第01讲 集合及其表示法（知识详解+11典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第01讲 集合及其表示法（知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：集合的含义 知识点02：元素与集合 知识点03：集合的表示方法与分类 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断对象能否构成集合 题型02：判断元素与集合的关系 题型03：根据元素与集合的关系求参数 题型04：利用集合元素的互异性求参数 题型05：根据两个集合相等求参数 题型06：常用数集或数集关系 题型07：描述法表示集合 题型08：列举法表示集合 题型09：区间的定义与表示 题型10：空集的概念以及判断 题型11：有限集与无限集 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【例1】判断下列对象能否构成集合，并说明理由。① 班级里个子高的同学；② 所有小于5的正整数。 【知识点02】元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【例2】用 或 填空：___，___，___，___。 【知识点03】集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含0和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 3.常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 4.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【例3】分别用列举法和描述法表示“大于1且小于6的整数”构成的集合，并判断集合类型。 【题型01】判断对象能否构成集合 【典例1-1】（25-26高一上·上海闵行·期中）下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 【变式1-1】（24-25高一·上海·暑假作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【变式1-3】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）下列各对象的全体不能构成集合的有______.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【题型02】判断元素与集合的关系 【典例2-1】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）用适当符号填空：1______ 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型03】根据元素与集合的关系求参数 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，且，则___________ 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则的值为___________． 【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·阶段检测）设集合，若，则______． 【变式3-3】（24-25高一上·上海·期中）设集合   若2∈A，则_______. 【题型04】利用集合元素的互异性求参数 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【变式4-2】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 【变式4-3】已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【题型05】根据两个集合相等求参数 【典例5-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 【题型06】常用数集或数集关系 【典例6-1】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式6-1】下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】用符号“”或“”填空： （1）______；（2）5______；（3）______；（4）______． 【变式6-3】给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是______. 【题型07】描述法表示集合 【典例7-1】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集. 【变式7-3】（25-26高一·上海·暑假作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【题型08】列举法表示集合 【典例8-1】（25-26高一下·上海杨浦·期中）小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 【变式8-1】（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】用列举法表示下列集合： (1)能整除10的所有正整数组成的集合； (2)绝对值小于4的所有整数组成的集合． 【变式8-3】用列举法表示下列集合： (1)10以内的所有素数组成的集合； (2)． 【题型09】区间的定义与表示 【典例9-1】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【变式9-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，用区间表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【变式9-3】（23-24高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【题型10】空集的概念以及判断 【典例10-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【题型11】有限集与无限集 【典例11-1】下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式11-1】设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【变式11-2】下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)在实数范围内的解集； (3)所有大于3且小于4的实数； (4)方程的解集． 知识点01集合的含义与三大特性 1. 核心定义 由确定、互异、无序的研究对象组成的总体称为集合，组成集合的每个对象叫做元素。 2. 集合三大性质（判断集合依据） 确定性：对象归属唯一确定，模糊描述不能构成集合 互异性：集合中元素互不重复，重复元素只计一个 无序性：元素排列顺序不改变集合本身 知识点02元素与集合的关系及常用数集 1. 两种从属关系 元素与集合只有属于、不属于两种关系： ： 属于集合 ： 不属于集合 2. 必背常用数集符号 自然数集：N 正整数集： 、 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 知识点03集合的表示方法与分类 1. 三种表示方法 列举法：逐一写出元素，格式 ，适用于有限集、规律明显的集合 描述法：通过元素特征表示，格式 ，通用范围最广 图示法：利用Venn图直观表示集合，多用于集合关系分析 2. 集合分类 有限集：元素个数有限 无限集：元素个数无限 空集：不含任何元素的集合，记作 知识点04高频易错总结 模糊、不确定的描述（好看、较高、较小等）不能构成集合 集合元素严格遵守互异性，解题需检验元素不重复 ，，数集符号不可混用 与 不同： 含元素0，空集无任何元素 一、填空题 1．将数集用区间表示为________． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则__________． 3．（25-26高一上·上海·期中）若，则的值为______. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合,，若是空集，则实数的取值范围是__________． 5．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 6．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为______． 7．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为__________________． 8．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________． 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 10．（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 12．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 二、单选题 13．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 14．（24-25高一上·上海·阶段检测）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 16.（24-25高一上·上海·阶段检测）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且. (1)哪个数一定是S中的元素？说明理由； (2)若S是有限集，求S； (3)若S中最小的正数为5，求S. 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 21．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其表示法（知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：集合的含义 知识点02：元素与集合 知识点03：集合的表示方法与分类 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断对象能否构成集合 题型02：判断元素与集合的关系 题型03：根据元素与集合的关系求参数 题型04：利用集合元素的互异性求参数 题型05：根据两个集合相等求参数 题型06：常用数集或数集关系 题型07：描述法表示集合 题型08：列举法表示集合 题型09：区间的定义与表示 题型10：空集的概念以及判断 题型11：有限集与无限集 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 【例1】判断下列对象能否构成集合，并说明理由。① 班级里个子高的同学；② 所有小于5的正整数。 解：1. ① 不能构成集合 “个子高”是模糊、不确定的描述，没有统一判定标准，不满足集合元素的确定性，因此无法构成集合。 2. ② 可以构成集合 小于5的正整数有明确范围：，对象确定、互不重复、无顺序要求，满足集合三大特性，可构成集合。 结论：① 非集合；② 可构成集合 。 【知识点02】元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【例2】用 或 填空：___，___，___，___。 解：1. ：自然数集包含0； 2. ：正整数集只包含正整数，不含负数； 3. ： 是无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数集； 4. ：所有实数均属于实数集。 最终答案： 【知识点03】集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含0和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． （3）区间法：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 3.常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 4.集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【例3】分别用列举法和描述法表示“大于1且小于6的整数”构成的集合，并判断集合类型。 解：1. 列举法表示 大于1且小于6的整数为： 集合表示： 2. 描述法表示 元素为整数，满足条件 集合表示： 3. 集合类型判断 该集合仅有4个元素，元素个数有限，属于有限集。 【题型01】判断对象能否构成集合 【典例1-1】（25-26高一上·上海闵行·期中）下列可以构成集合的是（   ） A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性进行判断 【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合； 对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合； 对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合； 对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合. 故选：D 【变式1-1】（24-25高一·上海·暑假作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）下列各对象的全体不能构成集合的有______.（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 【题型02】判断元素与集合的关系 【典例2-1】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）用适当符号填空：1______ 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】当时，，故， 故答案为： 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D． 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】是有序实数对，且满足，故． 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【题型03】根据元素与集合的关系求参数 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，且，则___________ 【答案】 【分析】根据属于的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·阶段检测）设集合，若，则______． 【答案】3 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系可得，即可得结果. 【详解】因为集合，若， 则，解得. 故答案为：3. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·期中）设集合   若2∈A，则_______. 【答案】 【分析】根据2∈A，由求解. 【详解】解：因为集合   且2∈A， 所以，解得， 故答案为： 【题型04】利用集合元素的互异性求参数 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】直接根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【答案】 【分析】根据，进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 当时，，集合A中的元素出现重复，故舍去. 当时，得或（舍去）， 当时，，显然满足，所以. 综上可知，. 故答案为：. 【变式4-2】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 【答案】实数a的值为0. 【解析】分类讨论与，再根据互异性进行取舍即可. 【详解】由题意可知，a＝1或a2＝a， （1）若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. （2）若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)， 又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0. 【点睛】本题考查由集合与元素之间的关系求参数的值，涉及集合的互异性. 【变式4-3】已知集合含有三个元素分别是，，若，求实数的值． 【答案】0 【分析】根据集合中元素互异的性质，可求出参数的值 【详解】若，则，此时中元素是1，0，1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则或， 当时，中元素是2，1，3，符合题意； 当时，中元素是0，1，1，与集合中元素互异性矛盾，舍去． 若，则或（均舍去）． 综上可知． 【题型05】根据两个集合相等求参数 【典例5-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）由1，a，b组成的集合中有3个元素，该集合和由，a，ab组成的集合是同一个集合，则（    ）． A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得或（舍）， 所以，，， 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【分析】由列等式及结合集合内元素的互异性求解． 【详解】由于，得或， 结合集合的元素的互异性，得， 所以集合， 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【答案】1 【分析】由集合中元素的特点和相等集合的概念求出，然后求解即可. 【详解】由题意可得集合和集合为相等集合， 则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得： 或， 结合互异性，联立解得： 所以． 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设集合A含有3个元素、、，集合含有3个元素、、，若，求实数的值．解此题时，某同学给出的解法是：由题意得且，解方程得．以上解法是否正确？为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验，从而得出解法的正误． 【详解】解：不正确．原因为：由题意知， ①或②， 由①得，但此时，不满足互异性，故舍去． 由②得（舍）或，经检验符合题意． 综上所述，实数的值为． 【题型06】常用数集或数集关系 【典例6-1】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据常用数集的记法做题即可. 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 【变式6-1】下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 【变式6-2】用符号“”或“”填空： （1）______；（2）5______；（3）______；（4）______． 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系，结合常用数集分析判断. 【详解】因为为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 所以；；；. 故答案为：；；；. 【变式6-3】给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】根据数的分类直接判断. 【详解】由题可得，，，，故①③④正确. 故答案为：①③④. 【题型07】描述法表示集合 【典例7-1】（25-26高一上·上海松江·阶段检测）用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号可得结论. 【详解】易知第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号， 且集合表示的是点的集合，所以可知. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集. 【答案】答案见解析 【分析】先消去得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】消去得， 当，即时，不成立，则无解，原方程组的解集为； 当，即时，则， 原方程组的解集为. 综上所述，当时，方程组的解集为； 当时，方程组的解集为. 【变式7-3】（25-26高一·上海·暑假作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1)，且 (2)且 【分析】（1）先考虑被3除余2的正整数用表示，再考虑正整数及1000以内这两个限制条件，用描述法表示即可； （2）先考虑平面直角坐标系中第二象限内的点的特点是，再考虑集合是点集，用描述法表示即可． 【详解】（1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为，且； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合且． 【题型08】列举法表示集合 【典例8-1】（25-26高一下·上海杨浦·期中）小于的正整数的集合用列举法表示为__________． 【答案】 【分析】根据题意结合列举法即可得结果. 【详解】因为， 所以小于的正整数只有．故所求集合为 【变式8-1】（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 【变式8-2】用列举法表示下列集合： (1)能整除10的所有正整数组成的集合； (2)绝对值小于4的所有整数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据题意结合列举法即可得结果. 【详解】（1）能整除10的所有正整数组成的集合为. （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为. 【变式8-3】用列举法表示下列集合： (1)10以内的所有素数组成的集合； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）素数又叫质数，是大于1的自然数，它除了1和它自身以外，不能被其它自然数整除.由此可以用列举法写出10以内的所有素数构成的集合；（2）根据描述法的意思，可以将列举出来. 【详解】（1）10以内的素数有2,3,5,7, 因此构成的集合为. （2）因为, 所以的值有 此时对应的值分别为， 所以构成的集合为. 【题型09】区间的定义与表示 【典例9-1】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    【变式9-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，用区间表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据初中式子有意义的条件求出解集，后用区间表示. 【详解】因为，所以． 则区间表示为：. 故选：C． 【变式9-2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 【变式9-3】（23-24高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【题型10】空集的概念以及判断 【典例10-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的概念进行判断. 【详解】A选项，集合中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，在R上无解，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：B 【变式10-1】下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 【变式10-2】下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的含义进行判断可得. 【详解】对于A：两个集合不能比较大小关系，只有包含与不包含关系，相等与不相等关系，故A错误； 对于B：集合表示一个包含有序对(1,2)的集合，而是一个包含数字1和2的集合，故不相等，故B错误； 对于C：表示空集，不含任何元素，而表示含有一个元素的集合，故C错误； 对于D：其中表示自然数集（通常包括0），故D正确. 故选：D. 【变式10-3】集合为空集，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解. 【详解】由可得， 当，即时，方程无解，即为空集. 故答案为： 【题型11】有限集与无限集 【典例11-1】下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 【变式11-1】设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【分析】根据集合A、B的元素的个数，判断集合的类型. 【详解】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确； 故选：C． 【变式11-2】下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （3因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)在实数范围内的解集； (3)所有大于3且小于4的实数； (4)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)空集； (3)无限集； (4)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）的实数解集，是空集； （3）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （4）方程的解集，是有限集． 知识点01集合的含义与三大特性 1. 核心定义 由确定、互异、无序的研究对象组成的总体称为集合，组成集合的每个对象叫做元素。 2. 集合三大性质（判断集合依据） 确定性：对象归属唯一确定，模糊描述不能构成集合 互异性：集合中元素互不重复，重复元素只计一个 无序性：元素排列顺序不改变集合本身 知识点02元素与集合的关系及常用数集 1. 两种从属关系 元素与集合只有属于、不属于两种关系： ： 属于集合 ： 不属于集合 2. 必背常用数集符号 自然数集：N 正整数集： 、 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 知识点03集合的表示方法与分类 1. 三种表示方法 列举法：逐一写出元素，格式 ，适用于有限集、规律明显的集合 描述法：通过元素特征表示，格式 ，通用范围最广 图示法：利用Venn图直观表示集合，多用于集合关系分析 2. 集合分类 有限集：元素个数有限 无限集：元素个数无限 空集：不含任何元素的集合，记作 知识点04高频易错总结 模糊、不确定的描述（好看、较高、较小等）不能构成集合 集合元素严格遵守互异性，解题需检验元素不重复 ，，数集符号不可混用 与 不同： 含元素0，空集无任何元素 一、填空题 1．将数集用区间表示为________． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【详解】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得且， 由，则，故. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·期中）若，则的值为______. 【答案】 【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值. 【详解】因为，所以分两种情况讨论： 若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去. 若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合,，若是空集，则实数的取值范围是__________． 【答案】, 【分析】集合,，由是空集，则无解，即，再求解即可. 【详解】解：∵集合,，是空集， ∴无解，∴，解得， ∴实数的取值范围是,． 故答案为：,． 【点睛】本题主要考查了集合的概念与表示中空集的相关知识，属于基础题． 5．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 【答案】2 【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 6．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为__________________． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 8．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】解一元二次方程化简集合，再根据集合的概念和表示方法求解即可. 【详解】由可得，解得或， 所以， 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 10．（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）设a是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据已知讨论、、求出对应参数值，结合元素的互异性确定参数值. 【详解】由， 当，则，不满足元素的互异性， 当， 若，则，， 若，则，， 此时，满足. 当或， 若，则，不满足元素的互异性， 若，则，不满足元素的互异性， 综上，. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 二、单选题 13．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【分析】根据集合的定义与整除的概念判断. 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 14．（24-25高一上·上海·阶段检测）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 15．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论求解即得． 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 16.（24-25高一上·上海·阶段检测）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 19．（23-24高一·上海·课堂例题）已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且. (1)哪个数一定是S中的元素？说明理由； (2)若S是有限集，求S； (3)若S中最小的正数为5，求S. 【答案】(1)0一定是中的元素，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用新定义判断即可得解； （2）假设中有非零元素，利用新定义推出矛盾即可得解； （3）先判断得5的正整数倍一定是中元素，再假设中有形如的元素，利用新定义推得也是的元素，从而得到矛盾，进而得解. 【详解】（1）（1）数字0一定是中的元素，理由如下： 若，则，，即. （2）因为为有限非空数集， 假设中有非零元素， 则有形如的所有实数都是的元素，与是有限集矛盾， 所以. （3）因为中最小的正数为5，则5的正整数倍一定是中元素， 又，故当时，， 故所有形如的数都是的元素， 假设中有形如的元素，那么， 这与中最小正整数5矛盾， 综上，. 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 21．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 1 学科网（北京）股份有限公司 $