1.4 课时1 正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过“正方形是否为菱形或矩形”的复习导入问题，搭建矩形、菱形性质与正方形性质的关联支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 其亮点在于以“归纳-应用-总结”为主线，通过从矩形和菱形性质归纳正方形性质培养推理能力，结合例题中全等三角形证明线段关系及巩固训练中的具体计算，强化模型意识。采用问题驱动和分层训练，帮助学生构建知识体系提升解题能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富素材。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 课时1 正方形的性质 O A B C D 复习导入 思考：正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ O A B C D 正方形既是矩形，又是菱形. 因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质. 新知探究 一、从矩形得到什么 因为正方形是矩形，所以正方形具有矩形的性质： 1. 正方形的四个角都是直角； 2. 正方形的对角线相等且互相平分. A B C D 几何语言：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD. 新知探究 二、从菱形得到什么 因为正方形是菱形，所以正方形具有菱形的性质： 1. 正方形的四条边都相等； 2. 正方形的对角线互相垂直； 3. 每条对角线平分一组对角. O A B C D 几何语言：AB=BC=CD=DA，AC⊥BD. 归纳总结 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 理由：正方形是矩形，所以四个角都是直角；正方形是菱形，所以四条边都相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 理由：正方形是矩形，所以对角线相等且互相平分；正方形是菱形，所以对角线互相垂直. 补充：正方形的每条对角线平分一组对角. 巩固训练 1.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 解析：矩形一定有四个直角、对角线相等且互相平分，但对角线不一定互相垂直；正方形作为菱形具有对角线互相垂直的性质. 答案：C. 新知探究 三、对角线中的直角三角形 连接正方形 ABCD 的对角线 AC. A B C D 在 Rt△ABC 中，AB=BC. 所以正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形. 常用结论：若边长为 a，则对角线长为 . 巩固训练 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 6，求对角线 AC 的长. A B C D 6 6 解析：在 Rt△ABC 中，AB=BC=6, AC²=AB²+BC²=6²+6²=72, AC=, 答案：. 例题讲解 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE=CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 思路：先证明 △BCE≌△DCF，得到 BE=DF，再延长 BE 与 DF 相交证明垂直. A B C D E F 新知探究 延长 BE，交 DF 于点 M. 由 △BCE≌△DCF，得 ∠CBE=∠CDF. 又 ∵ ∠DCF=90°， ∴ ∠CDF+∠F=90°. ∴ ∠CBE+∠F=90°. ∴ ∠BMF=90°，即 BE⊥DF. A B C D E F M 结论：BE=DF，且 BE⊥DF. 新知探究 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC=DC，∠BCE=90°. 又 ∵ F 在 BC 的延长线上，∴ ∠DCF=90°. ∴ ∠BCE=∠DCF. 又 ∵ CE=CF， ∴ △BCE≌△DCF. ∴ BE=DF. A B C D E F 巩固训练 3.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF、DF。请找出图中的一对全等三角形，并证明. O A B C D F 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB=AD，∠BAF=∠FAD. 又 ∵ AF=AF， ∴ △ABF≌△ADF. 巩固训练 4.如图，E、F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.求证：四边形 AECF 是菱形. O A B C D E F 证明：正方形的对角线互相垂直平分，设交点为 O. 由 BE=DF 可得 OE=OF，且 AC⊥BD. ∴ 四边形 AECF 的对角线 AC、EF 互相垂直平分. ∴ 四边形 AECF 是菱形. 归纳总结 方法梳理：正方形性质的用法. 1. 证明线段相等：常用四边相等、对角线相等或全等三角形； 2. 证明垂直：常用正方形四角直角、对角线互相垂直； 3. 证明角相等：常用每条对角线平分一组对角； 4. 计算长度：常连接对角线，构造等腰直角三角形. 易错提醒：题目图形中给出的点和线段必须与性质对应，不能凭图形感觉直接下结论. 课堂总结 正方形的性质： 1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等； 2. 正方形的对角线相等、互相垂直且互相平分； 3. 正方形的每条对角线平分一组对角. 本质理解：正方形 = 矩形性质 + 菱形性质. 当堂检测 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正方形只有矩形的性质 B. 正方形只有菱形的性质 C. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 D. 正方形的对角线不一定平分角 O A B C D 解析：正方形既是矩形又是菱形，所以对角线相等、互相垂直且互相平分. 答案：C. 当堂检测 2. 正方形的四条边______，四个角都是______。 3. 正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，则 AC______BD，AC______BD。 4. 若正方形边长为 5，则对角线长为______。 O A B C D 解析：利用正方形的边、角、对角线性质；第4题由勾股定理得. 答案：相等；直角；=，⊥；. 当堂检测 5. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.求证：△AOB 是等腰直角三角形. O A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 OA=1/2AC，OB=1/2BD. ∴ OA=OB. 又 ∵ 正方形的对角线互相垂直，∴ OA⊥OB. ∴ △AOB 是等腰直角三角形. $