河北唐山市第一中学2025-2026学年高二第二学期6月月考数学试题

**基本信息** 唐山一中高二数学月考试卷以真实情境为载体，融合集合、导数、概率统计等知识，通过统计案例、猫鼠移动概率模型等设计，考查数学眼光、思维与语言，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、回归分析、二项式定理|基础题梯度递进，如第2题结合数据预测考查回归应用| |多选题|3|回归相关性、函数最值、概率期望|第11题综合概率与期望，考查数学思维严谨性| |填空题|4|导数切线、随机变量分布、集合互斥子集|第14题以集合为背景，创新定义“互斥子集”考查抽象能力| |解答题|5|统计案例、函数单调性、概率模型|第18题猫鼠移动情境融合概率与数列，第19题导数极值与概率证明结合，体现数学建模与逻辑推理|

唐山一中2025-2026学年第二学期6月月考试题 高二年级 数学试卷 命题人:赵璐 温毓铭 审核人:赵璐 温毓铭 一、单选题 1．集合，，（   ） A． B． C． D． 2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 3．设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 6．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 7．若，，，，则a，b，c，d中最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 8．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．若回归方程，则变量与负相关 B．设，则“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 10．下列说法正确的有（    ） A．若，则函数的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知正数满足，则 D．已知，则的最小值为 11．某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 三、填空题 12．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______． 14．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则______，______. 四、解答题 15．已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为. (1)求集合； (2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16．某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 18．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 19．函数. (1)时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点、，曲线上两点、连线斜率记为，求证：. (3)盒子中有编号为的个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山一中2025-2026学年第二学期6月月考试题 高二年级 数学试卷 命题人:赵璐 温毓铭 审核人:赵璐 温毓铭 一、单选题 1．集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，故 又，则. 2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题意可得：， 因经验回归方程经过样本中心点,故，解得， 所以经验回归方程为， 当时，． 3．设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 5．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 【答案】D 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 6．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 7．若，，，，则a，b，c，d中最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】先将，，，变换为：，，，，得到，设，，结合导数和作差法得到，得到，最后设，，利用导数比较和，即可得到，，，中最小值. 【详解】因为，，所以； 又， 所以， 设，， 则，当时，， 所以在上单调递增，则，即， 所以，即；则， 设，， 则， 令，，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 则时，，所以在上单调递减， 所以有，即，则， 综上：， ，即，，，中最小的是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对进行变形得到，利用作差法比较和，从而构造函数，；比较和时，观察代数式的形式，从而构造函数，，是解决本题的关键. 8．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用导数分析函数的单调性、最值及零点（记为)，由关于x的不等式恒成立，函数的零点恰好是的零点，结合韦达定理对化简，可得，构造函数，利用导数分析单调性，求得其最大值即可. 【详解】设，则. 令，得. 因为是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最小值为. 因为，，且当时，， 所以有两个不同的零点，记为. 又关于x的不等式恒成立，所以恰为函数的零点. 即. 所以. 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即的最大值为 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．若回归方程，则变量与负相关 B．设，则“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 【答案】ACD 【分析】根据线性回归方程的性质可判断A；根据一元二次不等式及绝对值不等式求出解集，结合充分条件、必要条件的概念即可判断B；采用作差法即可判断C；由非线性回归方程与线性回归方程的转化关系求解即可得，的值，即可判断D. 【详解】对于A，回归方程为，因为，所以变量与负相关，故A正确； 对于B，不等式的解集，由，得，其解集， 则集合是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，所以，即，故C正确； 对于D，依题意，， 又，所以且，即，所以，故D正确． 10．下列说法正确的有（    ） A．若，则函数的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知正数满足，则 D．已知，则的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，利用基本不等式直接进行求解；对于B，分离常数后直接利用基本不等式计算求解即可；对于C，将分母转化已知条件，代换即可；对于D，构造再利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以则函数的最小值为，故A错误； 对于B，因为，则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为，故B正确； 对于C，设，， 因为，则，， 要证，即证， 因为， 即，所以，故C正确； 对于D，由得：， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 11．某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 【答案】ABD 【分析】对A根据相互独立事件的概率计算可得；对B分有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，再根据相互独立事件的概率计算可得；对C直接根据期望的性质计算可得；对D根据贝叶斯公式计算可得. 【详解】对于A，答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题全部答对， 由相互独立事件的概率公式得，A正确. 对于B，至少答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道， 答对道的概率：由A选项可知为； 答对道分两种情况： ① 道有思路的全对、道无思路的错：； ​ ② 道有思路的对、道有思路的错、道无思路的对：， 因此总概率：，​ 故B正确. 对于C，设答对总题数为，则（​分别为两道有思路题答对的题数，​为无思路题答对的题数）， 由期望的性质得 ， 因为， 故C错误. 对于D，设“题目做对”，“题目完全掌握”，“题目有思路”，“题目无思路”， 则，，， 根据贝叶斯公式 ， ​ 故D正确. 三、填空题 12．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为X，则______． 【答案】 【分析】设质点向右移动的次数为随机变量，则服从二项分布，建立最终位置与的线性关系，利用方差的性质求解. 【详解】设质点在次移动中向右移动的次数为，由题意可知，每次移动向右的概率为，且各次移动相互独立， 所以服从二项分布，即，则. 因为质点向右移动次，则向左移动次， 所以移动次后质点对应的数， 由方差的性质得. 14．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则______，______. 【答案】 【分析】令，作出图形，每个元素可在、、中任何一个，共有中，除去为空集、为空集以及、同时为空集的情形，即可得出的表达式，即可得解. 【详解】令，如图，全集被划分成、、三个部分， 中的任意一个元素只能在集合、、之一中，有种方法， 则这个元素在集合、、中，每个元素均有种选择，故共有种选择方法， 其中为空集的种数为，为空集的种数为，、均为空集的种数为种， 则、均为非空子集的种数为， 因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”， 而，满足的与不是同一组“互斥子集”， 于是得集合的所有“互斥子集”的组数为， 其中. 故答案为：；. 四、解答题 15．已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为. (1)求集合； (2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将命题为真命题转化成一元二次不等式在区间上恒成立问题，即可求得实数取值范围得集合；（2）由题可知，是的子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令， 因为函数在时取最小值， 所以“，使得不等式成立”是真命题， 需满足，解得， 即； （2）因为不等式的解集为， 且“”是“”的充分条件，则是的子集； ①当，即时，解集， 所以,解得 综合得； ②当，即时，不满足题设条件； ③当，即时，解集， 所以,解得 综合可得， 综上所述，实数的取值范围是. 16．某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 参考数据：． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)数学成绩与单日运动时间有关； (2) 【分析】（1）先计算，再与临界值比较判断求解； （2）先计算样本中心点，再应用公式计算，最后代入样本中心点计算. 【详解】（1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关， ， 零假设不成立，故可认为根据小概率值的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关． （2）， ， 于是， 于是． 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程； （2）由题意得，讨论根据判定其单调区间； （3）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值. 【详解】（1）当时， ， ， ， 所以切线方程为：； （2）由题，可得 由于，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； （3）解法一： ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立 ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 解法二： 当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 当时，，所以. 当时， ，所以恒成立. 设，则 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 18．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 【答案】(1)0.5; (2) 由题意，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 因为，所以， 即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意，则， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为. 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解； （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）略 19．函数. (1)时，讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点、，曲线上两点、连线斜率记为，求证：. (3)盒子中有编号为的个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：. 【答案】(1)增区间为、，减区间为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）借助斜率公式表示出后化简，可转化为证明，借助换元法令，构造函数，结合（1）问中所的即可得解； （3）借助概率公式可得，借助放缩法可得，结合（2）中所得可得，即可得证. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ， 由可得；由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为. （2）因为定义域为，， 对于方程，， 因为函数有两个极值点、，则方程在上有两个不等的实根， 所以，，解得, 则 ， 所以要证，即证，即证， 也即证（*）成立． 设，函数，则， 所以，函数在上单增，且， 所以时，，所以（*）成立，原不等式得证. （3）由题可得， 因为，，…，， 所以， 又由（2）知，， 取，有， 即，即， 所以． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出后，借助（2）问中所得，取，代入可得，即可得解. 试卷第18页，共19页 试卷第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $