第01讲 平面及其基本性质（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第01讲 平面及其基本性质（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：平面的概念 知识点02：平面的画法 知识点03：平面的表示 知识点04：点、直线、平面之间位置关系 知识点05：公理1 知识点06：公理2 知识点07：根据公理2可以得到下面的三个推论 知识点08：公理3 知识点09：空间图形的平面直观图的画法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：点、线、平面位置关系符号书写 题型02：平面个数计数问题 题型03：多点、多线共面证明 题型04：多点共线证明 题型05：三线共点证明 题型06：由直观图还原几何图形和斜二测画法中有关量的计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 【例1】下列说法正确的是（） A. 平面是有边界的平整面 B. 一个平面的面积为100cm² C. 平面可以无限延展 D. 平静的水面就是平面 【知识点02】平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 【例2】简述水平平面内一条直线穿过平面的画图规范，并说明虚实线使用规则。 【知识点03】平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【例3】已知一个四边形四个顶点为，均在同一平面内，请写出该平面的两种规范名称。 【知识点04】点、直线、平面之间位置关系 【例4】用规范符号表示下列位置关系：点在直线上，直线不在平面内，点在平面内。 【知识点05】公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【例5】已知点都在平面内，点在直线上，证明：点在平面内。 【知识点06】公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 【例6】已知平面与平面相交于直线，点是两平面的公共点，求证：。 【知识点07】根据公理2可以得到下面的三个推论 （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 【例7】已知直线，求证：直线可以确定唯一一个平面。 【知识点08】公理3 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 【例8】空间中三点不共线，求证：这三点确定唯一一个平面。 【知识点09】空间图形的平面直观图的画法 我们知道，立体几何的研究对象是空间图形.要将空间图形在一个平面上体现出来，就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图. 为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图. 【例9】求边长为的正方形水平放置后，斜二测直观图的面积。 【题型01】点、线、平面位置关系符号书写 【典例1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期末）用集合符号表示：直线在平面上________． 【变式1-3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）用符号表示“直线在平面内”_____. 【题型02】平面个数计数问题 【典例2-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）三条直线两两相交可以确定________个平面． 【变式2-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）在空间中，三条直线最多可确定________个平面. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）空间中不共线的4个点最多能确定_________个平面. 【变式2-3】（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定______个平面. 【题型03】多点、多线共面证明 【典例3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【变式3-1】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    【变式3-2】已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【题型04】多点共线证明 【典例4-1】已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【变式4-1】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【变式4-2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式4-3】如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 【题型05】三线共点证明 【典例5-1】如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【变式5-1】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【变式5-2】空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【题型06】由直观图还原几何图形和斜二测画法中有关量的计算 【典例6-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    【变式6-2】如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【变式6-3】（25-26高二上·上海金山·期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是______． 知识点01平面基础概念 平面核心特征：无限延展、无厚薄、无大小，为空间基础几何元素。 平面记法：希腊字母；三点记法：平面；四边形记法：平面。 知识点02空间点、线、面符号体系（通用公式） 文字描述 微软公式格式 点在直线上/不在直线上 点在平面内/不在平面内 直线在平面内/不在平面内 直线与平面交于一点 两平面相交于直线 两直线相交于一点 知识点03平面三大核心公理（必考） 公理1（线在面内判定） 文字：若直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 公式： 用途：证明直线包含于平面。 公理2（确定平面依据） 文字：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公式： 三大推论： 1. 直线+直线外一点： 2. 两条相交直线： 3. 两条平行直线： 用途：证明多点、多线共面。 公理3（面面相交性质） 文字：两个不重合平面有公共点，则有且仅有一条公共直线，所有公共点都在该直线上。 公式： 用途：证明多点共线、找平面交线。 知识点04三大核心题型解题思路 1. 多点共线：证所有点同时在两个相交平面内，点必在两面交线上 2. 多线共点：先证两线相交，再证交点在其余直线上 3. 多点多线共面：定基准平面，证剩余元素全部在平面内 知识点05高频易错点 1. 三点确定平面的前提：三点不共线，共线三点可确定无数平面； 2. 两平面相交结果为直线，不可写为单个点； 3. 线面关系为包含关系：只能用，不可用。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）直线上存在两点在平面上，用集合语言表示的关系_________． 2．（25-26高二下·上海浦东新·期中）公理2的推论1可用符号语言表述为：若__________，则存在唯一的平面，使得. 3．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则_____（填数学符号）． 4．（25-26高二上·上海长宁·期末）命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 6．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，平面平面______．    7．（2025高二·上海·专题练习）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是______. 8．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________．    9．（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 10．（25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 11．（25-26高一上·上海·期中）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）以下四个命题正确的是______． ①三个平面最多可以把空间分成八部分 ②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 ③若，直线平面，直线平面，且，则 ④若n条直线中任意两条共面，则它们共面 二、单选题 13．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 16．（23-24高二上·上海·单元测试）如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）空间四点中，条件p：三点共线；结论q:四点共面．p是q的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件）？并说明理由． 18．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 19．如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系． 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 21．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面及其基本性质（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：平面的概念 知识点02：平面的画法 知识点03：平面的表示 知识点04：点、直线、平面之间位置关系 知识点05：公理1 知识点06：公理2 知识点07：根据公理2可以得到下面的三个推论 知识点08：公理3 知识点09：空间图形的平面直观图的画法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：点、线、平面位置关系符号书写 题型02：平面个数计数问题 题型03：多点、多线共面证明 题型04：多点共线证明 题型05：三线共点证明 题型06：由直观图还原几何图形和斜二测画法中有关量的计算 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 【例1】下列说法正确的是（） A. 平面是有边界的平整面 B. 一个平面的面积为100cm² C. 平面可以无限延展 D. 平静的水面就是平面 解：根据平面的核心概念，平面无限延展、无边界、无面积、无厚度。 A错误：平面无边界；B错误：平面无面积，无法度量大小； C正确：符合平面的定义；D错误：水面有边界、有厚度，只是平面的局部近似。 答案：C 【知识点02】平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 【例2】简述水平平面内一条直线穿过平面的画图规范，并说明虚实线使用规则。 解：1. 先绘制一个45°倾斜的平行四边形，代表水平放置的平面； 2. 绘制直线，直线完全落在平行四边形内部的部分为实线； 3. 直线延伸出平面、被平面遮挡的不可见部分为虚线； 4. 核心原则：实线表可见，虚线表被遮挡，符合空间透视逻辑。 【知识点03】平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【例3】已知一个四边形四个顶点为，均在同一平面内，请写出该平面的两种规范名称。 解：根据平面的表示规则，完整记法：平面 对角简写记法：平面（或平面） 答案：平面、平面 【知识点04】点、直线、平面之间位置关系 【例4】用规范符号表示下列位置关系：点在直线上，直线不在平面内，点在平面内。 解：根据点、线、面位置关系符号规则，依次书写： 答案： 【知识点05】公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 【例5】已知点都在平面内，点在直线上，证明：点在平面内。 证明： 由公理1可得： 又 命题得证。 【知识点06】公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 【例6】已知平面与平面相交于直线，点是两平面的公共点，求证：。 证明：根据公理2，两个相交平面的所有公共点都落在两平面的唯一交线上。 ，即为平面的公共点 又 命题得证。 【知识点07】根据公理2可以得到下面的三个推论 （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 【例7】已知直线，求证：直线可以确定唯一一个平面。 证明： 直线相交于点，两直线为相交直线 根据公理2推论2：两条相交直线确定唯一一个平面 设该平面为，则，且平面唯一 故相交直线确定唯一一个平面。命题得证。 【知识点08】公理3 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 【例8】空间中三点不共线，求证：这三点确定唯一一个平面。 证明：已知空间三点不在同一直线上 由公理3（不共线三点确定唯一平面）可知： 存在唯一的平面，满足 即不共线的三点确定唯一一个平面。命题得证。 【知识点09】空间图形的平面直观图的画法 我们知道，立体几何的研究对象是空间图形.要将空间图形在一个平面上体现出来，就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图. 为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图. 【例9】求边长为的正方形水平放置后，斜二测直观图的面积。 解：① 原正方形面积： ② 根据斜二测画法面积比例关系： ③ 代入计算得： 答案：直观图面积为 【题型01】点、线、平面位置关系符号书写 【典例1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 【变式1-1】（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的符号语言可得结果. 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期末）用集合符号表示：直线在平面上________． 【答案】 【分析】根据空间中的线、面表示结合集合符号表示即可得结果. 【详解】若直线在平面上，则. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）用符号表示“直线在平面内”_____. 【答案】 【分析】根据直线与平面的关系即得. 【详解】符号表示“直线在平面内”为. 故答案为： 【题型02】平面个数计数问题 【典例2-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）三条直线两两相交可以确定________个平面． 【答案】1或3 【分析】根据三条直线共面、三条直线不共面两种情况分类讨论即可. 【详解】（1）三条直线共面时，则确定1个平面； （2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1个平面，共确定3个平面. 则三条直线两两相交可以确定1个或3个平面. 故答案为：1或3 【变式2-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）在空间中，三条直线最多可确定________个平面. 【答案】3 【分析】根据平面的基本性质及推论即可得解. 【详解】由平面的基本性质，当三条直线相交于一点且不共面时，可确定3个平面； 当三条直线两两平行且不共面时，也可以确定3个平面， 所以在空间中，三条直线最多可确定3个平面. 故答案为：3 【变式2-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）空间中不共线的4个点最多能确定_________个平面. 【答案】4 【分析】空间中四点不共面时，确定的平面最多 【详解】当四个点构成四面体（三棱锥）时，确定的面数最多，共4个面． 故答案为：4 【变式2-3】（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定______个平面. 【答案】5 【分析】由基本事实1及平面性质即可确定平面的个数. 【详解】由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面， 故由题意，A、B、C、D、E五点可形成平面，平面，平面，平面， 平面，共5个平面. 故答案为：5 【题型03】多点、多线共面证明 【典例3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面的有关公理，即可证明结论. 【详解】证明：因为、、是同一直线上的点，在直线外， 故直线和点确定一平面，所以四点共面，设该平面为， 由于，故直线，同理， 所以直线、、在同一平面上. 【变式3-1】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    【答案】共面 【分析】根据平面的基本性质，以及点、线与面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线，可得直线在同一个平面内，设为平面， 因为平面，且直线，所以平面， 又因为平面，且直线，所以平面， 因为直线，直线，所以直线平面， 所以三条中线在同一个平面内. 【变式3-2】已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【答案】证明见解析 【分析】根据基本事实及推论证明即可； 【详解】如图，设，， ∵， ∴确定一个平面， ∵， ∴， 同理， ∴直线即直线， ∴，， ∴这五个点在同一平面上. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【题型04】多点共线证明 【典例4-1】已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的基本性质即可求证. 【详解】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线    【变式4-1】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 【变式4-2】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【变式4-3】如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 【答案】证明见解析 【分析】根据点线面的关系，结合相应的公理即可证明. 【详解】因为，所以直线平面， 又，则直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线． 【题型05】三线共点证明 【典例5-1】如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【分析】设交于点，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证. 【详解】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以共点． 【变式5-1】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【变式5-2】空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段成比例证∥，∥即可； （2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可. 【详解】（1）， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； （2）∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【题型06】由直观图还原几何图形和斜二测画法中有关量的计算 【典例6-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法结合三角形面积公式得出原图形的面积. 【详解】如图，根据斜二测画法画出原图形，则为直角三角形，且，， 所以. 故选：C.    【变式6-1】（25-26高二上·上海普陀·期末）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    【答案】 【分析】由直观图得到平面图，求出相应线段长，即可求出三角形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故答案为：    【变式6-2】如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以 因为， 所以原四边形中最长边的长度为6． 【变式6-3】（25-26高二上·上海金山·期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是______． 【答案】 【分析】利用斜二测画法来还原平面图形，即可求面积. 【详解】 由直观图中的，根据，可知， 则根据斜二测画法还原平面图形平行四边形，可得，， 所以平行四边形的面积为， 即原图形的面积是， 故答案为： 知识点01平面基础概念 平面核心特征：无限延展、无厚薄、无大小，为空间基础几何元素。 平面记法：希腊字母；三点记法：平面；四边形记法：平面。 知识点02空间点、线、面符号体系（通用公式） 文字描述 微软公式格式 点在直线上/不在直线上 点在平面内/不在平面内 直线在平面内/不在平面内 直线与平面交于一点 两平面相交于直线 两直线相交于一点 知识点03平面三大核心公理（必考） 公理1（线在面内判定） 文字：若直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 公式： 用途：证明直线包含于平面。 公理2（确定平面依据） 文字：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公式： 三大推论： 1. 直线+直线外一点： 2. 两条相交直线： 3. 两条平行直线： 用途：证明多点、多线共面。 公理3（面面相交性质） 文字：两个不重合平面有公共点，则有且仅有一条公共直线，所有公共点都在该直线上。 公式： 用途：证明多点共线、找平面交线。 知识点04三大核心题型解题思路 1. 多点共线：证所有点同时在两个相交平面内，点必在两面交线上 2. 多线共点：先证两线相交，再证交点在其余直线上 3. 多点多线共面：定基准平面，证剩余元素全部在平面内 知识点05高频易错点 1. 三点确定平面的前提：三点不共线，共线三点可确定无数平面； 2. 两平面相交结果为直线，不可写为单个点； 3. 线面关系为包含关系：只能用，不可用。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）直线上存在两点在平面上，用集合语言表示的关系_________． 【答案】 【分析】由平面的基本性质得解. 【详解】由平面的基本性质，当直线上存在两点在平面上时，. 故答案为： 2．（25-26高二下·上海浦东新·期中）公理2的推论1可用符号语言表述为：若__________，则存在唯一的平面，使得. 【答案】 【详解】公理2的推论1为：直线与直线外一点，确定一个平面， 所以应填：. 3．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则_____（填数学符号）． 【答案】 【分析】根据基本事实可得结果. 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海长宁·期末）命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】利用举反例的方法判断命题的真假． 【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点， 但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题． 故答案为：假． 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 【答案】6 【分析】分4个平面交于同一条直线，3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，任意3个平面都不交于同一条直线求解. 【详解】当4个平面交于同一条直线时，只有一条交线； 当3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，得到3条交线，一共得到4条交线； 当任意3个平面都不交于同一条直线时，共得到6条交线. 综上：它们交线的条数最多是6条. 故答案为：6 6．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，平面平面______．    【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面. 故答案为： 7．（2025高二·上海·专题练习）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是______. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积. 【详解】还原该坐标系和直观图可得： 由斜二测画法的规定可知： ，， 则. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________．    【答案】 【分析】利用斜二测画法的规则即可画出原四边形，即可求解． 【详解】由题可知， 如图，建立平面直角坐标系，    在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． 原四边形是直角梯形， 故四边形的面积为． 选答案为：5 9．（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【分析】根据已知得R、C既在平面上又在平面上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 10．（25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 11．（25-26高一上·上海·期中）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 【答案】 【分析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后求出的长，即可得出三角形面积. 【详解】因为轴，所以的中，， 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以. 如图作于， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）以下四个命题正确的是______． ①三个平面最多可以把空间分成八部分 ②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 ③若，直线平面，直线平面，且，则 ④若n条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】①②③ 【分析】逐个分析四个命题，利用基本事实和推论，来判断命题是否正确. 【详解】命题①，一个平面将空间分成两部分； 再加一个平面，若第二个平面与第一个平面平行，则将空间分成三部分，若两个平面相交，则将空间分成四部分，所以两个平面最多将空间分成四部分； 若想将空间分成尽量多的部分，前两个平面必相交，第三个平面与前两者也均相交，当三个平面交于同一条直线时空间被分成六部分，当三个平面两两相交，有三条交线时，若三条交线平行则空间被分成七部分，若三条交线均不互相平行则空间被分成八部分，所以三个平面最多可以将空间分成八部分，①正确； 命题②，四点不共面，则这四点一定不共线，由基本事实可知，直线和直线外一点有且只有一个平面，若有三点共线，则这三点与第四点必然共面，故这四点中必然任意三点都不共线，②正确； 命题③，因为，所以且，因为，，所以，，因为，所以，③正确； 命题④，若这条直线是棱柱的侧棱，它们均平行，因为平行直线能确定一个平面，所以任意两条都共面，但这条直线并不共面. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 15．（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 【答案】D 【分析】先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可 【详解】由题直观图的面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为，故D正确. 故选：D. 16．（23-24高二上·上海·单元测试）如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果. 【详解】因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以，且. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以，且， 所以，且， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则平面ABC，同理平面ACD. 又平面平面， 所以M在直线AC上． 故选:D. 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）空间四点中，条件p：三点共线；结论q:四点共面．p是q的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件）？并说明理由． 【答案】充分非必要条件；理由见解析 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个平面即可得结果. 【详解】p是q的充分非必要条件，理由如下： 因为三点共线的该直线外有一点，依公理三的推论一，可以确定一个平面； 但四点共面，不一定有三点共线，如平行四边形的四个顶点， 故p是q的充分非必要条件. 18．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 19．如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系． 【答案】详见解析 【分析】根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 【详解】在（1）中，. 在（2）中，. 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 21．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $