【专项复习二 高频常考易错题】（40个重点难点考点真题讲练 共81题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习培优必刷练

**基本信息** 2025-2026学年人教版五年级下册数学期末复习真题专项练，聚焦40个高频易错考点，精选81道各地期末真题，强化重点难点讲练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|81题|因数倍数、立体图形表面积与体积、分数运算、图形运动、折线统计图等核心模块|结合唐崖土司城址、抗战阅兵等真实情境，设计立体图形切拼（如考点11）、分数应用（如考点22）等综合题，适配期末复习易错点突破|

2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习真题专项考点练 专项复习二 高频常考易错题 【40个重点难点考点讲练 共81题】 2026年6月 考点讲练01 通过三视图会摆放和还原立体图 3 考点讲练02 根据因数的特征解决问题 3 考点讲练03 根据倍数的特征解决问题 4 考点讲练04 倍数和因数的综合应用 4 考点讲练05 2、3、5的倍数特征综合 5 考点讲练06 质数与合数的认识 5 考点讲练07 质数与合数的综合应用 5 考点讲练08 运算性质（奇数和偶数) 5 考点讲练09 长方体表面积的计算与应用 6 考点讲练10 正方体表面积的计算与应用 6 考点讲练11 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 6 考点讲练12 组合体的表面积（长方体、正方体) 7 考点讲练13 表面涂色的正方体 8 考点讲练14 长方体的体积的计算与应用 8 考点讲练15 正方体的体积的计算与应用 9 考点讲练16 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 10 考点讲练17 体积的等积变形（长方体、正方体) 10 考点讲练18 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 11 考点讲练19 组合体的体积（长方体、正方体) 11 考点讲练20 体积与容积单位间的进率及换算 12 考点讲练21 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 12 考点讲练22 分数与除法的关系与应用 13 考点讲练23 假分数与带分数或整数的互化 14 考点讲练24 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 14 考点讲练25 分数的基本性质及应用 14 考点讲练26 分解质因数 14 考点讲练27 用最大公因数解决实际问题 15 考点讲练28 最简分数与约分的认识及应用 15 考点讲练29 用最小公倍数解决实际问题 15 考点讲练30 通分的认识及应用 16 考点讲练31 异分母异分子分数的大小比较 16 考点讲练32 分数和小数的互化 16 考点讲练33 图形的运动 16 考点讲练34 同分母分数加、减法计算与应用 17 考点讲练35 异分母分数加、减法计算与应用 18 考点讲练36 分数的加、减法混合运算计算与应用 18 考点讲练37 分数加、减简便运算 19 考点讲练38 打电话问题 19 考点讲练39 单式与复式折线统计图 19 考点讲练40 数学广角—找次品 20 考点讲练01 通过三视图会摆放和还原立体图 1．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是一句很有哲理的诗句，告诉我们要认识事物的真相与全貌就要从不同的角度看，不能单方面想问题。一个由若干个小正方体组成的立体图形，下面是从不同方向看到的图形，那么这个立体图形最少由（    ）个小正方体组成。 A．4 B．5 C．3 2．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）用相同的小正方体摆一个几何体，根据从前面、上面、左面观察的形状，确定这个几何体是由( )个小正方体摆成的。 考点讲练02 根据因数的特征解决问题 3．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）明明用小正方体摆几何体，从上面看是下图的形状，数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。观察这个几何体，从正面看到的是( )，从左面看到的是( )。 4．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 考点讲练03 根据倍数的特征解决问题 5．（25-26五年级上·河南商丘·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 6．（23-24五年级下·河北唐山·期中）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 考点讲练04 倍数和因数的综合应用 7．小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 8．（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 考点讲练05 2、3、5的倍数特征综合 9．（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 10．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）从0、5、6、7这四个数中选择不同的数字组数，满足下列题目要求。 (1)既是2的倍数，又是3的倍数的两位数有( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的三位数有( )。 考点讲练06 质数与合数的认识 11．（24-25五年级下·重庆武隆·期末）一个五位数，x表示一个不为0的自然数。它与0组成的下面四个数中，一定既是3的倍数又是5的倍数的是（    ）。 A．xxxx0 B．x0xx0 C．xx00x D．x0x0x 12．（24-25五年级下·山西临汾·期末）数学的世界充满了奇妙和乐趣，每个数字成员都有各自的特征，今天，我们就根据数的特征来解决问题，一个三位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，这个三位数含有因数3。这个三位数最大是( )，最小是( )。 考点讲练07 质数与合数的综合应用 13．（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末）如果用自然数m表示一个偶数，那么2m＋1一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 14．（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 考点讲练08 运算性质（奇数和偶数) 15．（2024·福建莆田·小升初真题）如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 16．（24-25五年级下·山西晋中·期末）某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 考点讲练09 长方体表面积的计算与应用 17．（24-25五年级下·广东广州·期末）已知a和b均为质数，且5a＋7b＝45。云云说5a和7b中一定有一个数是偶数。 (1)云云说的对吗？请说明理由。 (2)a和b分别是多少？写出思考过程。 18．（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，把一个长方体分别按如下三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了、、，那么这个长方体原来的表面积是（    ）。 A．68 B．136 C．204 考点讲练10 正方体表面积的计算与应用 19．（25-26五年级下·广东·期末）将下面两盒糖果包装成一包，怎样才能最节省包装纸？这时需要包装纸的面积是多少平方厘米？（接口处不计）（    ） A．650平方厘米 B．1300平方厘米 C．1280平方厘米 20．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）用一根长的铁丝既可以制作成一个长、宽、高( )的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )的正方体框架。若给这个正方体框架的每个面都贴上彩纸，至少需要( )的彩纸。 考点讲练11 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 21．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 22．（24-25五年级下·山西运城·期末）淘气在桌面上摆棱长为2cm的小正方体，摆1个正方体露在外面的面有5个（如图），照这样摆下去，摆4个小正方体时露在外面的面是( )个；摆n个小正方体时露在外面的面是( )个；摆n个小正方体时露在外面的面积是( )。 考点讲练12 组合体的表面积（长方体、正方体) 23．（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 24．（24-25五年级下·重庆綦江·期末）如图，5个棱长为5dm的正方体纸箱叠放在墙角，这5个纸箱占地( )，露在外面的面积是( )。 考点讲练13 表面涂色的正方体 25．（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）下图是由8个棱长为1cm的小正方体搭成。明明想把露出的面涂上颜色（包括底面）。那么这个几何体中涂色部分的面积是( )cm2。 26．（25-26五年级下·广东广州·期末）下面的大正方体都是由27个同样的小正方体搭成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），表面积不会发生变化的是（    ）。 A． B． C． D． 考点讲练14 长方体的体积的计算与应用 27．（24-25五年级下·重庆奉节·期末）同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。 ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共（    ）块。 ②两面涂色的小正方体共（    ）块。 ③一面涂色的小正方体共（    ）块。 ④没有涂色的小正方体共（    ）块。 检验：总块数＝（    ），各类块数之和（    ）。 28．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）一个水池长7米、宽4米、高29分米，池里所储的水是56立方米，这个水池的占地面积是( )平方米，水面距离池口还有( )米。 考点讲练15 正方体的体积的计算与应用 29．（24-25五年级下·河北张家口·期末）某学校给同学们订购了不同玩法的孔明锁，每个孔明锁都放在一个棱长为8厘米的正方体的纸盒子里，学校还给每个班配置了专用存储盒子，从里面测量，得到长、宽、高分别是32厘米、24厘米、26厘米，这个存储盒子里面最多能存放多少个孔明锁？ 30．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）仔细观察下图，认真思考后填空。 (1)图( )和图( )从正面看到的形状相同，图( )和图( )从正面看到的形状也相同。 (2)图( )和图( )从上面看到的形状相同，如果每个小正方体的棱长为，这两个图形的体积之和为( )。 考点讲练16 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 31．（24-25五年级下·河南三门峡·期末）一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是8分米、6分米、4分米。 (1)这个正方体的棱长是多少分米？ (2)这个长方体和正方体的体积分别是多少立方分米？ 32．（24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 考点讲练17 体积的等积变形（长方体、正方体) 33．（24-25五年级下·河南南阳·期末）一块横截面是边长20cm的正方形，长是50cm的长方体木料，它的体积是( )dm3。李叔叔从这块木料上截下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的体积是( )dm3。 34．（24-25五年级下·重庆铜梁·期末）把一个棱长为5分米的正方体铁块，熔铸成一个长10分米，宽20厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是( )。 考点讲练18 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 35．（24-25五年级下·广东云浮·期末）将一个棱长为5分米的正方体容器盛满水，然后将该正方体容器中的水倒入一个长10分米、宽5分米、高6分米的长方体容器中（水未溢出），请问长方体容器中水的高度是多少分米？ 36．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）将4个棱长2厘米的小正方体拼成长方体，拼成后长方体的体积是( )立方厘米，表面积减少了( )平方厘米。 考点讲练19 组合体的体积（长方体、正方体) 37．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 38．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 考点讲练20 体积与容积单位间的进率及换算 39．（24-25五年级下·吉林通化·期末）从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示（单位：厘米）。算一算，这个空心零件的体积是多少立方厘米。 40．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）一张长方形铁皮（如图），长40厘米，宽20厘米，从四个角分别剪去边长是5厘米的小正方形，然后把四周折起来，做成一个无盖的铁皮容器。这个容器的容积是多少升？ 考点讲练21 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 41．（24-25五年级下·吉林长春·期末）一个长方体容器内壁的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米。 (1)这个长方体容器的容积是多少立方厘米？ (2)在容器内放入一个土豆，再加满水且完全浸没土豆，土豆拿出后水面下降了2厘米（水没有溢出），土豆的体积大约是多少？ 42．（25-26五年级下·河北保定·期末）为了比较土豆和红薯的体积，小梦做了如下实验。（单位：厘米） (1)土豆的体积和红薯的体积哪个大一些？请说明理由。 (2)土豆的体积是多少？ 考点讲练22 分数与除法的关系与应用 43．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）母亲节到了，李涵妈妈买了一个90克的实心纯银手镯送给李涵奶奶作为节日礼物。李涵前两天正好阅读了阿基米德测皇冠体积的故事，也想用这个方法测试一下这个银手镯的体积。他准备好实验器材，实验步骤如下： 第一步；准备一个棱长是4厘米的正方体容器。 第二步：往容器里倒入水，高度为3厘米。 第三步：把这个银手镯完全浸没在水中。 这时容器里的水面正好到容器口，且没有溢出，那么你认为这个银手镯的体积是多少立方厘米？ 44．（25-26五年级下·河北保定·期末）如果用下图中的长方形表示3kg，请在图中表示出。 考点讲练23 假分数与带分数或整数的互化 45．（24-25五年级下·广东韶关·期末）2025年8月1日是中国人民解放军建军98周年，为了庆祝建军98周年，可可同学准备用20米长的彩绳编织中国结，平均每个中国结用彩绳米。可可同学可以编织多少个中国结？她计划将这些中国结的送给解放军叔叔，送给解放军叔叔的中国结有多少个？ 46．（24-25五年级下·山西临汾·期末）分数的来源可以追溯到古代文明，主要用于解决分配、测量等实际问题中无法用整数表示的情况。分数单位是的最小假分数是( )，最大真分数是( )，把这个真分数再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 考点讲练24 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 47．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）把下面的假分数化成带分数或整数。              48．a是一个整数，是假分数，也是假分数，那么a的取值有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 考点讲练25 分数的基本性质及应用 49．a＝( )时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是( )（填出所有可能）。 50．（24-25五年级下·重庆铜梁·期末）的分子加上14，要使分数的大小不变，分母应加上（    ）。 A．24 B．7 C．14 考点讲练26 分解质因数 51．填一填。（每题中前后两组中间填的分数不相同）           52．（24-25五年级下·山东泰安·期末）已知X＝2×2×5×5，Y＝2×3×5×7，那么X和Y两个数的最大公因数是( )。 考点讲练27 用最大公因数解决实际问题 53．（24-25五年级下·四川资阳·期末）某科技公司实验员将24个元件和36根导线平均装进一些工具包，要求每个工具包内的元件数量相同、导线数量也相同，且工具包的数量要最多，最多能装几个工具包？每包放几个元件和几根导线？ 54．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。王老师一共拿来了36件上衣和48条长裤。如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤且全部分完，最多可以有多少名学生同时参赛？ 考点讲练28 最简分数与约分的认识及应用 55．（24-25五年级下·江西赣州·期末）两根绳子，一根长80分米，另一根长96分米，要把这两根绳子剪成同样长的小段，每段最长是多少分米？一共可以剪多少段？ 56．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）将2、4、5、10这4个数，每次取出两个分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成( )个不相等的真分数。 考点讲练29 用最小公倍数解决实际问题 57．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）一盒巧克力共有20块，若将这盒巧克力平均分给5位小朋友，每位小朋友分得这盒巧克力的( )，若小军分到16块巧克力，他分到了这盒巧克力的( )。（填分数） 58．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）六年一班同学在劳动课上分组打扫卫生，如果按4人一组分，多2人；如果按6人一组分，也多2人。已知六一班人数在30—50人之间，问六一班有多少人？ 考点讲练30 通分的认识及应用 59．（24-25五年级下·重庆武隆·期末）为了弘扬中华传统文化，少年宫开设了古诗词鉴赏班。王红每隔3天上一次唐诗鉴赏班，张亮每隔5天上一次宋词鉴赏班。2025年4月1日是两人同一天学习古诗词的日子，4月里他们共有( )次同一天学习古诗词。 60．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）先通分再比大小。 和        和        和       和 考点讲练31 异分母异分子分数的大小比较 61．（25-26五年级下·河北保定·期末）比较下面每组两个分数的大小。 和    和    和 62．（24-25五年级下·广东汕头·期末）甲5分钟做6个零件，乙8分钟做9个零件，甲乙两人的工效相比较，（    ）。 A．甲快 B．乙快 C．甲、乙一样快 考点讲练32 分数和小数的互化 63．（24-25五年级下·西藏昌都·期末）已知 ，那么m和n的大小关系是（    ）。 A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定大小 64．（24-25五年级下·山西运城·期末）小东、小明和小华参加百米赛跑，小东用了0.24分，小明用了分，小华用了分，( )跑得最快。 考点讲练33 图形的运动 65．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．分数越大，它的分数单位就越大。 B．一个自然数，不是奇数就是偶数。 C．、、、这几个分数都不能化成有限小数。 D．如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的体积就扩大到原来的9倍。 66．（25-26五年级下·河北保定·期末）操作题。 (1)把①绕A点逆时针旋转90度变为图⑤。 (2)把图⑤向下平移2个格，再向左平移3个格，变为图⑥。 (3)把②③④分别添上一个小正方形，使它变成一个轴对称图形。 考点讲练34 同分母分数加、减法计算与应用 67．（24-25五年级上·重庆梁平·期末）在下面的方格图中，把三角形绕点沿逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答下面的问题。（一定要先画哟，还要涂阴影和标字母、）（、两点的对应点分别为、） （1）不用三角板，你能找到点的对应点吗？把你找的办法写在下面。 （2）可以用、也可以不用三角板，你是怎样找到点的对应点的？把你找的办法写在下面。（从用三角板和不用三角板中，选一种回答就行了） 68．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）淘气分两次喝完一瓶饮料，第一次喝了，第二次喝了L，两次相比，（    ）。 A．第一次喝得多 B．第二次喝得多 C．两次喝得一样多 考点讲练35 异分母分数加、减法计算与应用 69．（24-25五年级下·浙江·期末）五（1）班的图书角有故事书、科技书和工具书三类书籍。科技书和工具书的本数占总本数的，故事书和科技书的本数占总本数的。工具书占总本数的几分之几？ 70．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）解方程。      考点讲练36 分数的加、减法混合运算计算与应用 71．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）一节实验课共90分钟，老师示范实验用了小时，学生做实验用了时，剩下的时间用来完成实验记录，完成实验记录一共用了多少小时？ 72．（24-25五年级下·浙江湖州·期末）选择合理的方法计算。                                                                   考点讲练37 分数加、减简便运算 73．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）希望小学大课间组织了跑步、踢足球、打乒乓球三项活动。五（1）班全体同学每人参加一项活动。参加跑步和踢足球的人数共占全班人数的，参加踢足球和打乒乓球的人数共占全班人数的，参加这三项活动的人数各占全班人数的几分之几？ 74．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）脱式计算（能简便计算的简便计算）。       考点讲练38 打电话问题 75．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）        （2） （3）     （4） 76．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）老师有事要通知10名学生，如果每分钟打电话通知1人，师生合作，最快要4分钟可通知完。( )（判断对错） 考点讲练39 单式与复式折线统计图 77．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）青青和她的4个好朋友，每两人之间通一次电话，共通话( )次。如果每两人之间互送一件新年的礼物，共需要送( )件新年礼物。 78．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）下面说法正确的是（    ）。 ①复式折线统计图是使用两条不同的折线表示数据的变化趋势。 ②棱长是6cm的正方体的表面积和体积一样大。 ③所有的奇数都是质数。 ④8分米是米，写成小数是0.8米。 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 考点讲练40 数学广角—找次品 79．（24-25五年级下·重庆铜梁·期末）乐乐从家出发骑车去5千米外的图书馆。下面的折线统计图反映了他离开家到他回家的过程中他与家的距离随时间变化的情况。 (1)乐乐在路上停留了( )分钟，在图书馆停留了( )分钟。 (2)乐乐从家到图书馆的平均速度是( )千米/分。（停留时间不计算在内） (3)乐乐从图书馆返回自己家中的平均速度是( )千米/分。 80．（24-25五年级下·浙江·期末）若将1颗偏轻的珍珠次品误投至30颗大小重量相同的珍珠里，用天平称，最少称（    ）次就能保证将这颗次品找出来。 A．3 B．4 C．5 D．6 81．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）三（1）班春游，全班共40名同学。出发前得知当天下雨，活动取消，老师需尽快通知所有人。每分钟可通知1名同学，收到消息的同学会立即帮忙通知他人，最少需要( )分钟能通知到全部同学：有一堆零件，其中仅有一个是次品，且次品比正品轻。若工人师傅只用天平称了2次就找出了这个次品，那么这堆零件最多有( )个。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学五年级下册期末复习真题专项考点练 专项复习二 高频常考易错题 【40个重点难点考点讲练 共81题】 2026年6月 考点讲练01 通过三视图会摆放和还原立体图 3 考点讲练02 根据因数的特征解决问题 4 考点讲练03 根据倍数的特征解决问题 5 考点讲练04 倍数和因数的综合应用 6 考点讲练05 2、3、5的倍数特征综合 8 考点讲练06 质数与合数的认识 9 考点讲练07 质数与合数的综合应用 10 考点讲练08 运算性质（奇数和偶数) 11 考点讲练09 长方体表面积的计算与应用 12 考点讲练10 正方体表面积的计算与应用 14 考点讲练11 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 15 考点讲练12 组合体的表面积（长方体、正方体) 16 考点讲练13 表面涂色的正方体 18 考点讲练14 长方体的体积的计算与应用 19 考点讲练15 正方体的体积的计算与应用 21 考点讲练16 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 23 考点讲练17 体积的等积变形（长方体、正方体) 25 考点讲练18 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 26 考点讲练19 组合体的体积（长方体、正方体) 27 考点讲练20 体积与容积单位间的进率及换算 28 考点讲练21 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 29 考点讲练22 分数与除法的关系与应用 30 考点讲练23 假分数与带分数或整数的互化 31 考点讲练24 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 32 考点讲练25 分数的基本性质及应用 33 考点讲练26 分解质因数 34 考点讲练27 用最大公因数解决实际问题 35 考点讲练28 最简分数与约分的认识及应用 35 考点讲练29 用最小公倍数解决实际问题 36 考点讲练30 通分的认识及应用 37 考点讲练31 异分母异分子分数的大小比较 39 考点讲练32 分数和小数的互化 40 考点讲练33 图形的运动 41 考点讲练34 同分母分数加、减法计算与应用 43 考点讲练35 异分母分数加、减法计算与应用 44 考点讲练36 分数的加、减法混合运算计算与应用 45 考点讲练37 分数加、减简便运算 48 考点讲练38 打电话问题 49 考点讲练39 单式与复式折线统计图 51 考点讲练40 数学广角—找次品 52 考点讲练01 通过三视图会摆放和还原立体图 1．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是一句很有哲理的诗句，告诉我们要认识事物的真相与全貌就要从不同的角度看，不能单方面想问题。一个由若干个小正方体组成的立体图形，下面是从不同方向看到的图形，那么这个立体图形最少由（    ）个小正方体组成。 A．4 B．5 C．3 【答案】C 【思路引导】由从前面看到的图形可知，这个立体图形一共有2列，左列是一层，右列是两层；由从左面和右面看到的图形可知，这个立体图形一共有两行，后面一行是两层，前面一行是一层。据此判断组成这个立体图形的最少正方体数。 【规范解答】 如图： 这个立体图形最少由3个小正方体组成。 2．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）用相同的小正方体摆一个几何体，根据从前面、上面、左面观察的形状，确定这个几何体是由( )个小正方体摆成的。 【答案】5 【思路引导】从上面看是一行4个正方形，说明几何体的底层小正方体，在水平面上的分布为“1行4列”，没有前后排的延伸，因此底层固定有4个小正方体。从前面看，底层是4个正方形（与“上面看”的底层分布一致），第二层只有1个正方形，且位于从左数第2列的正上方。这说明几何体为上下两层，且第二层只有1个小正方体，且只能在底层第2列的上方。从左面看是一列2个正方形，说明几何体只有前后1排（无前后方向的延伸），且仅上下2层，没有第三层，也没有前后错开的小正方体，进一步验证了“第二层只有1个小正方体”的结论。 【规范解答】根据分析，小正方体有2层，下层有4个小正方体，上层有1个小正方体。 （个） 这个几何体是由5个小正方体摆成的。 考点讲练02 根据因数的特征解决问题 3．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）明明用小正方体摆几何体，从上面看是下图的形状，数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。观察这个几何体，从正面看到的是( )，从左面看到的是( )。 【答案】 A D 【思路引导】 根据从上面看到的形状，可以确定底层小正方体的个数，以及摆放位置，根据看到的数字，可以确定这个几何体如图，从正面看有3行，下边1行3个小正方形，中间1行靠左2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形；从左面看有2列，左边1列2个小正方形，右边1列3个小正方形。 【规范解答】 根据分析，从正面看到的是，从左面看到的是。 4．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【规范解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 考点讲练03 根据倍数的特征解决问题 5．（25-26五年级上·河南商丘·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【答案】一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【思路引导】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【规范解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 6．（23-24五年级下·河北唐山·期中）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【答案】B 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【规范解答】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 考点讲练04 倍数和因数的综合应用 7．小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】见详解 【思路引导】根据可能性的大小与数量的多少有关，数量多则可能性就大，反之就小；2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，所以小军的胜率比小明的胜率大，这个游戏不公平；1、2、3、4、5、6这6个数，分别有3个单数，有3个双数，要使游戏是公平，可以猜单双数。据此解答即可。 【规范解答】2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，据此可知这个游戏不公平，因为2的倍数和3的倍数的个数不同，赢的可能性必然不同。设计一个公平的游戏规则如下：猜单数和双数，如果单数小明赢，双数小华赢。 【考点剖析】本题考查可能性，明确可能性的大小与数量的多少有关是解题的关键。 8．（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 考点讲练05 2、3、5的倍数特征综合 9．（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 【答案】17 【思路引导】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个数的最大因数是17，说明这个数是17，最小倍数也是它本身，即17。 10．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）从0、5、6、7这四个数中选择不同的数字组数，满足下列题目要求。 (1)既是2的倍数，又是3的倍数的两位数有( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的三位数有( )。 【答案】(1)60 (2)570、750 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 3的倍数特征：各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数特征：个位上是0、5的数都是5的倍数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 （1）先根据2的倍数特征确定个位数字，再根据3的倍数特征确定十位数字； （2）根据2、5的倍数特征，确定个位上是0，再根据3的倍数特征，各数位上的数字相加，判断和是否是3的倍数。若是，则这个三位数是2、3、5的倍数；反之，则不是。 【规范解答】（1）根据2的倍数特征，确定两位数的个位为0或6； 个位为0的两位数可以是50、60、70； 个位为6的两位数可以是56、76； 50：5＋0＝5，5不是3的倍数，50也不是3的倍数； 60：6＋0＝6，6是3的倍数，60是3的倍数； 70：7＋0＝7，7不是3的倍数，70也不是3的倍数； 56：5＋6＝11，11不是3的倍数，56也不是3的倍数； 76：7＋6＝13，13不是3的倍数，76也不是3的倍数； 既是2的倍数，又是3的倍数的两位数有60。 （2）个位上是0的三位数有560、650、570、750、670、760。 560：5＋6＋0＝11，11不是3的倍数，560也不是3的倍数，560不是2、3、5的倍数； 650：6＋5＋0＝11，11不是3的倍数，650也不是3的倍数，650不是2、3、5的倍数； 570：5＋7＋0＝12，12是3的倍数，570是3的倍数，570是2、3、5的倍数； 750：7＋5＋0＝12，12是3的倍数，750是3的倍数，750是2、3、5的倍数； 670：6＋7＋0＝13，13不是3的倍数，670也不是3的倍数，670不是2、3、5的倍数； 760：7＋6＋0＝13，13不是3的倍数，760也不是3的倍数，760不是2、3、5的倍数； 既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数的三位数有570、750。 考点讲练06 质数与合数的认识 11．（24-25五年级下·重庆武隆·期末）一个五位数，x表示一个不为0的自然数。它与0组成的下面四个数中，一定既是3的倍数又是5的倍数的是（    ）。 A．xxxx0 B．x0xx0 C．xx00x D．x0x0x 【答案】B 【思路引导】5的倍数的特征：个位数字是0或者5。 3的倍数的特征：所有数位上数字之和能被3整除。 【规范解答】A．xxxx0，个位数字是0，是5的倍数，数字和为：x＋x＋x＋x＋0＝4x，4x不一定是3的倍数，例如x＝1，和为4，不能被3整除，排除。 B．x0xx0，个位数字是0，是5的倍数，数字和为：x＋0＋x＋x＋0＝3x，x是不为0的自然数，3x一定能被3整除。符合题意。 C和D中，xx00x，x0x0x，两个数个位数字是x，x不为0，只有当x=5时，这两个数才是5的倍数，不能保证x一定等于5，所以排除。 12．（24-25五年级下·山西临汾·期末）数学的世界充满了奇妙和乐趣，每个数字成员都有各自的特征，今天，我们就根据数的特征来解决问题，一个三位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，这个三位数含有因数3。这个三位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 147 141 【思路引导】百位上是最小的奇数，最小的奇数是1，十位上是最小的合数，最小的合数是4，这个三位数含有因数3， 说明这个三位数个位、十位、百位相加之和能被3整除，百位和十位相加是5，个位上的数可以是1、4、7。 【规范解答】由分析可知，这个数的百位是1，十位是4，个位是7时最大，所以这个数最大是147； 这个数的百位是1，十位是4，个位是1时最小，所以这个数最小是141。 考点讲练07 质数与合数的综合应用 13．（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末）如果用自然数m表示一个偶数，那么2m＋1一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 【答案】C 【思路引导】大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身以外，还有其他因数的数是合数；能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。2×任何整数＝偶数，偶数＋1＝奇数。据此先分析2m＋1的奇偶性，再举例验证各选项的正确性。 【规范解答】因为2×任何整数＝偶数，则2m是偶数。 又因为偶数＋1＝奇数，则2m＋1一定为奇数。 A．当m＝2时，2×2＋1＝4＋1＝5（质数）；当m＝4时，2×4＋1＝8＋1＝9＝3×3（合数），存在反例说明不一定是质数。 B．当m＝2时，2×2＋1＝4＋1＝5（质数），存在反例说明不一定是合数。 C．无论m取何值，2m＋1的结果都是奇数。 因此，2m＋1一定是奇数。 14．（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【思路引导】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【规范解答】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 考点讲练08 运算性质（奇数和偶数) 15．（2024·福建莆田·小升初真题）如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【答案】A 【思路引导】质数是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数；合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数；而自然数1，只有一个因数1，所以1既不是质数也不是合数。根据由此判断即可。 【规范解答】A．质数乘合数等于合数； B．质数减合数可能是质数，也可能是1，结果不是合数； C．根据质数加合数可能是质数，也可能是合数，即结果不一定是合数； D．质数÷合数不是整数，不可能是合数。 故答案为：A 16．（24-25五年级下·山西晋中·期末）某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 【答案】因为男生人数为奇数，而总人数30人为偶数，又因为奇数＋奇数＝偶数，所以女生人数为奇数。 【思路引导】奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数-奇数＝奇数，偶数-偶数＝偶数； 先确定总人数30的奇偶性，再结合奇数加一个数的和是偶数，这个数的奇偶性可通过运算规则判断。 【规范解答】总人数是30，30是偶数； 总人数＝男生人数＋女生人数，偶数＝奇数＋奇数 答：已知男生人数是奇数，总人数是偶数，因此女生人数一定是奇数。 考点讲练09 长方体表面积的计算与应用 17．（24-25五年级下·广东广州·期末）已知a和b均为质数，且5a＋7b＝45。云云说5a和7b中一定有一个数是偶数。 (1)云云说的对吗？请说明理由。 (2)a和b分别是多少？写出思考过程。 【答案】(1)对；因为45是奇数，奇数＋偶数＝奇数。 (2)a＝2，b＝5；奇数×偶数＝偶数，2是唯一的偶质数，a和b必有一个数是2。假设a＝2，计算出b的值；假设b＝2，计算出a的值，看哪组数据符合条件。 【思路引导】（1）奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。 （2）5和7都是奇数，奇数×偶数＝偶数，所以a和b中必有一个偶数。a和b均为质数，2是唯一的偶质数，所以a和b必有一个数是2。假设a＝2，计算出b的值；假设b＝2，计算出a的值，看哪组数据符合条件。 【规范解答】（1）云云说得对。把5a和7b分别看作一个数。45是奇数，奇数＝偶数＋奇数，所以5a和7b中一定有一个数是偶数。 （2）①假设5a是偶数，5只有乘偶数结果才是偶数，并且a是质数，所以a＝2，由此可得：5×2＋7×b＝45 10＋7b＝45 10＋7b－10＝45－10 7b＝35 7b÷7＝35÷7 b＝5 ②假设7b是偶数，那么b＝2，由此可得： 5a＋7×2＝45 5a＋14＝45 5a＋14－14＝45－14 5a＝31 5a÷5＝31÷5 a＝（不符合题意） 所以a＝2，b＝5。 18．（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，把一个长方体分别按如下三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了、、，那么这个长方体原来的表面积是（    ）。 A．68 B．136 C．204 【答案】B 【思路引导】根据题意，由图可知，长方体沿长高面切开后，表面增加了2个长高面的面积，且表面积增加了，即两个长高面的面积是。长方体沿长宽面切开后，表面增加了2个长宽面的面积，且表面积增加了，即两个长宽面的面积是。长方体沿宽高面切开后，表面积增加了2个宽高面，且表面积增加了，即两个宽高面的面积是。长方体的表面积等于两个长宽面的面积加上两个长高面的面积加上两个宽高面的面积，所以将三种情况下增加的表面积相加就是长方体的表面积。 【规范解答】长方体原来的表面积： 考点讲练10 正方体表面积的计算与应用 19．（25-26五年级下·广东·期末）将下面两盒糖果包装成一包，怎样才能最节省包装纸？这时需要包装纸的面积是多少平方厘米？（接口处不计）（    ） A．650平方厘米 B．1300平方厘米 C．1280平方厘米 【答案】B 【思路引导】要将两盒糖果最节省包装纸，要让它们最大的面重叠在一起，这样减少的面积最大，所需包装纸面积最小。先找出每个长方体最大的面，然后将两个这样的面贴合，确定新长方体的长、宽、高，最后根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可解答。 【规范解答】单盒尺寸：长20厘米、宽15厘米、高5厘米， 最大的面是 20×15＝300（平方厘米） 将两盒的这个面重叠，拼成一个新长方体：长20厘米、宽15厘米、高5＋5＝10（厘米） 新长方体表面积＝（20×15＋20×10＋15×10）×2 ＝（300＋200＋150）×2 ＝650×2 ＝1300（平方厘米） 所以最节省的方式是将20×15的面重叠，需要包装纸1300平方厘米。 20．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）用一根长的铁丝既可以制作成一个长、宽、高( )的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )的正方体框架。若给这个正方体框架的每个面都贴上彩纸，至少需要( )的彩纸。 【答案】 6 5 150 【思路引导】长方体有12条棱，分别是4条长、4条宽、4条高，根据长方体的棱长总和公式，先求出一组长、宽、高的和，再减去长和宽，求出高；正方体有12条棱，均相等，根据正方体的棱长公式，用棱长总和除以12，求出正方体的棱长；最后根据正方体的表面积公式求出需要彩纸的面积。 长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【规范解答】长方体的高： 60÷4－（7＋2） ＝60÷4－9 ＝15－9 ＝6（cm） 正方体的棱长：60÷12＝5（cm） 正方体表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 考点讲练11 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 21．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 【答案】(1)290厘米 (2)6300平方厘米 【思路引导】（1）与30厘米棱长相等的有8条，用这8条的长度加上打结部分的长度即可求出彩带总长度； （2）因为礼盒上面是两块正方形纸板，因此一共需要的纸板总面积相当于6＋1＝7个正方形的面积，所以用礼品盒一个面的面积乘7即可求出需要纸板的总面积。 【规范解答】（1）30×8＋50 ＝240＋50 ＝290（厘米） 答：至少需要290厘米的彩带。 （2）30×30×7 ＝900×7 ＝6300（平方厘米） 答：一共需要6300平方厘米的纸板。 22．（24-25五年级下·山西运城·期末）淘气在桌面上摆棱长为2cm的小正方体，摆1个正方体露在外面的面有5个（如图），照这样摆下去，摆4个小正方体时露在外面的面是( )个；摆n个小正方体时露在外面的面是( )个；摆n个小正方体时露在外面的面积是( )。 【答案】 14 2＋3n 8＋12n 【思路引导】观察图形可知，摆1个正方体露在外面的面有（2＋3×1）个，摆2个正方体露在外面的面有（2＋3×2）个，摆3个正方体露在外面的面有（2＋3×3）个……则摆n个正方体露在外面的面有（2＋3×n）个，再根据正方体一个面的面积＝棱长×棱长求出一个面的面积，最后乘露在外面的面的个数即可得到露在外面的面积。 【规范解答】2＋3×4 ＝2＋12 ＝14（个） 2＋3×n＝（2＋3n）（个） （2×2）×（2＋3n） ＝4×（2＋3n） ＝4×2＋4×3n ＝（8＋12n）cm2 摆4个小正方体时露在外面的面是14个；摆n个小正方体时露在外面的面是（2＋3n）个；摆n个小正方体时露在外面的面积是（8＋12n）cm2。 考点讲练12 组合体的表面积（长方体、正方体) 23．（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 【答案】（1）96；92；88 （2）68 （3）20 【思路引导】（1）每锯下一个小方木，表面积会减少小方木4个面的面积；锯下2个小方木，表面积会减少（2×4）个面的面积；锯下3个小方木，表面积会减少（3×4）个面的面积；每个面的面积都是1×1＝1dm2，据此求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积，据此把表格补充完整。 （2）当锯下8个小方木时，表面积会减少（8×4）个面的面积，用每个面的面积乘减少的面，求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，表面积减少了（100－20）dm2，因为每锯下1个小方木表面积减少4dm2，用减少的表面积除以4，即可求出锯下小方木的个数。 【规范解答】（1）锯下的小方木每个面的面积：1×1＝1（dm2） 锯下1个小方木时，减少小方木4个面的面积，减少的面积是1×4＝4（dm2），剩下方木的表面积：100－4＝96（dm2）； 锯下2个小方木时，减少小方木2×4＝8个面的面积，减少的面积是1×8＝8（dm2），剩下方木的表面积：100－8＝92（dm2）； 锯下3个小方木时，减少小方木3×4＝12个面的面积，减少的面积是1×12＝12（dm2），剩下方木的表面积：100－12＝88（dm2）； 填表如下： 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 96 92 88 … （2）当锯下8个小方木时，减少小方木8×4＝32个面的面积，减少的面积是1×32＝32（dm2），剩下方木的表面积：100－32＝68（dm2）； 当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（68）dm2。 （3）每锯下1个小方木表面积减少4dm2； 减少的表面积：100－20＝80（dm2） 小方木的个数：80÷4＝20（个） 当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（20）个小方木。 【考点剖析】明确每锯下一个小方木减少了哪些面，求出减少的表面积是解题的关键。 24．（24-25五年级下·重庆綦江·期末）如图，5个棱长为5dm的正方体纸箱叠放在墙角，这5个纸箱占地( )，露在外面的面积是( )。 【答案】 100 275 【思路引导】正方形面积＝边长×边长，算出每个正方形面的面积。 占地面积是底层正方体与地面接触的面积之和，先数底层接触地面的正方形的数量，用每个正方形的面积乘数量即可算出占地面积。 分别从前面、右面、上面观察该图形，将三个方向的数量相加得到露在外面的总面数，再乘单个正方形面的面积即可求出露在外面的面积。 【规范解答】5×5＝25（dm2） 底层接触地面的正方形有4个。 占地面积：25×4＝100（dm2） 从前面看到4个正方形，从右面看到3个正方形，从上面看到4个正方形。 4＋3＋4＝11（个） 露在外面的面积：25×11＝275（dm2） 考点讲练13 表面涂色的正方体 25．（24-25五年级下·浙江嘉兴·期末）下图是由8个棱长为1cm的小正方体搭成。明明想把露出的面涂上颜色（包括底面）。那么这个几何体中涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】32 【思路引导】已知几何体是由8个棱长为1cm的小正方体搭成，因为正方体的每个面都是相同的正方形，分别找出从上下面、前后面、左右面看到的小正方形的个数，再乘每个面的面积，就是这个几何体中涂色部分的面积。 【规范解答】上下面看到的正方形有：4×2＝8（个） 前后面看到的正方形有：6×2＝12（个） 左右面看到的正方形有：6×2＝12（个） 露出的面一共有：8＋12＋12＝32（个） 一个面的面积是：1×1＝1（cm2） 这个几何体中涂色部分的面积是：1×32＝32（cm2） 所以那么这个几何体中涂色部分的面积是32cm2。 26．（25-26五年级下·广东广州·期末）下面的大正方体都是由27个同样的小正方体搭成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），表面积不会发生变化的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意，都是用27个同样大小的小正方体拼成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），就会外露不相同的面，所以它的表面积与原来相比可能有变。 【规范解答】A．拿掉2小正方体，减少4个面，增加8个面，所以表面积变大。 B．拿掉2小正方体，减少2个面，增加10个面，所以表面积变大。 C．拿掉2小正方体，减少5个面，增加5个面，所以表面积不变。 D．拿掉2个小正方体，减少5个面，增加7个面，所以表面积变大。 考点讲练14 长方体的体积的计算与应用 27．（24-25五年级下·重庆奉节·期末）同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。 ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共（    ）块。 ②两面涂色的小正方体共（    ）块。 ③一面涂色的小正方体共（    ）块。 ④没有涂色的小正方体共（    ）块。 检验：总块数＝（    ），各类块数之和（    ）。 【答案】①8；②36；③52； ④24；120；120 【思路引导】通过阅读材料我们得到几个结论（1）正方体是特殊的长方体；（2）三面涂色的小正方体只在正方体的8个顶点处；（3）两面涂色的小正方体在12条棱上，每条棱的2个顶点处的小正方体不包含在内；（4）只有一面涂色的小正方体位于6个面上，位于四条棱的中间，长、宽、高减2后分别两两相乘即得到前（后）面、左（右）面、上（下）面，只有一面涂色的小正方体个数；（5）没涂色的小正方体在6个面的内部，长、宽、高分别减2后计算乘积；（6）总块数＝长×宽×高，据此解答。 【规范解答】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块 ②两面涂色的小正方体： 4×（6－2）＋4×（4－2）＋4×（5－2） ＝4×4＋4×2＋4×3 ＝16＋8＋12 ＝36（块） ③一面涂色的小正方体： （6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝4×3×2＋2×3×2＋4×2×2 ＝24＋12＋16 ＝52（块） ④没有涂色的小正方体： （6－2）×（4－2）×（5－2） ＝4×2×3 ＝24（块） 总块数：6×4×5 ＝24×5 ＝120（块） 各类块数之和：8＋36＋52＋24 ＝44＋52＋24 ＝120（块） 28．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）一个水池长7米、宽4米、高29分米，池里所储的水是56立方米，这个水池的占地面积是( )平方米，水面距离池口还有( )米。 【答案】 28 0.9 【思路引导】先用长乘宽求出底面积得到占地面积，再用水的体积除以底面积求出水面高度，将池高单位换算为米后，用池高减去水面高度求出水面到池口的距离。 【规范解答】占地面积：7×4＝28（平方米） 水面高度：56÷28＝2（米） 29分米＝2.9米 水面到池口的距离：2.9－2＝0.9（米） 考点讲练15 正方体的体积的计算与应用 29．（24-25五年级下·河北张家口·期末）某学校给同学们订购了不同玩法的孔明锁，每个孔明锁都放在一个棱长为8厘米的正方体的纸盒子里，学校还给每个班配置了专用存储盒子，从里面测量，得到长、宽、高分别是32厘米、24厘米、26厘米，这个存储盒子里面最多能存放多少个孔明锁？ 【答案】36个 【思路引导】根据题意，先用除法分别求出长方体存储盒的长、宽、高各有几个8厘米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，将个数相乘，就是这个长方体存储盒最多能存放孔明锁的总个数。 【规范解答】32÷8＝4（个）   24÷8＝3（个） 26÷8＝3（个）……2（厘米） 一共：4×3×3＝36（个） 答：这个存储盒子里面最多能存放36个孔明锁。 30．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）仔细观察下图，认真思考后填空。 (1)图( )和图( )从正面看到的形状相同，图( )和图( )从正面看到的形状也相同。 (2)图( )和图( )从上面看到的形状相同，如果每个小正方体的棱长为，这两个图形的体积之和为( )。 【答案】(1) ① ③ ② ④ (2) ④ ⑥ 10 【思路引导】（1）分别确定各个图形从正面看到的形状，再确定从正面看形状相同的图形。 （2）分别确定各个图形从上面看到的形状，再确定从上面看形状相同的图形。计算从上面看形状相同的两个图形的小正方体的总数量；每个小正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；两个图形的体积之和＝每个小正方体的体积×小正方体的总数量。 【规范解答】（1）各立体图形从正面看到的图形分别是： 所以图①和图③从正面看到的形状相同，图②和图④从正面看到的形状也相同。 （2）各立体图形从上面看到的图形分别是： 所以图④和图⑥从上面看到的形状相同。 图④有5个小正方体，图⑥有5个小正方体，两个图形的总体积为： 1×1×1×（5＋5） ＝1×10 ＝10（cm3） 考点讲练16 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 31．（24-25五年级下·河南三门峡·期末）一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是8分米、6分米、4分米。 (1)这个正方体的棱长是多少分米？ (2)这个长方体和正方体的体积分别是多少立方分米？ 【答案】(1)6分米 (2)192立方分米；216立方分米 【思路引导】（1）先根据“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”求出长方体的棱长之和，正方体和长方体的棱长总和相等，再根据“正方体的棱长＝棱长之和÷12”求出这个正方体的棱长； （2）根据“长方体的体积＝长×宽×高”和“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”分别求出这个长方体和正方体的体积。 【规范解答】（1）（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（分米） 72÷12＝6（分米） 答：这个正方体的棱长是6分米。 （2）8×6×4＝192（立方分米） 6×6×6＝216（立方分米） 答：这个长方体的体积是192立方分米，正方体的体积是216立方分米。 32．（24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 【答案】15厘米 【思路引导】已知长方体容器平放时，从里面量的长是20厘米，宽是16厘米，水深7厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水的体积； 如果把这个容器竖起来放，再完全浸没一个西红柿，此时水的体积加上西红柿的体积等于一个底面积为“10×16”的长方体的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水面的高度。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【规范解答】20×16×7 ＝320×7 ＝2240（立方厘米） 0.16立方分米＝160立方厘米 （160＋2240）÷（10×16） ＝2400÷160 ＝15（厘米） 答：此时水面的高度是15厘米。 考点讲练17 体积的等积变形（长方体、正方体) 33．（24-25五年级下·河南南阳·期末）一块横截面是边长20cm的正方形，长是50cm的长方体木料，它的体积是( )dm3。李叔叔从这块木料上截下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的体积是( )dm3。 【答案】 20 8 【思路引导】一块横截面是边长20cm的正方形，长是50cm的长方体木料，说明这个长方体的长为50cm，宽和高都是20cm，根据长方体体积＝长×宽×高，据此计算得到长方体木料体积；1dm3＝1000cm3，再根据进率转换单位； 从长方体木料上截下一个最大的正方体，由于木料的长为50cm，宽和高都是20cm，此时截取的正方体木块的棱长应该是20cm，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；据此解答。 【规范解答】根据分析： 长方体木料的体积为：20×20×50＝20000（cm3）＝20（dm3） 截取最大的正方体木料体积为：20×20×20＝8000（cm3）＝8（dm3） 所以一块横截面是边长20cm的正方形，长是50cm的长方体木料，它的体积是20dm3。李叔叔从这块木料上截下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的体积是8dm3。 34．（24-25五年级下·重庆铜梁·期末）把一个棱长为5分米的正方体铁块，熔铸成一个长10分米，宽20厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是( )。 【答案】6.25分米 【思路引导】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体铁块的体积，由于体积不变，根据长方体体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），即正方体体积÷（长方体的长×长方体的宽），据此解答，注意单位统一。 【规范解答】20厘米＝2分米 （5×5×5）÷（10×2） ＝（25×5）÷20 ＝125÷20 ＝6.25（分米） 考点讲练18 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 35．（24-25五年级下·广东云浮·期末）将一个棱长为5分米的正方体容器盛满水，然后将该正方体容器中的水倒入一个长10分米、宽5分米、高6分米的长方体容器中（水未溢出），请问长方体容器中水的高度是多少分米？ 【答案】2.5分米 【思路引导】先根据正方体的体积公式算出正方体里水的体积，倒水后水的体积不变，根据长方体的体积公式可知，即用水的体积除以长方体容器底面积就能得到水深。 【规范解答】5×5×5÷（10×5） ＝125÷50 ＝2.5（分米） 答：长方体容器中水的高度是2.5分米。 36．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）将4个棱长2厘米的小正方体拼成长方体，拼成后长方体的体积是( )立方厘米，表面积减少了( )平方厘米。 【答案】 32 24或32 【思路引导】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出一共小正方体的体积，再乘4即可求出拼成后长方体的体积；如果拼成1行4个，此时表面积减少了3×2＝6个面的面积，根据正方形的面积如果拼成2行，每行2个，此时减少了4×2＝8个面的面积，据此解答。 【规范解答】2×2×2×4 ＝4×2×4 ＝8×4 ＝32（立方厘米） 3×2＝6（个） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 4×2＝8（个） 2×2×8 ＝4×8 ＝32（平方厘米） 考点讲练19 组合体的体积（长方体、正方体) 37．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：150平方厘米；体积：113立方厘米 【思路引导】表面积：从正方体顶点处挖去长方体后，减少3个面的同时又新增3个相同的面，所以该图形的表面积等于正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数值计算即可； 体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，用正方体的体积减去挖去的长方体的体积即可求出该图形的体积。 【规范解答】表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝25×5－4×3 ＝125－12 ＝113（立方厘米） 38．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 【答案】252平方厘米；232立方厘米 【思路引导】零件的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；零件的体积＝长方体体积－挖去部分正方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】表面积：（8×5＋8×6＋5×6）×2＋2×2×4 ＝（40＋48＋30）×2＋16 ＝118×2＋16 ＝236＋16 ＝252（平方厘米） 体积：8×6×5－2×2×2 ＝240－8 ＝232（立方厘米） 考点讲练20 体积与容积单位间的进率及换算 39．（24-25五年级下·吉林通化·期末）从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示（单位：厘米）。算一算，这个空心零件的体积是多少立方厘米。 【答案】22000立方厘米 【思路引导】通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长40厘米，宽30厘米，高20厘米的长方体里挖去了一个长10厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体。根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。 【规范解答】40×30×20－10×10×20 ＝1200×20－100×20 ＝24000－2000 ＝22000（立方厘米） 答：这个空心零件的体积是22000立方厘米。 40．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）一张长方形铁皮（如图），长40厘米，宽20厘米，从四个角分别剪去边长是5厘米的小正方形，然后把四周折起来，做成一个无盖的铁皮容器。这个容器的容积是多少升？ 【答案】1.5升 【思路引导】通过观察图形可知，做成铁盒的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：，代入数据计算即可；注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【规范解答】铁皮容器的长是：（厘米） 铁皮容器的宽是：（厘米） 铁皮容器的高是：5厘米， 这个容器的容积是： （立方厘米） 1500立方厘米＝1500毫升＝1.5升 答：这个铁盒的容积是1.5升。 考点讲练21 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 41．（24-25五年级下·吉林长春·期末）一个长方体容器内壁的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米。 (1)这个长方体容器的容积是多少立方厘米？ (2)在容器内放入一个土豆，再加满水且完全浸没土豆，土豆拿出后水面下降了2厘米（水没有溢出），土豆的体积大约是多少？ 【答案】(1)3000立方厘米 (2)300立方厘米 【思路引导】（1）根据长方体的容积＝长×宽×高计算即可。 （2）根据排水法原理，把土豆从容积里拿出来后。下降的那部分水的体积就是土豆的体积，用“长×宽×下降的水的高度”计算即可。 【规范解答】（1）15×10×20＝3000（立方厘米） 答：这个长方体容器的容积是3000立方厘米。 （2）15×10×2＝300（立方厘米） 答：土豆的体积大约是300立方厘米。 42．（25-26五年级下·河北保定·期末）为了比较土豆和红薯的体积，小梦做了如下实验。（单位：厘米） (1)土豆的体积和红薯的体积哪个大一些？请说明理由。 (2)土豆的体积是多少？ 【答案】(1)红薯的体积大一些；理由：放入红薯引起水面上升：12－8＝4（厘米），放入土豆引起水面上升：8－5＝3（厘米）。因此4＞3，红薯使水面上升的高度更高一些，所以红薯的体积大一些。 (2)360立方厘米 【思路引导】（1）物体浸没在水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。容器的底面积（长和宽）是不变的。根据排水法原理，物体浸没在水中，水面上升的高度越高，说明物体的体积越大。分别计算放入土豆和红薯后，水面上升的高度，比较后得出结论。 （2）土豆的体积等于它排开的水的体积，也就是放入土豆后水面上升部分的水的体积。这部分水的形状是一个长方体。长和宽为长方体容器的长和宽，高等于放入土豆后水面上升的高度。据此代入长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【规范解答】（1）答：红薯的体积大一些。 理由：放入红薯引起水面上升：12－8＝4（厘米），放入土豆引起水面上升：8－5＝3（厘米）。因此4＞3，红薯使水面上升的高度更高一些，所以红薯的体积大一些。 （2）12×10×（8－5） ＝12×10×3 ＝120×3 ＝360（立方厘米） 答：土豆的体积是360立方厘米。 考点讲练22 分数与除法的关系与应用 43．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）母亲节到了，李涵妈妈买了一个90克的实心纯银手镯送给李涵奶奶作为节日礼物。李涵前两天正好阅读了阿基米德测皇冠体积的故事，也想用这个方法测试一下这个银手镯的体积。他准备好实验器材，实验步骤如下： 第一步；准备一个棱长是4厘米的正方体容器。 第二步：往容器里倒入水，高度为3厘米。 第三步：把这个银手镯完全浸没在水中。 这时容器里的水面正好到容器口，且没有溢出，那么你认为这个银手镯的体积是多少立方厘米？ 【答案】16立方厘米 【思路引导】先用“棱长×棱长”求出容器的底面积；再用正方体容器的棱长减去原来水的高度，求出水面上升的高度；最后，用容器的底面积乘水面上升的高度，即可求出银手镯的体积。 【规范解答】（4×4）×（4－3） ＝16×1 ＝16（立方厘米） 答：这个银手镯的体积是16立方厘米。 44．（25-26五年级下·河北保定·期末）如果用下图中的长方形表示3kg，请在图中表示出。 【答案】（画法不唯一） 【思路引导】根据分数与除法的关系，把3kg平均分成4份，每份的质量就是。 【规范解答】3÷4＝（kg） 据此将长方形平均分成4份，涂色1份表示，图略 考点讲练23 假分数与带分数或整数的互化 45．（24-25五年级下·广东韶关·期末）2025年8月1日是中国人民解放军建军98周年，为了庆祝建军98周年，可可同学准备用20米长的彩绳编织中国结，平均每个中国结用彩绳米。可可同学可以编织多少个中国结？她计划将这些中国结的送给解放军叔叔，送给解放军叔叔的中国结有多少个？ 【答案】80个；64个 【思路引导】分子相当于被除数，分母相当于除数，据此先把化成小数，然后用绳子总长度÷每个中国结用料长度，求出中国结总个数；把中国结总个数看成单位“1”，表示把单位“1”平均分成5份，送给解放军叔叔4份；所以用单位“1”的量除以平均分的份数5，再乘送给解放军叔叔的份数4，就得到送给解放军叔叔的中国结数量。 【规范解答】 （个） （个） 答：可可同学可以编织80个中国结，送给解放军叔叔的中国结有64个。 46．（24-25五年级下·山西临汾·期末）分数的来源可以追溯到古代文明，主要用于解决分配、测量等实际问题中无法用整数表示的情况。分数单位是的最小假分数是( )，最大真分数是( )，把这个真分数再添上( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 10 【思路引导】分子比分母小的分数叫做真分数。最大真分数的分子比分母小1。 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。最小假分数的分子与分母相等。 最小的质数是2，先把2化成分母为9的假分数，再看分子与分母为9的最大真分数的分子相差几，就需再添上几个这样的分数单位就是最小的质数。 【规范解答】分数单位是的最小假分数是，最大真分数是； 里有8个； 最小质数是2，2＝，里有18个； 18－8＝10（个） 再添上10个这样的分数单位就是最小的质数。 考点讲练24 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 47．（24-25五年级下·辽宁鞍山·期末）把下面的假分数化成带分数或整数。              【答案】；4；； 【思路引导】假分数化带分数或整数时，用分子除以分母，先判断分子是否为分母的整数倍。如果分子能被分母整除，那么所得的商就是整数；如果分子不能被分母整除，那么所得的商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母保持不变。 【规范解答】＝7÷4＝ ＝32÷8＝4 ＝62÷15＝ ＝46÷11＝ 48．a是一个整数，是假分数，也是假分数，那么a的取值有（    ）种可能。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】假分数的分子大于等于分母，分母小于等于分子，分别找出是假分数和是假分数时a的取值范围，最后找出符合条件的a的值。 【规范解答】当是假分数时，a≥9；当是假分数时，a≤11；则9≤a≤11，a的值为9、10、11，一共3种可能。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查假分数的认识，掌握假分数的意义是解答题目的关键。 考点讲练25 分数的基本性质及应用 49．a＝( )时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是( )（填出所有可能）。 【答案】 8 1、2、4、8 【思路引导】分子等于或大于分母的分数就是假分数；若能化成整数，则b是8的因数，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： a＝8时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是1、2、4、8。 【考点剖析】本题考查假分数和假分数化整数，明确假分数和假分数化整数的方法是解题的关键。 50．（24-25五年级下·重庆铜梁·期末）的分子加上14，要使分数的大小不变，分母应加上（    ）。 A．24 B．7 C．14 【答案】A 【思路引导】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【规范解答】的分子加上14，分子变成了7＋14＝21，即分子乘3，要使分数的大小不变，分母也应该乘3，＝＝，分母应加上36－12＝24。 考点讲练26 分解质因数 51．填一填。（每题中前后两组中间填的分数不相同）           【答案】；； ；（答案不唯一） 【思路引导】根据分数的基本性质，把每组中最大和最小的两个分数化成分母更大但分数大小不变的分数，即可填出中间的分数。 【规范解答】（1），，即＜＜； （2），，即＜＜； （3），，即＜＜； （4），，即＜＜； （答案不唯一） 【考点剖析】掌握并能灵活运用分数的基本性质，这是解决此题的关键。 52．（24-25五年级下·山东泰安·期末）已知X＝2×2×5×5，Y＝2×3×5×7，那么X和Y两个数的最大公因数是( )。 【答案】10 【思路引导】求这两个数的最大公因数就是将这两个数的公有的质因数相乘即可。 【规范解答】2×5＝10 X和Y两个数的最大公因数是10。 考点讲练27 用最大公因数解决实际问题 53．（24-25五年级下·四川资阳·期末）某科技公司实验员将24个元件和36根导线平均装进一些工具包，要求每个工具包内的元件数量相同、导线数量也相同，且工具包的数量要最多，最多能装几个工具包？每包放几个元件和几根导线？ 【答案】工具包12个；元件2个；导线3根 【思路引导】根据题意，将24个元件和36根导线平均装进工具包，且每个工具包内的元件、导线数量相同，说明工具包的数量是24和36的公因数。求工具包的最多的数量，也就是求24和36的最大公因数。 求出工具包的数量后，分别用元件总数和导线总数除以工具包的数量，求出每包放的元件数量和导线数量。 【规范解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多能装12个工具包。 24÷12＝2（个） 36÷12＝3（根） 答：最多能装12个工具包，每包放2个元件和3根导线。 54．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）学校社团开展劳动特色课程——“家务整理收纳师”叠衣服比赛活动。王老师一共拿来了36件上衣和48条长裤。如果每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤且全部分完，最多可以有多少名学生同时参赛？ 【答案】12名 【思路引导】每人分得相同数量的上衣和相同数量的裤子且全部分完，说明参赛学生数是36和48的公因数，求最多可以有多少名学生同时参赛，即求36和48的最大公因数。 【规范解答】求36和48的最大公因数： ， 最大公因数： 答：最多可以有12名学生同时参赛。 考点讲练28 最简分数与约分的认识及应用 55．（24-25五年级下·江西赣州·期末）两根绳子，一根长80分米，另一根长96分米，要把这两根绳子剪成同样长的小段，每段最长是多少分米？一共可以剪多少段？ 【答案】16分米；11段 【思路引导】要把两根不同长度的绳子剪成同样长的小段且无剩余，每段的最长长度就是两根绳子长度的最大公因数；用分解质因数法求出最大公因数，再分别用两根绳子的长度除以每段长度，最后相加即可求出总段数。 【规范解答】80＝2×2×2×2×5 96＝2×2×2×2×2×3 80和96的最大公因数是2×2×2×2＝16，即每段最长是16分米。 80÷16＋96÷16 ＝5＋6 ＝11（段） 答：每段最长是16分米，一共可以剪11段。 56．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）将2、4、5、10这4个数，每次取出两个分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成( )个不相等的真分数。 【答案】4 【思路引导】先根据真分数分子小于分母的要求列出所有候选分数，再通过约分剔除数值相等的分数，最后统计不重复的分数总数。 【规范解答】列出所有分子小于分母的分数： 分子为2：、、 分子为4：、 分子为5： 约分化简： ＝，＝，＝，＝ 筛选不相等的分数：、、、，一共4个。 考点讲练29 用最小公倍数解决实际问题 57．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）一盒巧克力共有20块，若将这盒巧克力平均分给5位小朋友，每位小朋友分得这盒巧克力的( )，若小军分到16块巧克力，他分到了这盒巧克力的( )。（填分数） 【答案】 【思路引导】将这盒巧克力的总数看作单位“1”，用单位“1”除以人数，求出每位小朋友分到这盒巧克力的几分之几；用小军分到的数量除以总数量，求出小军分到这盒巧克力的几分之几，结果根据分数与除法的关系（分子对应被除数，分母对应除数）写成分数形式，并约分成最简分数。 【规范解答】每位小朋友分得这盒巧克力的：1÷5＝ 小军分到了这盒巧克力的：16÷20＝＝ 58．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）六年一班同学在劳动课上分组打扫卫生，如果按4人一组分，多2人；如果按6人一组分，也多2人。已知六一班人数在30—50人之间，问六一班有多少人？ 【答案】38人或50人 【思路引导】总人数减去2之后，既是4的倍数，也是6的倍数，所以总人数减2是4和6的公倍数。 用枚举法先分别找出4和6的倍数，再找出在30—50范围内的4和6的公倍数。 因为总人数等于符合范围的公倍数加2，所以将找到的公倍数加2即可得到对应人数。 【规范解答】4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48…… 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48…… 4和6的公倍数：12、24、36、48、60…… 30—50之间4和6的公倍数：36、48 （人） （人） 答：六一班有38人或50人。 考点讲练30 通分的认识及应用 59．（24-25五年级下·重庆武隆·期末）为了弘扬中华传统文化，少年宫开设了古诗词鉴赏班。王红每隔3天上一次唐诗鉴赏班，张亮每隔5天上一次宋词鉴赏班。2025年4月1日是两人同一天学习古诗词的日子，4月里他们共有( )次同一天学习古诗词。 【答案】3 【思路引导】由题意可知，王红每隔3天上一次唐诗鉴赏班，即每4天上一次；张亮每隔5天上一次宋词鉴赏班，即每6天上一次；则首先求出4、6的最小公倍数，即12，就是王红和张亮二人下次相遇间隔的最短时间，4月份共有30天，30÷12＝2（次）⋯⋯6（天），第一次相遇时在4月1日，再加上2次即可求解。 【规范解答】4＝2×2 6＝2×3 则4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 30÷12＝2（次）⋯⋯6（天） 2＋1＝3（次） 则4月里他们共有3次同一天学习古诗词。 60．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）先通分再比大小。 和        和        和       和 【答案】＞；＞；＜；＜ 【思路引导】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，利用分数的基本性质化成同分母或同分子的分数进行比较。 【规范解答】（1）＝＝ ＝＝ ＞，所以＞； （2）＝＝ ＞，所以＞； （3）＝＝ ＝＝ ＜，所以＜； （4）＝＝ ＝＝ ＜，所以＜。 考点讲练31 异分母异分子分数的大小比较 61．（25-26五年级下·河北保定·期末）比较下面每组两个分数的大小。 和    和    和 【答案】＜；＞；＞ 【思路引导】异分母分数比较大小，需要先通分，再进行比较。 【规范解答】（1）＝＝ ＜ 所以＜ （2）＝＝ ＝＝ ＞ 所以＞ （3）＝＝ ＝＝ ＞ 所以＞ 62．（24-25五年级下·广东汕头·期末）甲5分钟做6个零件，乙8分钟做9个零件，甲乙两人的工效相比较，（    ）。 A．甲快 B．乙快 C．甲、乙一样快 【答案】A 【思路引导】根据工作效率＝工作量÷工作时间，用甲做零件的个数除以甲需要的时间，即可求出甲的工作速度，同理可以求出乙的工作速度，工作速度快表示工作效率高，然后进行比较即可。 【规范解答】6÷5＝（个） 9÷8＝（个） ＝，＝，＞，即＞； 甲的工作效率高。 考点讲练32 分数和小数的互化 63．（24-25五年级下·西藏昌都·期末）已知 ，那么m和n的大小关系是（    ）。 A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定大小 【答案】B 【思路引导】假设＋m＝＋n＝1，分别求出m、n的值，再根据异分母、异分子分数比较大小的方法进行比较即可。 【规范解答】假设＋m＝＋n＝1，则m＝1－＝，n＝1－＝ ＝ 因为40＞21，所以＞，所以＞，所以m＞n。 64．（24-25五年级下·山西运城·期末）小东、小明和小华参加百米赛跑，小东用了0.24分，小明用了分，小华用了分，( )跑得最快。 【答案】小东 【思路引导】把所给的三个数都变成小数去比较大小，用的时间越少，跑得越快。 【规范解答】小东：0.24分 小明：（分） 小华： ＝ ≈0.267 0.24＜0.25＜0.267 所以0.24＜＜ 小东用的时间最少，所以跑得最快。 考点讲练33 图形的运动 65．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．分数越大，它的分数单位就越大。 B．一个自然数，不是奇数就是偶数。 C．、、、这几个分数都不能化成有限小数。 D．如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的体积就扩大到原来的9倍。 【答案】B 【思路引导】A．分数的分数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是几分之一。 B．自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 C．判断分数能否化成有限小数，需要先化成最简分数，再看分母的质因数是否只有2和5。 D．正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长扩大到原来的a倍，则体积会扩大到原来的a3倍。 【规范解答】A．分数越大，它的分数单位不一定越大，例如的分数单位是，的分数单位是，＜，但分数单位相同，该选项错误。 B．自然数按能否被2整除分为奇数和偶数两类，所以一个自然数不是奇数就是偶数，该选项正确。 C．分母12的质因数有2、3，不能化成有限小数，，分母15的质因数有3、5，不能化成有限小数；，分母4的质因数只有2，能化成有限小数（0.25）；分母24的质因数有2、3，不能化成有限小数；所以“都不能化成有限小数”的说法错误，该选项错误。 D．3×3×3＝27，正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的体积就扩大到原来的27倍，而非9倍，该选项错误。 66．（25-26五年级下·河北保定·期末）操作题。 (1)把①绕A点逆时针旋转90度变为图⑤。 (2)把图⑤向下平移2个格，再向左平移3个格，变为图⑥。 (3)把②③④分别添上一个小正方形，使它变成一个轴对称图形。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据旋转的特征，将图形①绕点A逆时针旋转90度，点A位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （2）根据平移的特征，把图形各顶点分别先向下平移2格，再向左平移3格，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）在图②、③、④的合适位置各添加一个小正方形，成为轴对称图形。添加后的图形沿着某条直线对折后，能够完全重合。（位置不唯一）。 【规范解答】（1）确定旋转中心为点A ，旋转方向为逆时针，角度为 90°。找出图①的每个顶点，将每个顶点与 A 点连接，把连线绕 A 点逆时针旋转 90°，得到对应顶点的新位置。按照原图的连接方式，依次连接新顶点，得到图⑤。 （2）先将图⑤的所有顶点向下数2个格子，得到第一次平移后的顶点位置。再将这些顶点向左数3个格子，得到第二次平移后的顶点位置。连接这些顶点，得到图⑥。 （3）图②：可以在图形的最左侧空缺位置添加一个小正方形。 图③：可以在图形的第1行第3列对应位置添加一个小正方形。 图④：可以在图形的下方第2列对应位置添加一个小正方形。 （答案不唯一）。 考点讲练34 同分母分数加、减法计算与应用 67．（24-25五年级上·重庆梁平·期末）在下面的方格图中，把三角形绕点沿逆时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答下面的问题。（一定要先画哟，还要涂阴影和标字母、）（、两点的对应点分别为、） （1）不用三角板，你能找到点的对应点吗？把你找的办法写在下面。 （2）可以用、也可以不用三角板，你是怎样找到点的对应点的？把你找的办法写在下面。（从用三角板和不用三角板中，选一种回答就行了） 【答案】见详解 【思路引导】根据题目要求确定旋转中心（点）、旋转方向（逆时针）、旋转角度（90°），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，并涂阴影和标字母、，据此作图。 （1）图形的旋转是图形上的每个点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，且旋转前后图形的大小和形状没有改变，的长度是3格，则的长度也是3格，且与的夹角是90°，因为是逆时针旋转，所以在的右边； （2）以为底，假设对应的高与底边的交点为，根据找出点旋转之后的对应点，从点往上数1格就是点，据此解答。 【规范解答】作图如下： （1）分析可知，从点向右数出3格，终点处就是点。 （2）不用三角板。 如图，在上找出点，并找出绕点沿逆时针方向旋转90°后的对应线段，从向上数出1格，终点处就是点。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查图形的旋转，掌握旋转的特征和旋转图形的作图方法是解答题目的关键。 68．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）淘气分两次喝完一瓶饮料，第一次喝了，第二次喝了L，两次相比，（    ）。 A．第一次喝得多 B．第二次喝得多 C．两次喝得一样多 【答案】B 【思路引导】把这瓶饮料看作单位“1”，第一次喝的部分占这瓶饮料的，则第二次喝的饮料占这瓶饮料的（1－），比较两个分数的大小即可。 【规范解答】第一次喝的饮料占这瓶饮料的分率： 第二次喝的饮料占这瓶饮料的分率：1－＝ 因为＞，所以第二次喝得多。 考点讲练35 异分母分数加、减法计算与应用 69．（24-25五年级下·浙江·期末）五（1）班的图书角有故事书、科技书和工具书三类书籍。科技书和工具书的本数占总本数的，故事书和科技书的本数占总本数的。工具书占总本数的几分之几？ 【答案】 【思路引导】故事书和科技书的本数占总本数的，将图书总本数看作单位“1”，即故事书、科技书和工具书的占比相加为，用单位“1”减去故事书和科技书的本数占比，即。 【规范解答】 答：工具书占总本数的。 70．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）解方程。      【答案】； 【思路引导】第1题，方程两边同时减去求解。 第2题，方程两边同时加上，方程两边同时除以3求解。 【规范解答】     解： 解： 考点讲练36 分数的加、减法混合运算计算与应用 71．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）一节实验课共90分钟，老师示范实验用了小时，学生做实验用了时，剩下的时间用来完成实验记录，完成实验记录一共用了多少小时？ 【答案】小时 【思路引导】根据1小时＝60分钟，先把分钟化成小时，再用这节实验课的总时间减去老师示范实验用的时间，再减去学生做实验用的时间即可求出完成实验记录一共用了多少小时。 【规范解答】90分小时 ＝－ （小时） 答：完成实验记录一共用了小时。 72．（24-25五年级下·浙江湖州·期末）选择合理的方法计算。                                                                   【答案】；；； ；； 【思路引导】（1）异分母分数连减，先通分，把分母统一成36再计算。 （2）用加法交换律和结合律，把同分母分数分组凑整，简化计算。 （3）先算括号里的加法，通分后再算括号外的减法。 （4）利用减法的性质，交换后两个数的位置，先算同分母分数的加法，再算减法。 （5）异分母分数加减混合，先通分，再按从左到右的顺序计算。 （6）用加法交换律和结合律，把同分母分数分组凑整，简化计算。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ 考点讲练37 分数加、减简便运算 73．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）希望小学大课间组织了跑步、踢足球、打乒乓球三项活动。五（1）班全体同学每人参加一项活动。参加跑步和踢足球的人数共占全班人数的，参加踢足球和打乒乓球的人数共占全班人数的，参加这三项活动的人数各占全班人数的几分之几？ 【答案】打乒乓球：     跑步： 踢足球： 【思路引导】把五（1）班全体人数看作单位“1”，由参加跑步和踢足球的人数共占全班人数的，可知参加打乒乓球的人数占全班人数的（1－）；由参加踢足球和打乒乓球的人数共占全班人数的，可知参加跑步的人数占全班人数的（1－）；最后用“1”分别减去参加打乒乓球、跑步的人数占全班人数的分率，即是参加踢足球的人数占全班人数的几分之几。 【规范解答】1－＝ 1－＝ 1－－＝＝ 答：参加打乒乓球的人数占全班人数的，参加跑步的人数占全班人数的，参加踢足球的人数占全班人数的。 74．（24-25五年级下·山东潍坊·期末）脱式计算（能简便计算的简便计算）。      【答案】； 【思路引导】根据加法交换律和结合律把原式化为进行简算； 根据减法的性质把原式化为进行计算。 【规范解答】 考点讲练38 打电话问题 75．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）        （2） （3）    （4） 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【思路引导】（1）按从左往右的顺序依次计算； （2）先去括号；再按从左往右的顺序依次计算； （3）根据加法交换律交换和的位置；然后分别先计算和；最后算加法； （4）先去括号；然后调整顺序得；最后按从左往右的顺序依次计算。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 76．（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）老师有事要通知10名学生，如果每分钟打电话通知1人，师生合作，最快要4分钟可通知完。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知10人最快需要的时间。 【规范解答】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 15＞10 最快要4分钟可通知完。 原题说法正确。 故答案为：√ 考点讲练39 单式与复式折线统计图 77．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）青青和她的4个好朋友，每两人之间通一次电话，共通话( )次。如果每两人之间互送一件新年的礼物，共需要送( )件新年礼物。 【答案】 10 20 【思路引导】先求出总人数：青青加上4个好朋友，一共5人。 每两人通一次电话，不重复计算，按顺序累加：青青和其余4人通话，第2人和剩下3人通话，第3人和剩下2人通话，第4人和最后1人通话，把这些次数相加。 送礼物是双向的，你送我、我送你算两件不同的礼物。每个人都要给除自己外的其余4人各送1件礼物，用总人数乘每人要送的礼物数来计算。 【规范解答】1＋4＝5（人） 4＋3＋2＋1＝10（次） 5×4＝20（件） 78．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）下面说法正确的是（    ）。 ①复式折线统计图是使用两条不同的折线表示数据的变化趋势。 ②棱长是6cm的正方体的表面积和体积一样大。 ③所有的奇数都是质数。 ④8分米是米，写成小数是0.8米。 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【思路引导】①复式折线统计图用不同折线区分多组数据变化趋势； ②表面积单位是平方厘米，体积单位是立方厘米，单位不一样的量不能比较大小； ③举反例，9、15这类数是奇数，但除了1和自身还有其他因数，不是质数； ④1米＝10分米，用分米数除以10换算单位，验证分数和小数形式是否正确。 【规范解答】①复式折线统计图用不同折线区分多组数据变化趋势，正确； ②表面积单位平方厘米，体积单位立方厘米，单位不同无法比较大小，错误； ③举例9是奇数但不是质数，错误； ④1米＝10分米，8÷10＝米，也是0.8米，正确； 正确的是①④。 考点讲练40 数学广角—找次品 79．（24-25五年级下·重庆铜梁·期末）乐乐从家出发骑车去5千米外的图书馆。下面的折线统计图反映了他离开家到他回家的过程中他与家的距离随时间变化的情况。 (1)乐乐在路上停留了( )分钟，在图书馆停留了( )分钟。 (2)乐乐从家到图书馆的平均速度是( )千米/分。（停留时间不计算在内） (3)乐乐从图书馆返回自己家中的平均速度是( )千米/分。 【答案】(1) 20 40 (2)0.125/ (3)0.25/ 【思路引导】（1）折线统计图中横轴表示时间，纵轴表示与家的距离，前3段折线表示乐乐从家到图书馆的过程，第4段折线表示乐乐停留在图书馆，最后一段折线表示乐乐从图书馆回家的过程，当折线与水平方向平行时表示乐乐停留在路上或图书馆，求出这两段折线终点和起点的时间差即可； （2）乐乐从家到图书馆一共用了60分钟，在路上停留了20分钟，先求出乐乐实际用的时间，再根据“速度＝路程÷时间”求出乐乐从家到图书馆的平均速度； （3）乐乐从图书馆返回自己家一共用了（120－100）分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出乐乐从图书馆返回自己家中的平均速度。 【规范解答】（1）40－20＝20（分钟） 100－60＝40（分钟） （2）60－20＝40（分钟） 5÷40＝0.125（千米/分） （3）120－100＝20（分钟） 5÷20＝0.25（千米/分） 80．（24-25五年级下·浙江·期末）若将1颗偏轻的珍珠次品误投至30颗大小重量相同的珍珠里，用天平称，最少称（    ）次就能保证将这颗次品找出来。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】把待测物品尽可能平均分成3份，利用天平的平衡原理，每次排除掉的合格物品，缩小次品所在的范围，从而用最少的称量次数保证找出次品。 【规范解答】第一次称量： 把31颗珍珠分成3份：10颗、10颗、11颗。 将两份10颗的放在天平两端称量。 若天平平衡：次品在未称量的11颗中， 若天平不平衡：次品在较轻的那10颗中。 第二次称量： 情况1（次品在10颗中）：把10颗分成3颗、3颗、4颗，将两份3颗的放在天平两端称量。 平衡：次品在未称量的4颗中， 不平衡：次品在较轻的那3颗中。 情况2（次品在11颗中）：把11颗分成4颗、4颗、3颗，将两份4颗的放在天平两端称量。 平衡：次品在未称量的3颗中， 不平衡：次品在较轻的那4颗中。 第三次称量： 情况1（次品在3颗中）：把3颗分成1颗、1颗、1颗，取两颗放在天平两端称量。 平衡：次品是未称量的那颗， 不平衡：次品是较轻的那颗。 情况2（次品在4颗中）：把4颗分成1颗、1颗、2颗，取两颗1颗的放在天平两端称量。 平衡：次品在未称量的2颗中， 不平衡：次品是较轻的那颗。 第四次称量： 如果第三次称量后次品在2颗中，将这2颗放在天平两端称量，较轻的那颗就是次品。 所以最少称4次就能保证找出次品。 81．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）三（1）班春游，全班共40名同学。出发前得知当天下雨，活动取消，老师需尽快通知所有人。每分钟可通知1名同学，收到消息的同学会立即帮忙通知他人，最少需要( )分钟能通知到全部同学：有一堆零件，其中仅有一个是次品，且次品比正品轻。若工人师傅只用天平称了2次就找出了这个次品，那么这堆零件最多有( )个。 【答案】 6 9 【思路引导】打电话：老师首先用1分钟时间通知一名同学，此时就有老师和同学共2人知道了通知的内容；第二分钟知道内容的老师和同学再分别通知一人就又通知到2人，此时知道内容的就有一名老师和3名同学共4人；第三分钟这4人再分别通知一人就通知到4人，此时知道内容的就有一名老师和7名同学共8人；第四分钟这8人再分别通知一人就通知到8人，此时知道内容的就有一名老师和15名同学共16人；依次类推，每次知道内容的人数都是前一分钟人数的2倍，而通知到的同学人数要减去1名老师，直到通知到全部人为止； 找次品：在处理寻找次品的问题时，采用三分法是最有效的策略。三分法指的是将待检物品分为三组，其中两组放置在天平的两端进行称量，根据天平的倾斜方向确定次品所在的组别，然后继续对含有次品的组别进行同样的操作，直至找到次品；一般知道次品轻重的情况下，2-3个物品，称1次；4-9个物品，称2次；10-27个物品，称3次；28-81个物品，称4次；即可找到次品。 【规范解答】第一分钟通知到1名学生；第二分钟前一分钟的2人通知到2名同学，此时共有1＋2＝3名同学知道通知内容；第三分钟前一分钟的4人通知到4名同学，此时共有3＋4＝7名同学知道通知内容；第四分钟前一分钟的8人通知到8名同学，此时共有7＋8＝15名同学知道通知内容；第五分钟前一分钟的16人通知到16名同学，此时共有15＋16＝31名同学知道通知内容；第六分钟通知9名同学，所以最少需要6分钟能通知到全部同学； 有一堆零件，其中仅有一个是次品，且次品比正品轻，若工人师傅只用天平称了2次就找出了这个次品，那么这堆零件最多有9个。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $