浙江宁波市镇海蛟川书院2025学年第二学期学科素养大比拼2初二数学试卷

蛟川书院（甬江校区)2025学年第二学期学科素养大比拼2， 初二数学试卷 (满分120分，考试时间120分钟) 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列计算中，正确的是( A、√2x√3=5 B.2-6 C. D.v8-8=2 2 2.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设( A.四边形中所有角都是锐角 B,四边形中至多有一个角是钝角或直角 C.四边形中没有一个角是锐角 D.四边形中所有角都是钝角或直角 3.将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y=2x2，那么平移前抛 物线的解析式是( A.y=.2(x+1)2+2B.y=2(x-1)2-2C.y=2(x-1)2+2D.y=2(x+1)2-2 4.如图，商用手扶梯AB的坡比为1：√3，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升 的高度AC为（） A.6米 B.63米 C.12米 D.12√3米 5.北仑某酒店第2季度的总雷业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月 增长率为x,可列方程为（ A.100(1+x)2=240 B.100+100(1+x)2=240 C.100+100x+1001+x)2=240 D.100+100(1+x)+100(1+x)2=240 6.已知抛物线y=ax2+2ax+c经过点A3,m)和点B(-2,n),且函数y有最大值，则m和n的大小关系为 () A.m>n B.m<n C.m=n D.与a的值有关 7.对于实数a、b定义新运算“*”如下： a*b=2a-ba≤)，如(-5)*2=-5×2-2=-12,3*2=2×3+2=8， a*b=20+b(a>b) 若一元二次方程x+x-6=0的两根为x,、x(x<x),则x*x的结果是( A.-3 B.-6 C.-8 D.2 8.如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,若AB=8,MN=2, 则AC的长为() A.12 B.11 C.10 D.9 9.如图，在一块长为20m,完为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路， 四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路 宽为xm,则以下方程正确的是() A.32x+4x2=40B.32x+8x2=40C.64x-4x2=40D.64x-8x2=40 10如图，正方形ABCD的边长为4，E,F,G分别是边AB,BC,AD上的动点，且AE=BF,将 △BEF沿EF向内翻折至△BEF,连结BB,B'G,GC,则当BB最大时，B'G+GC的最小值为() A.√42-2 B.5.6 C.2√10 D.3√5 M 第8题图 第9题图 第10题图 二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.化简V3-π)2= 12.一组数据3,5,4,4,3的平均数是4，这组数据的方差为 13.已知a、B是一元二次方程x2+x-1=0的两根，则a2+24+.B-1= 14.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.若AE平分∠DAB,∠EAC=I0°， 则∠AED=」 15.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG,连接AF,则AF的最小值为 16.如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM,且AB=AM, 点E为BM中点，AF⊥AB,连接EF,延长FO交AB于点N,∠ACB=45°，AN=1,AF=3,则EF= A E B B B E M 第14题图 第15题图 第16题图 三、解答题（共8小题，共72分，其中17-21题每题8分，22-23题10分，24题12分） 17.计算： 2)面-厚语+s5. 18.解下列一元二次方程 (1)3x2+6x-5=0; （2)(x-1)(x+3)+5=0. 19.在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单 位：元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图图甲和图乙.请根据相关信 人数 息，解答下列问题： 16 20元 16% 30元 m% 40元 10% V20 253035 40金额元 甲 乙 (1)本次接受调查的学生人数为 图甲中m的值为 (2)求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数. 20.如图，在oABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，CF=AE,连接AF,BF (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=4,求ABCD 的面积. 21.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元， 则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销 售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 2,如图，已知抛物线y=(--1与x轴交于A,B两点（点A在点B的右侧，直线y=号x+3与x轴 和y轴分别交于C,D两点. (1)若抛物线经过点D,且A点的坐标是(3,0)，求抛物线的函数解析式： (2)在(1)的条件下，点P是在直线DC下方二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时， △CDP的面积最大，并求出最大面积： (3)当1≤x≤3时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值. y4 B 013 备用图 23.我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形” (1)如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”.求证：AB2+CD2=BC2+AD (2)如图2，E是四边形ABCD内一点，连接AE,BE,CE和DE,AC与BD交于点O.若∠BEC=90°， ∠BC=∠BDC,∠I+∠2=∠3.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”. (3)如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB=AC,∠ADC=120°，AD=3,BC=√5DC,求CD 的长 图1 图2 图3 24.如图1，DABCD绕点A旋转得到AEFG,当点E落在边CD上时，连接BE. (I)求证：BE平分∠AEC; (2)连接GB交AE于点M. ①如图2，若口ABCD为长方形，猜测GM和BM之间的等量关系，并说明理由； ②如图3，若∠BEC=60°，AB=5,EC=4,请直接写出△GAB的面积. 图1 图2 图3 参考答案 一，选择题 1 2 3 4 5 6 8 9 10 D A 第10题解析 【详解】解，如图，当四边形BEBF为正方形时，BB最大， ∴BE=BF,AE=BF,AE=BE,∴E,F分别是边AB,BC上的中点， 过点B作BH⊥CD于点H,则AE=BE=BF=BH=CH=二BC=2, 作C关于AD的对称点C',连接BC,GC,CG=GC, ∴.B'G+GC=B'G+GC'≥BC,即B'G+GC的最小值为B'C', 在Rt△B'C'H中，B'H=2,HC'=CC-CH=8-2=6, 由勾股定理得：B'C'=√22+62=20，.B'G+GC的最小值为2W10.故选：C. 二填空题 11.-3 12.0.8 13.1 14.70° 15.3V2 16.2V2 第16题解析 2√区解析：如图，连结AE,过，点E分别作CHLAF于点H,EG⊥DC的琏 长线于点G.WAB=AM,E为BM的中点，.AE⊥BM.:∠ACB=45°，△AE 为等腰R△，AE=CE.:四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD,,AFLAB, ∴.AF⊥CD,又，EH⊥AF,EG⊥DC,.四边形EGFH为矩形，∠HEG=90, ∴∠AEH+∠HEC=∠CEG+∠HEC.∴∠AEH=∠CEG.又：∠EHA=90°= ∠G,∴.△AEH≌△CEG,∴.EH=EG,∴.四边形EGFH为正方形，.FH=FG EG,△GEF为等腰R△.，四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC的中点F过点O,,易证耀 △ANO≌△CFO,∴.FC=AN=1.设AH=x,则CG=AH=x,FH=AF-AH=3-x,∴FG=FC+CG= 1十x.由FH=FG,得3-x=1+x,解得r=1,G=FG=2,EF=√EG+F=2√2. 三、解答题 7解：1历-得-2=3-5-25.2 3 2面-厚悟+雨+5-*25-s =√5-i+V9=√5-1+3=5+2. 18.解：(1)3x2+6x-5=0, :△=62-4×3×(-5)=96>0， :x=-6±96--3±2V6 6 3 为=-3+2V6 3 ，为=-3-26 3 (2)(x-1)(x+3)+5=0, 将一元二次方程变为一般形式为：x2+2x+2=0, △=22-4×1×2=-4<0， 原方程无实数解. 19.解：(1)8+12+15+10+5=50（人）， m%=1-16%-24%-20%-10%=30%, 故答案为：50,30； (2)这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%=29.2， 众数是30，中位数是30： 20.（1)证明：四边形ABCD是平行四边形，DC/1AB,DC=AB, CF=AE,∴CD-CF=AB-AE,.DF=BE且DCI/AB, .四边形BFDE是平行四边形， 又，DE⊥AB,∠DEB=90°，.平行四边形BFDE是矩形； (2)解：∠DAB=60°，AD=4,DE⊥AB,.∠ADE=30°， 4B=D=2,DE=5A=25, 由（1)得：四边形DFBE是矩形，.BF=DE=2√3，∠ABF=90°， :4A平分∠D4B,∠FAB=2D1B=30, :AB=√5BF=√3x2√5=6，.oABCD的面积=AB×DE=6×25=12W5, 21.解：（1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)， 则每件商品的利润为：(60-50+x)元，总销量为：(200-10x)件， 商品利润为：y=(60-50+x)(200-10x)=(10+x)(200-10x)=-10x2+100x+2000. 原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，.0<x≤12且x为正整数； (2)y=-10x2+100x+2000=-10(x2-10x)+2000=-10(x-5)2+2250. 故当x=5时，最大月利润y=2250元.这时售价为60+5=65（元）. 2.解：(1)直线y=-3 x+3与x轴和y轴分别交于C,D两点，∴C(5,0),D(0,3), 5 抛物线经过点D,.t2-1=3,解得：t=+2, 抛物线经过点A(3,0),∴.(3-t)2-1=0,解得：t=2或4， .t=2,y=(x-2)2-1=x2-4x+3, 故该抛物线的解析式为y=x2-4x+3; (2)设P(,-41+3),过点P作PH1y轴，交CD于H,则HG,-+3), ∴PH=-3+3-C-4+3)=-2+2, 5 2 40 -<0,当：=时，Som取得最大值2 10 0 ,此时，P,-马 10'100: (3)当1≤x≤3时，抛物线y=(x-)2-1对应的函数有最小值3， 可分三种情况：①当t<1时，(1-t)2-1=3,解得：t=-1或t=3（舍去)； ②当1≤t长3时，该函数的最小值为-1，不符合题意； ③当t>3时，(3-t)2-1=3,解得：t=5或t=1(舍去)：综上所述，t的值为-1或5. 图1 23.证明：(1)，四边形ABCD为“对垂四边形”，AC⊥BD, .∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+D02+BO2+C02, AB2+CD2=402+BO2+CO2+DO2,.AB2+CD2=AD2+BC2; (2)∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠COD,.∠3=∠ACD, ∠3=∠I+∠2，∠ACD=∠ACE+∠2，∴.∠1=∠ACE, ∠BOC=∠BEC=90°，AC⊥BD, .四边形ABCD为“对垂四边形”； (3)过点A作AH⊥DC,交CD延长线于点H, H 图3 设CD=x,则BC=V5DC=V5x, 四边形ABCD为“对垂四边形”，AD=3, .AB2+CD2=AD2+BC2,.AB2=9+5x2-x2=9+4x2, .AB=AC,..AC2=9+4x2, ∠ADC=120°，.∠ADH=60°，∠DAH=30°， H=0-,H=5Dm=3y5 2 :AC2=AH2+CH2,9+42=27 4 x=0(舍去)，为=1，CD的长度1. 24.(1)证明：：AB/1CD,则∠EBA=∠BEC, :AB=AE,则∠ABE=∠AEB=CEB,即BE平分∠AEC; (2)解：①过点B作BT⊥AE于点T,由(1)知，BE平分∠AEC, B 则BT=BC=AG,:∠GAM=∠BTM=90°，∠AMG=∠BMT, ∴.△AMG≡△TMB(AAS),∴.MG=MB, 故答案为：相等； ②作射线DL,∠BEC=60°，AB=AE, D E G 则△ABE为等边三角形，则∠EAB=∠AEB=∠EBA=6O°=∠CEB,AE=BE, 故∠DEN=60°=∠AEB, 在AE上取EN=ED,连接BN、GN,则△ADE≡△BNE(SAS), .BN=AD=AG,∠ADE=∠BNE,则∠ANB=∠LDA, :AB/ICD,则∠LDA=∠DAB由图形的旋转知，∠DAB=∠GAE,则∠GAE=∠BAN, '∠GMA=∠BMN,BN=AG,.△AMG=△NMB(AAS), 则∠AGB=∠NBM,则GA/IBN,则四边形ABNG为平行四边形， 则△GAB的面积=△NAB的面积， :AB=5,EC=4,则DE=1=EN,过点N作NT⊥AB于点T, 在Rt△AWT中，∠NAB=60°，AW=AE-EN=5-1=4,则NT=√42-22=25， 则△GAB的面积=△MB的面积=x4BxNT-方×5×25=55。