1.4 正方形的性质与判定课时2 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定定理与中点四边形，课堂导入从正方形定义切入，类比平行四边形、矩形和菱形的定义判定方法，通过问题引导学生猜想矩形、菱形成为正方形的条件，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以猜想-证明为主线发展推理能力，如通过“矩形邻边相等是否为正方形”的猜想及严格证明，培养数学思维。中点四边形探究结合几何直观，用表格清晰总结对角线关系与中点四边形形状，帮助学生形成结构化认知。对学生提升推理与抽象能力，对教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 课时2 1.探索并证明正方形的判定定理，会进行相关的证明与计算，进一步发展推理能力。 2.了解中点四边形。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 正方形的定义： 有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形。 类比平行四边形、矩形和菱形，正方形的定义也是判定正方形的一种方法。 邻边 直角 平行 课堂导入 3 正方形的判定： 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 知识点1 正方形的判定 A B C D ∟ 新知讲解 问题1 满足什么条件的矩形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A D B C O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四个角为90° 对角线相等 邻边相等（利用正方形的定义猜想） 对角线垂直（利用正方形的性质猜想） 猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 A D B C O 新知讲解 求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。 ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 A B C D ∟ 知识点1 正方形的判定 新知讲解 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，且AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，OB=OD。 ∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD。 ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 新知讲解 正方形的判定定理 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 新知讲解 问题2 满足什么条件的菱形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A C B D O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角（利用正方形的定义猜想） 对角线相等（利用正方形的性质猜想） A D B C O 猜想：有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形。 新知讲解 求证:有一个角是直角的菱形是正方形。 如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。 求证:四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。 ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 新知讲解 求证：对角线相等的菱形是正方形。 如图，已知菱形ABCD的对角线为AC，BD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=AB，AD∥BC。 ∵AB=BA，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC， ∴∠DAB=∠CBA。 ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∴∠DAB=∠CBA=90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 新知讲解 正方形的判定定理 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 新知讲解 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。 例1 证明:∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∠DCB=90°。 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°。 ∴∠EBC=∠ECB。∴EB=EC。 ∴□ BECF是菱形(菱形的定义)。 在△EBC中， ∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=180°- ∠EBC- ∠ECB= 180°- 45°- 45°=90°。 ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。 知识点1 正方形的判定 新知讲解 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。 你能证明这个猜想吗? 新知讲解 证明：连接AC ，BD交于点 O，AC交 A1D1于点M，BD交 A1B1于点N 。 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC。 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC， 在△ABD中， A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD。 ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD。 ∴ A1B1=A1D1 ，∠AOB=90°。 ∵A1B1 ∥AC， A1D1 ∥BD， 知识点2 中点四边形 M N ∴四边形A1MON是平行四边形， ∴∠MA1N=∠AOB=90°。 ∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。 新知讲解 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个矩形，以四边的中点为顶点组成的图形是菱形。 新知讲解 思考 (2)类比上述问题，你还能提出什么问题? 菱形 平行四边形 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 知识点2 中点四边形 新知讲解 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 知识点2 中点四边形 新知讲解 思考 (3)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系? 知识点2 中点四边形 对角线垂直 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形。 对角线相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 对角线不垂直也不相等 以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。 矩形 菱形 平行四边形 对角线垂直且相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 正方形 新知讲解 知识点2 中点四边形 中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。 新知讲解 20 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( ) A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 跟踪训练 C 知识点2 中点四边形 新知讲解 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 D A B C D 随堂练习 2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学依据是（　　） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 A 随堂练习 3.如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论。 解：这个新的四边形是平行四边形。证明如下: 连接AC，BD， ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴ EF//AC。 同理可证HG//AC，EH//BD，FG//BD， ∴EF//HG，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形。 随堂练习 4.如图，在四边形ABCD中， AB=BC ，对角线BD平分ABC ， P是BD上一点，过点P作PMAD ， PNCD ，垂足分别为M，N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。 证明： (1) ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB = BC，DB=DB， ∴△ABD≌△CBD (SAS)， ∴∠ADB=∠CDB。 C A B D P M N 随堂练习 证明： (2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°。 又∵∠ADC=90°， ∴四边形NPMD是矩形。 ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°。 ∴∠MPD=45°， ∴∠ADB=∠MPD， ∴DM=PM。 ∴四边形NPMD是正方形。 4.如图，在四边形ABCD中， AB=BC ，对角线BD平分ABC ， P是BD上一点，过点P作PMAD ， PNCD ，垂足分别为M，N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。 C A B D P M N 随堂练习 正方形的判定 定义法 对角线：对角线相等的菱形是正方形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 定理 边：有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角的菱形是正方形 对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形 课堂小结 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形（中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系） 课堂小结 $