精品解析：河北唐山市第二中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

2025-2026唐山二中高二下学期4月数学月考 一、单选题 1. 如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上f（x）单调递增 B. 在区间（1，3）上f（x）单调递减 C. 在区间上f（x）单调递增 D. 在区间（3，5）上f（x）单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的正负依次判断单调性即可. 【详解】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0， 在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间上小于0， 在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误. 故选：C. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则即可求解. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误． 故选：C． 3. 设，若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，将代入解方程即可. 【详解】,解得, 故选：B. 4. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论，、各分得张与、两人一人得张、另外一人得张，按照分步、分类计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若、各分得张，则有种不同的分法； 若、两人一人得张、另外一人得张，则有种不同的分法； 综上可得一共有种不同的分法. 故选：B 5. 函数的零点的个数为 （    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求出极值，然后判断函数零点的个数． 【详解】因为函数，求导得， 当或时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 由此可知函数的极大值为，极小值为，并且当时，， 因此函数的零点个数为个，故B正确. 6. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法. 故选：A. 7. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，则； 令，则， 在上单调递减，，即，则； ，即； 令，则， 在上的单调递增，，即， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小. 二、多选题 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，令，得，故A正确； 对于B，令，得①， 则，故B错误； 对于C，令，得②， 由①②可得，故C错误； 对于D，由可知，， 所以，故D正确. 故选：AD. 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解. 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，求出极大值，所以A正确；B选项，B选项，在A基础上，结合零点存在性定理得上存在唯一零点；C选项，在A基础上，由单调性得到C正确；D选项，参变分离，得到在上恒成立，令，求导，得到函数单调性，最大值，得到D错误. 【详解】A选项，已知，则，， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在上取得极大值，极大值，所以A正确； B选项，由A知，在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 当时，恒成立， 由零点存在性定理得上存在唯一零点， 所以只有一个零点，所以B正确； C选项，因为在上单调递减，， 所以，所以C正确； D选项，当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在上取得极大值，也是最大值，最大值， 则，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则_______. 【答案】8 【解析】 【分析】由二项式系数的性质进行求解． 【详解】由得，． 13. 已知函数在处取得极大值，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导，根据题意可得，计算可得或3，代入结合题意验证可解. 【详解】求导可得， 由题意可得，即，解得或3， 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 函数在处取得极大值，符合题意； 综上，. 14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式同构为，根据函数的单调性可得，分离参数得到，利用导数可求得函数的单调性，进而求得的取值范围. 【详解】由不等式得：， 即， 令，则， 函数在上单调递增，，， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增， ，即恒成立； 当时，若，则；若，则； 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，； 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用同构法求解恒成立问题，解题关键是能够将已知不等式同构为同一函数的两个函数值的形式，进而利用函数单调性得到自变量的大小关系. 四、解答题 15. （1）求的值； （2）已知，求； （3）已知，求. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数公式计算即可； （2）利用排列数和组合数公式解方程即可； （3）根据组合数的性质计算即可. 【详解】（1）； （2）由， 得，解得； （3）因为 ， 所以， 所以或，解得或. 16. 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． （1）求的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，结合组合数公式可求得的值； （2）写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数值，结合二项式系数的概念可得结果. 【小问1详解】 由题意可得，即，即，且， 即，故. 【小问2详解】 ， 其展开式的通项公式， 令，解得，故展开式中含的项的二项式系数为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符题意舍去； 当时，由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，满足，则； ②当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，不符题意舍去. 所以. 18. 已知函数在点的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围． 【答案】（1）16； （2）的增区间是,减区间是；（3）． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由函数在点的切线与直线垂直得切线斜率为，即 解出； （2）将导数变形，令 和 ，即可得到的增区间和减区间； （3）由函数的单调性，求得函数的极大值和极小值，要使直线与的图象有3个交点，当且仅当，从而得的取值范围． 【详解】（1）在点的切线与直线垂直 在点的切线斜率为 又 解得 ． （2）由（1）知，, ． 令 解得 或 令 解得 的增区间是，减区间是． （3）由（2）知，在内单调递增，在内单调递减， 在上单调递增，且当或时，, 的极大值为，极小值为． 又, , 所以在3个区间，和内的图象与直线各有1个交点，当且仅当, 所以的取值范围为． 19. 函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【解析】 【分析】(1)求出,通过判断导数符号求得函数的单调性; (2)根据题意, 若，使得等价于,分别求出最小值，代入不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）． 当，即时，，单调递增； 当，即时，，单调递减． 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），即．令，则由题意，可得，． 由（1）可知，在上单调递增，所以． 因为， 所以，． 因为， 所以，， 所以． 又，所以当时，，所以在单调递增，故． 所以，即． 故实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山二中高二下学期4月数学月考 一、单选题 1. 如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上f（x）单调递增 B. 在区间（1，3）上f（x）单调递减 C. 在区间上f（x）单调递增 D. 在区间（3，5）上f（x）单调递增 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，若，则 A. B. C. D. 4. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 5. 函数的零点的个数为 （    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 7. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题 12. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则_______. 13. 已知函数在处取得极大值，则_________． 14. 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15. （1）求的值； （2）已知，求； （3）已知，求. 16. 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． （1）求的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 18. 已知函数在点的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围． 19. 函数，． （1）求的单调区间； （2）若，，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $