1.4 课时2 正方形的判 定件 2026-2027学年北师大版 数学 九年级上册

该初中数学课件围绕“正方形的判定”展开，通过观察矩形菱形图片、折叠矩形纸片视频及菱形框架活动导入，以平行四边形、矩形、菱形知识为支架，构建从定义到判定定理的完整学习脉络。 其亮点在于以探究活动驱动教学，通过“证一证”环节培养数学思维（逻辑推理），用符号语言规范表达判定定理（数学语言），结合中点四边形拓展体现数学眼光（空间观念）。例题与练习结合助学生掌握判定思路，教师可直接用于课堂探究与巩固。

1.4 课时2 正方形的判定 1.正方形的定义： 有一组 ，且有 的平行四边形是正方形. 邻边相等 一个角是直角 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 〃 矩形、菱形还可以补充什么条件得到正方形？ 正方形不仅是平行四边形，还是矩形和菱形. 2.观察下图，并说说你有什么发现？ 探究一:正方形的判定 活动1：观察由一张矩形纸片折叠剪出一个正方形的视频，说说你的发现，猜想满足怎样条件的矩形是正方形? 猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 证一证 已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC， 求证：四边形ABCD是正方形. 猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证一证 猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，且AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 正方形的判定： 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， 所以四边形ABCD是正方形. 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， 所以四边形ABCD是正方形. 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. A B C D O 活动2：由活动1可知，满足一些条件的矩形是正方形，那么同学们猜想一下，满足怎样条件的菱形是正方形？可活动的菱形框架怎么进行活动才会变成正方形. 正方形 ？ 猜想1:有一个角是直角的菱形是正方形. 猜想2:对角线相等的菱形是正方形. 证一证 猜想1:有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形， ∠A=90°， 求证：四边形ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证一证 猜想2:对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD， 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD， ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）. 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 符号语言： 在菱形ABCD中，∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 符号语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. 定理4：对角线相等的菱形是正方形. A D C B O A B C D 正方形的判定： 正方形判定的几条途径： 先判定菱形 先判定矩形 平行四边形 正方形 ①有一个直角；②对角线相等 矩形条件(二选一) 正方形 ①一组邻边相等；②对角线垂直 菱形条件(二选一) 正方形 ①一组邻边相等且有一个直角 ②对角线相等且垂直 1.满足下列条件的四边形是不是正方形？ (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的菱形； (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ √ √ 已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形？ F A B E C D 探究二：正方形判定定理的综合应用 问题1：要证明 BECF 是正方形，完整的思路是什么？ 先证明BECF是平行四边形 再证明BECF是菱形（矩形） 最后证明 BECF 是正方形 F A B E C D 问题2：写出证明过程，说说你解答过程中应用到的知识. 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, 又∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠EBC =∠ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中，∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°,∴菱形BECF是正方形. 探究三：中点四边形 我们知道，任意画一个四边形， 以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形. 问题1:任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？画完和同学对比，说说你的发现. 正方形 问题2：得到猜想后，证明一下猜想是否正确. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA. ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEH△BFE△CGF△DHG. ∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵△AEH△BFE，∴∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°, ∴四边形EFGH是正方形. A B C D H G F E 2 1 3 问题3：以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？和同学们进行交流，再说说理由. 菱形的中点组成的四边形是矩形. 矩形的中点组成的四边形是菱形. 决定中点四边形形状的关键因素: 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 回顾这节课所学内容，回答下列问题. 1.我们是从哪些角度探究正方形的判定定理的？ 2.运用正方形判定解决几何问题时，核心解题思路是什么？ 3.结合中点四边形的探究，你发现了什么规律？ 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　) A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF C 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择： ①AC⊥BD； ②AC=BD； ③∠ADC=90°． 则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． ①②/①③ Lavf57.62.100 $