 1．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 2．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 3．确定如图中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转了几次，每一次旋转了多少度． 【答案】旋转中心是点O，可以看成是由旋转而生成的，旋转了次，可以得到这个图形，每一次旋转了． 【分析】根据旋转的性质作答即可． 【详解】略 题型4.识别中心对称图形 1．下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（    ） A．千问 B．ChatGPT C．Deepseek D．元宝 【答案】B 【详解】解：A．该图形绕某个点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形绕某个点旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； C．该图形绕某个点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形绕某个点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（4） 【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）依次对各个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）该图形不是中心对称图形， （2）该图形不是中心对称图形， （3）该图形不是中心对称图形， （4）该图形是中心对称图形， ∴这些汽车标识中，是中心对称图形的是（4）． 3．如图，已知点O为边的中点． (1)作关于点O成中心对称的图形，并标出有关点的字母（不写作法，保留作图痕迹）； (2)写出图（含所作图形）中以点O为对称中心的两对三角形． 【答案】(1)见解析 (2)和关于点O成中心对称的图形，和关于点O成中心对称的图形（或和关于点O成中心对称的图形） 【分析】本题主要考查了画中心对称图形，中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的相关知识是解题的关键． （1）以点O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点D，连接，则即为所求； （2）根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形， 和关于点O成中心对称的图形． 题型5.确定中心对称图形的对称中心 1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 2．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 【答案】C 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 3．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作图； （2）由点的对应点，得到平移方式，即可作图； （3）连接交于点，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：∵点的对应点，且， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， 则． 题型6.图形平移作图 1．如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】如图，线段c是由线段a平移得到的， 故选： B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化－平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 2．作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 3．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【详解】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 题型7.按条件绘制旋转图形 1．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 2．如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点的坐标是， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） (2)画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用平移的性质得出对应点，再顺次连接得即可； （2）确定绕点O按顺时针方向旋转的对应点，再顺次连接得；直接写出坐标即可． 【详解】（1）略 （3） 略，点的坐标． 题型8.作点对称图形、找两图形的对称中心 1．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 3．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点，点即为所作； （2）根据成中心对称的图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 题型9.方格纸补画中心对称图形，按要求绘制变换图形 1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 2．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 【答案】① 【详解】解：如图， 当涂灰①时，图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 当涂灰②时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰③时，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰④时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 3．如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义求解即可； （2）利用中心对称图形的定义及轴对称图形的定义求解即可． 【详解】（1）解：选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如图所示： （2）解：选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形且不轴对称，如图所示． 题型10.利用平移性质计算线段、周长 1．如图，在中，，，，平分，平分．将平移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为9 ． 2．如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】根据平移的性质得出，利用线段的和差关系求出的长，进而求得的长度，最后根据含角的直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 3．如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 【答案】(1)平移的距离是； (2)的周长为． 【分析】（1）过点作于点，则 ，由角平分线的性质，可得 ，证明，可得 ， ，由勾股定理可得，设 ，则 ，由勾股定理可得，即可得平移的距离； （2）由角平分线的定义可得，由平移，结合平行线的性质，可得，由等角对等边可得，即可得的周长． 【详解】（1）解：过点作于点，则 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 设 ，则 ， 在Rt中，， ， 解得， ， 平移的距离是． （2）解：平分， ， 由平移得， ， ， ， 由（1）得，， ， ∴ 的周长为． 题型11.找旋转三要素，计算旋转中心个数 1．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据的坐标建立平面直角坐标系，连接，利用网格分别作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点，点即为所求． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，下图点即为所求，点坐标为． 3．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将向左平移3个单位后得到的图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 即旋转中心在线段的中垂线上， 由图象可知，该点的坐标为． 题型12.运用旋转性质证明线段、角相等 1．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 【答案】/50度 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∴． 3．探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接、、．若，，求的长．请你帮忙完善解题过程． 解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是 三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． (2)【尝试应用】如图3，在中，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长． (3)【拓展创新】如图4，在中，，以为边向外作等腰，，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1)等边，4 (2) (3)的最大值为 【分析】（1）根据题中所给解题过程进行求解即可； （2）以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，则有，，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，由题意易得，则有，然后可得当A、B、F共线时，最大，此时最大，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图2所示，将绕点顺时针旋转得到，连接． ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． （2）解：以A点为旋转中心，将绕A点顺时针旋转，得到，连接，如图3， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，过点D作交于点G，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、B、F共线时，最大，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 题型13.利用中心对称性质求长度、角度、面积 1．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 2．如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得点是和的中点，从而求出的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而求出的长； 【详解】解：与关于点成中心对称， 点是和的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ． 3．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质得到，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，， ，，， ， ， ， ． 题型14.按平移规则求点平移后的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点平移的坐标变化规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，即可求解． 【详解】解：∵将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点， ∴点的坐标为，即． 2．已知点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平移中点的变化规律是: 横坐标右移加, 左移减; 纵坐标上移加, 下移减，分别求出平移后的点的横坐标、纵坐标即可． 【详解】解：将点向上平移个单位长度, 再向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为, 即． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，将平移后得到，且点的对应点是，点的对应点分别为． (1)点之间的距离是__________； (2)请在图中画出． 【答案】(1) (2)如图所示，即所求 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可． （2）由题意可知，，依次连接即可． 【详解】（1）解：由，点的对应点，可知向左平移了6个单位长度，向上平移了2个单位长度， ； （2） 略 题型15.由平移前后坐标判断平移方式，求图形平移后的点坐标 1．已知点，将线段平移至，点和点的对应点分别为点和点，若点，，则的值（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据平移前后对应点的坐标平移量相同，据此计算出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵线段平移得到，的对应点为， ∴横坐标的平移量为，纵坐标的平移量为， ∵的对应点为， ∴，， 解得，， ∴． 2．线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先由点和点的坐标确定平移过程，再求出点的坐标． 【详解】解：∵点由点平移得到， ∴平移过程为：向右个单位长度，向下个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 【答案】(1)①见解析，；②； (2)或． 【分析】（1）①根据平移的性质作图，再写出坐标即可；②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度，即可得到点Q的坐标； （2）设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，再根据坐标轴上的点的坐标特征求解即可． 【详解】（1）解：①线段即为所求作，； ②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度， 若线段上有一点，则其平移后在线段上的对应点Q坐标为； （2）解：设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 综上可知，点A的对应点的坐标为或． 题型16.已知平移后坐标求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点，则点的原坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆向运用平移法则，即可计算出原坐标． 【详解】解：∵点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴点的坐标为． 2．将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是_____ 【答案】 【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解． 【详解】解：由题意得： 点，先向由平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，定义：把点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的点，叫做点P的相伴点． (1)直接写出点的相伴点坐标； (2)若点A的相伴点是，求点A的坐标； (3)若点的相伴点在y轴上，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相伴点的定义，结合点的平移规律得到： 点的相伴点坐标为． （1）直接代入原坐标计算即可； （2）由相伴点反向推导点A的坐标； （3）先写出点B的相伴点坐标，再利用y轴上点的横坐标为0的性质求解． 【详解】（1）解 根据题意, 点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到相伴点，因此点的相伴点坐标为． 将代入得 ， 因此，点的相伴点坐标为． （2）设点的坐标为，则点的相伴点满足， 解得 ， 因此点的坐标为． （3）点 的相伴点坐标为，即， 因为点的相伴点在轴上, 轴上点的横坐标为 ， 可得 ， 解得． 题型17.坐标系中的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点的坐标为，点在第一象限内，将沿到的方向平移个单位至的位置，则点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，由，可知，可得，利用勾股定理可以求出，从而可知图形向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，根据平移的方向和距离确定点的坐标． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达的位置， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度到达点的位置， 点的坐标为， 点的坐标为    2．将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．先根据点坐标平移的规律得到点的坐标，再由轴上点的横坐标为求解即可． 【详解】解：将点向左平移个单位得到， ， 在轴上， ，解得， ， 的坐标是． 故答案为： ． 3．如图是淇淇绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎园”的坐标为，“两栖动物馆”的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标； (2)淇淇发现，从景点“飞禽馆”先向左走2个单位长度，再向上走3个单位长度，便到了景点“大象馆”的位置． ①请在图中描出景点“大象馆”的位置，并写出其坐标； ②景点“大象馆”到“南门”的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见详解；景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为， (2)①见详解；景点“大象馆”的坐标为；②7 【分析】（1）根据“东北虎园”的坐标和“两栖动物馆”的坐标建立直角坐标系，然后再写出直角坐标系中“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标即可． （2）①根据点的平移描出景点“大象馆”的位置，再写出其坐标即可． ②根据点的平移求解即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴景点“非洲狮园”和“飞禽馆”的坐标分别为，． （2）解：①景点“大象馆”的位置如图所示： 景点“大象馆”的坐标为． ②由景点“大象馆”到“南门”的距离为7个单位长度． 题型18.求点绕原点旋转90°的坐标 1．在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，证明，得到，则点的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 2．已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为______． 【答案】 【分析】设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，通过证明即可得到答案． 【详解】解：设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∴， ∵将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为，即将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． (1)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出． (2)画出绕原点O顺时针旋转得到的． (3)画出关于原点O对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）确定向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的对应点，再顺次连接即可． （2）确定绕原点O顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可． （3）确定关于原点O对称的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． （3）解：如图，为所求． 题型19.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 【详解】解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点B在x轴上，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段． （1）当点B坐标为时，点C坐标为______； （2）当点B在x轴上运动时，点C的运动轨迹的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，证明，得到，则，据此可得答案； （2）分两种情况：点B在x轴负半轴和点B在x轴正半轴或原点，过点C作轴于D，证明，进而求出点C的坐标，从而可确定点C的运动轨迹的函数关系式． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设点B的坐标为， 如图所示，当点B在x轴负半轴时，过点C作轴于D， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上； 如图所示，当点B在x轴正半轴或原点时，过点C作轴于D， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上； 综上所述，点C在直线上； ∴点C的运动轨迹的函数关系式为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移，平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的，其中的坐标为______； (2)将绕点B顺时针旋转，请画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可画出图形，进而确定的坐标； （2）根据旋转的性质作图即可. 【详解】（1）解：如图所示，的坐标为； （2）解：如图所示. 题型20.坐标结合旋转的规律 1．盐城是长三角地区首个“千万千瓦级”新能源基地，广袤的黄海滩涂上遍布着巨大的风力发电机．某风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质画出图形，找到规律，进而得出第2026秒时，点的对应点的坐标即可． 【详解】解：如图， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ， ∴， 在第一象限的角平分线上， ，，，，，，， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 点的坐标以每8秒为一个周期依次循环， ， 第2026秒时，点A的对应点的坐标与相同，为． 2．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．若点经过“011011011…”共2026次变换后得到点，则的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律．根据题中所给变换方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为点的坐标为， 所以第1次变换后得到点的坐标为； 第2次变换后得到点的坐标为； 第3次变换后得到点的坐标为； 第4次变换后得到点的坐标为； 第5次变换后得到点的坐标为； 第6次变换后得到点的坐标为； 第7次变换后得到点的坐标为； ， 由此可见，点对应点的坐标按，，，，，循环出现， 又因为余4， 所以点的坐标为． 3．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图， 过点作于C，过点作于D， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∵为等腰三角形，是底边， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 题型21.关于原点中心对称坐标计算 1．点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”这一性质即可求解。 【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为 ． 2．若点与点关于原点O成中心对称，则________． 【答案】 【分析】利用关于原点对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：点关于原点中心对称点为：， ∴，， 则． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 题型22.平移、旋转、中心对称的图形规律探究题 1．如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【答案】C 【分析】根据平移性质得出，∠C1＝∠C，根据平行线性质得出∠COC1＝∠C1，进而得出∠A1OC的度数． 【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O， ∴∠C1＝∠C，， ∴∠COC1＝∠C1（两直线平行内错角相等）， ∴∠A1OC＝180°﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，运用平行线的性质得出∠COC1＝∠C1是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 题型23.平移在生活场景中的实际应用题 1．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解． 【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米）， 需购买红地毯的长为（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽米， 红地毯面积是：（平方米）． 故选：C． 2．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（小桥与长方形荷塘的长或宽平行），桥宽忽略不计，若荷塘的长为，宽为，则小桥的总长度为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和． 【详解】解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∵荷塘的长为，宽为， ∴小桥总长为：（米）． 3．如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 题型24.旋转几何综合题 1．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 2．图，为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，由设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a，由勾股定理可求出a的值，进而即可求解． 【详解】：将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝∠ECD＝60°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADC＝∠ECD， ∴AD∥CE， ∴S△ACE＝S△CDE， ∵将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE， ∴S△BCD＝S△ACE， ∴S△CDE＝S△BCD， ∵∠ADC＝∠CDE＝60°， ∴∠EDF＝60°， 在Rt△FDE中，设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a， ∵，， ∴AE=， ∴在Rt△AEF中，，解得：a=1或a=-3（舍去）， ∴S△BCD= S△CDE=×2a×a=×2×=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，线段绕原点O顺时针方向旋转得到线段（其中A与对应）． (1)在图中画出线段； (2)与所在直线的夹角为 ___________； (3)若是线段上的一点，则点P旋转后对应点的坐标为 ___________（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3) 【分析】本题考查作图的旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）取格点D，连接，使，连接，由勾股定理可得，则∠BAD=90°，进而可得答案． （3）由旋转的性质可得答案． 【详解】（1）如图，线段即为所求． （2）取格点D，连接，则，连接BD， ，，， ， 与所在直线的夹角为． 故答案为：90． （3）由旋转可知，点P旋转后对应点的坐标为． 故答案为：． 题型25.借助图形变换转化线段求解几何最值问题 1．如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可． 【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小； ∵将绕点A逆时针旋转角 ∴ ∵AC⊥， ∴ ∵O为AC的中点 ∴AO==3.5 ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半． 2．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 3．1.（1）问题提出：如图①，在中，将线段向左平移到的位置，点的对应点分别是，连接，交于点O，若，，则______°； （2）问题探究：如图②，在等边中，点D是右侧平面上一点，连接，以点B为旋转中心将顺时针旋转，得到，连接，若，，求线段的最小值； （3）问题解决：如图③，要在一块空地上规划出一个四边形景观湖，连接．根据规划要求米，与所夹锐角为．考虑游客安全问题的同时达到美观的效果，现要沿和修建绿化带（宽度忽略不计）．为节省费用要使绿化带的总长最短，问的长度是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）3；（3）米 【分析】（1）先根据平移的性质，得到， ，再根据平行的性质求出度数，根据内角和求出，即可求得度数； （2）根据旋转的性质，先证、是等边三角形，进而可证得，则，当三点共线时，有最小值，即可得到答案； （3）根据旋转的性质，先证是等边三角形，再证得四边形是平行四边形，则，那么，由图可得，长的最小值是的长，即当点三点共线时的长最小 ． 【详解】.解：（1）由题意得， 故填． （2）如图②，连接.   以点B为旋转中心将顺时针旋转60°，得到. ，， 是等边三角形， . 为等边三角形， ，， ， ， . 当三点共线时，有最小值， ， 的最小值为3. （3）如图③，以点C为旋转中心将逆时针旋转60°，得到，连接、，设与交于点O，则，，   是等边三角形， ， ， 与所夹锐角为， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 由图可得， 长的最小值是的长，即当点三点共线时的长最小， 米， 的长度的最小值是米． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形、平行四边形的判定及性质、以及两点之间线段最短的应用、旋转的性质等，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $