专题04 集合的运算（知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题04 集合的运算 （知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点) 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 3.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 知识点01：交集及其性质 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点02：并集及其性质 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 知识点03：全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 对点集训一：交集的概念及运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 例2．（2024·上海闵行·一模）设集合，，则 ． 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 例4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，求． 精练 1．（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合 ，则 2．（2024·上海宝山·一模）集合，则 . 3．（24-25高一上·上海·期中），或，则 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 5．已知集合，，求． 6．已知集合，集合，用列举法表示集合. 对点集训二：根据交集结果求集合或参数 典型例题 例1．（2023·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则 ． 例2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，若，则实数的取值范围是 ． 例3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）方程的解集为，方程的解集为，且，那么的值等于 . 例4．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值构成的集合是 . 例5．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 精练 1．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合，且，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，，若，则实数 ． 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，，，若，且，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，．若，实数的取值范围． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，求实数的值. 6．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 对点集训三： 并集的概念及运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）全集，，，则 ． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则 ． 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 例4．（22-23高一上·上海长宁·期末）已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 精练 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 2.已知集合，则 ． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 4．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设集合，，若，试求实数与集合. 对点集训四：根据并集结果求集合或参数 典型例题 例1．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）若集合，，且，则的取值范围是 例2．（22-23高一上·上海嘉定·期中）集合，则满足条件的集合A共有 个. 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是 . 例4．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为 ． 例5．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，且，若，求实数的取值范围． 精练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，，且，则实数a的取值范围是 . 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合，则满足的集合的个数是 ． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则 . 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 5.已知，若，求实数的值. 对点集训五：补集的概念及运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则= ． 例2．（24-25高一上·上海·期中）已知为实数，全集.若，则 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，当全集分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知全集，，，求，，． 精练 1．（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，， ． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 4．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，集合，求：． 对点集训六：交并补混合运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 例2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，，则 . 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 例4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，且，，求集合． 例5．（22-23高一上·上海奉贤·期中）设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 精练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知全集，若，，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 . 4．（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则= 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，，，，求集合． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，，或，求，，． 对点集训七：根据交并补混合运算确定集合或参数 典型例题 例1．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 例4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 精练 1．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，，，且，求的值． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 1．（24-25高一上·上海·期中）设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（    ） A．mn B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）若全集，非空集合M、N满足，则下列集合中表示空集的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 7．（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 8．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，则 . 9．（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 10．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 4．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）已知全集，，，若，则 . 5．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习），，，，则 . 7．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，若，则 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 10．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知. (1)若方程有两个实数根，，且，求实数的值； (2)若集合，，若，求的取值范围. 11．（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 集合的运算 （知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点) 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 3.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 知识点01：交集及其性质 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点02：并集及其性质 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 知识点03：全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 对点集训一：交集的概念及运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 例2．（2024·上海闵行·一模）设集合，，则 ． 【答案】/ 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知，是3的倍数，则可用列举法表示为 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】根据题意可得，再结合交集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 且是3的倍数，所以. 故答案为：. 例4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，求． 【知识点】交集的概念及运算 【分析】对分类讨论，再利用数轴求两集合交集 【详解】在数轴上标出集合，如图． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 精练 1．（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合 ，则 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 2．（2024·上海宝山·一模）集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中），或，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，或， 所以， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出方程组的解，根据集合交集的含义，即可得答案. 【详解】解，得或， 故， 故答案为： 5．已知集合，，求． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】将中的元素先用列举法从小到大表示出来（直到出现大于等于6的元素即可），结合交集的概念即可得解. 【详解】∵， ，∴． 6．已知集合，集合，用列举法表示集合. 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】集合A,B中的元素均为函数图像上的点，故A与B的交集即为与的交点的集合. 【详解】联立，解得：或，故 对点集训二：根据交集结果求集合或参数 典型例题 例1．（2023·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】因，，，则，故. 故答案为： 例2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据可求得实数的取值范围. 【详解】因为，，且，则. 故答案为：. 例3．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）方程的解集为，方程的解集为，且，那么的值等于 . 【答案】-25 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】4是两方程的公共解，代入即可. 【详解】，所以，故，此时,，满足 所以. 故答案为：-25 例4．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值构成的集合是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】解方程可得集合，根据集合间计算结果分情况讨论集合中元素个数，即可得解. 【详解】由，， 则， 又， 所以集合中之多有个元素， 当中有个元素，即时，无解，， 当集合当中有个元素，即或时， 若，则，， 若，则，， 综上所述，得取值集合为， 故答案为：. 例5．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 精练 1．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据交集结果得到包含关系，从而得到数的取值范围. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，，若，则实数 ． 【答案】，或或， 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】， 当时，，显然符合， 当时，，因为， 所以有，或，解得，或， 综上所述：，或或， 故答案为：，或或， 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，，，若，且，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意可得，即可将3代入，求得a的值。验证后即可确定答案. 【详解】由题意，且， 可得, 故，解得或， 当时，，不满足； 当时，，符合题意， 故实数的值为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，．若，实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由二次函数性质确定出集合，再交集的结论得出参数范围． 【详解】∵，， ∴，且，∴， ∴实数的取值范围是． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，求实数的值. 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】首先得到，解出值再分类讨论即可. 【详解】由题意得，解得或2， 当时，，不满足，故舍去； 当时，，因为，则， 综上所述，. 6．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】分，且，且三种情况，分别求得m的取值，再根据求解对应a的范围即可． 【详解】由于且，故， 当时，，此时，不合题意，故， 由于得，， ①若，若，则，不合题意，所以，则， 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； ②若，时，即， 当时，，联立解得，此时， 又因为，则，解得； 当时，，联立解得，此时， 又因为，所以，解得； ③若，时，即， 由，得，由根与系数关系得，，解得， 此时，，符合题意， 又因为，所以，解得， 综上所述，当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 对点集训三： 并集的概念及运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）全集，，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】用列举法表示出集合中的元素，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以. 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合，，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义直接求解即可 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 例4．（22-23高一上·上海长宁·期末）已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解. 【详解】将两个方程中都代入，得：， 解得：或3， 或3， 所以 . 精练 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据题意结合并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2.已知集合，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可. 【详解】． 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 【答案】2 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由题意可得，可求. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设集合，，若，试求实数与集合. 【答案】， 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】由题意可得，分两种和两种情况讨论求解，进而根据并集的定义求解. 【详解】因为，所以， 当，即时，，，满足题意； 当时，方程无解，舍去. 综上所述，，. 对点集训四：根据并集结果求集合或参数 典型例题 例1．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）若集合，，且，则的取值范围是 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】直接根据并集的概念计算得到答案. 【详解】集合，，且，则. 故答案为：. 例2．（22-23高一上·上海嘉定·期中）集合，则满足条件的集合A共有 个. 【答案】2 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】求出所有满足条件的集合即可得出. 【详解】若，则或，共有2个. 故答案为：2. 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是 . 【答案】/0.0625 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据两个集合相等求参数 【分析】利用可得，再结合两个集合的约束条件求出即得. 【详解】由，得，因此方程与为同一方程， 则，解得， 所以. 故答案为： 例4．（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为 ． 【答案】1或3或4. 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解一元二次方程求出集合，根据并集结果求实数的值. 【详解】由解得或，所以， 由解得或， （i）若，则，满足； （ii）若，则，因为， 所以或， 综上实数的值为1或3或4. 故答案为：1或3或4. 例5．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，且，若，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】由得，由得，求解即可. 【详解】由得，即. 由得，解得. 故实数的取值范围为 精练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合可得解． 【详解】，， 且，如图，故当时，命题成立． 故答案为：．    2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合，则满足的集合的个数是 ． 【答案】4 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据题意可知，集合中至少包含元素2，进而列举出所有的可能结果即可求解． 【详解】因为，， 所以中至少包含元素2， 故集合可能是，共4个. 故答案为：4． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】先求出集合，再根据交集和并集的结果得方程的根，即可求出参数，从而得解，注意验证参数得到的集合是否满足题意. 【详解】，因为，， 所以，即是方程的解， 所以，解得， 当时，方程的根为，此时， 满足，，符合题意， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 【答案】1或或0 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【详解】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或 故答案为：1或或0 5.已知，若，求实数的值. 【答案】. 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得 【详解】因为中，且两根之积为，又， 故，所以，则， 由上知：，所以，代入得，显然满足. 所以. 对点集训五：补集的概念及运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则= ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】由补集的概念求出集合. 【详解】. 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海·期中）已知为实数，全集.若，则 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集运算性质即可求. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若集合，当全集分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义，结合不同的全集，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，，所以. （3）因为，，所以. 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知全集，，，求，，． 【答案】，， 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】先求出，再结合交集及补集运算求解即可. 【详解】因为, 所以，，. 精练 1．（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【答案】； 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，， ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解. 【详解】由题意得，， ∵ ∴， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】根据并集的结论得集合的包含关系，再由包含关系得结论． 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：． 4．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，集合，求：． 【答案】，，，. 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以，，， 故，， 对点集训六：交并补混合运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，，则 . 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】直接利用集合的计算规律计算即可. 【详解】由题可知，，所以. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据题意画出韦恩图即可得知. 【详解】，，作出韦恩图，如图所示：    则. 故答案为： 例4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，且，，求集合． 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据得出有元素，没有，得出有元素即可求解． 【详解】解：∵全集， 满足，， 有元素，没有，有， ∴． 例5．（22-23高一上·上海奉贤·期中）设，，，. (1)求a、b的值及A、B； (2)求. 【答案】(1)，，，； (2). 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据得到，将代入方程，求出，，从而求出A、B； （2）求出，从而得到. 【详解】（1）因为，故， 所以，， 解得：，， 故，； （2），. 精练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据集合的交并补运算即可结合图形求解. 【详解】阴影部分所表示的集合是 由得, 所以, 故选:C 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知全集，若，，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由题意作出Venn图，由图即可求得答案. 【详解】由题意作出Venn图，如图， 填入相应集合中的元素，由图可知， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为 . 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算 【分析】根据阴影部分进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】阴影部分表示， 若，真子集有个. 若，真子集有个. 所以真子集个数的最大值与最小值的差为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则= 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】首先求并集，再求补集. 【详解】，所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知全集，，，，求集合． 【答案】， 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据集合运算的结果画出图，根据图可确定结果.或利用集合运算的定义法解出答案； 【详解】方法1（图法）：根据题意作出图如图所示 由图可知，． 方法2（定义法）：，，∴． 又，∴． ∵，，∴． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，，或，求，，． 【答案】，或，． 【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据交，并，补的定义，结合数轴，即可求解. 【详解】将集合分别表示在数轴上，如图所示． ∵，， ，或， 又或，或， 又,. 对点集训七：根据交并补混合运算确定集合或参数 典型例题 例1．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 【答案】4 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果． 【详解】解：∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2} ∴满足条件的集合A有： A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2} ∴满足上述条件的集合A共有4个． 故答案为：4． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】利用交集的定义直接求解，再求出集合的补集，然后由，列不等式组可求出实数b的取值范围. 【详解】因为，，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以． 故答案为：；． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据集合，全集，得，再根据，求解的范围． 【详解】集合， 全集，∴． 又，， 则，即的范围是． 例4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 精练 1．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 【答案】3 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】根据题意作出维恩图，由维恩图可求得结果. 【详解】因为全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素， 所以作出维恩图如图所示，则，得， 所以集合中含有的元素个数为个， 故答案为：3 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【知识点】交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴2是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴，而， ∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 1．（24-25高一上·上海·期中）设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、判断两个集合的包含关系 【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是全集的两个子集，， A选项，，所以A选项错误. B选项，，所以B选项错误. C选项，，所以C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（    ） A．mn B． C． D． 【答案】D 【知识点】容斥原理的应用 【分析】由公式可得. 【详解】由题知， 所以. 故选：D 4．（24-25高一上·上海·期中）若全集，非空集合M、N满足，则下列集合中表示空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】可以用图来表示集合，，，结合图形即可找出表示空集的选项． 【详解】可用图表示集合，，如下： 观察图形，得，，，，A是，BCD不是. 故选：A 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由已知结合韦恩图即可求解． 【详解】解：结合韦恩图可知，先看为如下阴影部分表示的集合， 则题干阴影部分所表示的集合， 即集合为． 故选：D． 6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为： 8．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，则 . 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【知识点】补集的概念及运算、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案. 【详解】根据可以看出 对A，； 对B，；            对C，  ； 对D，. 故选：D 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解． 【详解】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 故选：D 3．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【知识点】集合新定义 【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D 4．（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）已知全集，，，若，则 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】分、和三种情况，进而可得集合，求的值，即可得结果. 【详解】因为，，， 当时，解得，集合，，不满足； 当时，解得，集合，，满足； 显然不成立； 综上所述：，，， ，， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 【答案】32 【知识点】集合新定义 【分析】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果． 【详解】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以，2，3，4，5，6，7，8，9，， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：32 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习），，，，则 . 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由题意确定则，进而通过，求得，即可求解. 【详解】设, 若，则，又，所以, 所以，此时可得不符合，所以 则，两边同除，可得，所以, 因为，所以一定有，所以，即， 当时，又，所以，所以, 由韦达定理可得：，此时符合； 当时，又，所以，所以, 由韦达定理可得：，此时符合； 所以或. 故答案为：或 7．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，若，则 【答案】1或2 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】讨论集合B中的元素，根据可得解. 【详解】因为， ， 当时，，此时，，满足题意， 当时，，由可得，即. 综上，1或2. 故答案为：1或2. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 【答案】或 【知识点】并集的概念及运算、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且， 可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得； 综上所述：或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)不存在,理由见解析； 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可得出论； （2）由（1）中的结论并根据交集结果分类讨论即可求得结果. 【详解】（1）解不等式可得， 解不等式可得或， 因此可得； 当时，，不合题意； 当时，解得， 若，可得，解得； 当时，解得， 若，可得，解得； 综上可知，实数a的取值范围为或； （2）由（1）可知或， 显然，且； 因此只需满足即可， 又因为a为正数， 可知时，，因为 可得，解得，此时无解； 因此不存在满足题意的 10．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知. (1)若方程有两个实数根，，且，求实数的值； (2)若集合，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由韦达定理得到，根据题意，转化为，代入得到，求得的值，结合，即可得到答案. （2）求得，，由，可得，分，，和，四种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，令，即， 因为方程有两个实数根，可得， 又因为，可得， 即，即， 将代入，可得，解得或， 又由，即，解得或， 所以，即实数的值为. （2）解：由集合， 集合 因为，可得， 若时，即方程无实数根， 则满足，解得； 若时，把代入方程，解得， 当时，方程，解得或，此时，舍去； 当时，方程，解得，此时，符合题意； 若时，把代入方程，解得或， 当时，方程，解得或，此时，舍去； 当时，方程，解得或，此时，舍去； 若时，可得，解得，符合题意， 综上可得，实数满足或，即实数的取值范围为. 11．（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】集合新定义、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）直接根据根据和的定义即可得到结果； （2）先说明当时条件不满足，再说明当时条件满足，即可得到的最小值是. （3）先由的性质确定，然后反复讨论的取值，即可得到所要证明的结论. 【详解】（1）根据和的定义，有，. （2）当时，由于，故. 所以，，这与矛盾； 当时，对任意，由于，故，. 这就意味着，，所以. 综上，的最小值是. （3）由于，. 故，. 显然中不包含负数，且一定包含，故由知. 再由，，知，即. 进一步有，故，即. 再进一步有，故，即. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解和的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$