【专项复习一 挑战压轴题】（第1-8单元 共90题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习培优必刷练

**基本信息** 人教版五年级下册数学期末复习专项卷，聚焦8个单元90道压轴题，精选辽宁、湖南等地期末真题，突出知识综合应用与思维深度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|90题|观察物体、因数和倍数、长方体和正方体、分数意义与性质、图形运动、分数加减法、折线统计图、找次品|结合“哥德巴赫猜想”“孪生质数”等数学文化，设计拦河坝土石计算、游泳池注水量等实际问题，分层考查空间观念、运算能力与推理意识，适配期末压轴题突破需求。|

2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习真题专项考点练 专项复习一 挑战压轴题 【第1-8单元 共90题】 2026年6月 第一单元 观察物体（三） 2 第二单元 因数和倍数 8 第三单元 长方体和正方体 15 第四单元 分数的意义和性质 24 第五单元 图形的运动（三） 29 第六单元 分数的法和减法 37 课题学习 怎样通知最快：打电话问题 45 第七单元 折线统计图 52 第八单元 数学广角—找次品 62 第一单元 观察物体（三） 1．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是一句很有哲理的诗句，告诉我们要认识事物的真相与全貌就要从不同的角度看，不能单方面想问题。一个由若干个小正方体组成的立体图形，下面是从不同方向看到的图形，那么这个立体图形最少由（    ）个小正方体组成。 A．4 B．5 C．3 【答案】C 【思路引导】由从前面看到的图形可知，这个立体图形一共有2列，左列是一层，右列是两层；由从左面和右面看到的图形可知，这个立体图形一共有两行，后面一行是两层，前面一行是一层。据此判断组成这个立体图形的最少正方体数。 【规范解答】 如图： 这个立体图形最少由3个小正方体组成。 2．（24-25六年级下·湖南怀化·期末）一个立体图形从上面看是，从左面看是，从前面看是，这个立体图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】分别从上面、左面、前面观察各选项中的图形，与题干中的图形作对比即可。 【规范解答】A．从上面看是，与题干图形不一致，该选项错误； B．从上面看是，从左面看是，从前面看是，与题干图形一致，该选项正确； C．从上面看是，与题干图形不一致，该选项错误； D．从上面看是，从左面看是，与题干图形不一致，该选项错误。 3．小林用4个相同的小正方体摆成了一个几何组合体（正方体的面与面相邻），从正面看到的形状如图所示，再增加2块小正方体后，从正面看到的形状不变，一共有（    ）种不同的增加方法。 A．17 B．10 C．11 【答案】A 【思路引导】如图，从正面看形状如图，总共用6个小正方体拼成，摆法如下： 当后面放4个小正方体时，前面摆2个小正方体，有如下4种摆法： 、、、； 同理，前面放4个小正方体时，后面摆2个小正方体，同样也有4种摆法； 当中间摆4个小正方体时，前后交错摆2个小正方体，有如下9种摆法： 、、； 、、； 、、。 【规范解答】根据分析得，4＋4＋9＝17（种） 所以一共有17种不同的摆法。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。 4．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）用相同的小正方体摆一个几何体，根据从前面、上面、左面观察的形状，确定这个几何体是由( )个小正方体摆成的。 【答案】5 【思路引导】从上面看是一行4个正方形，说明几何体的底层小正方体，在水平面上的分布为“1行4列”，没有前后排的延伸，因此底层固定有4个小正方体。从前面看，底层是4个正方形（与“上面看”的底层分布一致），第二层只有1个正方形，且位于从左数第2列的正上方。这说明几何体为上下两层，且第二层只有1个小正方体，且只能在底层第2列的上方。从左面看是一列2个正方形，说明几何体只有前后1排（无前后方向的延伸），且仅上下2层，没有第三层，也没有前后错开的小正方体，进一步验证了“第二层只有1个小正方体”的结论。 【规范解答】根据分析，小正方体有2层，下层有4个小正方体，上层有1个小正方体。 （个） 这个几何体是由5个小正方体摆成的。 5．（25-26五年级下·广东·期末）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要_____个小方块，最多需要_____个小方块。 【答案】 6 9 【思路引导】由题中图可知从正面看摆成的几何体有两层且第一层有4个正方体第二层有1个正方体，从左面看摆成的几何体有两行且第一行有两层第二行有一层。由此解答。 【规范解答】由分析可知，根据正视图和左视图推出摆成这个几何体最少有两行第一行第一层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第二行第一层有1个小正方体。 4＋1＋1＝6（个） 摆成这个几何体最多有两行第一行第一层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第二行第一层有4个小正方体。 4＋1＋4＝9（个） 所以摆成这个几何体最少需要6个小正方体，最多需要9个小正方体。 6．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）用同样大小的小正方体搭成一个立体图形（都是面与面的拼摆），从前面和左面看到的形状都是。摆这样的立体图形，至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 【答案】 7 13 【思路引导】从前面和左边看到的形状都是“两层三列”的结构（下层5个小正方体，上层2个小正方体），要使小正方体的数量最少，可以在下层放5个小正方体，最前面一层的右边放2个小正方体，中间一层放2个小正方体，右边的小正方体与最前面一层左边的小正方体对齐，最后面一层放1个小正方体，居左；再在上面一层的左上角和中间上方各放1个小正方体，即可求出至少需要多少小正方体； 要使小正方体的数量最多，需在视图允许的范围内尽可能多放，下层可以放3×3个小正方体，形成3行3列的底层，再在中间和最后一行小正方体上层的左边，各放2个小正方体，即可求出最多需要多少小正方体。 【规范解答】至少需要的小正方体：2＋2＋1＋2＝7（个） 最多需要的小正方体： （个） 因此用同样大小的小正方体搭成一个立体图形（都是面与面的拼摆），从前面和左面看到的形状都是。摆这样的立体图形，至少需要7个小正方体，最多需要13个小正方体。 7．（23-24五年级下·河南信阳·期末）一个几何体，从正面看到的是，从左面看到的是。 （1）摆出这样的几何体最多要( )个小正方体，最少要( )个小正方体。 （2）如果这个几何体是由6个小正方体摆成的，在如图相应的方格内标出从上面看，这个位置上小正方体的个数。（请摆出两种情况） 【答案】 7 4 （2）见详解 【思路引导】（1）最多的情况如下：共需7个： 最少的情况可以有多种：共需4个： 例如： （2）如果由6个摆成，摆法有多种： 【规范解答】（1）由分析可知：摆出这样的几何体最多要7个；最少要4个。 （2）摆法一：；摆法二：。 8．已知一个几何体是由若干个形状和大小完全相同的小立方体组成的，分别从不同的角度所看到的形状如下图。请在草稿纸上画图并结合想象来分析该几何体由几个小立方块组成的？（直接回答结果即可）      【答案】8个 【思路引导】由从上面看到的图形可知，这个几何体的第一层有6个小立方块；由左面和正面看到的图形可知，这个几何体的第二层有2个小立方块，则该几何体有6＋2＝8个小立方块。 【规范解答】如图所示：    6＋2＝8（个） 答：该几何体由8个小立方块组成的。 【考点剖析】本题考查通过三视图确认几何体，明确从三个方向观察到的形状是解题的关键。 9．如图中的网格是边长为1cm的小正方形。 （1）图2是由图1先向右平移（    ）格，再绕点A按（    ）时针方向旋转（    ）°得到的。 （2）在图1中标出点A。 （3）一个由小正方体搭成的几何体，如果从正面和上面看到的都是图1的形状，那么这个几何体的表面积最少是（    ）cm2。 【答案】（1）6；逆；90 （2）见详解 （3）22 【思路引导】（1）平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，称为平移；旋转是指在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。 （2）旋转中心是不动的，据此找到点A的位置。 （3）从正面和上面看到的都是图1的形状，那么这个几何体至少用了5个正方体拼成，如图：，这个几何体的上下面各有4个小正方形，左右面各有3个小正方形，前后面各有4个小正方形；先计算出正方形的总个数，再乘每个正方形的面积，就是几何体最少的表面积。 【规范解答】（1）先确定旋转中心A点，将图1向右平移6格，图1点A与图2点A重合，再将图1绕点逆时针旋转90°可得到图2； （2）在图1中标出点A，作图如下： （3）拼成的几何体是。 （4＋3＋4）×2 ＝11×2 ＝22（个） 1×1×22＝22（cm2） 【考点剖析】掌握图形的平移、旋转的特点，以及能根据部分视图还原立体图形是解题的关键。 10．用棱长是1cm的小正方体靠墙角摆成如图所示的几何体． （1）摆这个几何体一共用了多少个正方体？ （2）这个几何体露在外面的面积是多少平方厘米？ （3）从图中取走（    ）号小正方体后，从正面、上面、右面看到的形状都不变． 【答案】（1）20个     （2）30cm2   （3）5号 【思路引导】（1）几何体从上到下用的小正方体的个数依次是1个、3个、6个和10个． （2）因为小正方体的棱长是1cm，所以一个面的面积是1 cm2.从正面、上面、右面看，都可以看到有10个小正方形露在外面，所以这个几何体露在外面的面积是30 cm2. （3）要使正面、上面、右面看到的形状不变，就要考虑取走从正面、上面、右面看都重叠的小正方体，由题目中的几何体可知，是5号小正方体． 【规范解答】（1）1+3+6+10=20（个） （2）1×1×（10+10+10）=30（cm2） （3）要使正面、上面、右面看到的形状不变，就要考虑取走从正面、上面、右面看都重叠的小正方体，由题目中的几何体可知，是5号小正方体． 第二单元 因数和倍数 11．（24-25五年级下·广东广州·期末）根据“哥德巴赫猜想”：任意大于2的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下面四个算式中，符合这一猜想的是（    ）。 A．13＝2＋11 B．16＝7＋9 C．4＝1＋3 D．32＝13＋19 【答案】D 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此逐项分析。 【规范解答】A．13是奇数，排除； B．9是合数，排除； C．1既不是质数也不是合数，排除； D．32是偶数，13和19都是质数，符合。 符合这一猜想的是32＝13＋19。 12．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）先用3、4、5三张数字卡片摆出所有的三位数，再把每一个三位数分别写在完全相同的纸条上放在纸箱里。从纸箱里任意抽取一张，下面说法正确的有（    ）。 ①抽出的数一定是3的倍数 ②抽出的数不可能是质数 ③抽出的数是2的倍数的可能性与是5的倍数的可能性相同 A．① B．①② C．①②③ D．都不正确 【答案】C 【思路引导】用3、4、5不重复摆三位数，共得到6个数：345、354、435、453、534、543。 【规范解答】① 抽出的数一定是3的倍数 3的倍数特征：各位数字和是3的倍数。 3＋4＋5＝12，12是3的倍数，因此所有摆出的三位数都是3的倍数，①正确。 ② 抽出的数不可能是质数 质数是除了1和本身外没有其他因数的数。 所有摆出的数都是3的倍数，且都是大于3的三位数，因此每个数都有因数3，都是合数，不可能是质数，②正确。 ③ 抽出的数是2的倍数的可能性与是5的倍数的可能性相同 2的倍数要求个位是偶数，符合的数是：354、534，共2个，可能性为 2÷6＝ 5的倍数要求个位是5，符合的数是：345、435，共2个，可能性为 2÷6＝​ 两者可能性相等，③正确。 下面说法正确的有①②③。 13．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确； ②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确； ③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确； ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。 【规范解答】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。 14．（24-25五年级下·山西临汾·期末）数学的世界充满了奇妙和乐趣，每个数字成员都有各自的特征，今天，我们就根据数的特征来解决问题，一个三位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，这个三位数含有因数3。这个三位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 147 141 【思路引导】百位上是最小的奇数，最小的奇数是1，十位上是最小的合数，最小的合数是4，这个三位数含有因数3， 说明这个三位数个位、十位、百位相加之和能被3整除，百位和十位相加是5，个位上的数可以是1、4、7。 【规范解答】由分析可知，这个数的百位是1，十位是4，个位是7时最大，所以这个数最大是147； 这个数的百位是1，十位是4，个位是1时最小，所以这个数最小是141。 15．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）从0、5、6、7这四个数中选择不同的数字组数，满足下列题目要求。 (1)既是2的倍数，又是3的倍数的两位数有( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的三位数有( )。 【答案】(1)60 (2)570、750 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 3的倍数特征：各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数特征：个位上是0、5的数都是5的倍数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 （1）先根据2的倍数特征确定个位数字，再根据3的倍数特征确定十位数字； （2）根据2、5的倍数特征，确定个位上是0，再根据3的倍数特征，各数位上的数字相加，判断和是否是3的倍数。若是，则这个三位数是2、3、5的倍数；反之，则不是。 【规范解答】（1）根据2的倍数特征，确定两位数的个位为0或6； 个位为0的两位数可以是50、60、70； 个位为6的两位数可以是56、76； 50：5＋0＝5，5不是3的倍数，50也不是3的倍数； 60：6＋0＝6，6是3的倍数，60是3的倍数； 70：7＋0＝7，7不是3的倍数，70也不是3的倍数； 56：5＋6＝11，11不是3的倍数，56也不是3的倍数； 76：7＋6＝13，13不是3的倍数，76也不是3的倍数； 既是2的倍数，又是3的倍数的两位数有60。 （2）个位上是0的三位数有560、650、570、750、670、760。 560：5＋6＋0＝11，11不是3的倍数，560也不是3的倍数，560不是2、3、5的倍数； 650：6＋5＋0＝11，11不是3的倍数，650也不是3的倍数，650不是2、3、5的倍数； 570：5＋7＋0＝12，12是3的倍数，570是3的倍数，570是2、3、5的倍数； 750：7＋5＋0＝12，12是3的倍数，750是3的倍数，750是2、3、5的倍数； 670：6＋7＋0＝13，13不是3的倍数，670也不是3的倍数，670不是2、3、5的倍数； 760：7＋6＋0＝13，13不是3的倍数，760也不是3的倍数，760不是2、3、5的倍数； 既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的三位数有570、750。 16．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 240 840 【思路引导】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【规范解答】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 【考点剖析】关键点是先根据2和5的倍数特征确定个位为0，再根据3的倍数特征筛选数字，最后按要求排列。 17．（24-25五年级下·山西晋中·期末）某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 【答案】因为男生人数为奇数，而总人数30人为偶数，又因为奇数＋奇数＝偶数，所以女生人数为奇数。 【思路引导】奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数-奇数＝奇数，偶数-偶数＝偶数； 先确定总人数30的奇偶性，再结合奇数加一个数的和是偶数，这个数的奇偶性可通过运算规则判断。 【规范解答】总人数是30，30是偶数； 总人数＝男生人数＋女生人数，偶数＝奇数＋奇数 答：已知男生人数是奇数，总人数是偶数，因此女生人数一定是奇数。 18．（24-25五年级下·云南昆明·期末）在数学上，我们把相差2的两个质数叫作“孪生质数”或“双生质数”如：29和31，41和43。 (1)判断下列几组数是否是孪生质数，如果是孪生质数，请在括号里打“√”。 4和6（    ）    13和17（    ）    59和61（    ）    87和89（    ） (2)请写出20以内所有的孪生质数。 【答案】(1)59和61的括号（√） (2)3和5，5和7，11和13，17和19 【思路引导】（1）对照孪生质数定义，先逐个判断每组两个数是否全为质数，再查验两数差值是否等于2，两项条件同时满足才是孪生质数。 （2）先列出20以内全部质数，再从中筛选出两两相差为2的数对，整理得到全部孪生质数。 【规范解答】（1）4和6：4和6都不是质数（质数是只有1和它本身两个因数的数），所以不是孪生质数，所以不填。 13和17：13和17是质数，但17－13＝4≠2，不是孪生质数，所以不填。 59和61：59和61都是质数，且61－59＝2，是孪生质数，括号内应填（√）。 87和89：87＝3×29，不是质数，所以不是孪生质数，所以不填。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。 其中相差2的有：3和5，5和7，11和13，17和19。 19．（25-26五年级上·江西南昌·期末）小红在分节能荧光棒的时候遇到这样的问题。 一共有100根节能荧光棒，小红自己留下10根，剩下的分给8个小朋友，每个小朋友可以分到几根？ 小红解答如下： 每个小朋友可分：100－10＝90（根） 90÷8＝11.25（根） 小红想：按这样计算，每个小朋友分到的不是整数，要把自己留下的节能荧光棒调成多少才能使每个小朋友分到的变成整数，又与原来的数量最接近呢？ 请你帮小红解决这个问题，写出思考过程。 【答案】12根 【思路引导】先看最接近90的8的倍数是多少，再进一步求出小红该留下的根数，据此回答。 【规范解答】解：设小红留下x根，分给8个小朋友的数量为100－x，需为8的倍数， 100－x最接近90的8的倍数为88或96。 当100－x＝88时： 100－x＝88 100－x＋x＝88＋x 100＝88＋x 88＋x＝100 88＋x－88＝100－88 x＝12 当100－x＝96时： 100－x＝96 100－x＋x＝96＋x 100＝96＋x 96＋x＝100 96＋x－96＝100－96 x＝4 比较12和4，12与原来留下的10根更接近。 答：小红应留下12根。 20．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 【答案】（1）2；7；a＝b＝c          （2）6 【思路引导】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。 若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。 若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。 （2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。 【规范解答】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2； 若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7； 若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。 （2）根据题意可得： 8（x＋y）＋10x＋y＝99 解：8x＋8y＋10x＋y＝99 18x＋9y＝99 因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。 35＝11＋11＋13 27＝7＋7＋13 19＝5＋7＋7 13－11＝2 13－7＝6 7－5＝2 6＞2，则P（t）的最大值是6。 【考点剖析】第二小题中，根据数量关系列出方程，确定y是奇数，从而确定t的值是解题的关键。 第三单元 长方体和正方体 21．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）一个正方体的棱长总和是96cm，若在这个正方体表面涂满油漆，每平方厘米油漆成本是0.5元，那么需要（    ）元。 A．82 B．96 C．192 D．196 【答案】C 【思路引导】根据正方体棱长总和＝棱长×12，用96除以12算出棱长；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，算出正方体的表面积；再乘0.5元即可。 【规范解答】96÷12＝8（厘米） 8×8×6×0.5＝192（元） 需要192元。 22．（24-25五年级下·浙江·期末）下图是一个长方体木料，把它挖掉一个棱长为1cm的正方体后，它的（    ）。 A．表面积变小，体积变大 B．表面积变大，体积不变 C．表面积变小，体积变小 D．表面积变大，体积变小 【答案】D 【思路引导】把长方体从中间挖掉一个正方体，表面积减少了2个正方形的面，增加了4个正方形的面，所以表面积共增加了2个正方形的面，体积减少了一个正方体的体积。 【规范解答】挖掉一个正方体后，表面积会增加2个正方形的面，体积会减少1个正方体的体积，即表面积变大，体积变小。 23．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在四张相同的正方形纸板的四个角上分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖的纸盒。下面四个选项中剪去的小正方形的边长依次为4、3、2、1，做出来的纸盒中，容积最大的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】长方体容积＝长×宽×高，正方体容积=棱长×棱长×棱长，分别计算出四种方法做出的纸盒容积，再进行比较，从而找出容积最大的纸盒。 【规范解答】A．正方体的棱长： 12－4×2 ＝12－8 ＝4（厘米） 正方体纸盒的容积： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） B．长方体底面是一个正方形，高是3cm，边长为： 12－3×2 ＝12－6 ＝ 6（厘米） 长方体纸盒的容积是： 6×6×3 ＝36×3 ＝108（立方厘米） C．长方体底面是一个正方形，高是2cm，边长为： 12－2×2 ＝12－4 ＝8（厘米） 长方体纸盒的容积是： 8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） D．长方体底面是一个正方形，高是1cm，边长为： 12－1×2 ＝12－2 ＝10（厘米） 长方体纸盒的容积是： 10×10×1 ＝100×1 ＝100（立方厘米） 64＜100＜108＜128 容积最大的是。 24．（24-25五年级下·河北承德·期末）一个长方体，长是10分米，宽和高都是5分米。它的前面面积是( )平方厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 5000 800 25000 【思路引导】长方体前面的面积＝长×高，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先根据1分米＝10厘米把单位换算成厘米，再根据公式列式计算。 【规范解答】10分米＝100厘米 5分米＝50厘米 100×50＝5000（平方厘米） （100＋50＋50）×4 ＝200×4 ＝800（厘米） （100×50＋100×50＋50×50）×2 ＝（5000＋5000＋2500）×2 ＝12500×2 ＝25000（平方厘米） 25．（24-25五年级下·河北承德·期末）王村修一条200米长的拦河坝（如下图，单位：米），拦河坝的横截面是一个梯形。修这个拦河坝一共需要( )立方米的土石。 【答案】10000 【思路引导】根据图可知：这个拦河坝的横截面是一个上底是5米、下底是15米、高是5米的梯形，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式求出横截面，再用横截面乘拦河坝的长即可得到需要的土石。 【规范解答】（5＋15）×5÷2×200 ＝20×5÷2×200 ＝100÷2×200 ＝50×200 ＝10000（立方米） 26．（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 【答案】（1）96；92；88 （2）68 （3）20 【思路引导】（1）每锯下一个小方木，表面积会减少小方木4个面的面积；锯下2个小方木，表面积会减少（2×4）个面的面积；锯下3个小方木，表面积会减少（3×4）个面的面积；每个面的面积都是1×1＝1dm2，据此求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积，据此把表格补充完整。 （2）当锯下8个小方木时，表面积会减少（8×4）个面的面积，用每个面的面积乘减少的面，求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，表面积减少了（100－20）dm2，因为每锯下1个小方木表面积减少4dm2，用减少的表面积除以4，即可求出锯下小方木的个数。 【规范解答】（1）锯下的小方木每个面的面积：1×1＝1（dm2） 锯下1个小方木时，减少小方木4个面的面积，减少的面积是1×4＝4（dm2），剩下方木的表面积：100－4＝96（dm2）； 锯下2个小方木时，减少小方木2×4＝8个面的面积，减少的面积是1×8＝8（dm2），剩下方木的表面积：100－8＝92（dm2）； 锯下3个小方木时，减少小方木3×4＝12个面的面积，减少的面积是1×12＝12（dm2），剩下方木的表面积：100－12＝88（dm2）； 填表如下： 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 96 92 88 … （2）当锯下8个小方木时，减少小方木8×4＝32个面的面积，减少的面积是1×32＝32（dm2），剩下方木的表面积：100－32＝68（dm2）； 当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（68）dm2。 （3）每锯下1个小方木表面积减少4dm2； 减少的表面积：100－20＝80（dm2） 小方木的个数：80÷4＝20（个） 当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（20）个小方木。 【考点剖析】明确每锯下一个小方木减少了哪些面，求出减少的表面积是解题的关键。 27．（24-25六年级下·广东韶关·期末）是一个正方体展开图。在这个正方体上，数字3的对面是数字4。( ) 【答案】× 【思路引导】根据正方体展开图中相对面的规律：同一行中，中间隔一个面的两个面是相对面。这个展开图是 “3－3”型（两行各3个正方形，错开排列），先找出数字3的相对面，再与题目说法对比判断对错。 【规范解答】这个正方体展开图属于“3－3”型。 第一行中，数字1和数字3中间隔了数字2，是相对面。 第二行中，数字4和数字6中间隔了数字5，是相对面。 剩下的数字2和数字5是相对面。 因此数字3的对面是数字1，不是数字4，原题说法错误。 故答案为：× 28．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。 (1)请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ (2)如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】(1)480立方厘米 (2)376平方厘米 【思路引导】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此算出1个礼品的体积，再乘2即可得到两个礼品所占的空间； （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分析题目，把2个小长方体拼成一个大长方体会减少2个相同的面，要节省彩纸，需要使拼成的大长方体的表面积最小，即把最大的面重叠，礼品最大的面是长×宽的面，据此可知，拼成的大长方体的长和宽都等于原来小长方体的长和宽，高等于小长方体高的2倍，据此代入公式求出彩纸的面积。 【规范解答】（1）10×6×4×2 ＝60×4×2 ＝240×2 ＝480（立方厘米） 答：这两个礼品所占的总空间是480立方厘米。 （2）4×2＝8（厘米） （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） 答：至少需要376平方厘米的彩纸。 29．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 30．（24-25五年级下·北京海淀·期末）学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，数学小组的同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下面的示意图。 （1） （2）注满这个游泳池，需要多少立方米的水？ （3）请你换个新角度想一想，如何用其他方法求出注满这个游泳池需要多少立方米的水。尝试写出你解决问题的思路，如果有需要，可以在下面的示意图上标一标、画一画。 【答案】（1）300立方米到400立方米 （2）350立方米 （3）350立方米；方法见详解 【思路引导】（1）已知这个游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，根据长方体的容积公式V＝abh，分别求出高最小1.2米和高最大1.6米的长方体容积，也就是注水量的大致范围。 （2）根据老爷爷的提示，补一个和原游泳池完全一样的游泳池，和原游泳池拼成一个新游泳池，新游泳池是一个长为25米、宽为10米，高为（1.2＋1.6）米的长方体，根据长方体的容积公式V＝abh，求出新游泳池的容积，再除以2，即是原游泳池的容积。 （3）如下图，把不规则的游泳池分成上下两部分，下面是一个长为25米、宽为10米、高为1.2米的长方体，根据长方体的容积公式V＝abh，求出这个长方体的容积； 上面的立体图形截面是一个底为25米、高为（1.6－1.2）米的三角形，先根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出截面的面积；再根据公式V＝Sh求出这个立体图形的容积； 最后把两个图形的体积相加，就是原游泳池的体积。 【规范解答】（1）25×10×1.2＝300（立方米） 25×10×1.6＝400（立方米） 答：注水量的大致范围是300立方米到400立方米。 （2）25×10×（1.2＋1.6） ＝25×10×2.8 ＝700（立方米） 700÷2＝350（立方米） 答：注满这个游泳池，需要350立方米的水。 （3）如图： 25×10×1.2＝300（立方米） 25×（1.6－1.2）÷2×10 ＝25×0.4÷2×10 ＝5×10 ＝50（立方米） 300＋50＝350（立方米） （方法不唯一） 答：注满这个游泳池，需要350立方米的水。 【考点剖析】（1）本题考查长方体容积公式的灵活运用。 （2）借助研究平面图形面积的经验，用一个相同的不规则游泳池和原游泳池组合成一个规则的长方体，再利用长方体的容积公式求出新长方体的体积，除以2即可。 （3）利用分割法，把不规则游泳池图形分割成两部分，分别计算出容积，再相加即可。 第四单元 分数的意义和性质 31．（24-25五年级下·山西临汾·期末）下面各数中，可以转化为9个的分数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】9个是，将每个选项中的分数通分或约分与之比较即可求解。 【规范解答】A．＝，不可以转化； B．＝＝，可以转化； C．＝＝，不可以转化； D．＝，不可以转化。 32．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）淘气、笑笑和乐乐三人进行乐高拼搭比赛，淘气用了16分钟，笑笑用了0.2小时，乐乐用了小时，（    ）拼得最快。 A．淘气 B．笑笑 C．乐乐 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】根据1小时＝60分钟，把分钟化成小时，把0.2化成分数，再根据异分母分数比较大小的方法进行比较，用时最少的拼得最快。 【规范解答】16÷60＝（小时） 0.2＝ ＝＝ ＝ ＝＝ 因为8＞6＞5，所以＞＞，因此＞＞，所以乐乐拼得最快。 33．（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 【答案】D 【思路引导】3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数；质数：在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。据此求解。 【规范解答】A．在研究因数和倍数时，所说的数一般指非0自然数，3.6是小数，所以不能说3.6是3的倍数，该选项错误； B．如果，那么和是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质的，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即，而不是，该选项错误； C．判断一个数是不是3的倍数，要看这个数各位上数字的和是不是3的倍数，而不是看个位上的数字，例如13、16、19，个位上分别为3、6、9，但它们都不是3的倍数，该选项错误； D．质数中2是偶数，其余质数都是奇数，当2和其他质数相乘时，积是偶数，比如；当两个不是2的质数相乘时，积是奇数，比如。所以任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数，该选项正确。 故答案为：D 34．（24-25五年级下·河北承德·期末）的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位后是最小的质数。 【答案】 7 25 【思路引导】分数的分母是几，则它的分数单位就是几分之一，分子是几，就有几个这样的分数单位；最小的质数是2，据此把2化成分母是16的分数，再用分子减去的分子即可得到需要添加多少个这样的分数单位。 【规范解答】2＝＝ 32－7＝25 的分数单位是，有7个这样的分数单位，再添上25个这样的分数单位后是最小的质数。 35．（24-25五年级下·贵州黔东南·期末）在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( )0.75 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＝ 【思路引导】真分数＜1，假分数≥1，假分数一定大于真分数； 根据分数的基本性质，将分数通分进而比大小； 用分数的分子除以分母，将分数化成小数，进而比大小。 【规范解答】，，所以＜； ，则，所以＞； ，，则，所以＞； ，0.75＝0.75，所以＝0.75。 36．（2024·重庆丰都·小升初真题）甲、乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米，现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行了4小时才到达起点。甲绕城一圈需要( )小时。 【答案】5.25// 【思路引导】由题意可知，乙行4小时的路程就是甲已走的路程，根据速度×时间＝路程，用6乘4可得甲已行路程，再根据路程÷速度＝时间，用甲已行路程除以8可得两车已行时间，根据速度和×相遇时间＝总路程，求出总路程，最后用总路程÷甲车速度＝甲绕城一圈的时间。 【规范解答】6×4÷8 ＝24÷8 ＝3（小时） （8＋6）×3 ＝14×3 ＝42（千米） 42÷8＝5.25（小时） 甲绕城一圈需要 5.25小时。 【考点剖析】关键是理解速度、时间和路程之间的关系。 37．（24-25五年级下·广东汕头·期末）先通分，再比较大小。 （1）和             （2）、和 【答案】；；；（2）；；； 【思路引导】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，利用分数的基本性质化成同分母或同分子的分数进行比较。 【规范解答】（1） ，所以。 （2） ，所以。 38．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）在美术手工课上，朵朵8分钟折了6只纸花，阳阳10分钟折了8只纸花，乐乐12分钟折了10只纸花，谁折得最快？ 【答案】乐乐 【思路引导】先分别用“折纸的只数÷时间”，求出朵朵、阳阳、乐乐每分钟各折多少只纸花，再比较三个结果的大小，数值最大的人折得最快。 【规范解答】朵朵：6÷8＝（只/分钟） 阳阳：8÷10＝（只/分钟） 乐乐：10÷12＝（只/分钟） ＝，＝，＝ ＞＞ 即＞＞ 答：乐乐折得最快。 39．（24-25五年级下·山西临汾·期末）阅读点亮未来，城市的街灯再亮，都不如图书馆的灯光温暖。王老师每个星期（7天）去图书馆一次，刘老师每2天去图书馆一次，如果7月12日两人同时去图书馆，下次两人同时去图书馆的日期是哪一天？ 【答案】7月26日 【思路引导】根据题意，先求出7和2的最小公倍数是14，也就是他们14天后再次同时去图书馆，用7月12日加14天即可求出他们下次同时去图书馆的日期。 【规范解答】7×2＝14（天） 7月12日＋14天＝7月26日 答：下次两人同时去图书馆的日期是7月26日。 40．（23-24五年级下·重庆綦江·期末）一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的2倍，第三次溢出的水量是第一次的3倍。中球体积是大球体积的几分之几？ 【答案】 【思路引导】第一次，沉入小球，溢出的水量是小球的体积；第二次，取出小球，沉入中球，溢出的水量＝中球体积－小球体积；第三次，取出中球，沉入大球，溢出的水量＝大球体积－中球体积。第一次溢出的水量是第二次的2倍，假设小球体积是2，则中球体积－小球体积是1，那么中球体积是3。第三次溢出的水量是第一次的3倍，即大球体积－中球体积＝小球体积×3，由此确定大球体积，将大球体积看作单位“1”，中球体积÷大球体积＝中球体积是大球体积的几分之几。 【规范解答】假设小球体积是2，则中球体积是3。 大球体积－中球体积＝2×3＝6 大球体积＝3＋6＝9 3÷9＝ 答：中球体积是大球体积的。 【考点剖析】关键是根据溢出的水量，确定小球、中球和大球体积之间的关系。 第五单元 图形的运动（三） 41．（24-25五年级下·河北张家口·期末）如图，图形甲怎样运动得到图形乙？（    ） A．先绕点A顺时针旋转90°，然后向下平移5格，再向右平移3格 B．先绕点A逆时针旋转90°，然后向下平移5格，再向右平移3格 C．先绕点A逆时针旋转90°，然后向下平移3格，再向右平移5格 【答案】C 【思路引导】旋转问题中，先确定旋转的方向后找到对应的边，判断旋转的角度；平移问题中，根据图形找平移的方向和格子数，先找平移的方向，然后找到对应的点，最后数出格子数即可。 【规范解答】A．先绕点A顺时针旋转90°，此时图形甲与图形乙方向相反，然后向下平移5格，再向右平移3格，图形甲与图形乙方向相反，按照该选项的说法不能得到图形乙； B．先绕点A逆时针旋转90°，然后向下平移5格，再向右平移3格，平移后在图形乙的左下方，按照该选项的说法不能得到图形乙； C．先绕点A逆时针旋转90°，然后向下平移3格，再向右平移5格，正好与图形乙重合。 所以按照C选项的运动方法可以得到图形乙。 42．（25-26五年级上·重庆梁平·期末）一幅由四张卡片组成的笑脸拼图，其中一张卡片在拼图右上方，这张卡片可以通过哪些运动方式还原到原来的位置上？下面是四位同学的拼图方案，（    ）项方案拼不出笑脸。 A．先向下平移1格，再向左平移1格，最后绕点逆时针旋转。 B．先绕点逆时针旋转，再向左平移1格，再向下平移1格。 C．先向左平移2格，再绕点逆时针旋转。 D．先向左平移2格，再向下平移1格。 【答案】D 【思路引导】右上角的卡片不仅位置偏移，还发生了方向旋转，因此要还原到正确位置，必须同时包含平移和旋转两种操作，仅靠平移无法让卡片方向正确。 【规范解答】A．先向下平移1格，再向左平移1格，最后绕点（2，2）逆时针旋转90°。位置和方向都能调整到位，可以拼出笑脸。 B．先绕点（3，3）逆时针旋转90°，再向左平移1格，再向下平移1格。位置和方向都能调整到位，可以拼出笑脸。 C．先向左平移2格，再绕点（2，3）逆时针旋转90°。位置和方向都能调整到位，可以拼出笑脸。 D．先向左平移2格，再向下平移1格。只进行了平移，没有进行旋转，卡片方向仍然是错的，拼不出笑脸。 故答案为：D 43．（24-25五年级上·重庆云阳·期末）如图是一个万花筒的图案，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，图中所有的小三角形均是一样的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成把四边形ABCD以A为中心（    ）。 A．顺时针旋转60°得到的 B．逆时针旋转60°得到的 C．顺时针旋转120°得到的 D．逆时针旋转120°得到的 【答案】D 【思路引导】已知图中所有的小三角形均是一样的等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°。观察四边形ABCD和四边形AEFG中的对应边的夹角来确定旋转角度和方向。 如：AD与AG是对应边，从AD旋转到AG是逆时针旋转，∠DAG是由两个等边三角形的内角组成，所以∠DAG＝120°，即AD旋转到AG是逆时针旋转了120°，据此解答。 【规范解答】如：四边形ABCD中的AD旋转到四边形AEFG的AG，是逆时针旋转，旋转角度为： 60°＋60°＝120° 所以，四边形AEFG可以看成把四边形ABCD以A为中心逆时针旋转120°得到的。 故答案为：D 44．（24-25五年级下·广东汕头·期末）钟面指针的转动是( )现象，从4时10分到4时35分，这段时间里，钟表的分针旋转了( )度。 【答案】 旋转 150 【思路引导】钟面指针围绕钟面中心做圆周运动，这种运动属于旋转现象；从4时10分到4时35分，分针从“2”旋转到“7”，共走了5大格，分针在钟面上旋转一周是360°，每大格是360°÷12＝30°，则钟表上的分针共旋转了30°×5＝150°。 【规范解答】钟面指针的转动是旋转现象； 360°÷12＝30° 30°×5＝150° 45．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）张典用两块直角三角形拼板和一块正方形拼板拼成了一个大直角三角形（如图）。①号直角三角形拼板的斜边长为5cm，②号直角三角形拼板的斜边长为8cm。两块直角三角形拼板面积的和是_______cm2。 【答案】20 【思路引导】因为正方形的4条边长相等，将①号三角形顺时针旋转90°刚好与②号三角形拼成一个直角三角形，拼成的直角三角形的底8cm，高5cm，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 如图： 【规范解答】8×5÷2＝20（cm2） 两块直角三角形拼板面积的和是20cm2。 【考点剖析】本题难点在于，能否利用旋转这一特性，把图形①与②拼接成一个新的直角三角形。 46．（24-25五年级下·湖南永州·期末）画一画，填一填。 (1)在图1的方格纸上画出小旗子绕点A逆时针旋转90°后的图形。 (2)填一填，图2中有一个三角形和一个梯形，将三角形绕点B按( )时针方向旋转( )°后，就能和梯形拼成一个大三角形。 【答案】(1) (2) 顺 90 【思路引导】旋转作图时，需注意以下三点：首先确定旋转中心，明确绕哪个点旋转（如第一问中的点A）。然后要明确旋转方向：区分顺时针或逆时针（如第一问要求逆时针）；其次要保证旋转角度：严格按指定角度旋转（如第一问的），旋转后各关键点到旋转中心的距离不变。 【规范解答】（1）画出小旗子绕A逆时针旋转后的图形，要确定小旗子的各个顶点（关键点）。分别将每个关键点绕点A逆时针旋转，保持关键点到点A的距离不变，确定旋转后的对应点位置，按原小旗子的顶点顺序连接旋转后的对应点，得到旋转后的图形。 （2）观察图2中三角形与梯形的位置关系，要拼成大三角形，需使三角形的短直角边与梯形的上底重合。通过分析图形可知，将三角形绕点B按顺时针方向旋转后，能与梯形拼成一个大三角形。 47．（24-25五年级上·浙江绍兴·期末）已知梯形ABCD，DC∥AB，E是AD的中点，F是BC的中点。聪聪测量了EF、DC与AB的长度，得出“”这样的结论。明明说，根本不用测量，肯定是这样的。你能研究并解释其中的道理吗？ 【答案】见详解 【思路引导】本题通过旋转的知识，图形位置发生改变，但是长度不发生改变，通过旋转，DC＝BD'，EF＝FE'，从而推导出EF＝（AB＋CD）。 【规范解答】如图，将梯形CDEF旋转180°后，与梯形ABFE 可以拼成一个平行四边形 AD'E'E，所以E'E＝AB＋BD'。因为E'E＝2EF，BD'＝CD，所以2EF＝AB＋CD，所以 EF＝（AB＋CD）。 48．（22-23五年级下·广东东莞·期末）图形的运动。 （1）画出图①绕点P逆时针方向旋转90°后的图形。 （2）图②绕点________ ______时针方向旋转______°后可以和图③拼成一个平行四边形。 、 【答案】（1）见详解（2）A；逆；90 【思路引导】（1）图①绕着点P旋转，依照旋转的方向和角度画图，保证形状大小不变； （2）图②可以绕着点A或点B，顺时针或逆时针旋转，分多种情况讨论，怎样能和图③拼成平行四边形，据此解答。 【规范解答】（1）图①绕着点P逆时针旋转90°后形状大小不发生改变； （2）图②绕着点A顺时针、逆时针旋转90°后如图红色、蓝色，图②绕着点B顺时针、逆时针旋转90°后如图绿色、黄色，要求和图③拼成平行四边形，只能绕着点A逆时针旋转90°。 【考点剖析】此题考查图形的旋转问题，旋转后图形大小形状不变，抓住旋转的方向及角度正确作图。 49．跃龙门。 如图，白色部分DEFB是一个正方形，AE长4厘米，EC长8厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 提示：怎样把两个阴影部分拼到一起呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。这样两个阴影部分就拼到一起了。 （2）因为（    ），所以组合后的阴影部分是一个（    ）三角形。 （3）旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解； （2）90°；直角； （3）16 【思路引导】（1）以点E为旋转中心，三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后，DE和FE重合，在FB上截取FG＝DA，连接EG，三角形GFE就是三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后的图形； （2）DEFB是一个正方形，∠DEF是一个直角，则∠1与∠2的和为90°，图形旋转前后对应角的大小相等，∠GEF＝∠1，那么∠GEC＝90°，有一个角为直角的三角形是直角三角形； （3）由图可知，AE＝GE＝4厘米，EC＝8厘米，三角形GEC是直角三角形，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出三角形GEC的面积就是阴影部分的面积，据此解答。 【规范解答】（1）分析可知： （2）分析可知，90°。 ∠GEF＝∠1 ∠GEF＋∠2＝∠GEC＝90° 所以，组合后的阴影部分是一个直角三角形。 （3）4×8÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是16平方厘米。 【考点剖析】掌握旋转图形的特征，把阴影部分转化为直角三角形并熟记三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 50．（24-25五年级上·重庆梁平·期末）在下面的方格图中，把三角形绕点沿逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答下面的问题。（一定要先画哟，还要涂阴影和标字母、）（、两点的对应点分别为、） （1）不用三角板，你能找到点的对应点吗？把你找的办法写在下面。 （2）可以用、也可以不用三角板，你是怎样找到点的对应点的？把你找的办法写在下面。（从用三角板和不用三角板中，选一种回答就行了） 【答案】见详解 【思路引导】根据题目要求确定旋转中心（点）、旋转方向（逆时针）、旋转角度（90°），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，并涂阴影和标字母、，据此作图。 （1）图形的旋转是图形上的每个点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，且旋转前后图形的大小和形状没有改变，的长度是3格，则的长度也是3格，且与的夹角是90°，因为是逆时针旋转，所以在的右边； （2）以为底，假设对应的高与底边的交点为，根据找出点旋转之后的对应点，从点往上数1格就是点，据此解答。 【规范解答】作图如下： （1）分析可知，从点向右数出3格，终点处就是点。 （2）不用三角板。 如图，在上找出点，并找出绕点沿逆时针方向旋转90°后的对应线段，从向上数出1格，终点处就是点。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查图形的旋转，掌握旋转的特征和旋转图形的作图方法是解答题目的关键。 第六单元 分数的法和减法 51．（24-25五年级下·贵州黔东南·期末）一根绳子，第一次截去全长的，第二次截去全长的，还剩全长的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】将整个绳子看作单位“1”，还剩下全长的几分之几＝单位“1”－第一次截去的分率－第二次截去的分率。 【规范解答】 所以一根绳子，第一次截去全长的，第二次截去全长的，还剩全长的。 52．（24-25五年级下·贵州黔东南·期末）一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了，乐乐一共喝了（    ）杯纯牛奶。 A． B． C．1 【答案】B 【思路引导】第一次，乐乐喝了半杯纯牛奶，也就是杯纯牛奶，这时还剩下杯纯牛奶； 第二次，兑满了热水，又喝了半杯，这时喝的纯牛奶是剩下杯纯牛奶的，也就是杯纯牛奶，据此分析。 【规范解答】 （杯） 所以乐乐一共喝了杯纯牛奶。 53．（23-24五年级下·湖南岳阳·期末）一杯奶茶，小红喝了杯后，觉得有点甜，就兑满了白开水，她又喝了半杯，就出去玩了，小红一共喝了（    ）杯纯奶茶。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】第一次小红喝了杯奶茶，还剩下杯奶茶。兑满白开水后，此时有杯水和杯奶茶，第二次她又喝了半杯，则她喝了杯水的一半和杯奶茶的一半，把整杯奶茶平均分成6份，水占2份，奶茶占4份，喝了一半就是喝了1份水和2份奶茶，即第二次喝了杯水和杯奶茶，据此算出她一共喝了多少杯奶茶即可。 【规范解答】根据分析可得，她一共喝了：（杯） 故答案为：B 【考点剖析】本题考查喝牛奶问题，解答本题的关键是求出两次小红喝牛奶的杯数。 54．（24-25五年级下·山西临汾·期末）等于多少？一位学生认为，表示5份中的3份，表示7份中的4份，所以加起来是12份中的7份，结果是。你认为( )（填“对”或“不对”），原因是( )。 【答案】 不对 和是两个不同分数单位的分数，不同单位的分数加法计算要化成相同单位的分数才能计算。 【思路引导】和是两个不同分数单位的分数，分数相加只能是相同分数单位的分数才能相加，不同分数单位时要根据分数的基本性质，化成相同单位的分数再计算。 【规范解答】略 55．（24-25五年级下·山东临沂·期末）一堆煤有12t，用去了总数的，还剩下这堆煤的；如果用去了t，还剩下（    ）吨；如果用去了4t，用去了这堆煤的。 【答案】；； 【思路引导】第一个空剩下这堆煤的几分之几，把这堆煤的总量看作单位“1”，用单位“1”减去用去的。第二个空还剩下几吨，因为用去的t是具体的数量，所以用煤的总吨数减去t，就是剩下的吨数。第三个空用去了这堆煤的几分之几，用除法计算，用去的量除以总量。 【规范解答】1－＝ 12－＝ 4÷12＝ 56．（21-22五年级上·湖南株洲·期末）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（    ）（请写出计算过程） 【答案】； ； ； （计算过程见详解） 【思路引导】（1）异分母分数相减，先通分，然后分母不变，把分子相减。1－ ＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝。 （2）通过观察计算结果找出规律。－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝；……（≥1）。 （3）根据规律可知：＝，前后两个相邻的分数因为运算符号相反，所以相加得0。 【规范解答】 ＝ 计算过程如下： ＝ ＝1－ ＝ 【考点剖析】一个分数，如果分子是1，分母是两个相邻自然数的积，那么这个分数就可以拆分成两个分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。 57．脱式计算。（能简算的要简算）                   【答案】；； ； 【思路引导】（1）先通分成同分母分数的加、减法，再按一般的四则运算顺序来计算； （2）先去括号后＝1，可带来简便计算； （3）运用加法交换律和加法结合律可带来简便； （4）先去括号，注意去掉括号后，括号里面的“＋”变成“−”，把0.6化成，再运用连减的性质可带来简便计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－1 ＝0 58．（24-25五年级下·山西临汾·期末）读万卷书，共建书香侯马；行万里路，共创三晋明珠。2025年4月12日，侯马市第13届“青铜杯”徒步马拉松点燃运动激情。小明先用20分钟，走了全程的，又用小时，走了全程的一半。 (1)已经走了多少小时？ (2)还剩下全程的几分之几没有走？ 【答案】(1)小时 (2) 【思路引导】（1）先根据“1小时＝60分钟”，小单位换算成大单位时除以进率，把小明先走的20分钟除以60转化为小时，再加上又走的小时，即可求出已经走的总时间。分数和除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数。 （2）把全程看作单位“1”，小明第一次走了，第二次走了全程的一半即，用单位“1”减去，再减去，求出剩下全程的几分之几。 【规范解答】（1）20÷60＝＝（小时） 所以20分钟＝小时 ＋ ＝＋ ＝（小时） 答：已经走了小时。 （2）1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：还剩下全程的没有走。 59．一杯奶茶，欢欢喝了半杯后，感觉不太甜，就兑满了糖水，又喝了杯，就去写作业了，他一共喝了多少杯奶茶？多少杯糖水？ 回忆：本学期学习“喝牛奶问题”时，我们采用什么方法解决的？今天我们用画图方法尝试解决吧！    第一次喝了（    ）杯奶茶，剩下（    ）杯奶茶。加满糖水后，糖水是（    ）杯，奶茶是原来剩下的（    ）杯。又喝了杯，也就是把杯奶茶再平均分成3份，其中的一份是整杯奶茶的（    ）。同样的道理，一份糖水是整杯奶茶的（    ）。 请算出欢欢一共喝多少杯奶茶？多少杯糖水？ 【答案】；；；；； 奶茶：＋＝（杯） 糖水：杯 【思路引导】第一次喝的半杯是杯奶茶，剩下的半杯也是奶茶。加半杯糖水后成满杯，第二次喝了杯，这里有杯奶茶的,还有杯糖水的，据此能够算出一共喝了多少杯奶茶，多少杯糖水。 【规范解答】第一次喝了（）杯奶茶，剩下（）杯奶茶。加满糖水后，糖水是（）杯，奶茶是原来剩下的（）杯。又喝了杯，也就是把杯奶茶再平均分成3份，其中的一份是整杯奶茶的（）。同样的道理，一份糖水是整杯奶茶的（）。 奶茶：＋＝（杯） 糖水：杯 【考点剖析】解决此类问题的关键是抓住奶茶的总量不会改变这一特点进行分析推理，明确每次喝奶茶的数量和喝糖水的数量，从而解决问题。 60．数学课上同学们复习分数加减法运算的内容。 明明：分母不相同的分数也就是分数单位不同，需要先通分，通分就是为了统一分数单位，分数单位相同了，就可以相加了。 亮亮：由分数的加法我想到了整数和小数的加法，我觉得分数、小数和整数的加法运算的道理是一样的。 芳芳：我同意亮亮的说法，我可以举例说明： 50＋30＝80，50表示5个十，30表示3个十，5个十加上3个十是8个十，也就是80； 0.5＋0.3＝0.8，0.5表示5个0.1，0.3表示3个0.1，5个0.1加上3个0.1是8个0.1，也就是0.8； ，表示5个，表示3个，5个加上3个就是8个，也就是。 丽丽：既然分数、小数和整数的加法运算的道理是一样的，我觉得分数、小数和整数的减法运算的道理也是一样的。 ①你同意明明的观点吗？请你结合的计算过程说明你的理由。 ②你同意丽丽的观点吗？你可以像芳芳一样说明理由，也可以用自己的方式来说明。 【答案】见详解 【思路引导】异分母分数相加，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数加法去计算，最后能约分的要约分； 分数、小数和整数的加、减法运算一样，都是相同计数单位的相加、减。 【规范解答】①我同意明明的观点。，分母不相同，也就是分数单位不同，需要先通分，4和5的最小公倍数是20，因此将分母变成20，此时分数单位都是，可以将分子相加得到13，分母仍然是20。因此，。 ②我同意丽丽的观点。举例说明：50－30＝20，50表示5个十，30表示3个十，5个十减去3个十是2个十，也就是20； 0.5－0.3＝0.2，0.5表示5个0.1，0.3表示3个0.1，5个0.1减去3个0.1是2个0.1，也就是0.2； ，表示5个，表示3个，5个减去3个就是2个，也就是。 【考点剖析】掌握分数加减法、小数加减法的算理及算法是解题的关键。 课题学习 怎样通知最快：打电话问题 61．（24-25五年级下·山西晋中·期末）活动课上，同学们玩一对一传悄悄话游戏。每次一对一传话需要1秒钟，不限制传话次数，问从第一个同学开始，5秒钟内最多有（    ）位同学知道悄悄话内容。 A．32 B．25 C．15 【答案】A 【思路引导】一开始只有1个同学知道消息，每过1秒，所有已经知道消息的同学，每人都可以再告诉1个新同学，所以知道消息的人数每一秒都会翻倍，按秒数依次求出每一秒结束后的人数即可。 【规范解答】第0秒（初始状态）：只有1人知道消息 第1秒后：1人各传1人，共1×2＝2人知道 第2秒后：2人各传1人，共2×2＝4人知道 第3秒后：4人各传1人，共4×2＝8人知道 第4秒后：8人各传1人，共8×2＝16人知道 第5秒后：16人各传1人，共16×2＝32人知道 所以5秒钟内最多有32位同学知道悄悄话内容。 62．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）有20名同学准备到郊外参加研学活动，但因为天气变化需要延期，现在老师要尽快通知到每一名学生，如果采用打电话的方式通知，每分钟可以通知一人，最短需要（    ）分钟就可以通知到每一名学生。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】第一分钟通知到1人，接到通知的人下一分钟可以同时去通知其他人，即第一分钟：1人，第二分钟：2＋1＝3人，第三分钟：3＋4＝7人，以此类推，超过21人接到通知即可。 【规范解答】第一分钟：1（人） 第二分钟：2＋1＝3（人） 第三分钟：3＋4＝7（人） 第四分钟：7＋8＝15（人） 第五分钟：15＋16＝31（人） 31＞20 最短需要5分钟可以通知到每一名学生。。 所以选项D是正确的。 63．（23-24五年级下·湖南湘西·期末）王阿姨邀请她的21个朋友来家里玩。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后马上通知别人，最少需要（    ）分钟能通知到每个人。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】第一分钟王阿姨和朋友一共有2人；第二分钟王阿姨和朋友每人都通知一人，又增加了1×2＝2人，第二分钟王阿姨和朋友一共有：2＋2＝4＝2×2人；第三分钟王阿姨和朋友每人都通知一人，又增加了1×4＝4人，第三分钟王阿姨和朋友一共有：4＋4＝8＝2×2×2人；同理，每次通知的朋友和王阿姨的总人数，总是前一次的2倍，所以，2×2×2×2＝16人，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人。 【规范解答】根据分析可知：2×2×2×2＜21＋1＜2×2×2×2×2，即16＜20＋1＜32，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知每个人。 故答案为：C 【考点剖析】每增加1分钟收到通知的朋友和王阿姨的人数是前一分钟收到通知的朋友和王阿姨的人数的2倍。 64．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）王阿姨邀请她的23个朋友来家里玩，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后马上通知别人，最少需要______分钟能通知到每个人。 【答案】5 【思路引导】第一分钟王阿姨和朋友一共有人；第二分钟王阿姨和朋友每人都通知一人，又增加了人，第二分钟王阿姨和朋友一共有：人；第三分钟王阿姨和朋友每人都通知一人，又增加了人，第三分钟王阿姨和朋友一共有：人；同理，每次通知的朋友和王阿姨的总人数，总是前一次的倍，所以，人，因此，分钟通知不完，只能分钟；所以最少用分钟就能通知到每个人。 【规范解答】最少需要分钟能通知到每个人。 65．（24-25五年级下·内蒙古通辽·期末）学校在暑期要组织参加数学知识竞赛，数学学科主任需要通知25个班级的班主任。通知一个人需要1分钟，接到通知的人会立刻去通知下一个还没接到通知的人。这样算下来，最快__分钟就能把所有班主任都通知到。 【答案】5 【思路引导】学科主任首先用1分钟通知第一个班主任，第二分钟由科主任和第一个班主任两人分别通知1个班主任，现在通知的班主任数：1＋2＝3（个），第三分钟可以推出通知的班主任数：3＋4＝7（个），以此类推，第四分钟通知的班主任数：7＋8＝15（个），以此类推； 【规范解答】根据分析： 第五分钟共通知的班主任数：15＋16＝31（人） 31＞25 这样算下来，最快5分钟就能把所有班主任都通知到。 66．（24-25五年级下·河南安阳·期末）星期天上午，五年级王老师用打电话方式通知15名同学参加“红旗渠精神宣讲”活动，每分钟通知1人，最少需要( )分钟就能通知完所有同学。 【答案】4 【规范解答】每一分钟里，所有已经得到通知的人（包括老师）都一起通知新的同学用时最少，每分钟每人通知1人，人数翻倍增长，可以逐步计算需要的时间。 【考点剖析】第1分钟：最多通知1名同学，累计通知1人； 第2分钟：新增2人，累计通知1＋2＝3人； 第3分钟：新增4人，累计通知3＋4＝7人； 第4分钟：新增8人，累计通知7＋8＝15人，刚好通知完全部15名同学。 因此最少需要4分钟。 67．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 【答案】8秒；图见详解 【思路引导】变化前：只有1个孙悟空； 第2秒：1个孙悟空拔毫毛变成1个新的孙悟空，变化出1个孙悟空； 第4秒：原有1个孙悟空和变化出的1个孙悟空，共2个孙悟空，2个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出1＋2＝3个孙悟空； 第6秒：原有1个孙悟空和变化出的3个孙悟空，共4个孙悟空，4个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出3＋4＝7个孙悟空； 第8秒：原有1个孙悟空和变化出的7个孙悟空，共8个孙悟空，8个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出7＋8＝15个孙悟空。 所以最短需要8秒钟。 【规范解答】如图： 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 68．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）李叔叔是做工程的，最近接到一个装修的工程，装饰一个长50米，宽40米，高5米的长方体大仓库的墙壁和地面。业主要求李叔叔在三周之内完成，于是李叔叔就立马行动起来。 （1）首先，通知工人集合。因为工期短，李叔叔计划安排23位工人来做。如果李叔叔打1个电话1分钟，要全部通知到位，至少需要（    ）分钟。 （2）现在要粉刷仓库的墙壁和天花板，需要预算涂料数量，已知每桶涂料可以刷130平方米，除去门窗的面积300平方米，应该购买多少桶涂料？ （3）铺地砖时，需要给地面铺上一层厚10厘米的沙子，需要准备沙子多少立方米？ （4）施工时需要用到水，因为施工场地没有盛水的容器，李叔叔准备利用现有的材料（甲、乙两块铁皮）自己制作。两块铁皮尺寸不同，如图，他想将每块铁皮分别沿虚线弯折后焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余）。请你帮忙算一算，哪个铁盒装水更多一些？ （5）此工程队第一周、第二周共完成了总工程的，第一周、第三周共完成了总工程的。工程队第一周共完成了总工程的几分之几？ 【答案】（1）5； （2）20桶； （3）200立方米； （4）甲； （5）。 【思路引导】（1）第1分钟：李叔叔通知1位工人；第2分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共3位工人；第3分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共7位工人；第四分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共7位工人，共15位工人；第5分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共31位工人…… （2）需要粉刷的面积等于长方体的侧面积加上底面积的和，再减去门窗的面积；根据长方体的侧面积＝长×高×2＋宽×高×2＋长×宽，长方体的底面积＝长×宽，代入数据计算出需要粉刷的面积，再除以1桶涂料可以刷的面积即可。 （3）先把10厘米化成0.1米，再根据长方体的体积＝长×宽×高解答即可。 （4）由图甲焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余），可知，正方形的边长为40÷4＝10（分米），长方体的高是18－10＝8（分米），根据长方体的体积＝底面积×高计算出长方体铁盒的体积；由图甲结合焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余），可知，正方形的边长为48÷4＝12（分米），长方体的高是17－12＝5（分米），根据长方体的体积＝底面积×高计算出长方体铁盒的体积，再比较甲和乙的体积即可。 （5）第一周、第二周共完成了总工程的分率加上第一周、第三周共完成了总工程的分率减去“1”即可解答。 【规范解答】（1）由分析可知：如果李叔叔打1个电话1分钟，要全部通知到位，至少需要5分钟。 所以至少需要5分钟。 （2）50×5×2＋40×5×2＋50×40 ＝500＋400＋2000 ＝2900（平方米） 2900－300＝2600（平方米） 2600÷130＝20（桶）    答：应该购买20桶涂料。 （3）h＝10厘米＝0.1米   V＝50×40×0.1 ＝2000×0.1 ＝200（立方米） 答：需要准备沙子200立方米。 （4）甲：a＝b＝40÷4＝10（分米）   h＝18－10＝8（分米）   V＝10×10×8 ＝100×8 ＝800（立方分米） 乙：a＝b＝48÷4＝12（分米）   h＝17－12＝5（分米）   V＝12×12×5 ＝144×5 ＝720（立方分米） 800立方分米＞立方720分米      答：甲装水更多一些。 （5）＋－1 ＝－1 ＝－1 ＝     答：工程队第一周共完成了总工程的。 69．某医院的一个医疗救护队共有7人，新冠疫情期间有一个紧急救援任务，值班领导需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花几分钟就能通知到每个人？请你画图表示打电话的方案。 【答案】3分钟；画图见详解。 【思路引导】如下图，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和值班领导的总人数看：第1分钟，共有2人，2＝21；第2分钟，共有4人，4＝22；第3分钟共有8人，8＝23；第4分钟，共有16人，16＝24；第5分钟，共有32人，32＝25；……由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和值班领导的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n－1）人。 【规范解答】解：设最少花n分钟就能通知到每个人。 2n－1＝7 2n＝7＋1 2n＝8 n＝3 答：最少花3分钟就能通知到每个人。 画图如下：    【考点剖析】明确打电话的最优方案及其中蕴涵的规律是解决此题的关键。 70．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【规范解答】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 【考点剖析】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 第七单元 折线统计图 71．（24-25五年级下·河北保定·期末）下面说法中，正确的有（    ）句。 ①折线统计图既能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况。 ②质数一定是奇数，偶数一定是合数。 ③一个正方体的棱长为6cm，它的表面积和体积相等。 ④平移或旋转改变的是图形的位置，不改变图形的大小和形状。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据折线统计图的特点，既能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况； 只有1和本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数，2的倍数是偶数，不是2的倍数是奇数，据此判断； 表面积表示6个面的大小之和，体积表示所占空间的大小，表面积和体积不能比较； 根据平移和旋转的特征，物体的位置改变，形状和大小不变。 【规范解答】①根据分析，说法正确； ②2是质数，但不是奇数，说法错误； ③表面积和体积不能比较，说法错误； ④根据分析，说法正确。 72．（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）下面说法中，正确的是（    ）。 A．要描述新华书店科普读物的销售变化情况，应选择条形统计图。 B．在整数除法中 ，则的最大公因数是3。 C．在中，不能化成有限小数的分数只有1个。 D．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的9倍。 【答案】C 【思路引导】A．条形统计图能清楚地看出数量的多少；折线统计图不仅能看出数量的多少，还能反映数量的增减变化情况。 B．两个数成倍数关系，它们的最大公因数是较小数。 C．一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，就能化成有限小数。 D．正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的倍。 【规范解答】A．要描述销售变化情况，应选择折线统计图。此选项错误。 B．根据题意和成倍数关系。它们的最大公因数是。因为不一定等于3，所以最大公因数不一定是3。此选项错误。 C．，分母4只含质因数2，能化成有限小数；，分母4只含质因数2，能化成有限小数；的分母只含质因数5，能化成有限小数；，分母3含质因数3，不能化成有限小数。不能化成有限小数的只有1个。此选项正确。 D．正方体的体积棱长棱长棱长。棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的 倍，不是9倍，此选项错误。 73．（24-25六年级下·四川巴中·期末）兔子和乌龟赛跑。发令枪响后，兔子带头冲出，飞奔了一阵子，发现自己遥遥领先，就在树下睡着了，而笨手笨脚的乌龟则超越了它。兔子一觉醒来，发现乌龟跑到前面了，拼命追赶，但最后还是输了比赛。下面图（    ）比较符合龟兔赛跑的故事情节。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】发令枪响，兔子和乌龟是在同一个起点，且同时出发，兔子前一段时间是领先乌龟，比赛中途兔子睡了一小觉，这时时间在增加，距离终点的路程不变，并且乌龟在兔子睡着时，超过了兔子。最后还是输了比赛说明到终点时，兔子用的时间比乌龟用的时间更多。 【规范解答】A．图中乌龟和兔子没有同时出发，不符合题中故事情节； B．图中兔子先到达终点，不符合题中故事情节； C．图中乌龟和兔子同时出发，兔子睡着时乌龟超过了兔子，乌龟先到达终点，符合题中故事情节； D．图中乌龟和兔子同时到达终点，不符合题中故事情节。 74．（23-24五年级下·重庆合川·期末）有一个长方体容器（如图①），现以每分钟25升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两部分。B部分的底部有一个洞，水按每分钟10升的速度往下漏。图②表示从注水开始A部分水的高度变化情况。 (1)注水36分钟共漏出水( )升。 (2)如果B部分的洞不漏水，那么只要( )分钟就能使容器A部分的水位达到5分米。 【答案】(1)300 (2)24 【思路引导】（1）由图①可知，水必须填满A部分（隔板高度）才会溢出到B部分，才会开始漏水。由图②可知，从第6分钟开始，水位高度不变，说明A部分（隔板高度2分米）的水填满了，开始溢出至B部分，所以从第6分钟开始漏水，因为注水36分钟，那么一共漏水30分钟。B部分的水以每分钟10升的速度往下漏，用10×30＝300升，即注水36分钟共漏出的水量。 （2）从图②可知，隔板高度是2分米。如果B部分的洞不漏水，A部分的水位达到5分米，即整个容器的水面高是5分米，先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再用水的体积÷每分钟注水量，即可求出注水所需的时间。 【规范解答】（1）（36－6）×10 ＝30×10 ＝300（升） 注水36分钟共漏出水300升。 （2）（7.5＋4.5）×10×5 ＝12×10×5 ＝600（立方分米） ＝600（升） 600÷25＝24（分） 如果B部分的洞不漏水，那么只要24分钟就能使容器A部分的水位达到5分米。 【考点剖析】此题主要考查了折线统计图（看图找关系）、长方体的体积公式。读懂折线统计图是解决此题的关键。 75．如下图，图1中一张长方形纸条准备从正方形的左边水平匀速运行到右边，每秒运行2厘米。图2是长方形运行过程中与正方形重叠面积的部分关系图。 （1）从图2看，前( )秒钟重叠部分面积在增加，( )秒钟后重叠部分面积在减少。 （2）运行4秒后重叠部分的面积是( )平方厘米，这个正方形的边长是( )厘米。 【答案】 6 10 16 12 【思路引导】（1）从图2中可知，从0秒到6秒，呈上升趋势，说明面积在增加；6秒至10秒不变，从10秒到16秒在减少； （2）运行4秒后，重叠部分长方形的长是2×4＝8厘米，宽是2厘米，8×2＝16平方厘米；从上边给出的图中，可以看出运行6秒后，重叠部分的面积不再发生变化，从而知道6秒时长方形和正方形的位置关系，6×2＝12厘米，这个正方形的边长是12厘米。 【规范解答】由分析得， （1）从图2看，前6秒钟重叠部分面积在增加，10秒钟后重叠部分面积在减少； （2）长方形的长是：2×4＝8（厘米），宽是2厘米， 重叠的面积是：8×2＝16（平方厘米） 正方形的边长是运行6秒后的长度：6×2＝12（厘米） 【考点剖析】此题综合性较强，综合考查了匀速运动这一知识，以及分析折线统计图的能力，解答此题关键是理解题意，根据数量关系解答。 76．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）下图是东城2024年的月平均气温变化情况统计图，看图回答问题。 (1)这一年中，东城( )月的平均气温最低，( )月的平均气温最高。 (2)( )月—( )月间的平均气温上升的最快；( )—( )月间的平均气温下降的最慢。 (3)8月份的平均气温比4月份的高( )摄氏度，全年平均气温是( )摄氏度。 (4)通过这个折线统计图，琪琪认为东城最低气温是6℃，你认为对吗？为什么？ 【答案】(1) 1 8 (2) 5 6 11 12 (3) 17 19 (4)不对。原因：这是月平均气温统计图，1月的月平均气温就已经是5℃，低于6℃；且月平均气温是一个月的平均温度，不是该地区的最低气温，因此说法错误。 【思路引导】（1）观察统计图，折线统计图的最低点是1月份的5℃，最高点是8月份的35℃； （2）1到8月份气温呈上升趋势，在该段时间内相邻两个月气温连线最陡的两个月份间平均气温上升最快；8月到12月气温下降，在该段时间内相邻两个月气温连线最平缓的两个月份间平均气温下降最慢； （3）8月份的平均气温减4月份的平均气温；全年平均气温＝12个月的平均气温总和÷12； （4）琪琪认为的最低气温是指全年中温度的最低值，统计图体现的是每月的月平均气温，月平均气温的最低值1月份是5℃，说明1月份一定存在气温低于5℃的情况，据此判断。 【规范解答】（1）根据分析：东城1月的平均气温最低，8月的平均气温最高。 （2）观察折线统计图，气温上升阶段两个月之间连线最陡的是5月到6月，相差31－23＝8℃，所以5月到6月气温上升最快； 气温下降阶段每相邻两个月之间的连线最平缓的是11月份的10℃到12月份的6℃，相差10－6＝4℃，所以11月到12月气温下降最慢。 （3）8月35℃，4月18℃ 35－18＝17（℃） （5＋8＋12＋18＋23＋31＋33＋35＋27＋20＋10＋6）÷12 ＝228÷12 ＝19（℃） （4）略 77．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）下图是一年级到六年级近视人数和未近视人数变化情况： (1)近视人数和未近视人数相差最多的是( )年级，( )年级开始近视人数超过了未近视人数。 (2)二年级时近视人数占全班人数的( )，五年级时近视人数占六年级时近视人数的( )。 (3)看了上面的图表，你想给同学们提点什么建议？请写出来。 【答案】(1) 一 五 (2) (3)见详解 【思路引导】（1）近视人数和未近视人数相差最多就看同一个年级两个点之间的距离，距离越大，人数相差越多，如果距离相近，就根据计算结果来看。近视人数超过了未近视人数就说明虚折线在实线折线上方，根据图像能够看出年级。 （2）用二年级近视的人数÷全班人数，二年级的近视人数＋未近视人数即可得到全班人数。五年级近视人数为21，六年级近视人数为30人，相除即可。将结果化成最简分数。 （3）可以从未近视人数随着年级的增加人数越来越少，近视人数越来越多，来给出建议，合理用眼。 【规范解答】（1）由图像可看出，一年级近视人数和未近视人数相差最多，两个点之间的距离最大；从五年级开始，近视人数是21，未近视人数是19，近视人数超过了未近视人数。 （2）； 。 （3）建议：合理用眼，减少电子产品使用时间，坚持做眼保健操。 （答案不唯一） 78．（24-25五年级下·广东广州·期末）人工智能赋能课堂教学是当前教育界的热点话题。某地区近五年在该方面的教学案例和研究论文，发表篇数如下图所示。 某地区近五年在人工智能赋能课堂教学方面的文献数量情况统计图 (1)该地区2024年发表的研究论文有50篇。请完成上面的统计图（要标出数据）。 (2)教学案例发表的篇数是从( )年开始超过研究论文发表的篇数。 (3)近五年平均每年发表教学案例( )篇。 (4)总体上看，研究论文和教学案例发表的篇数差距在逐渐( )（填“增大”或“缩小”）。 【答案】(1)见详解 (2)2021 (3)51 (4)增大 【思路引导】（1）观察复式折线统计图可知，纵轴每格代表20篇，实线代表教学案例，虚线代表研究论文，根据绘制出2024年发表的研究论文统计图，并标注数据； （2）观察对比两条线，可以发现：教学案例发表的篇数是从2021年开始超过研究论文发表的篇数； （3）平均数＝总数量÷总份数，据此求出近五年发表的教学案例总数，然后除以5，即可得到近五年平均每年发表的教学案例数量； （4）观察对比两条折线，可以发现：研究论文和教学案例发表的篇数差距在逐渐增大。 【规范解答】（1） （2）14＞9，教学案例发表的篇数是从2021年开始超过研究论文发表的篇数。 （3）（2＋14＋40＋76＋123）÷5 ＝255÷5 ＝51（篇） （4）总体上看，研究论文和教学案例发表的篇数差距在逐渐增大。 79．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）下面是甲、乙两种粽子在近几年端午节销售情况。 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 甲 300万元 400万元 350万元 290万元 250万元 乙 200万元 300万元 350万元 500万元 600万元 (1)要想清楚地看出两种粽子在近几年端午节销售额的变化趋势，应绘制( )统计图。 (2)根据上面信息完成统计图。 (3)两种粽子，( )年端午节期间销售额差距最大，( )年端午节期间销售额一样大。 (4)这两种粽子中，( )需要尽快做出调整，才能适应消费者的需求。 (5)从统计图中还知道哪些信息？（至少2条） 【答案】(1)复式折线 (2)见详解 (3) 2025 2023 (4)甲 (5)乙种粽子销售额逐年增加；2021年甲粽子的销售额比乙粽子高100万元。 【思路引导】（1）折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能表示出数量的增减变化情况。因为要反映两种粽子销售额的变化趋势并进行对比，所以应选择复式折线统计图。 （2）根据表格中的数据，在统计图中找到对应的年份和销售额进行描点，甲种粽子用实线连接，乙种粽子用虚线连接，并标上相应的数据。 （3） 分别计算每年两种粽子销售额的差值，差值最大的年份即为差距最大的年份，大小相等或差值为0的年份即为销售额一样大的年份。 （4）观察折线的走势，销售额呈下降趋势的需要调整，呈上升趋势的说明适应市场需求。 （5）根据折线的升降情况或具体数据点提出合理的数学信息即可。 【规范解答】（1）折线统计图可以清晰体现数据的变化趋势，要同时观察两种粽子的销售变化，需要选用复式折线统计图。 （2） （3） 计算每年两种粽子销售额的差： 2021年：（万元） 2022年：（万元） 2023年：（万元） 2024年：（万元） 2025年：（万元） 因为，所以2025年端午节期间销售额差距最大，2023年端午节期间销售额一样大。 （4）甲的销售额从2022年后持续下降，整体呈下跌趋势，不符合消费者需求，因此甲需要尽快调整。 （5）乙种粽子销售额逐年增加； 2021年甲粽子的销售额比乙粽子高100万元。（答案不唯一） 80．（25-26五年级下·广东广州·期末）快递公司的智能机器人需要识别不同方向观察到的货物形状。现在用6个1立方米箱子摆成如图所示的形状。 (1)请你在方格纸中画出从前面和左面看到的图形（单位：平方米）。 (2)从上面、前面和左面看，所看到的图形面积之和是( )平方米。 (3)一台智能搬运机器人记录了最近5天的搬运情况，每天工作10小时，具体数据如下表，请根据表格数据绘制下面的折线统计图： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 搬运货物数量（件） 450 500 450 500 550 【答案】(1) (2)12 (3) 【思路引导】（1）这个几何体是由6个小正方体组成的，从前面、左面观察几何体，得出看到正方形面的个数和位置关系，据此画出相应的图形。 （2）已知每个正方体箱子的体积是1立方米，则每个面的面积是1平方米。由第（1）题可知，从上面、前面和左面看到正方形的个数，相加求出看到正方形的总个数，再乘一个面的面积，即是所看到的图形面积之和。 （3）根据统计表提供的数据绘制折线统计图即可。 【规范解答】（1）从前面能看到两层共4个小正方形，下层有3个，上层有1个且居中；从左面能看到两层共3个小正方形，下层2个，上层1个且居左；据此画出从前面和左面看到的图形。 （2）1立方米的箱子每个面的面积是1平方米。 （5＋4＋3）×1 ＝12×1 ＝12（平方米） （3）折线统计图的横轴表示天数，纵轴表示搬运货物数量，结合统计表中的数据，先在统计图中描出各点，再依次连接，完成折线统计图的绘制。 第八单元 数学广角—找次品 81．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）元宵节，又称“上元节”“灯节”等，是我国传统节日之一。元宵前夕，妈妈和小明共包了18个汤圆，其中一个是小明学着包的，质量轻一些，妈妈包的每个汤圆一样重。如果用天平称，至少要称（    ）次才能把小明包的汤圆找出来。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】找次品时把物品数量尽可能平均分成三组，先称其中数量相等的两组，分天平平衡和不平衡两种情况，依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程确定称重次数。 【规范解答】第一次：将18个汤圆分成（6，6，6）三份。天平两边各放6个，若平衡，次品在余下的6个中；若不平衡，次品在较轻的6个中。此时待测物品数量为6个。 第二次：将6个汤圆分成（2，2，2）三份。天平两边各放2个，若平衡，次品在余下的2个中；若不平衡，次品在较轻的2个中。此时待测物品数量为2个。 第三次：将2个汤圆分成（1，1）两份。天平两边各放1个，较轻的那个即为次品。 综上所述，至少要称3次才能保证找出小明包的汤圆。 82．（24-25五年级下·浙江·期末）若将1颗偏轻的珍珠次品误投至30颗大小重量相同的珍珠里，用天平称，最少称（    ）次就能保证将这颗次品找出来。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】把待测物品尽可能平均分成3份，利用天平的平衡原理，每次排除掉的合格物品，缩小次品所在的范围，从而用最少的称量次数保证找出次品。 【规范解答】第一次称量： 把31颗珍珠分成3份：10颗、10颗、11颗。 将两份10颗的放在天平两端称量。 若天平平衡：次品在未称量的11颗中， 若天平不平衡：次品在较轻的那10颗中。 第二次称量： 情况1（次品在10颗中）：把10颗分成3颗、3颗、4颗，将两份3颗的放在天平两端称量。 平衡：次品在未称量的4颗中， 不平衡：次品在较轻的那3颗中。 情况2（次品在11颗中）：把11颗分成4颗、4颗、3颗，将两份4颗的放在天平两端称量。 平衡：次品在未称量的3颗中， 不平衡：次品在较轻的那4颗中。 第三次称量： 情况1（次品在3颗中）：把3颗分成1颗、1颗、1颗，取两颗放在天平两端称量。 平衡：次品是未称量的那颗， 不平衡：次品是较轻的那颗。 情况2（次品在4颗中）：把4颗分成1颗、1颗、2颗，取两颗1颗的放在天平两端称量。 平衡：次品在未称量的2颗中， 不平衡：次品是较轻的那颗。 第四次称量： 如果第三次称量后次品在2颗中，将这2颗放在天平两端称量，较轻的那颗就是次品。 所以最少称4次就能保证找出次品。 83．（24-25五年级下·山东济宁·期末）有15袋糖果，其中14袋同样重，有一袋少了2颗，质量稍轻，如果用无砝码的天平称，至少称( )次才能保证找出这袋稍轻的糖果。 【答案】3 【思路引导】在处理寻找次品的问题时，采用三分法是最有效的策略。三分法指的是将待检物品分为三组，其中两组放置在天平的两端进行称量，根据天平的倾斜方向确定次品所在的组别，然后继续对含有次品的组别进行同样的操作，直至找到次品。 【规范解答】第一次称量：把15袋糖果分成3组：（5，5，5）。将其中两组（各5袋）放在天平两端称量。 若天平平衡：次品在未称量的那5袋中。若天平不平衡：次品在较轻的那5袋中。无论哪种情况，次品的范围都缩小到了5袋。 第二次称量：把这5袋糖果分成3组：（2，2，1）。将两组（各2袋）放在天平两端称量。若天平平衡：剩下的1袋就是次品。若天平不平衡：次品在较轻的那2袋中。此时，若不平衡，次品范围缩小到了2袋。 第三次称量（仅当第二次不平衡时）把这2袋糖果分别放在天平两端，较轻的那一袋就是次品。 因此，无论次品在哪一组，至少需要称3次，才能保证找出这袋稍轻的糖果。 84．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）三（1）班春游，全班共40名同学。出发前得知当天下雨，活动取消，老师需尽快通知所有人。每分钟可通知1名同学，收到消息的同学会立即帮忙通知他人，最少需要( )分钟能通知到全部同学：有一堆零件，其中仅有一个是次品，且次品比正品轻。若工人师傅只用天平称了2次就找出了这个次品，那么这堆零件最多有( )个。 【答案】 6 9 【思路引导】打电话：老师首先用1分钟时间通知一名同学，此时就有老师和同学共2人知道了通知的内容；第二分钟知道内容的老师和同学再分别通知一人就又通知到2人，此时知道内容的就有一名老师和3名同学共4人；第三分钟这4人再分别通知一人就通知到4人，此时知道内容的就有一名老师和7名同学共8人；第四分钟这8人再分别通知一人就通知到8人，此时知道内容的就有一名老师和15名同学共16人；依次类推，每次知道内容的人数都是前一分钟人数的2倍，而通知到的同学人数要减去1名老师，直到通知到全部人为止； 找次品：在处理寻找次品的问题时，采用三分法是最有效的策略。三分法指的是将待检物品分为三组，其中两组放置在天平的两端进行称量，根据天平的倾斜方向确定次品所在的组别，然后继续对含有次品的组别进行同样的操作，直至找到次品；一般知道次品轻重的情况下，2-3个物品，称1次；4-9个物品，称2次；10-27个物品，称3次；28-81个物品，称4次；即可找到次品。 【规范解答】第一分钟通知到1名学生；第二分钟前一分钟的2人通知到2名同学，此时共有1＋2＝3名同学知道通知内容；第三分钟前一分钟的4人通知到4名同学，此时共有3＋4＝7名同学知道通知内容；第四分钟前一分钟的8人通知到8名同学，此时共有7＋8＝15名同学知道通知内容；第五分钟前一分钟的16人通知到16名同学，此时共有15＋16＝31名同学知道通知内容；第六分钟通知9名同学，所以最少需要6分钟能通知到全部同学； 有一堆零件，其中仅有一个是次品，且次品比正品轻，若工人师傅只用天平称了2次就找出了这个次品，那么这堆零件最多有9个。 85．（24-25五年级下·山西晋中·期末）有11袋糖果，其中10袋质量相同，另有1袋质量重一些（次品），假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？请你在下面把找次品的过程清楚地表示出来。 【答案】至少称3次，能保证找出这袋糖果。 先把11袋糖果分成（4，4，3），先把两个4袋放在天平两端，若平衡，则次品在另外3袋里，把3袋分成（1，1，1），在天平两端各放1袋，若平衡，则次品就是剩下那1袋；若不平衡，重的那一袋就是次品，此时要称2次； 先把11袋糖果分成（4，4，3），把两个4袋分别放在天平两端，若不平衡，则次品在重的4袋里，再将4袋分成（2，2），在天平两端分别放2袋，找出重的2袋，再将这2袋分成（1，1），再称1次，重的那一袋就可以找出来，此时要称3次。所以至少称3次能保证找出这袋糖果。 【思路引导】将11袋糖果分组，利用天平称重，根据平衡情况逐步缩小次品范围，通过3次称重可保证找出次品。 86．（24-25五年级下·全国·单元复习）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【思路引导】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【规范解答】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 87．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【思路引导】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【规范解答】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【考点剖析】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 88．（23-24五年级下·山西晋中·期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 【答案】两次 【思路引导】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 【规范解答】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 答：至少称两次能找出次品。 89．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】4次，见详解 【思路引导】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【规范解答】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【考点剖析】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 90．吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。 (1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． (2)根据上面的信息，算式解决的问题是：________。 (3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。 (4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。 【答案】(1)B (2)糯米的质量是火腿粽质量的几分之几 (3)3 (4)见详解 【思路引导】（1）由题意可知，蜜枣有2×6＝12克，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”用蜜枣的质量除以糯米的质量即可； （2）由题意可知，100克是糯米的质量，（100＋50）克是火腿粽的质量，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，则解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几； （3）由题意可知，火腿粽的质量要大于枣子粽的质量，即枣子粽的质量较轻，把12个粽子平均分成三份（4，4，4），在天平两端各放1份，若平衡，枣子粽在剩下的那份中，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中；再将含有枣子粽的这一份分成2份（2，2），在天平两端各放1份，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中，再称一次即可，即至少称3次即可找到这个枣子粽； （4）根据排水法的方法，枣子粽的体积即是一个底面积等于容器底面积、高为放粽子前后容器内水位变化高度的长方体的体积。 【规范解答】（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”可列式为。 故答案为：B （2）根据上面的信息，算式解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几。 （3）由分析可知： 如果用天平称，至少称3次，能保证找到这个枣子粽。 （4）在玻璃容器中放入能淹没枣子粽的水，用尺子测量放枣子粽前后水面的高度h1、h2，再测量出正方体容器的棱长a，最后用a×a×（h2－h1）求出枣子粽的体积。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习真题专项考点练 专项复习一 挑战压轴题 【第1-8单元 共90题】 2026年6月 第一单元 观察物体（三） 2 第二单元 因数和倍数 4 第三单元 长方体和正方体 6 第四单元 分数的意义和性质 9 第五单元 图形的运动（三） 11 第六单元 分数的法和减法 14 课题学习 怎样通知最快：打电话问题 17 第七单元 折线统计图 19 第八单元 数学广角—找次品 24 第一单元 观察物体（三） 1．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是一句很有哲理的诗句，告诉我们要认识事物的真相与全貌就要从不同的角度看，不能单方面想问题。一个由若干个小正方体组成的立体图形，下面是从不同方向看到的图形，那么这个立体图形最少由（    ）个小正方体组成。 A．4 B．5 C．3 2．（24-25六年级下·湖南怀化·期末）一个立体图形从上面看是，从左面看是，从前面看是，这个立体图形是（    ）。 A． B． C． D． 3．小林用4个相同的小正方体摆成了一个几何组合体（正方体的面与面相邻），从正面看到的形状如图所示，再增加2块小正方体后，从正面看到的形状不变，一共有（    ）种不同的增加方法。 A．17 B．10 C．11 4．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）用相同的小正方体摆一个几何体，根据从前面、上面、左面观察的形状，确定这个几何体是由( )个小正方体摆成的。 5．（25-26五年级下·广东·期末）一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要_____个小方块，最多需要_____个小方块。 6．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）用同样大小的小正方体搭成一个立体图形（都是面与面的拼摆），从前面和左面看到的形状都是。摆这样的立体图形，至少需要( )个小正方体，最多需要( )个小正方体。 7．（23-24五年级下·河南信阳·期末）一个几何体，从正面看到的是，从左面看到的是。 （1）摆出这样的几何体最多要( )个小正方体，最少要( )个小正方体。 （2）如果这个几何体是由6个小正方体摆成的，在如图相应的方格内标出从上面看，这个位置上小正方体的个数。（请摆出两种情况） 8．已知一个几何体是由若干个形状和大小完全相同的小立方体组成的，分别从不同的角度所看到的形状如下图。请在草稿纸上画图并结合想象来分析该几何体由几个小立方块组成的？（直接回答结果即可）      9．如图中的网格是边长为1cm的小正方形。 （1）图2是由图1先向右平移（    ）格，再绕点A按（    ）时针方向旋转（    ）°得到的。 （2）在图1中标出点A。 （3）一个由小正方体搭成的几何体，如果从正面和上面看到的都是图1的形状，那么这个几何体的表面积最少是（    ）cm2。 10．用棱长是1cm的小正方体靠墙角摆成如图所示的几何体． （1）摆这个几何体一共用了多少个正方体？ （2）这个几何体露在外面的面积是多少平方厘米？ （3）从图中取走（    ）号小正方体后，从正面、上面、右面看到的形状都不变． 第二单元 因数和倍数 11．（24-25五年级下·广东广州·期末）根据“哥德巴赫猜想”：任意大于2的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下面四个算式中，符合这一猜想的是（    ）。 A．13＝2＋11 B．16＝7＋9 C．4＝1＋3 D．32＝13＋19 12．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）先用3、4、5三张数字卡片摆出所有的三位数，再把每一个三位数分别写在完全相同的纸条上放在纸箱里。从纸箱里任意抽取一张，下面说法正确的有（    ）。 ①抽出的数一定是3的倍数 ②抽出的数不可能是质数 ③抽出的数是2的倍数的可能性与是5的倍数的可能性相同 A．① B．①② C．①②③ D．都不正确 13．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（24-25五年级下·山西临汾·期末）数学的世界充满了奇妙和乐趣，每个数字成员都有各自的特征，今天，我们就根据数的特征来解决问题，一个三位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，这个三位数含有因数3。这个三位数最大是( )，最小是( )。 15．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）从0、5、6、7这四个数中选择不同的数字组数，满足下列题目要求。 (1)既是2的倍数，又是3的倍数的两位数有( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的三位数有( )。 16．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 17．（24-25五年级下·山西晋中·期末）某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 18．（24-25五年级下·云南昆明·期末）在数学上，我们把相差2的两个质数叫作“孪生质数”或“双生质数”如：29和31，41和43。 (1)判断下列几组数是否是孪生质数，如果是孪生质数，请在括号里打“√”。 4和6（    ）    13和17（    ）    59和61（    ）    87和89（    ） (2) 请写出20以内所有的孪生质数。 19．（25-26五年级上·江西南昌·期末）小红在分节能荧光棒的时候遇到这样的问题。 一共有100根节能荧光棒，小红自己留下10根，剩下的分给8个小朋友，每个小朋友可以分到几根？ 小红解答如下： 每个小朋友可分：100－10＝90（根） 90÷8＝11.25（根） 小红想：按这样计算，每个小朋友分到的不是整数，要把自己留下的节能荧光棒调成多少才能使每个小朋友分到的变成整数，又与原来的数量最接近呢？ 请你帮小红解决这个问题，写出思考过程。 20．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 第三单元 长方体和正方体 21．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）一个正方体的棱长总和是96cm，若在这个正方体表面涂满油漆，每平方厘米油漆成本是0.5元，那么需要（    ）元。 A．82 B．96 C．192 D．196 22．（24-25五年级下·浙江·期末）下图是一个长方体木料，把它挖掉一个棱长为1cm的正方体后，它的（    ）。 A．表面积变小，体积变大 B．表面积变大，体积不变 C．表面积变小，体积变小 D．表面积变大，体积变小 23．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在四张相同的正方形纸板的四个角上分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖的纸盒。下面四个选项中剪去的小正方形的边长依次为4、3、2、1，做出来的纸盒中，容积最大的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 24．（24-25五年级下·河北承德·期末）一个长方体，长是10分米，宽和高都是5分米。它的前面面积是( )平方厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 25．（24-25五年级下·河北承德·期末）王村修一条200米长的拦河坝（如下图，单位：米），拦河坝的横截面是一个梯形。修这个拦河坝一共需要( )立方米的土石。 26．（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 27．（24-25六年级下·广东韶关·期末）是一个正方体展开图。在这个正方体上，数字3的对面是数字4。( )（判断对错） 28．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。 (1)请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ (2)如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 29．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 30．（24-25五年级下·北京海淀·期末）学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，数学小组的同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下面的示意图。 （1） （2）注满这个游泳池，需要多少立方米的水？ （3）请你换个新角度想一想，如何用其他方法求出注满这个游泳池需要多少立方米的水。尝试写出你解决问题的思路，如果有需要，可以在下面的示意图上标一标、画一画。 第四单元 分数的意义和性质 31．（24-25五年级下·山西临汾·期末）下面各数中，可以转化为9个的分数是（    ）。 A． B． C． D． 32．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）淘气、笑笑和乐乐三人进行乐高拼搭比赛，淘气用了16分钟，笑笑用了0.2小时，乐乐用了小时，（    ）拼得最快。 A．淘气 B．笑笑 C．乐乐 D．无法比较 33．（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 34．（24-25五年级下·河北承德·期末）的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位后是最小的质数。 35．（24-25五年级下·贵州黔东南·期末）在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( )0.75 36．（2024·重庆丰都·小升初真题）甲、乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米，现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行了4小时才到达起点。甲绕城一圈需要( )小时。 37．（24-25五年级下·广东汕头·期末）先通分，再比较大小。 （1）和             （2）、和 38．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）在美术手工课上，朵朵8分钟折了6只纸花，阳阳10分钟折了8只纸花，乐乐12分钟折了10只纸花，谁折得最快？ 39．（24-25五年级下·山西临汾·期末）阅读点亮未来，城市的街灯再亮，都不如图书馆的灯光温暖。王老师每个星期（7天）去图书馆一次，刘老师每2天去图书馆一次，如果7月12日两人同时去图书馆，下次两人同时去图书馆的日期是哪一天？ 40． （23-24五年级下·重庆綦江·期末）一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的2倍，第三次溢出的水量是第一次的3倍。中球体积是大球体积的几分之几？ 41． 第五单元 图形的运动（三） 41．（24-25五年级下·河北张家口·期末）如图，图形甲怎样运动得到图形乙？（    ） A．先绕点A顺时针旋转90°，然后向下平移5格，再向右平移3格 B．先绕点A逆时针旋转90°，然后向下平移5格，再向右平移3格 C．先绕点A逆时针旋转90°，然后向下平移3格，再向右平移5格 42．（25-26五年级上·重庆梁平·期末）一幅由四张卡片组成的笑脸拼图，其中一张卡片在拼图右上方，这张卡片可以通过哪些运动方式还原到原来的位置上？下面是四位同学的拼图方案，（    ）项方案拼不出笑脸。 A．先向下平移1格，再向左平移1格，最后绕点逆时针旋转。 B．先绕点逆时针旋转，再向左平移1格，再向下平移1格。 C．先向左平移2格，再绕点逆时针旋转。 D．先向左平移2格，再向下平移1格。 43．（24-25五年级上·重庆云阳·期末）如图是一个万花筒的图案，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，图中所有的小三角形均是一样的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成把四边形ABCD以A为中心（    ）。 A．顺时针旋转60°得到的 B．逆时针旋转60°得到的 C．顺时针旋转120°得到的 D．逆时针旋转120°得到的 44．（24-25五年级下·广东汕头·期末）钟面指针的转动是( )现象，从4时10分到4时35分，这段时间里，钟表的分针旋转了( )度。 45．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）张典用两块直角三角形拼板和一块正方形拼板拼成了一个大直角三角形（如图）。①号直角三角形拼板的斜边长为5cm，②号直角三角形拼板的斜边长为8cm。两块直角三角形拼板面积的和是_______cm2。 46．（24-25五年级下·湖南永州·期末）画一画，填一填。 (1)在图1的方格纸上画出小旗子绕点A逆时针旋转90°后的图形。 (2)填一填，图2中有一个三角形和一个梯形，将三角形绕点B按( )时针方向旋转( )°后，就能和梯形拼成一个大三角形。 47．（24-25五年级上·浙江绍兴·期末）已知梯形ABCD，DC∥AB，E是AD的中点，F是BC的中点。聪聪测量了EF、DC与AB的长度，得出“”这样的结论。明明说，根本不用测量，肯定是这样的。你能研究并解释其中的道理吗？ 48．（22-23五年级下·广东东莞·期末）图形的运动。 （1）画出图①绕点P逆时针方向旋转90°后的图形。 （2）图②绕点________ ______时针方向旋转______°后可以和图③拼成一个平行四边形。 、 49．跃龙门。 如图，白色部分DEFB是一个正方形，AE长4厘米，EC长8厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 提示：怎样把两个阴影部分拼到一起呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。这样两个阴影部分就拼到一起了。 （2）因为（    ），所以组合后的阴影部分是一个（    ）三角形。 （3）旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 50．（24-25五年级上·重庆梁平·期末）在下面的方格图中，把三角形绕点沿逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答下面的问题。（一定要先画哟，还要涂阴影和标字母、）（、两点的对应点分别为、） （1）不用三角板，你能找到点的对应点吗？把你找的办法写在下面。 （2）可以用、也可以不用三角板，你是怎样找到点的对应点的？把你找的办法写在下面。（从用三角板和不用三角板中，选一种回答就行了） 第六单元 分数的法和减法 51．（24-25五年级下·贵州黔东南·期末）一根绳子，第一次截去全长的，第二次截去全长的，还剩全长的（    ）。 A． B． C． 52．（24-25五年级下·贵州黔东南·期末）一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了，乐乐一共喝了（    ）杯纯牛奶。 A． B． C．1 53．（23-24五年级下·湖南岳阳·期末）一杯奶茶，小红喝了杯后，觉得有点甜，就兑满了白开水，她又喝了半杯，就出去玩了，小红一共喝了（    ）杯纯奶茶。 A． B． C． 54．（24-25五年级下·山西临汾·期末）等于多少？一位学生认为，表示5份中的3份，表示7份中的4份，所以加起来是12份中的7份，结果是。你认为( )（填“对”或“不对”），原因是( )。 55．（24-25五年级下·山东临沂·期末）一堆煤有12t，用去了总数的，还剩下这堆煤的；如果用去了t，还剩下（    ）吨；如果用去了4t，用去了这堆煤的。 56．先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（    ）（请写出计算过程） 57．脱式计算。（能简算的要简算）                   58．（24-25五年级下·山西临汾·期末）读万卷书，共建书香侯马；行万里路，共创三晋明珠。2025年4月12日，侯马市第13届“青铜杯”徒步马拉松点燃运动激情。小明先用20分钟，走了全程的，又用小时，走了全程的一半。 (1)已经走了多少小时？ (2)还剩下全程的几分之几没有走？ 59．一杯奶茶，欢欢喝了半杯后，感觉不太甜，就兑满了糖水，又喝了杯，就去写作业了，他一共喝了多少杯奶茶？多少杯糖水？ 回忆：本学期学习“喝牛奶问题”时，我们采用什么方法解决的？今天我们用画图方法尝试解决吧！    第一次喝了（    ）杯奶茶，剩下（    ）杯奶茶。加满糖水后，糖水是（    ）杯，奶茶是原来剩下的（    ）杯。又喝了杯，也就是把杯奶茶再平均分成3份，其中的一份是整杯奶茶的（    ）。同样的道理，一份糖水是整杯奶茶的（    ）。 请算出欢欢一共喝多少杯奶茶？多少杯糖水？ 60．数学课上同学们复习分数加减法运算的内容。 明明：分母不相同的分数也就是分数单位不同，需要先通分，通分就是为了统一分数单位，分数单位相同了，就可以相加了。 亮亮：由分数的加法我想到了整数和小数的加法，我觉得分数、小数和整数的加法运算的道理是一样的。 芳芳：我同意亮亮的说法，我可以举例说明： 50＋30＝80，50表示5个十，30表示3个十，5个十加上3个十是8个十，也就是80； 0.5＋0.3＝0.8，0.5表示5个0.1，0.3表示3个0.1，5个0.1加上3个0.1是8个0.1，也就是0.8； ，表示5个，表示3个，5个加上3个就是8个，也就是。 丽丽：既然分数、小数和整数的加法运算的道理是一样的，我觉得分数、小数和整数的减法运算的道理也是一样的。 ①你同意明明的观点吗？请你结合的计算过程说明你的理由。 ②你同意丽丽的观点吗？你可以像芳芳一样说明理由，也可以用自己的方式来说明。 课题学习 怎样通知最快：打电话问题 61．（24-25五年级下·山西晋中·期末）活动课上，同学们玩一对一传悄悄话游戏。每次一对一传话需要1秒钟，不限制传话次数，问从第一个同学开始，5秒钟内最多有（    ）位同学知道悄悄话内容。 A．32 B．25 C．15 62．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）有20名同学准备到郊外参加研学活动，但因为天气变化需要延期，现在老师要尽快通知到每一名学生，如果采用打电话的方式通知，每分钟可以通知一人，最短需要（    ）分钟就可以通知到每一名学生。 A．2 B．3 C．4 D．5 63．（23-24五年级下·湖南湘西·期末）王阿姨邀请她的21个朋友来家里玩。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后马上通知别人，最少需要（    ）分钟能通知到每个人。 A．3 B．4 C．5 D．6 64．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）王阿姨邀请她的23个朋友来家里玩，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后马上通知别人，最少需要______分钟能通知到每个人。 65．（24-25五年级下·内蒙古通辽·期末）学校在暑期要组织参加数学知识竞赛，数学学科主任需要通知25个班级的班主任。通知一个人需要1分钟，接到通知的人会立刻去通知下一个还没接到通知的人。这样算下来，最快__分钟就能把所有班主任都通知到。 66．（24-25五年级下·河南安阳·期末）星期天上午，五年级王老师用打电话方式通知15名同学参加“红旗渠精神宣讲”活动，每分钟通知1人，最少需要( )分钟就能通知完所有同学。 67．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 68．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）李叔叔是做工程的，最近接到一个装修的工程，装饰一个长50米，宽40米，高5米的长方体大仓库的墙壁和地面。业主要求李叔叔在三周之内完成，于是李叔叔就立马行动起来。 （1）首先，通知工人集合。因为工期短，李叔叔计划安排23位工人来做。如果李叔叔打1个电话1分钟，要全部通知到位，至少需要（    ）分钟。 （2）现在要粉刷仓库的墙壁和天花板，需要预算涂料数量，已知每桶涂料可以刷130平方米，除去门窗的面积300平方米，应该购买多少桶涂料？ （3）铺地砖时，需要给地面铺上一层厚10厘米的沙子，需要准备沙子多少立方米？ （4）施工时需要用到水，因为施工场地没有盛水的容器，李叔叔准备利用现有的材料（甲、乙两块铁皮）自己制作。两块铁皮尺寸不同，如图，他想将每块铁皮分别沿虚线弯折后焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余）。请你帮忙算一算，哪个铁盒装水更多一些？ （5）此工程队第一周、第二周共完成了总工程的，第一周、第三周共完成了总工程的。工程队第一周共完成了总工程的几分之几？ 69．某医院的一个医疗救护队共有7人，新冠疫情期间有一个紧急救援任务，值班领导需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花几分钟就能通知到每个人？请你画图表示打电话的方案。 70．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 第七单元 折线统计图 71．（24-25五年级下·河北保定·期末）下面说法中，正确的有（    ）句。 ①折线统计图既能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况。 ②质数一定是奇数，偶数一定是合数。 ③一个正方体的棱长为6cm，它的表面积和体积相等。 ④平移或旋转改变的是图形的位置，不改变图形的大小和形状。 A．1 B．2 C．3 D．4 72．（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）下面说法中，正确的是（    ）。 A．要描述新华书店科普读物的销售变化情况，应选择条形统计图。 B．在整数除法中 ，则的最大公因数是3。 C．在中，不能化成有限小数的分数只有1个。 D．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的9倍。 73．（24-25六年级下·四川巴中·期末）兔子和乌龟赛跑。发令枪响后，兔子带头冲出，飞奔了一阵子，发现自己遥遥领先，就在树下睡着了，而笨手笨脚的乌龟则超越了它。兔子一觉醒来，发现乌龟跑到前面了，拼命追赶，但最后还是输了比赛。下面图（    ）比较符合龟兔赛跑的故事情节。 A． B． C． D． 74．（23-24五年级下·重庆合川·期末）有一个长方体容器（如图①），现以每分钟25升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两部分。B部分的底部有一个洞，水按每分钟10升的速度往下漏。图②表示从注水开始A部分水的高度变化情况。 (1)注水36分钟共漏出水( )升。 (2)如果B部分的洞不漏水，那么只要( )分钟就能使容器A部分的水位达到5分米。 75．如下图，图1中一张长方形纸条准备从正方形的左边水平匀速运行到右边，每秒运行2厘米。图2是长方形运行过程中与正方形重叠面积的部分关系图。 （1）从图2看，前( )秒钟重叠部分面积在增加，( )秒钟后重叠部分面积在减少。 （2）运行4秒后重叠部分的面积是( )平方厘米，这个正方形的边长是( )厘米。 76．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）下图是东城2024年的月平均气温变化情况统计图，看图回答问题。 (1)这一年中，东城( )月的平均气温最低，( )月的平均气温最高。 (2)( )月—( )月间的平均气温上升的最快；( )—( )月间的平均气温下降的最慢。 (3)8月份的平均气温比4月份的高( )摄氏度，全年平均气温是( )摄氏度。 (4)通过这个折线统计图，琪琪认为东城最低气温是6℃，你认为对吗？为什么？ 77．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）下图是一年级到六年级近视人数和未近视人数变化情况： (1)近视人数和未近视人数相差最多的是( )年级，( )年级开始近视人数超过了未近视人数。 (2)二年级时近视人数占全班人数的( )，五年级时近视人数占六年级时近视人数的( )。 (3)看了上面的图表，你想给同学们提点什么建议？请写出来。 78．（24-25五年级下·广东广州·期末）人工智能赋能课堂教学是当前教育界的热点话题。某地区近五年在该方面的教学案例和研究论文，发表篇数如下图所示。 某地区近五年在人工智能赋能课堂教学方面的文献数量情况统计图 (1)该地区2024年发表的研究论文有50篇。请完成上面的统计图（要标出数据）。 (2)教学案例发表的篇数是从( )年开始超过研究论文发表的篇数。 (3)近五年平均每年发表教学案例( )篇。 (4)总体上看，研究论文和教学案例发表的篇数差距在逐渐( )（填“增大”或“缩小”）。 79．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）下面是甲、乙两种粽子在近几年端午节销售情况。 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 甲 300万元 400万元 350万元 290万元 250万元 乙 200万元 300万元 350万元 500万元 600万元 (1)要想清楚地看出两种粽子在近几年端午节销售额的变化趋势，应绘制( )统计图。 (2)根据上面信息完成统计图。 (3)两种粽子，( )年端午节期间销售额差距最大，( )年端午节期间销售额一样大。 (4)这两种粽子中，( )需要尽快做出调整，才能适应消费者的需求。 (5)从统计图中还知道哪些信息？（至少2条） 80．（25-26五年级下·广东广州·期末）快递公司的智能机器人需要识别不同方向观察到的货物形状。现在用6个1立方米箱子摆成如图所示的形状。 (1)请你在方格纸中画出从前面和左面看到的图形（单位：平方米）。 (2)从上面、前面和左面看，所看到的图形面积之和是( )平方米。 (3)一台智能搬运机器人记录了最近5天的搬运情况，每天工作10小时，具体数据如下表，请根据表格数据绘制下面的折线统计图： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 搬运货物数量（件） 450 500 450 500 550 第八单元 数学广角—找次品 81．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）元宵节，又称“上元节”“灯节”等，是我国传统节日之一。元宵前夕，妈妈和小明共包了18个汤圆，其中一个是小明学着包的，质量轻一些，妈妈包的每个汤圆一样重。如果用天平称，至少要称（    ）次才能把小明包的汤圆找出来。 A．3 B．4 C．5 D．6 82．（24-25五年级下·浙江·期末）若将1颗偏轻的珍珠次品误投至30颗大小重量相同的珍珠里，用天平称，最少称（    ）次就能保证将这颗次品找出来。 A．3 B．4 C．5 D．6 83．（24-25五年级下·山东济宁·期末）有15袋糖果，其中14袋同样重，有一袋少了2颗，质量稍轻，如果用无砝码的天平称，至少称( )次才能保证找出这袋稍轻的糖果。 84．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）三（1）班春游，全班共40名同学。出发前得知当天下雨，活动取消，老师需尽快通知所有人。每分钟可通知1名同学，收到消息的同学会立即帮忙通知他人，最少需要( )分钟能通知到全部同学：有一堆零件，其中仅有一个是次品，且次品比正品轻。若工人师傅只用天平称了2次就找出了这个次品，那么这堆零件最多有( )个。 85．（24-25五年级下·山西晋中·期末）有11袋糖果，其中10袋质量相同，另有1袋质量重一些（次品），假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？请你在下面把找次品的过程清楚地表示出来。 86．（24-25五年级下·全国·单元复习）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 87．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 88．（23-24五年级下·山西晋中·期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 89．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 90．吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。 (1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． (2)根据上面的信息，算式解决的问题是：________。 (3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。 (4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $