学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷（哈尔滨专用，范围：新教材人教版八年级下册）

**基本信息** 立足新人教版八年级下册，融合几何推理（如直角三角形判断、四边形性质）、代数运算（二次根式、一次函数）与统计分析（方差、箱线图），通过购物方案、运动问题等生活情境及科技嘉年华评分等素材，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定、二次根式运算、箱线图分析|第3题箱线图结合空气质量，体现数据观念| |填空题|10/30|函数平移、方差计算、新定义运算|第17题新定义运算，考查数学抽象| |解答题|7/60|统计应用、几何证明、方案设计|25题购物方案优化、26题景观设计问题，突出模型意识与应用能力|

11 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 11．_______________ 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 15．_______________ 16．_______________ 17．_______________ 18．_______________ 19．_______________ 20．_______________ 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（7分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（7分） 23．（8分） (1)____________，____________，____________ (2) (3) 24．（8分） (1) 第24题图 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） (1) (2) 26．（10分） (1)________________ (2) 第26题图 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（10分） (1) 第27题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） 第3题图 ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ 第4题图 C．②③⑤ D．②③④⑤ 4．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 第6题图 第7题图 第8题图 7．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） 第9题图 A．18 B． C． D．24 10．周末，父子二人在一段笔直的跑道上限时90秒练习往返跑，跑道两端分别为A、B，跑道全长120米，父亲从A端出发，速度4米/秒；儿子从B端出发，速度2米/秒．两人同时出发，往返跑，不计转向时间．图中，纵坐标表示两人之间的距离S（米），横坐标表示时间t（秒）．下列四个图象中，能正确表示S随t变化趋势的是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．代数式中的取值范围是___________． 12．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 13．某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 14．如图所示的数轴，点表示的数是________． 第14题图 第15题图 第16题图 15．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 16．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 17．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 18．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 第18题图 第19题图 第20题图 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 20．如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共7个小题，其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（7分）计算： (1)； (2) 22．（7分）先化简，再求值：，． 23．（8分）文德中学开展了科技嘉年华活动．活动结束后学校组织学生对该活动进行评分．每个人需要对该活动的趣味性、科学性、安全性进行打分（每项满分100），三项评分按的权重计算最终评分．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的最终评分．所有学生的最终评分均高于60分（评分分数用表示，共分为三组：A．；B．；C．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生最终评分分数分别为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生最终评分落在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的最终评分分数统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 84 83 40.4 八年级 84 b 76 23.2 某同学给该活动的趣味性、科学性、安全性打分分别为95，88，90，则最终评分为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有2000名学生对科技嘉年华活动进行了评分，估计该校七、八年级共有多少人给出的最终评分超过了90分？ 24．（8分）的边上一点O，连接，并延长至点C，，，连接． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交的垂线于点E，连接，延长线交于点F，连接、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的四边形（不含四边形）． 25．（10分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 26．（10分）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点． (1)求的值； (2)如图2，点在线段上，过点作轴，直线与直线交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，过点作轴，连接，与交于点，若，，求点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） 第3题图 ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ 第4题图 C．②③⑤ D．②③④⑤ 4．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 第6题图 第7题图 第8题图 7．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） 第9题图 A．18 B． C． D．24 10．周末，父子二人在一段笔直的跑道上限时90秒练习往返跑，跑道两端分别为A、B，跑道全长120米，父亲从A端出发，速度4米/秒；儿子从B端出发，速度2米/秒．两人同时出发，往返跑，不计转向时间．图中，纵坐标表示两人之间的距离S（米），横坐标表示时间t（秒）．下列四个图象中，能正确表示S随t变化趋势的是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．代数式中的取值范围是___________． 12．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 13．某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 14．如图所示的数轴，点表示的数是________． 第14题图 第15题图 第16题图 15．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 16．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 17．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 18．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 第18题图 第19题图 第20题图 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 20．如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共7个小题，其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（7分）计算： (1)； (2) 22．（7分）先化简，再求值：，． 23．（8分）文德中学开展了科技嘉年华活动．活动结束后学校组织学生对该活动进行评分．每个人需要对该活动的趣味性、科学性、安全性进行打分（每项满分100），三项评分按的权重计算最终评分．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的最终评分．所有学生的最终评分均高于60分（评分分数用表示，共分为三组：A．；B．；C．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生最终评分分数分别为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生最终评分落在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的最终评分分数统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 84 83 40.4 八年级 84 b 76 23.2 某同学给该活动的趣味性、科学性、安全性打分分别为95，88，90，则最终评分为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有2000名学生对科技嘉年华活动进行了评分，估计该校七、八年级共有多少人给出的最终评分超过了90分？ 24．（8分）的边上一点O，连接，并延长至点C，，，连接． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交的垂线于点E，连接，延长线交于点F，连接、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的四边形（不含四边形）． 25．（10分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 26．（10分）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点． (1)求的值； (2)如图2，点在线段上，过点作轴，直线与直线交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，过点作轴，连接，与交于点，若，，求点的坐标． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶J[W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 11 12. 13 16 17. 18 19 20. 三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21.(7分) 1) 2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) 23.(8分) (1) (2) 3) 24.(8分) (1) C O B 图1 图2 第24题图 2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 1) (2) 26.(10分) ) 9 G D G A 0 E 7 A D O H B B B 图① 图② 图③ 第26题图 3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) (1) 图1 图2 图3 第27题图 (2) 3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B C D B A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11.x<3 12.-3 13.变小 14.7 15.1 16.14.5 1. 18.2或8 19.(得0) 20.①②④ 三、解答题（本大题共7个小题，其中21一22题各7分，23一24题各8分，25一27题各10分，共计60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 21.(7分) 解：(1)原式=25+4×号号x35+3×写1分) =2W5+22-22+V5 (2分) =33;(3分) (2)原式=(33-1-(12-45+1)(5分) 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =27-1-12+45-1 (6分) =13+45 (7分) 22.(7分) 威+x 828 解：原式= (x+1以x1) ÷22x+1 (1分) xx+1x 1) (+11)1) (2分) 2 s1) =x+i1'可 (3分) =舜， (4分) 当x=V2-1时，原式= ==19 V2+1-1√2 (7分) 23.(8分) 解：(1)a=(95×3+88×5+90×2)÷(3+5+2)=90.5(分)，(1分) b=8486=85, (2分) 八年级B组人数为3人，占总人数的百分比为：3÷10×100%=30% ·m%=1-40%-30%=30%, ÷m=30. (3分) (2)八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高. 理由：七、八年级所抽学生的最终评分的平均分均为84分，八年级的中位数高于七年级的中位数，八年级 的方差小于七年级的方差，说明整体打分波动较小，八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高.（合理 即可) (5分) (3)七、八年级给出的最终评分超过了90分人数占比：(2+3)÷20×100%=25% 2000×25%=500(人) (7分) 估计该校七、八年级共有500人给出的最终评分超过了90分.(8分) 24.(8分) 证明：(1)AD与BC交于点O, ÷∠AOB=∠C0D, (1分) 在△AOB和△COD, ∠A=∠C 0A=0C ,∠AOB=∠COD 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·△AOB≌△COD(ASA), ÷OB=OD, (3分) :△BOD是等腰三角形； (4分) (2)四边形ABED、四边形BEDC、四边形ABOF、四边形CFOD与四边形BEDF面积相等 (8分) 25.(10分) 解：(1)设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件. (1分) 5x+2y=260 根据题意得3x+6y=300' (3分) (x=40 解得y=30· (4分) 答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件： (5分) (2)设购买甲种奖品m件，总费用为w元，则购买乙种奖品(100-m)件， (6分) 100-m≤2m m为正整数，根据题意得100-m>0 (7分) 解得33≤m<100, (8分) 根据题意得w=40m+30(100-m=10m+3000, :10>0, :w随m的增大而增大. :m为正整数， :当m取最小值34时，w取得最小值，此时100-m=66,w=10×34十3000=3340（元）， (9 分) 答：购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3340元. (10分) 26.(10分) 解：(1)：四边形ABCD是正方形，AB=3, ·∠ADC=90°，AB=AD=DC=3, AF =2DF, AF=2,DF=1, 在Rt△FDC中，CF=V2+32=V0, :H为CF的中点， ADH=cR=四， (2分) 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)如图，过点D作DM⊥GC于点M, :BG平分∠ABH, :∠ABE=∠GBH=∠ABH, :BH=BC,BI⊥CH, :∠HBI=∠CBI=∠HBC, :∠ABC=90°， .∠GBI=∠GBH+∠HBI =专∠ABH+∠HBC =专∠ABC =450, ·△GBI是等腰直角三角形， ·GI=BI, (3分) :∠BIC=∠CMD=90°，ICB=90°-∠DCM=∠CDM,BC=DC, ·△BIC≌△CMD(AAS), ·MD=IC,MC=BI, GM=GC-CM=GC-BI=GC-GI=IC, ÷GM=MD, (4分) ·△GMD是等腰直角三角形， MD=GM,MD=GD2-GM2, &ND=号cD, (5分) GC-GI+IC-BI+MD-BI+GD. 即BI+号DG=CG: (6分) (3)解：如图，取BC的中点S,连接SM,连接PN,以PN为底边，在PN的左侧作等腰直角三角形 TPN, 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P S B 由(2)同理得，TN=号PN, 由题意得，四边形ABCD是正方形，且边长为30m, .AB=BC=30m, :BQ⊥PC, ·△BCQ是直角三角形， :将△BCQ沿BC翻折得△BCM, ·△BMC是直角三角形， :S是BC的中点， ÷SM=专BC=15(m), 当SM⊥BC时，△BCM的面积最大，(8分) ·△BMC是等腰直角三角形， 则△BQC也是等腰直角三角形， :cQ=BQ=号BC=AC, 此时如图所示，则点P与A重合， A(P) D Q B(N) M :TN+MN=号AN+MN≥TM, ·T,N,M三点共线时，TN,MN取得最小值，则点B与N重合， ∴AN+MN取得最小值， MN=BC2-MC2 =15/2 (m), (9分) 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 修建水渠的费用是√2万元/km,铺设小路MN的费用是2万元/km, 修建水架AN和小路MN的最低总费用为：30×品+15V5×品 35,32 =100+100 -9=0065 (万元). (10分) 27.(10分) 解：(1)在y=2x+2中，令x=0,则y=2, (1分) 故B(0,2), (2分) 将B(0,2)代入y=-x+b得b=2; (3分) (2)根据(1)可得直线BC的解析式为y=-x+2, 令y=0,则x=6, 故C(6,0), (4分) 则D(m,-寺m+2),E(m,2m+2),F(m,0), 故DE=2m+2-(-3m+2)=3m,CF=6-m, 则S=克：DECF=方·m(6-m)=-名m2+7m: (5分) (3)如图，作CM⊥CB,交BG得延长线于点M,MN⊥x轴于点N, R R D A O F :∠GBC=45°， :∠GBC=∠BMC=45°， ∴CM=CB, ∠BC0=∠CMN=90°-∠MCN,∠B0C=∠CNM=90°，BC=CM, :△BOC≌△CNM(AAS), ·BO=CN,OC=MN, 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B(0,2),C(6,0), M(8,6, (6分) 设BM的解析式为y=kx+a, 6a: k=克 则1a=2 得BM解析式：y=x+2, 则G(mm+2), (7分) 作GR⊥y轴， 则GR=m,BR=克m+2-2=克m, BG=AB=V2+22=5, m2+(m)2=(5)2, 解得：m=2,负值舍去， ∴F2,0)E(2,6), 即OC=EF=6,CF=4, 设CE解析式为y=kx+a', ∫0=6k+a ∫k=- 则6=2k+日，解得： (a'=9 则CE解析式y=-x+9, (8分) 在y轴负半轴上截取0P=CF=4,连接PE交x轴于点Q,则P(0,-4), ·△POC≌△CFE, CP=CE,∠FCE=∠OPC,∠CEF=∠OCP, ∴∠ECP=∠ECF+∠OCP=∠ECF+∠CEF=90°， ∴CP⊥CE, ∴∠PEC=∠EPC=45o=∠EKH, ∴FH//PE, 设EP解析式为y=kx+a', 了6=2k+a (k=5 则3=4，解待：3=-4事 故EP解析式为y=5x-4, 设FH解析式y=5x+b, 7/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 代入F2,0)得b=-10, 故FH解析式y=5x-10,(9分) ∫y=x+9 联立y=5x-10’ (x=器 解得y=铝' K(器，). (10分) 8/8 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得出结论． 【详解】解：对选项A，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项B，∵ ，三角形内角和为， ∴ 最大角，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项C，∵ ，且， ∴ ，即，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项D，∵ ，计算得，， ∴ ，不符合勾股定理的逆定理，不能判定是直角三角形，符合要求． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故原计算正确； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，故原计算错误． 3．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握箱线图的特征是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可得，年月的箱线图最上方的横线表示的最大值，低于； ∵值超过，说明达到重度污染， ∴年月没有重度污染天气， ①错误； 箱线图最下方的横线表示数据的最小值， 由箱线图可得，月箱线图的最下方横线的位置高于月箱线图的最下方横线位置， ∴月值的最小值比月大； ②错误； 由箱线图可知，箱线图看起来“扁”，则表明数据波动小，分布集中； 由图可得，月的箱线图比月的箱线图扁， ∴月值比月值集中； ③正确； 月的箱线图，最大值，最小值都在月箱线图的上方， ∴月的值高于月， ∴月的空气质量比月的好； ④错误； 由箱线图可得，箱线图中间的横线表示中位数， 由图可得，月和月值的中位数相同； ⑤正确； 正确的为：③⑤． 4．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】首先确定点，的坐标，进而确定线段的平移方式，进一步可得点的坐标，即可获得答案． 【详解】解：对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∵将线段平移至，点的对应点的坐标为， ∴线段的平移方式为先向上平移2个单位长度，再向左平移8个单位长度， ∴点的坐标为，即点的纵坐标是6． 5．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据相关性质定理逐一判断选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意. 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵， ， 即点F是边的中点， 点是边的中点， 为的中位线， ． 7．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 8．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 9．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．18 B． C． D．24 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：D． 10．周末，父子二人在一段笔直的跑道上限时90秒练习往返跑，跑道两端分别为A、B，跑道全长120米，父亲从A端出发，速度4米/秒；儿子从B端出发，速度2米/秒．两人同时出发，往返跑，不计转向时间．图中，纵坐标表示两人之间的距离S（米），横坐标表示时间t（秒）．下列四个图象中，能正确表示S随t变化趋势的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算两人在关键时间点（出发、相遇、到达端点）的位置及距离，结合图象特征进行排除． 【详解】解：∵跑道全长120米，父亲速度4米/秒，儿子速度2米/秒， ∴时，两人分别在、两端，距离米，排除选项D； ∵两人相向而行，第一次相遇时间为：秒，此时米， ∵父亲到达端需秒，此时儿子走了米， ∴时，父亲在端，儿子距端60米，两人距离米， ∵父亲回到端需秒，儿子到达端需秒， ∴时，两人同时到达端，距离米，排除选项C； ∵时，两人均从端向端出发，父亲速度大于儿子速度， ∴两人距离随时间增大而增大， ∵时，父亲到达端，儿子走了米，此时米， ∴图象为上升线段，排除选项B（B选项在左右出现下降）． 综上，只有选项A符合． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．代数式中的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：要使代数式有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得不等式， 解得． 12．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 【答案】 【分析】先根据一次函数平移中“上加下减”的规律，求出平移后的解析式，再代入点坐标求解的值． 【详解】解：将的图象向下平移个单位长度后，所得图象的解析式为， 整理得， 将点代入，得， 解得． 13．某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 【答案】变小 【分析】先求出6次成绩的平均数，再根据方差的计算公式计算6次成绩的方差，与原方差比较大小，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得，原次成绩的平均数为 ， 则次成绩的平均数为：， 则次成绩的方差为：， 因为， 所以方差变小． 14．如图所示的数轴，点表示的数是________． 【答案】 【分析】求出长度，进而可知点表示的数． 【详解】解：如图， 可知， 由作图可知， ∴点表示的数是． 15．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 【答案】1 【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5， ． ∵点，分别为边，的中点， ∴． ∵，点为的中点， ． 16．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 【答案】 【分析】已知两点坐标，待定系数法求对应一次函数解析式，所求函数解析式中的b的值，其实际意义就是该弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：设， 由题意，得该一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该弹簧不挂物体时的长度为． 17．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 18．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 【答案】2或8 【分析】先得到四边形是平行四边形，则，由勾股定理求解得到，设与交于点，可证明，则，，再由直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别是、的中点， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∵， 设与交于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， 同理：． 综上：的长为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 20．如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】①连接，证明，进而证明根据等角对等边即可判断；②由①中结论即可判断；③连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；④由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断． 【详解】解：①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形中，， 又∵， ∴，故①正确； ②在与中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故②正确； ③如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故③不正确； ④当点G在左边时，由②得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为， 当点E与点B或点D重合时，最大，m的值最大， 此时，m的最大值为， ∵点E不与B、D重合， ∴， 当点G在右边时，同理可得上述结论，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 三、解答题（本大题共7个小题，其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（7分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质与化简以及混合运算的法则是解题的关键． （1）先对二次根式进行化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式、完全平方公式进行展开，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 （1分） （2分） ； （3分） （2）解：原式 （5分） （6分） ． （7分） 22．（7分）先化简，再求值：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】先计算括号里的减法，再将除法转化为乘法，计算乘法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】 解：原式 （1分） （2分） （3分） ， （4分） 当时，原式． （7分） 23．（8分）文德中学开展了科技嘉年华活动．活动结束后学校组织学生对该活动进行评分．每个人需要对该活动的趣味性、科学性、安全性进行打分（每项满分100），三项评分按的权重计算最终评分．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的最终评分．所有学生的最终评分均高于60分（评分分数用表示，共分为三组：A．；B．；C．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生最终评分分数分别为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生最终评分落在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的最终评分分数统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 84 83 40.4 八年级 84 b 76 23.2 某同学给该活动的趣味性、科学性、安全性打分分别为95，88，90，则最终评分为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有2000名学生对科技嘉年华活动进行了评分，估计该校七、八年级共有多少人给出的最终评分超过了90分？ 【答案】(1)90.5，85，30 (2)八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高，理由见详解 (3)500 【分析】（1）根据加权平均数、中位数的定义可求出，，根据八年级A，B组人数可求出对应的C占比； （2）对比七、八年级所抽学生的最终评分的平均数，中位数，方差，即可得出结论． （3）先求出七、八年级给出的最终评分超过了90分人数占比，用总人数乘占比即可得出结论． 【详解】（1）解：（分）， （1分） ， （2分） 八年级B组人数为3人，占总人数的百分比为： ， ． （3分） （2）八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高． 理由：七、八年级所抽学生的最终评分的平均分均为84分，八年级的中位数高于七年级的中位数，八年级的方差小于七年级的方差，说明整体打分波动较小，八年级学生对这次科技嘉年华活动评价更高．（合理即可） （5分） （3）七、八年级给出的最终评分超过了90分人数占比： （人） （7分） 估计该校七、八年级共有500人给出的最终评分超过了90分． （8分） 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，平均数，中位数，方差，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（8分）的边上一点O，连接，并延长至点C，，，连接． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交的垂线于点E，连接，延长线交于点F，连接、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的四边形（不含四边形）． 【答案】(1)证明：与交于点O， ， 在和， ， ， ， 是等腰三角形； (2)四边形、四边形、四边形、四边形 【分析】（1）在和中，已知，，对顶角，由证得，得，则可得证； （2）由且，得垂直平分，结合，证得四边形是菱形；再由推得，利用同底等高三角形面积相等，结合全等三角形面积相等，得出与四边形面积相等的四边形． 【详解】（1）证明：与交于点O， ， （1分） 在和， ， ， ， （3分） 是等腰三角形； （4分） （2）解：， 垂直平分， ， ， ， ， ， 又∵， 也垂直平分， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， 四边形面积四边形的面积四边形的面积， ，且， ， ， ， ， 又， ， ，， ∴，， 是等边三角形， ， ∴，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ，且， ， ， 四边形的面积四边形的面积； 同理可得，四边形的面积四边形的面积， 综上所述，四边形、四边形、四边形、四边形与四边形面积相等． （8分） 25．（10分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲，乙两种奖品． 素材一 购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元； 素材二 购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元； 素材三 学校计划购买甲，乙两种奖品共100件（两种奖品均需购买），其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：甲，乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件． (2)购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少费用为3340元． 【分析】（1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件．根据题意找准等量关系，列出关于的二元一次方程组解方程组即可； （2）设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件，根据题意求得m的取值范围，再根据总费用=甲种奖品的总费用+乙种奖品的总费用，求得，由为正整数，取得当取最小值34时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件． （1分） 根据题意得， （3分） 解得， （4分） 答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件； （5分） （2）解：设购买甲种奖品件，总费用为元，则购买乙种奖品件， （6分） 为正整数，根据题意得， （7分） 解得， （8分） 根据题意得， ， 随的增大而增大． 为正整数， 当取最小值34时，取得最小值，此时，(元)， （9分） 答：购买甲种奖品34件，乙种奖品66件时，购买费用最少，最少总费用为3340元． （10分） 26．（10分）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； （2分） （2）证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， （3分） ， ， ， ， ， （4分） 是等腰直角三角形， ∴，， ， （5分） ， 即； （6分） （3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， （8分） 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， （9分） ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． （10分） 【点睛】本题核心是利用直角三角形斜边中线、全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合几何最值思想，将代数费用问题转化为几何线段和的最小值问题求解． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点． (1)求的值； (2)如图2，点在线段上，过点作轴，直线与直线交于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，过点作轴，连接，与交于点，若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，令，求出，将代入即可求解； （2）根据（1）可得直线的解析式为，求出，则，表示出，根据即可求解； （3）如图，作， 交 得延长线于点轴于点N，证明，求出， 求出的解析式，得出，作轴， 则，根据， 列等式求出， 得到， 即，解析式，在 y 轴负半轴上截取， 连接 交 x 轴于点 Q，则，证明， 得到， ，求出解析式， 解析式，联立， 即可求解； 【详解】（1）解：在中，令，则， （1分） 故， （2分） 将代入得； （3分） （2）解：根据（1）可得直线的解析式为， 令，则， 故， （4分） 则， 故， 则； （5分） （3）解：如图，作， 交 得延长线于点轴于点N， ， ， ∴， ∵， ， ， ∵，， ∴， （6分） 设的解析式为， 则，解得：， 得 解析式：， 则， （7分） 作轴， 则， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， 即， 设解析式为， 则，解得：， 则解析式， （8分） 在 y 轴负半轴上截取， 连接 交 x 轴于点 Q，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， 则，解得：， 故解析式为， 设 解析式， 代入得， 故 解析式， （9分） 联立， 解得， ． （10分） 【点睛】该题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数交点问题，一次函数几何综合等知识点，解题的关键是数形结合以及正确作出辅助线． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $