2025-2026 学年人教版八年级数学下册 期末强基思维专项训练（一）

**基本信息** 聚焦八年级下学期核心知识，以“概念辨析-逻辑推理-模型应用”为主线，融合数学抽象、推理与模型意识，构建系统性强基训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（1,6）|定义验证法、性质迁移|从二次根式/菱形定义出发，结合性质推导结论| |函数综合|3题（2,3,9）|斜率分析、平移公式、绝对值函数图像|一次函数单调性→图像变换→参数范围确定的递进| |几何应用|3题（5,7,10）|棱长关系、坐标法、中位线定理|长方体/矩形/四边形性质与代数计算的融合| |逻辑推理|2题（4,8）|误差平方和、分类排除法|数据拟合模型评估→赛马策略的逻辑推演| |数学建模|2题（13,15）|距离最值模型、行程分段计算|实际问题抽象为数学模型，通过方程求解|

初中八年级下学期数学强基科学思维训练（一） 总分100分 时间90分钟 一、智则思辨（6×4=24分） 1.若两个最简二次根式的平方和的算术平方根仍为最简二次根式，则称这两个最简二次根式为纯粹二次根式，下列为纯粹二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.已知一次函数y=（2k-1）x+3k+5的图象上的两点A（a，b），B（c，d），a<c，则（ ） A.若b>d，则k的取值范围是k< B.若b>d，则k的取值范围是k<0 C.若b<d，则k的取值范围是k> D.图象过定点 3.把直线y=4x+7向左平移m个单位与向上平移2m+1个单位的位置相同，则平移后的解析式为（ ） A.y=4x+8 B.y=4x+9 C.y=4x+10 D.y=4x+ 4.渤海气象小组在校园内测量一天的气温变化，记录到如下数据： 时间x(时) 9 11 13 15 17 气温y(℃) 18 20 22 23 25 小组成员想用一个函数模型来近似描述气温随时间的变化规律。他们尝试了以下两个模型： 模型①:y=x+8 模型②: 对于模型①,其“气温预测值”与实际气温值的误差平方和∑(y实际一预测)²为： A.(18-17)²+(20-19)²+(22-21)²+(23-23)²+(25-25)²=6 B.(18-9)²+(20-11)²+(22-13)²+(23-15)²+(25-17)²=284 C.(17-18)²+(19-20)²+(21-22)²+(23-23)²+(25-25)²=6 D.(18-17)+(20-19)+(22-21)+(23-23)+(25-25)=0 5.已知长方体的两条面对角线长为3，4，则下列说法可能正确的是（ ） A. 长方体的另一条面对角线长为5 B. 长方体的棱长总和为14 C. 长方体的体对角线长为 D. 长方体的表面积为40 6.菱形ABCD中，点Q在对角线AC上。动点P从A出发，以1单位/秒的速度沿A→B→C→D→A运动一周，记y=PQ，并以时间t（秒）为横轴、y为纵轴绘制函数图像。已知图象经过点(0,1)，在t=0.8秒时y取得最小值0.6，在t=10秒时y取得最大值7。则下列选项中不正确的是（ ） A.菱形的边长为5 B.菱形的两条对角线长分别为6和8 C.AQ=2 D.菱形的面积为24 二、逻辑补缺（4×4=16分） 7.矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC这两条边上，AE=BF，AC与EF交于H，G在线段EF上，三角形DEG与三角形GBF的面积之比为3:5，BF：DE=2：5，则EG：HG的比值为（ ）。 8.有数字1～6的六张卡片，平均分成两组。已知： 第一组的三个数能作为三角形的三边长； 第二组中，最大的数等于另外两个数的和； 将每个数字看作一匹马的速度，两组进行三局两胜的赛马（可针对对方出场顺序安排己方顺序），第二组存在一种策略确保获胜。 则第二组的三个数字是（ ）。 9.A（2,5），B（6,5）,y=k|x-3|与线段AB有且仅有一个交点，则k的取值范围是（ ） 10.在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠BAD，AC=AD，M、N分别是AC、CD的中点，连接BM、MN，BN。若BM=BN，则∠BAC的度数为（ ） 三、探赜索隐（12×5=60分） 11.对于a、b，定义根号（a-根号b）和根号（b-根号a）为一阶完美根。 （1）若一阶完美根存在，求a、b满足的不等式。 （2）定义n阶完美根的一阶完美根为（n+1）阶完美根，其中n是正整数。若a，b是不相等的正数，且a、b的2阶完美根存在，求a、b满足的不等式。 （3）若a，b有三阶完美根，那么a，b可能是不同的完全平方数吗？若可能举出一例并验证，若不能说明理由。 12.凹四边形ABCD的内角∠ADC＞180°，E、F、G是ABCD边的自由动点。 （1）求证：一定存在以D、E、F、G为顶点的平行四边形。 （2）对于凹四边形ABCD铁皮（∠ADC>180°），要在铁皮上剪下一个以D为顶点的面积最大的平行四边形DEFG请给出具体做法。 13.一个边长为1的正方形和一个边长为k的正方形，A是正方形上任意一点，B是另一个正方形上任意一点，AB的最小值是a，最大值是b，求k的最大值m和最小值n。注：a、b视为已知量，结果用含a、b的式子表示。 14.直线L：y=kx+b，p是L上任意一点，以P为中心的面积为1的矩形M的一条对角线在L上，且M的边平行于坐标轴，称A为L的P聚点。已知点A（3,2）在直线：y=kx-1的某一个聚点的边界或内部，求k的取值范围。 15.弟弟放学后以 0.8 m/s 的速度步行回家。走了 6 分钟后，他误以为前方一人是哥哥，便将速度提高到 1.4 m/s 追赶了 5 分钟，才发现认错人，于是立即恢复原速 0.8 m/s 继续前行。又过了 4 分钟，哥哥从后面匀速追上弟弟。哥哥说，他的班级比弟弟的班级晚放学 3 分钟，因此他实际行走的速度比原计划的速度每秒快 0.2 米；如果按原计划速度行走，两人将会同时到家。求学校到家的距离。 初中八年级下学期数学强基科学思维训练（一） 参考答案 一、智则思辨（6×4=24分） 1.根据定义，两个最简二次根式的平方和的算术平方根仍为最简二次根式，则称这两个最简二次根式为纯粹二次根式。 对于和： 平方和：。 算术平方根：，该结果为最简二次根式，因此和满足条件，它们是纯粹二次根式，故选B。 2.已知一次函数y=（2k-1）x+3k+5，其图象上的两点A(a,b)，B(c,d)满足a<c。该函数的斜率m=2k-1。 若b>d，说明函数在a<c时y值减小，即函数单调递减，因此斜率m<0，即2k-1<0，解得 k<。故选项A正确，选项B错误。 若b<d，说明函数单调递增，斜率m>0，即k>，而选项C给出k>，范围过大，故错误。 对于选项D，将点代入函数：y=（2k-1）x+3k+5=-3k++3k+5=，不等于，故该点不在图象上。实际上，函数图象恒过定点，因此D错误。 综上所述，正确选项为A。 ​ 3.将直线y=4x+7向左平移m个单位，得到解析式： y=4(x+m)+7=4x+4m+7. 将直线向上平移2m+1个单位，得到解析式： y=4x+7+(2m+1)=4x+2m+8. 由题意，两种平移后所得直线位置相同，即解析式相等： 4x+4m+7=4x+2m+8. 化简得： 4m+7=2m+8→2m=1 →m= 代入任一平移后的解析式，例如向左平移： y=4x+4×+7=4x+2+7=4x+9 因此，平移后的解析式为y=4x+9. y=4x+9 故选B。 4.解析 选项 A：正确使用了模型 ① y=x+8 计算出每个时间对应的气温预测值（x=9时y=17，依此类推），并按照误差平方和的定义准确计算。 选项 B：错误地将时间x值直接当作预测气温，与实际含义不符。 选项 C：预测值计算正确，平方顺序也与定义一致，但公式书写时将预测值写在了前面，与题干中的顺序不完全一致。 选项 D：仅计算了误差的代数和，而非平方和，忽略了平方的作用。 总结：当用函数模型来描述一组数据的变化趋势时，误差平方和（即各实际值减去预测值的差的平方之和）是衡量模型拟合效果的重要指标。一般情况下，误差平方和越小，说明模型与实际数据的整体偏差越小，拟合效果越好。 故选A。 5.解答： 设长方体的三条棱长分别为，且两条面对角线满足 则第三条面对角线 由相减得 且， 结合得故c²即c。 因此另一条面对角线长不可能为5，A错误。 体对角线长.由c²，得。 ，故C可能正确。 棱长总和 当 当 故，而1422.58，B错误。 表面积利用 可得 经分析，S在时15.8738.4。而40>38.4，故D错误。 综上，只有选项 C 可能正确。 6.由已知条件，菱形ABCD中，Q在对角线AC上，点P从A出发以1单位/秒的速度沿ABCDA运动一周，函数y=PQ关于时间t的图像过(0,1)，t=0.8时y最小=0.6，t=10时y最大=7。 设菱形边长为a，半对角线长为c和d，则a²=c²+d²。由t=0时PQ=1得AQ=1。由t=0.8时P在AB上且PQ最小，知Q到AB的垂足H满足AH=0.8，QH=0.6，故c/a=0.8，d/a=0.6，即c=0.8a，d=0.6a，代入a²=c²+d²恒成立。 t=10时y最大=7，最大值出现在顶点，计算各顶点到Q的距离：A:1，B:√(a²-1.6a+1)，C:1.6a-1，D同B。令C点距离为7得1.6a-1=7，解得a=5，此时B点距离√(25-8+1)=√18≈4.24<7，符合。故a=5，c=4，d=3。 因此，菱形边长为5，对角线长分别为8和6，AQ=1，面积为24。 综上，只有选项 C 不正确。 7.设矩形ABCD，以A为原点建立坐标系，令A(0,0)，B(b,0)，D(0,d)，C(b,d)。由AE=BF，设E(0,e)，F(b,e)。由BF:DE=2:5，得e:(d-e)=2:5，解得d= e。AC与EF交于H，求得H(, e)。设G(g,e)在线段EF上，由三角形DEG与三角形GBF面积比为3:5，得g(d-e):(b-g)e=3:5，代入d-e= e，解得g= b。于是EG=g=，HG=||=。故EG:HG=:=21:10。 8.解题步骤： ①确定第二组的所有可能 设第二组三个数为 a < b < c，且 c = a + b，它们取自1～6。 由 a + b = c 且 a, b, c 互异，列出所有可能： (1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), (1,5,6), (2,3,5), (2,4,6). ②对每种情况，确定第一组（剩下的三个数）并验证三角形条件 第一组需能构成三角形（任意两边之和大于第三边）。 (1,2,3)：第一组 {4,5,6}，4+5>6 成立 ✅ (1,3,4)：第一组 {2,5,6}，2+5>6 成立 ✅ (1,4,5)：第一组 {2,3,6}，2+3=5 ot> 6 ❌ (1,5,6)：第一组 {2,3,4}，2+3=5>4 成立 ✅ (2,3,5)：第一组 {1,4,6}，1+4=5不> 6 ❌ (2,4,6)：第一组 {1,3,5}，1+3=4不> 5 ❌ 满足三角形条件的只有前三种和第四种：(1,2,3)、(1,3,4)、(1,5,6)。 ③验证“三局两胜”策略 第二组可以通过后手（根据第一组出马顺序安排自己的马）赢得至少两场。 比较双方马的速度（数字越大越快）： 第二组 (1,2,3) vs 第一组 (4,5,6)： 第二组所有马都慢，最多赢0场 ❌ 第二组 (1,3,4) vs 第一组 (2,5,6)： 第二组最快的4只能赢2，但剩下1和3都慢于5和6，最多赢1场 ❌ 第二组 (1,5,6) vs 第一组 (2,3,4)： 可安排6对4（胜）、5对3（胜）、1对2（输），赢2场 ✅ 因此只有 (1,5,6) 满足所有条件。 ④得出结论 第二组的数字是 1, 5, 6。 9.要使得函数与线段AB(其中A(2,5),B(6,5))有且仅有一个交点，需考虑k>0(因为k≤0时无交点)。代入y=5得，解得：。交点需在线段2≤≤6上。 分析和在区间内的情形： 当 时，>6且<2，无交点； 当 时，=6,=0,仅一个交点(点B); 当时，3<<6，x1<2，仅一个交点； 当k=5时，，，两个交点； 当k>5时，>2，<4，两个交点。 因此，k的取值范围为。 10. 解：设∠BAC=α。 ∵AC平分∠BAD, ∴∠CAD=α。 ∵∠ABC=90°,M是AC的中点， ∴BM=AM=CM(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。 ∴△ABM是等腰三角形，∠ABM=∠BAM=α, ∴∠AMB=180°-2α, ∴∠BMC=180°-∠AMB=2α。 ∵AC=AD,M是AC的中点，N是CD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， MN|AD,且MN=AD=AC=AM=CM=BM。又BM=BN, ∴BM=MN=BN, ∴△BMN是等边三角形，∠BMN=60°。 ∵MN∥AD,∴∠CMN=∠CAD=α(同位角相等)。 ∵AC平分∠BAD,∴AB与AD在AC的两侧，即点B与点D在直线AC的异侧。又N是CD的中点，C在AC上，故N与D在AC的同侧， ∴点B与点N在直线AC的异侧。 因此，在点M处，射线MC位于射线MB与MN之间， ∴∠BMN=∠BMC+∠CMN。 代入得： 60°=2α+α=3α, 解得α=20°。 故∠BAC=20°。 11.（1）一阶完美根存在等价于根号下的表达式非负，即 由于，，两边平方得 因此，a，b满足的不等式为 且 （2）二阶完美根存在意味着首先一阶完美根存在，即且， 其次一阶完美根和作为新的数对，其自身的一阶完美根也存在，即 两边平方并整理得 进一步化简可得 结合一阶条件，a，b满足的不等式为 （其中，为不相等的正数） （3）可能存在不同的完全平方数。例如=121，=49（即和），经验证满足三阶完美根的条件。 12.(1)证明： 因为四边形ABCD是凹四边形且，所以边AB与CD不平行，设它们的延长线交于点P。过点P作AD的平行线，交直线CD于点Q。 在边AD上取一点E(不与A，D重合)，过E作CD的平行线交AB于点F，再过F作DE的平行线交CD于点G。由作图可知，因此四边形DEFG是平行四边形。当点E在AD上从A向D移动时： 点F在线段AP上从A向P连续移动； 点G在线段DQ上从D向Q连续移动(时时)。 由于移动是连续的，线段DG的长度从0连续变化到DQ的长度。 若点Q在线段CD上，则对任意E(除A外),点G均在线段CD上，取E异于A即得非退化平 行四边形。 若点Q在CD的延长线上，则线段DQ包含点C,由连续函数的介值定理，存在某个E(介于A与D之间)使得G=C，此时得到的平行四边形非退化。 综上，一定存在点E，F，G分别在四边形ABCD的边上，使得以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形。 (2)对于凹四边形，要在铁皮上剪下一个以D为顶点的面积最大的平行四边形DEFG(E,F,G分别在边AB,BC,CD上)，可采用以下几何构造： ①.作辅助三角形：连接AC，得到△ABC，点D在其内部。记。 ②.比较面积： Ⅰ.若(即)，则取。 过D作BC的平行线交AB于点E，再过E作CD的平行线交BC于点F,则四边形DEFC即为面积最大的平行四边形。 Ⅱ.若，则在CD上取点G，使得 然后过G作AB的平行线交BC于点H,过D作GH的平行线交AB于点E,再过E作DG的平行线交BC于点F，则四边形DEFG即为所求。 该构造保证了所得到的平行四边形面积最大，且所有顶点均在四边形边上。实际剪裁时，可通过尺规作图或面积测量实现上述比例点。 13.对于给定的边长分别为1和的正方形，设它们之间的最小距离为，最大距离为。则的可能取值范围由和决定，具体如下： ①当时，需满足，此时 ， 特别地，若，则，若，则 ②当时，需满足，此时 以上结果假设为正数，且存在相应的放置方式使AB的最小值和最大值分别为和。 14.点A(32)在直线的某个聚点的边界或内部，等价于存在直线上的点，使得以P为中心、边平行于坐标轴、面积为1且一条对角线在直线上的矩形包含A。该矩形的半宽半高条件为： 当k>0时，两区间长度均 ，中心分别为3和 ，相交条件为 解得，即， 当时，类似分析表明两区间无交集，故无解。 因此，k的取值范围为 15.设学校到家的路程为S米。弟弟行走过程如下： 前6分钟(360秒):速度，路程米； 接着5分钟(300秒):速度1.4m/s，路程米； 再4分钟(240秒):速度，路程米。 此时弟弟共走360+300+240=900秒，路程米，被哥哥追上。 哥哥比弟弟晚放学3分钟(180秒)，因此哥哥从学校出发的时间为秒。哥哥追上弟弟时，他走了秒，路程900米，故哥哥实际速度。哥哥说他比计划每秒多走0.2米，所以计划速度。 若哥哥以计划速度1.05m/s行走，则他与弟弟同时到家。弟弟到家时间： 哥哥到家时间： 令两者相等： 解得： 因此，学校到家的路程为1360.8米。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $