1.3 矩形的性质与判定课时1课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边上中线的性质，课堂导入通过类比菱形学习经验，引导学生从矩形定义出发，探究角与对角线的特殊关系，搭建从平行四边形到特殊平行四边形的知识支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过推理证明（如用三角形全等证对角线相等）培养数学思维，借助几何直观（如矩形对角线分等腰三角形）发展空间观念，结合跟踪训练与综合练习（如含60°角矩形对角线计算）强化应用。小结结构化梳理性质定理，帮助学生形成知识体系，提升推理能力与应用意识，教师可高效开展启发式教学。

第一章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 课时1 1.探索并证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题。 2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半。 学习目标 2 矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢? 需要研究矩形的角的关系、对角线的关系。 可以从矩形的定义出发，先研究矩形的性质，再研究矩形的判定。 课堂导入 3 知识点1 矩形的性质 问题1 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗? 对边平行且相等， 对角相等， 对角线互相平分， 矩形是中心对称图形。 新知讲解 问题2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质?你是怎样发现的？ 你能证明这些猜想吗? 发现：矩形的四个角都是直角。 矩形的两条对角线相等。 知识点1 矩形的性质 一个角是90° 对边平行，对角相等 四个角都是90° 四个角都是90° 对边相等 对角线相等 三角形全等 矩形的定义 矩形的性质 矩形的定义 矩形的性质 新知讲解 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC= 90°， ∴∠BCD= 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 知识点1 矩形的性质 新知讲解 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC (矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的性质 新知讲解 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 新知讲解 矩形的其他性质 (1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。 (2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 新知讲解 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 知识点1 矩形的性质 新知讲解 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 新知讲解 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC。 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 你还有其他证明方法吗? 新知讲解 直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线， ∴BO= AC。 C B A O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 新知讲解 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。 ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 A B C D O 你还有其他解法吗？ 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 新知讲解 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：有。∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴ OA=OB。 ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴ △ AOB是等边三角形， ∴ OA=AB =2.5， ∴ AC=2OA=5。 A B C D O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 新知讲解 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长。 解：在矩形ABCD中，OA=4，∠BAD=90， 所以BD=AC=2AO=8。 在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD== =2 所以BD与AD的长分别为8和2 。 随堂练习 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=______cm。 2.5 随堂练习 3.如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线。 (1)若BD=3 cm，则AC =_____cm。 (2)若∠C = 30° ，AB = 5 cm，则AC =_____cm， BD = _____cm。 A B C D 6 10 5 随堂练习 4.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE ，垂足为F。 求证：DF=DC。 证明：连接DE。 ∵AD =AE， ∴∠AED =∠ADE。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C=90°， ∴∠ADE=∠DEC， ∴∠DEC=∠AED， A B C D E F ∴DE是∠AEC的角平分线， 又∵DF⊥AE，∠C=90° ， ∴DF=DC。 随堂练习 5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠D=90°，AB=4，CD=6，BC-AD=2。在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 。 随堂练习 解：连接AC，取AC的中点P，连接 PB，PD。 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∠ABC = ∠ADC=90°，P是AC的中点， ∴PB=PD= AC，PA=PC= AC， ∴ PB=PD=PA=PC。 设AD=x，则BC=x+2， 在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB² + BC²=AC²=AD²+ DC²，AB =4，CD =6， ∴ 4²+(x+2) ²=x² +6²， ∴ AD=x=4， ∴ AC= = =2， ∴d= AC= 。 随堂练习 5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠D=90°，AB=4，CD=6，BC-AD=2。在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 。 随堂练习 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形的 特殊性质 角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的对角线相等 课堂小结 $