精品解析：福建省厦门第一中学等校2025——2026学年度 第二学期6月学业调研评估 初三年数学学科练习

福建省厦门第一中学2025——2026学年度第二学期6月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴A、B、C都不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选：B． 4. 北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 D. 0.72×106 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵多边形的每一个内角都等于120°， ∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=60°， ∴边数n=360°÷60°=6． 故选C． 考点：多边形内角与外角． 6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列举出从4个素数中随机选取两个不同的数所有等可能结果，再找出和小于的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵不超过10的素数为，，，，共4个，随机选取两个不同的数，所有等可能的结果为：，，，，，，共6种，其中和小于10的结果有：，，，，共种， ∴所求概率为． 7. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 两点确定一条直线 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A．对顶角相等，所以A选项为真命题； B．两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题； C．两点确定一条直线，所以C选项为真命题； D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题． 故选：B． 考点：命题与定理． 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】连接，即，又，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果． 【详解】解：连接BD， ∵∠DAB=180°﹣∠C=60°， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°， ∵PD是切线， ∴∠ADP=∠ABD=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解． 10. 如图，在长方形中，依次画出正方形、正方形、正方形若要确定线段的长，只需知道（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x，则，，，进而得，，由得，则，继而得，据此即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x， ，，， ，， 在长方形中，，， 由，得， ， ， 若要确定线段的长，只需知道线段的长即可． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 不等式的解集是_________ 【答案】 【解析】 【详解】解：   不等式两边同时除以2，得 . 13. 某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用样本中的优秀率来估计整体中的优秀率，从而得出总体中的中长跑成绩优秀的学生人数． 【详解】解：由图知：样本中优秀学生的比例为：， 该校中长跑成绩优秀的学生人数是：（人） 故答案是：． 【点睛】本题考查了利用样本估计总体的统计思想，解题的关键是：根据图中信息求出样本中优秀率作为总体中的优秀率，即可求出总体中优秀的人数． 14. 如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知反比例函数 的图象如图所示，结合图象可得：当时，y的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数  在第一象限内  随  的增大而减小，结合图象上点  的坐标，确定  时对应的函数值范围． 【详解】解：由反比例函数解析式  可知 ． 图象位于第一、三象限，在每一象限内， 随  的增大而减小． 当  时，． 观察图象可知，当  时，图象位于直线  的右侧． 此时函数值  小于  时的函数值 ，且大于 ． 所以  的取值范围是 ． 16. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 【答案】4 【解析】 【分析】首先在图2中，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求出的长，进而求出此时的长；然后在图3中，通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理求出此时的长；最后计算两者的差值即可． 【详解】解：如图2，过点作于点，  由题意可知cm，为中点，  cm． 又∵cm，  ，  ． 在中，，  (cm)，  (cm)，   图2中的长为(cm)． 如图3，过点作于点，过点作于点，  ∴， ， ∴，   四边形是矩形，  cm，． 在中，，  (cm)，  (cm)，  cm． 在中，cm， 由勾股定理得(cm)，   图3中的长为(cm)，   变形前后两轴心的变化量为(cm)． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】利用立方根定义、零指数幂法则、乘方的意义计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂及乘方的计算法则是解答此题的关键． 18. 如图，点为矩形内的一点，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ，即 ， 在和中， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据矩形的性质求出 ，求出 ，根据推出即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中m=+1． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题． 【详解】 = = =， 当m=+1时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 ； Ⅱ．乙运动员的射击成绩是： 成绩/环 6 7 8 9 次数 1 2 2 2 3 Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为： Ⅳ．分析上述数据，得到下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 丙 d 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的___________，___________，___________，___________． （2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？ 【答案】（1）9，，，8和9 （2）应该选择甲参赛，见解析 【解析】 【分析】（1）分别根据众数、算术平均数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差和平均数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：甲10次射击中，9环出现的次数最多， ∴众数， 乙的平均数， 乙次射击的成绩的中位数为，第5和6位置的数的平均值， ∴， 丙次射击中，8环和9环出现的次数最多， ∴众数和9， 故答案为：9，，，8和9； 【小问2详解】 解：应该选择甲参赛，理由如下： ∵甲和乙的平均数相同，且比丙的高， ∴在甲和乙中选其中一个参赛； 又∵甲的方差比乙小， ∴甲比乙稳定，故该选择甲参赛． 【点睛】本题考查了折线统计图、众数、算术平均数、中位数、方差等知识．熟练掌握折线统计图、众数、算术平均数、中位数、方差是解题的关键． 21. 在一次数学活动课中，林老师提出问题：“如图，已知矩形纸片ABCD，如何用折纸的方法把三等分？” 通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：先对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，然后把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上的点N，得到折痕BM和线段BN，如图所示．则BM和BN三等分． 请你对奋进组这种做法的合理性给出证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】设BM、EN交于点P，通过折叠及直角三角形斜边上的中线性质证明PA=PB=PM=PN，即可证明BM和BN三等分． 【详解】设BM、EN交于点P， ∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF， ∴EF垂直平分AB ∴PA=PB ∴ ∵ ∴ ∴PA=PB=PM 即P是BM中点 ∵折叠纸片，使点A落在EF上的点N ∴， ∴PA=PB=PM=PN ∴ ∵EF∥BC ∴ ∴ 即BM和BN三等分 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质． 22. 如图，中，，点为边中点，且，． （1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为24． 【解析】 【分析】（1）在延长线上截取，然后作的垂直平分线交于点D，即可解决问题； （2）连接，证明是的中位线，可得，解直角三角形可得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问2详解】 解：连接，， ∵，，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的面积为24． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形的面积，三角形中位线定理，解直角三角形，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 23. 如图1，点A，B，C在O上，是的直径，平分，与相交于点D．连接，与相交于点E． （1）求的度数． （2）如图2，过点A作的切线，与的延长线相交于点F，过点D作，与相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）90° （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质： （1）先由角平分线的定义得到，再由等边对等角推出，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则由平行线的性质可得； （2）连接，如图：则，设半径为r，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，，由切线的性质得到，则，再利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， 设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 24. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===． 思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===． 思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 … 请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值； （2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度； （3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）能相交，P（﹣1，﹣4）或（，3）． 【解析】 【分析】（1）如图4，只需借鉴思路一的方法，就可解决问题； （2）如图5，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，由三角函数就可求出DB，从而求出DC长； （3）分类种情况讨论：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图6．过点C作CD轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C的坐标，从而求出tan∠ACF的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图7，由①可知∠ACP=45°，P（，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出GO，从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，此时点P不存在． 【小问1详解】 解：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°， 延长CB至点D，使BD=BA，连接AD． 设AC=1，则BD=BA=2，BC=． ∴ tan∠DAC=tan75°====； 【小问2详解】 解：如图5， 在Rt△ABC中，AB===，sin∠BAC=， ∴ ∠BAC=30° ∵∠DAC=45°， ∴ ∠DAB=45°+30°=75° 在Rt△ABD中，tan∠DAB=， ∴ DB=AB•tan∠DAB=•（）=， ∴DC=DB﹣BC== 答：这座电视塔CD的高度为（）米； 【小问3详解】 解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图6．过点C作CD轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F． 解方程组：， 得：或， ∴ 点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）． 对于，当x=0时，y=﹣1， 则C（0，﹣1），OC=1， ∴ CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2， ∴ tan∠ACF=， ∴ tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF） =tan（45°+∠ACF） = = =3， 即=3． 设点P的坐标为（a，b），则有：， 解得：或， ∴ 点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）； ②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与轴相交于点G，如图7， 由①可知∠ACP=45°，P（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H， 则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH， ∴ △GOC∽△CHP， ∴ ． ∵ CH=3﹣（﹣1）=4，PH=，OC=1， ∴， ∴ GO=3，G（﹣3，0）． 设直线CG的解析式为， 则有：， 解得：， ∴ 直线CG的解析式为． 联立：， 消去y，得：， 整理得：， ∵△=， ∴方程没有实数根， ∴点P不存在． 综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、和（差）角正切公式、用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数与一次函数的图象的交点、相似三角形的判定与性质、勾股定理、根的判别式、解一元二次方程等知识，考查了运用已有经验解决问题的能力，在解决问题的过程中，用到了分类讨论的数学思想，用到了类比探究的数学方法，是一道体现新课程理念（自主探究与合作交流相结合）的好题． 25. 如图，抛物线与轴交于，，两点，且，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线与抛物线交于第一象限的点，与线段交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）若，抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的最大值是2，此时点的坐标是． （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴易得，再根据可得，从而求出、，即可得解； （2）先求直线解析式，过点作轴的平行线交于点，易证，可得，设点，，则，则据此求解即可； （3）由题易设设直线的解析式为，联立抛物线解析式，根据可得解得，再由表示，即可得解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 联立， 解得， 将代入抛物线中，得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，，． 设直线的解析式为， 则，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的平行线交于点， △△， ． ， ， ， ． 设点，，则， ， ． 当时，取最大值，最大值是2， 此时点的坐标是． 【小问3详解】 解：当时，直线， 设直线交轴于点，交轴于点，过点作，交轴于点， 当时，，当时，，， ∴点,, ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入点得：，解得， 即直线的解析式为 点，关于直线对称，即直线垂直平分线段， ∴， 故可设直线的解析式为， 当直线与抛物线交于两点时，联立直线与抛物线解析式， 则有， 即，且此方程有两个不等的实数根， 根据，可知， 解得． 设,，,， 则， 设的中点为，则， 联立， 解得， ， ． ， ， ， 的取值范围是． 【点睛】第二问考察“铅垂高”求面积或转化线段比的技巧，这是解决坐标系中三角形面积问题的通法． 第三问考察“对称”问题的处理套路：设直线 → 联立 →韦达定理求中点 → 中点代入对称轴 →判别式定范围．掌握这个流程，此类题目迎刃而解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025——2026学年度第二学期6月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 3. 如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 D. 0.72×106 5. 一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 两点确定一条直线 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 45° 10. 如图，在长方形中，依次画出正方形、正方形、正方形若要确定线段的长，只需知道（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：__________． 12. 不等式的解集是_________ 13. 某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________． 14. 如图，是的角平分线，若，则_____． 15. 已知反比例函数 的图象如图所示，结合图象可得：当时，y的取值范围是_________ 16. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，点为矩形内的一点，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中m=+1． 20. 某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 ； Ⅱ．乙运动员的射击成绩是： 成绩/环 6 7 8 9 次数 1 2 2 2 3 Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为： Ⅳ．分析上述数据，得到下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 丙 d 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的___________，___________，___________，___________． （2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？ 21. 在一次数学活动课中，林老师提出问题：“如图，已知矩形纸片ABCD，如何用折纸的方法把三等分？” 通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：先对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，然后把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上的点N，得到折痕BM和线段BN，如图所示．则BM和BN三等分． 请你对奋进组这种做法的合理性给出证明． 22. 如图，中，，点为边中点，且，． （1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 23. 如图1，点A，B，C在O上，是的直径，平分，与相交于点D．连接，与相交于点E． （1）求的度数． （2）如图2，过点A作的切线，与的延长线相交于点F，过点D作，与相交于点G．若，，求的长． 24. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===． 思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===． 思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 … 请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值； （2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度； （3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于，，两点，且，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线与抛物线交于第一象限的点，与线段交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）若，抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $