精品解析：福建省泉州市第七中学金山校区2025-2026学年九年级下学期 第二次阶段性质量检测数学试题

2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性质量检测 数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 在3.14159，，0，，这4个数中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 4. 下列式子计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 点不可能在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 数据10，10，x，8的众数与平均数相同，则这组数的中位数是（ ） A. 10 B. 8 C. 14 D. 12 7. 下列说法中正确的是（）． A. 经过线段中点的直线是该线段的对称轴 B. 到三角形三个顶点距离相等点是这个三角形三边垂直平分线的交点 C. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称图形 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（ ） A. 5 B. 8 C. 13 D. 15 9. 如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题4分） 11. 已知a，b是有理数，，则_____ ． 12. 把向右平移2个单位向上平移2个单位，则平移后的解析式为______． 13. 如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 14. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______ 15. 若方程有增根，则增根为_____ ． 16. 如图，是的直径，P为延长线上一点，切于点C，平分，与的延长线交于点E，，，则的长为___________________ ． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式组，并用数轴表示其解集． 20. 某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 21. 如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表． 自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 … 指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 … 指针落在黑色区域频率p （1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数． （2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率． 22. 如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 23. 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，过A点直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： （3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 25. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． （1）如图1，延长交D于点G，若，，求的长． （2）如图2，． ①证明：； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期第二次阶段性质量检测 数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 在3.14159，，0，，这4个数中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐个分析． 【详解】解：，是无理数， 故无理数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 2. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将35500用科学记数法表示应为， 故选：B． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 4. 下列式子计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方以及同底数幂的除法，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 5. 点不可能在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点及解不等式组，解题的关键是根据各象限点的特点来判断所给的未知字母解的情况． 根据四个象限的符号特点列出不等式组，根据不等式组解的情况进行判断即可． 【详解】解：A、若点第一象限，则，此时，则点可能在第一象限，故本选项不符合题意； B、若点在第二象限，则，此时，则点可能在第二象限，故本选项不符合题意； C、若点在第三象限，则，此时不等式组无解，则点不可能在第三象限，故本选项符合题意； D、若点在第四象限，则，此时，则点可能在第四象限，故本选项不符合题意； 故选：C 6. 数据10，10，x，8的众数与平均数相同，则这组数的中位数是（ ） A. 10 B. 8 C. 14 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和平均数相等列方程．要分类讨论． 【详解】解：当众数为10时，根据题意得：10+10+x+8=4×10， 解得x=12， 则中位数是10； 当x=8时，有两个众数，而平均数为（10×2+8×2）÷4=9，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．运用分类讨论的思想解决问题． 7. 下列说法中正确的是（）． A. 经过线段中点的直线是该线段的对称轴 B. 到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点 C. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段对称轴，三角形三边垂直平分线的性质，全等三角形与轴对称的关系，等边三角形的判定等知识点，解题的关键是准确掌握并运用这些几何概念和性质． 分别对每个选项依据相应的几何定义和性质进行判断． 【详解】解：经过线段中点且垂直于这条线段的直线才是该线段的对称轴，仅经过线段中点的直线不一定是其对称轴，所以A错误，故不符合题意； 根据线段垂直平分线的性质，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故B正确，符合题意； 两个全等的三角形不一定关于某条直线成轴对称，成轴对称的两个三角形一定全等，但全等的三角形位置关系不一定是轴对称关系，所以C错误，故不符合题意； 有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，只说有一个角是的三角形不一定是等边三角形，所以D错误，故不符合题意． 故选：B． 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（ ） A. 5 B. 8 C. 13 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键． 直接利用位似图形的性质可得，从而得到，进而求出答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为5， ∴的周长为． 故选：D 9. 如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长公式即可求得结果． 【详解】， ∴的长为． 10. 已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数函数值大小的比较；通过计算抛物线在各点的函数值，比较大小关系． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ， ， ∵ m为常数， ∴． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每题4分） 11. 已知a，b是有理数，，则_____ ． 【答案】0 【解析】 详解】解：∵， ∴， ∴ ． 12. 把向右平移2个单位向上平移2个单位，则平移后的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移方法“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：把向右平移2个单位向上平移2个单位，则平移后的解析式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 13. 如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点，，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，作的中点，连接，连接， ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点，，三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 14. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______ 【答案】12米 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC=1：， ∴AC=•BC=6（米）， ∴AB===12（米） 故答案为：12米 【点睛】考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 15. 若方程有增根，则增根为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】先确定分式方程分母为0时x的值，该值即为增根． 【详解】若方程有增根， 则， 解得， ∴增根为． 16. 如图，是的直径，P为延长线上一点，切于点C，平分，与的延长线交于点E，，，则的长为___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据角平分线的性质和等边对等角得出，根据平行线的性质得出直角和相关边长，然后利用勾股定理求出长度，最后利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， 利用等面积法可得， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简每一项． 分别计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，然后运用加减，化简得，然后把代入，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式 19. 解不等式组，并用数轴表示其解集． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出两个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 将不等式组的解集画在数轴上： 故不等式组的解集为． 【点睛】解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20. 某种新产品进价120元．试销阶段发现产品日销售量y（件）与每件的销售价x（元）之间的关系满足如下表所示的一次函数关系： 每件售价（元） 130 150 165 … 日销售量y（件） 70 50 35 … （1）求日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式； （2）不改变上述关系的情况下，请帮助经理策划每件的销售价应定为多少元时，每日销售的利润可达到1500元？ 【答案】（1） （2）每件的销售价应定为170元或150元时，每日销售的利润可达到1500元． 【解析】 【分析】（1）从表格中选取两组变量的值，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日销售量y（件）与该日销售价x（元）的函数关系式为 ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴每件的销售价应定为170元或150元时，每日销售的利润可达到1500元． 【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 21. 如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表． 自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 … 指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 … 指针落在黑色区域的频率p （1）观察上表，求黑色扇形圆心角的度数． （2）如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率． 【答案】（1）黑色扇形图心角为 （2）小明获赠小礼物的概率是 【解析】 【分析】本题考查了求扇形圆心角的度数以及用频率估算概率． （1）先根据表可推出指针落在黑色区域的频率为，再计算圆心角度数即可； （2）根据图表的信息即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为， ， 答：黑色扇形图心角为90°； 【小问2详解】 解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为， 所以小明获赠小礼物的概率是， 答：小明获赠小礼物的概率是． 22. 如图，、为上两点，且，延长至点，使，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【答案】（1）是的切线，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，可得，即可证得； （2）以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，则点即为所求，根据等腰三角形三线合一即可证得． 【小问1详解】 解：是的切线． 理由：如图，连接． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 23. 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天 【解析】 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）依据题意，根据函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意，将，代入， 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）由题意，当，， （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型当时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： （3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2）见解析 （3）① ②见解析 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点E作于点G，勾股定理求出的长，等积法求出的长，利用三角形函数得到，再根据，即可得出结论； （3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点， 抛物线的解析式为， 故； 【小问2详解】 （2）过点E作于点G， ∵，令则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 把代入中，得， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：①抛物线解析式为， 时，，即，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 故直线的解析式为， 时，，即， 当时，点在点的左侧，， 当时，点在点右侧，， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，， 故当时，的值只有1个，故点只有1个； 当时，的值只有2个，故点只有2个； 当时，的值只有3个，故点只有3个． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，本题的关键是运用数形结合和分类讨论的思想方法． 25. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． （1）如图1，延长交D于点G，若，，求的长． （2）如图2，． ①证明：； ②证明：． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，过点E作于点P，作于点Q，得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，，设，则，，根据，列方程可得a的值，证明，列比例式即可解答； （2）①如图2，过点E作于点P，交于H，连接，证明，则，证明，可得结论； ②如图3，将绕点A顺时針旋转得，连接，证明，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作于点P，作于点Q， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，，是等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 设，则， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：①如图2，过点E作于点P，交于H，连接， 四边形是正方形， ∴，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图3，， 将绕点A顺时针旋转得，连接， ，，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了全等和相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $