1.3 课时1 矩形的性质定件 2026-2027学年北师大版 数学 九年级上册

该初中数学课件围绕矩形的定义、性质及直角三角形斜边上中线的性质展开，通过类比菱形学习引导学生从角和对角线方向探究，结合测量数学书等活动引发猜想，搭建平行四边形到特殊平行四边形的知识支架。 其亮点在于以探究活动为核心，通过动手测量、剪矩形纸片培养几何直观，规范证明过程发展推理能力，多种解法例题（如∠AOD=120°的矩形问题）激发创新意识。表格总结清晰呈现知识结构，帮助学生系统掌握，教师可提升教学效率，落实核心素养。

1.3 课时1 矩形的性质 矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流. 矩形的定义： 的平行四边形叫作矩形. 平行四边形 角（定义出发）、对角线 有一个角是直角 活动1：材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 同学们以小组为单位，测量数学书四个角的度数和对角线的长度， 并记录测量的结果. 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 探究一：矩形的性质定理 A B C D O 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°. 求证:∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°； 证一证 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠CDA， ∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）. ∴∠ABC +∠BCD = 180°. 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°. 猜想1：矩形的四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC ≌∠DCB. ∴AC = DB. 猜想2：矩形的对角线相等. 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°, 对角线 AC与DB相交于点O. 求证:AC = BD. 证一证 A B C D O ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB. 几何语言 矩形的特殊性质： 性质1：矩形的四个角都是直角. 性质2：矩形的对角线相等. 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A. AB // DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OB C 探究二：直角三角形斜边上的中线的性质 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 活动2：如图一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC 剪去一半.Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ B C O A 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证一证 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC. O C B A D ∵AO=OC,BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴BO= BD= AC. 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明: 延长BO 至点D, 使OD=BO,连接AD,DC. ┓ 直角三角形的性质 C B A O 符号语言： Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°，OA＝OC， ∴BO＝ AC． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ┓ 做一做：在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5 ，求这个矩形对角线的长. A B C D O 解法1：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90°，AC = BD， OA= OC=AC，OB = OD =BD.∴OA = OD. ∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°－120°)=30°. ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 请大家尝试用至少两种不同的方法解决这道题，小组内可以交流思路. 解法2：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠BAD=90°，AC=BD,且O是AC、BD的中点， ∴AO=BD=BO, 又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°. ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=2.5. ∴AC=BD=2OA=5. A B C D O 矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 性质 边 矩形的 ； 角 矩形的 ； 对角线 矩形的 . 相关性质 直角三角形斜边上的中线等于 . 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 斜边的一半 1.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 2.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， 若AC=4.则OD的长是（ ） A.1 B. C.2 D. D C 3.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E （1）证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC= BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. (2)∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD=BD=×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC===4. ∴四边形ABED的面积=(4+8)×4=24. A B C D O E $