河南信阳市固始县希望高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2026年高二数学期末卷聚焦选择性必修1-3，以“三会”素养为导向，通过古代数学文化（如《算法统宗》塔灯问题）、现实投资决策等情境，融合数列、立体几何、概率统计等核心知识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列、二项式定理、正态分布|第2题以《算法统宗》为背景，考查等比数列求和，体现文化传承| |多选题|3/18|正态分布应用、导数与运动学|第10题结合位移公式与动能计算，考查数学建模与运算能力| |填空题|3/15|直线倾斜角、抽象函数|第13题通过抽象函数性质推导，考查逻辑推理| |解答题|5/77|导数极值、立体几何、概率期望|第17题对比投资方案期望，第19题排列组合问题，强化数学思维与实际应用|

2026学年度固始县希望高中数学期末考试卷 高二数学 考试范围：选择性必修123；考试时间：120分钟；分值：150 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯盏数（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 3．二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 4．已知随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（    ） A． B．0 C． D． 6．在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、单选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．某厂生产的零件尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与5的误差不超过0.2即合格，若从这批产品中随机抽取3件，则（   ） A． B． C．抽出的3件都合格的概率为0.512 D．抽出的3件中只有1件合格的概率为0.096 10．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J 11．下列命题是假命题的是（    ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； B．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； C．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； D．，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为______． 13．若 满足对任意的实数 、 都有 且 ，则 _____. 14．已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为________.若点在圆上，且，则满足条件的点共有________个. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 16．（15分）如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： 方案一：投资股市： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 方案二：购买基金： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 (1)当时，求的值； (2)若要将万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由． 18．（17分）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) 19．（17分）4名男生和3名女生站成一排． (1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026学年度固始县希望高中数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A B A D D BCD AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 2．C 【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式即可求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为2的等比数列， 依题意，，解得， 故选：C 3．C 【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数. 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 4．A 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】随机变量，且, 故， 故选：A 5．B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解最小时的，进而利用向量计算即可求得结果. 【详解】因为平面平面，，， 且平面平面，平面， 故平面，又平面， 故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， ，，， ， ， 当时，最小，最小值为； 即当，为、中点时，最短， 则，， ，， ， 直线和夹角的余弦值是. 6．A 【分析】求出点得轨迹方程，要使直线上存在点满足，只需满足直线与圆有公共点. 【详解】设点的坐标为，因为，，, 所以,整理得：， 所以点得轨迹是以圆心，半径为的圆； 所以圆心到的距离为， 要使直线上存在点满足，只需满足直线与圆相交或相切. 即，解得：. 故选：A. 7．D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出直线方向向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，，， 则，， 所以， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 8．D 【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论． 【详解】直线过定点， 又曲线可化为：，， 画出直线与曲线图象如图所示： 数形结合可得直线在，，，处产生临界条件， 设直线，，，的斜率分别为 则 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得舍去或， 要使两图象有个不同交点，则 故选：D． 9．BCD 【分析】利用正态分布曲线的对称性，可得判定A错误，B正确；再由，结合独立重复试验的概率计算公式，可判定C、D正确. 【详解】由生产的零件尺寸服从正态分布，可得对称轴为， 对于A中，因为，可得， 则，所以A错误； 对于B中，由正态分布的对称性，可得，所以B正确； 对于C中，由正态分布的对称性，可得， 所以抽出的3件都合格的概率为，所以C正确； 对于D中，抽出的3件中只有1件合格的概率为，所以D正确. 故选：BCD. 10．AD 【分析】借助导数定义计算可得瞬时速度的最小值，借助所给动能公式计算即可得其动能. 【详解】由题意得， 则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确. 故选：AD. 11．BCD 【分析】对于A,直线的方向向量和平面的法向量不能为零向量; 对于B,当时,,不能作为直线l的方向向量; 对于C, 在轴所在直线上且垂直于坐标平面,据此判断即可. 对于D,利用空间向量的数量积公式求解即可； 【详解】对于A, 直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故A正确； 对于B, 当时,,不能作为直线l的方向向量,故B错误； 对于C, 在轴所在直线上且垂直于坐标平面,故C不正确； 对于D，由于，则，故D错误； 故选：BCD 12． 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 13． 【分析】利用函数的赋值思想，即可得到等比数列的递推关系，从而可求出结果. 【详解】由，，令得， 可推出，当时有： 即， 故答案为：. 14． 相交 4 【分析】先求出直线的方程，再利用圆心到直线的距离判断直线与圆相交；先求出点到的距离， 再结合圆心到直线的距离为和圆的半径为判断得解. 【详解】由题得，所以直线的方程为， 所以直线的方程为， 由可知，圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离，    所以直线与圆相交， 又， 设点到直线的距离为，则， 解得， 又圆心到直线的距离为，圆的半径为， 所以圆上有个满足条件的点. 故答案为：相交；. 15．(1)答案见解析； (2)或. 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值； （2）根据（1）及的区间值域，结合零点个数确定参数范围. 【详解】（1）由题设， 当或，，在、上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. （2）由时，趋向于，时，趋向于，且， 结合（2）知，在上，且，    要使函数恰有两个零点，则或. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建系，证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）得出平面与平面的法向量，，再利用面面角与向量夹角之间的关系计算即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， 又，平面，平面，则直线平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1)； (2)选择“投资股市”，，理由见解析. 【分析】（1）根据概率的性质有求参数值； （2）写出对应随机变量的分布列，并求出对应期望，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）“购买基金”后，投资结果有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 则，且， 所以，解得； （2）假设选择“投资股票”方案进行投资，且记为投资股票的获利金额单位：万元， 随机变量的分布列为： 则； 假设选择“购买基金”方案进行投资，且记为购买基金的获利金额单位：万元， 随机变量的分布列为： 则； ， 选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； （2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； （3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 19．(1)240种 (2)960种 (3)840种 【分析】（1）由特殊元素优先法，即可得到结果； （2）由捆绑法即可得到结果； （3）由倍缩法即可得到结果； 【详解】（1）（种） 甲、乙两人必须站在两端的站法有240种． （2）（种） 甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种． （3）（种） 甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $