12.3.3用一次函数解双函数的实际问题 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦双一次函数实际应用，通过租书方案、快递收费等生活问题导入，衔接一次函数基础知识，搭建从单一函数到双函数对比分析的学习支架。 其亮点是结合旅行社选择、电话计费等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。采用问题驱动，从实际抽象函数模型，数形结合分析最优方案，小结方法步骤。助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 12.3.3用一次函数解双函数的实际问题 第12章 函数与一次函数 12.3.3 用一次函数解双函数的实际问题 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦双一次函数实际应用核心考点，是本章重难点题型。主要考查根据两种不同方案、两种收费方式、两类行程问题建立两个一次函数模型，通过求交点、对比函数值大小，判断最优方案、费用高低、位置关系等实际问题，核心利用数形结合与方程思想，贴合期末考试高频大题考点，难度循序渐进，适配课后专项巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 解决双一次函数实际问题的关键是（） A. 只列一个函数解析式 B. 建立两个一次函数模型，对比分析函数值 C. 直接估算结果 D. 只用图象观察，不计算 2. 两个不同收费方案对应的一次函数图象交点的实际意义是（） A. 两种方案费用相等时的自变量取值 B. 其中一种方案的最低费用 C. 其中一种方案的最高费用 D. 无实际意义 3. 甲、乙两种付费方案对应函数y₁、y₂，当y₁＜y₂时，说明（） A. 甲方案费用更低 B. 乙方案费用更低 C. 两种方案费用相等 D. 无法比较 4. 两函数图象交点右侧，若y₁图象在y₂上方，则（） A. y₁＜y₂ B. y₁＞y₂ C. y₁=y₂ D. 无法判断 5. 双函数实际问题中，交点横坐标是区分两种方案优劣的（） A. 任意数值 B. 分界点 C. 最大值 D. 最小值 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 双一次函数实际问题，通常需要先________两个函数解析式，再通过________求等量临界点。 2. 当两个一次函数值相等时，对应图象的________坐标，是方案优劣的分界值。 3. 若在自变量取值范围内，y₁始终小于y₂，则________方案更划算。 4. 方案对比问题中，交点左边和右边，________会发生改变。 5. 利用双函数解决实际问题的核心思想是________思想和方程思想。 三、解答题（共60分） 1.（20分）某书店租书有两种会员方案：方案A无年费，每租1本书收费2元；方案B年费30元，每租1本书收费1元。设租书数量为x本，总费用分别为y₁、y₂元。（1）分别写出y₁、y₂关于x的函数解析式；（2）求两种方案费用相等时的租书数量。 2.（20分）甲、乙两家快递公司收费：甲公司首重免费，超出部分每千克4元；乙公司无论重量，每千克3元，另收基础服务费10元。设快递重量为x千克（x＞0），费用为y₁、y₂元。求x取何值时，乙公司收费更便宜？ 3.（20分）甲、乙两人骑车沿同一路线出发，甲先出发，路程y（米）与时间x（分钟）的函数：甲y₁=200x，乙y₂=250x-500。（1）求乙出发多久后追上甲；（2）分析何时乙在甲前方。 参考答案与简单解析 一、选择题 1.B 解析：双函数问题需建立两个函数模型，通过数值、图象对比解决实际问题。 2.A 解析：交点处两个函数值相等，即两种方案费用、路程等实际量相等。 3.A 解析：函数值代表费用，数值越小，对应方案越优惠。 4.B 解析：图象上方函数值更大，下方函数值更小。 5.B 解析：交点是两种方案优劣切换的分界临界点。 二、填空题 1.列出、联立方程 2.横 3.甲 4.最优方案 5.数形结合 三、解答题 1.（1）y₁=2x，y₂=x+30；（2）联立2x=x+30，解得x=30，租书30本时两种方案费用相等。 2. y₁=4x，y₂=3x+10；联立得x=10，当x＞10时，y₂＜y₁，乙公司更便宜。 3.（1）联立200x=250x-500，解得x=10，10分钟后乙追上甲；（2）x＞10时，乙在甲前方。 （字数：806） 学习目标 1.深入了解一次函数的应用价值；（重点） 2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题（重点） 3.从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值 学习目标 我们前面学习了一些有关一次函数的知识及如何确定解析式，一次函数也可以帮我们解决很多实际问题．对于一些生活实际中的问题也可以利用一次函数的模型来解决。 实际问题中的方案选择 3 例1 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人 100 元.经联系协 商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？ 分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社应付费用 80x (元)；按乙旅行社应付费用(60x + 1000) (元)．问题变为比较 80x 与 60x + 1000 的大小了． 解法一：设该单位参加旅游人数为 x. 那么选甲旅行社，应付费用 80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元). 记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1 与 y2 的图象交于点(50，4000). x/人 50 60 y/元 800 1600 3200 2400 4000 4800 5600 O 10 20 30 40 70 80 90 y1= 80x y2= 60x+1000 观察图象，可知： 当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为 51～100 人时，选择乙旅行社费用较少. x/人 50 60 y/元 800 1600 3200 2400 4000 4800 5600 O 10 20 30 40 70 80 90 y1= 80x y2 = 60x + 1000 解法二： （1）当 y1 = y2，即 80x = 60x + 1000 时，x = 50. 所以当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； （2）当 y1＞y2，即 80x＞60x + 1000 时， 得 x＞50. 所以当人数为 51～100 人时 ，选择乙旅行社费用较少； （3）当y1＜y2，即 80x＜60x + 1000 时，得 x＜50. 所以当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少； 例2 某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 吨，B 地将采摘 300 吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 吨，乙仓库可储存 260 吨，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为x 吨，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA元和 yB 元．(1)分别求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式； 解：(1) yA＝ 20x＋25(200－x)＝－5x＋5000， yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680. (2)试讨论 A、B 两地中，哪个的运费较少； (2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320， ∴当－8x＋320＞0，即 x＜40 时，B 地的运费较少； 当－8x＋320＝0，即 x＝40 时，两地的运费一样多； 当－8x＋320＜0，即 x＞40 时，A 地的运费较少. (3)考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不得超过 4830 元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值． (3)设两地运费之和为 y 元，则 y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680. 由题意得 yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50. ∵y 随 x 的增大而减小，x 最大为 50， ∴y最小＝－2×50＋9680＝9580. ∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为 50 吨、150 吨；B 地运往甲、乙两仓库分别为 190 吨、110 吨时，才能使两地运费之和最少，最少是 9580 元． 方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意． 第(2)小题比较大小要注意分类讨论，第(3)小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案． 例3 边防局接到情报，近海处有一可疑船只 A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇 B 追赶(如下图). 海 岸 公 海 B A 12 下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离 s 与追赶时间 t 之间的关系. 根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ 解：观察图象知， 当 t＝0 时，B 距海岸 0 海里，即 s＝0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A （2）A、B 哪个速度快？ t 从 0 增加到 10 时，l2 的纵坐标增加了 2，l1 的纵坐标增加了 5. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 即 10 分钟内， A 行驶了 2 海里， B 行驶了 5 海里， 所以 B 的速度快. 7 5 当 t＝15 时，l1 上对应点在 l2 上对应点的下方 这表明，15 分钟时 B 不能追上 A. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （3）15分钟内 B 能否追上 A？ 15 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 Ｂ Ａ 12 14 （4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？ 　　如图延伸 l1 、l2 相交于点 P. 因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上 A. P 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 P （5）当 A 逃到离海岸12 海里的公海时，B 将无法对其进行检查. 照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？ 从图中可以看出，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12. 这说明在 A 逃入公海前， 我边防快艇 B 能够追上 A 船. 10 k1表示快艇 B 的速度，k2 表示可疑船只 A 的速度. 可疑船只 A 的速度是 0.2海里/分，快艇 B 的速度是 0.5 海里/分. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （6）l1 与 l2 对应的两个一次函数 y = k1x + b1 与 y = k2x + b2 中，k1，k2 的实际意义各是什么？可疑船只 A 与快艇 B 的速度各是多少？ 下图是龟兔赛跑中 s 与 t 的函数图象. （1）这一次是 　 米赛跑. 100 l2 s /米 l1 l2 100 20 120 40 60 80 1 2 3 4 5 O t /分 6 8 7 12 9 10 11 练一练 （2）表示兔子的图象是 . （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米； （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米； （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟. 40 4 40 s /米 l1 l2 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t /分 6 8 7 -1 12 9 10 11 -3 -2 -4 应用1 从表格和文字中获取信息建立一次函数模型的应用 1. 某公司推出A，B两种电话计费方式. 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫 A 78 1 000 0.25 免费 B 108 1 200 0.19 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额y1(元)，y2(元)关于t的函数表达式； 【解】根据表格数据可知，当0≤t≤1 000时，y1＝78；当t＞1 000时，y1＝78＋0.25(t－1 000)＝0.25t－172； 当0≤t≤1 200时，y2＝108；当t＞1 200时，y2＝108＋0.19(t－1 200)＝0.19t－120. 综上，y1＝ y2＝ 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫 A 78 1 000 0.25 免费 B 108 1 200 0.19 免费 (2)若你预计每月主叫时间为1 150 min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； 【解】选择方式B计费，理由如下： 当每月主叫时间为1 150 min时，y1＝0.25×1 150－172＝115.5，y2＝108. 因为115.5＞108，所以选择方式B计费. 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫 A 78 1 000 0.25 免费 B 108 1 200 0.19 免费 (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，求出最省钱的计费方式. 返回 【解】令y1＝108，得0.25t－172＝108，解得t＝1 120， 所以当0≤t＜1 120时，方式A更省钱；当t＝1 120时，方式A和B的付费金额相同；当t＞1 120时，方式B更省钱. 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫 A 78 1 000 0.25 免费 B 108 1 200 0.19 免费 2. 某中学9月底举行秋季田径运动会，在运动会之前学校采购一些体育用品，经了解有甲、乙两家体育用品店利用网络平台进行销售，在平台上购买体育用品不仅方便而且还有优惠，其中甲店所有体育用品按9折出售，乙店一次购物200元以内(包括200元)不打折，超出200元的部分打8折.设学校采购的体育用品原价为x元，实际购物金额为y元. (1)分别就这两家体育用品店的让利方式写出y甲和y乙与x之间的函数表达式. 【解】由题意可得，y甲＝0.9x. 当0＜x≤200时，y乙＝x， 当x＞200时，y乙＝200＋(x－200)×0.8＝0.8x＋40， 所以y乙＝ (2)当x＞200时，选择哪家店购物更省钱？ 返回 【解】当x＞200时，令0.9x＜0.8x＋40，解得x＜400， 即当200＜x＜400时，选择甲店购物更省钱； 令0.9x＝0.8x＋40，解得x＝400， 即当x＝400时，在两家店购物金额一样； 令0.9x＞0.8x＋40，解得x＞400， 即当x＞400时，选择乙店购物更省钱. 应用2 从一次函数图象中获取信息建立一次函数模型的应用 3.某乡村盛产葡萄，果大味美.甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案：游客无需购买门票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售.活动期间，某游客的葡萄采摘量为x kg，若在甲采摘园所需总费用为y甲元，在乙采摘园所需总费用为y乙元，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是(　　) A.甲采摘园的门票费用是60元 B.两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克 C.乙采摘园超过10 kg后，超过的部分价格是12元/千克 D.当5＜x＜20时，乙采摘园更加优惠 D 【点拨】由题图可得，甲采摘园的门票费用是 60元，故选项A不合题意；两个采摘园优惠前 的葡萄单价是300÷10＝30(元/千克)，故选项B 不合题意；乙采摘园超过10 kg后，超过的部分价格是(480－300)÷(25－10)＝12(元/千克)，故选项C不合题意；当0＜x≤10时，y乙＝30x，当x＞10时，设y乙与x之间的函数表达式是y乙＝kx＋b， 将(10，300)，(25，480)代入，得 解得即当x＞10时，y乙与x之间的函数表 达式是y乙＝12x＋180.由题意可得，y甲＝60＋30×0.6x＝18x＋60.当30x＝18x＋60，即x＝5时，甲、乙两个采摘园的总费用相同，当12x＋180＝18x＋60，即x＝20时，甲、乙两个采摘园的总费用相同，由题图知，当5＜x＜20时，甲采摘园更加优惠，故选项D符合题意.故选D. 返回 4.［2025济南］A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所示，则他们相遇时距离A地　　　km. 【点拨】由题图可设甲的函数表达式为s＝k1t，乙 的函数表达式为s＝k2t＋100，则30＝2k1，80＝k2＋ 100，解得k1＝15，k2＝－20，所以甲的函数表达 式为s＝15t，乙的函数表达式为s＝－20t＋100.联 立得解得即他们相遇时距离A地 km. 返回 5. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程中的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系如图②所示. (1)求AB所在直线的函数表达式； 【解】设OA所在直线的函数表达式为y＝kx(k≠0)， 把(1，2)代入y＝kx，得2＝k，所以y＝2x. 当x＝2时，y＝4，即点A的坐标为(2，4). 设AB所在直线的函数表达式为y＝mx＋b(m≠0)， 所以解得 所以AB所在直线的函数表达式为y＝－x＋. (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长. 返回 【解】由(1)得AB所在直线的函数表达式为y＝－x＋. 当y＝0时，－x＋＝0，解得x＝5.　5－2＝3(s)， 所以该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s. 6. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2 500元购进的肉粽和用2 000元购进的豆沙粽盒数相同. (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； 【解】设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为x元和y元. 根据题意，得解得 所以每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元，40元. (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒进行销售，经 调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个 厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同 的优惠方案： A厂家：一律打8折出售. B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折. 该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示： ①分别求出y1，y2与x之间的函数关系式. 【解】根据题意，得y1＝0.8×40x＝32x； 当0＜x≤25时，y2＝40x； 当x＞25时，y2＝25×40＋0.7×40(x－25)＝28x＋300.综上， y1＝32x； y2＝ 【解】令32x＝28x＋300，解得x＝75. 结合函数图象可知：当0＜x＜75时，y1＜y2； 当x＝75时，y1＝y2；当x＞75时，y2＜y1. 所以该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一个厂家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算. ②若该商家只在一个厂家购买，怎样购买划算？ 返回 利用一次函数进行方案决策 列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型 结合实际需求，选择最佳方案 课堂小结 $