期末专项提优复习三 二元一次方程组 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组概念、解法及应用，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，渗透抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-2、填空9-12|考查解的定义、参数求解|从解的概念到方程成立条件，强化符号意识| |解法应用|选择4、解答19|代入法/消元法操作及思路框图|体现运算能力，构建解法步骤逻辑| |实际应用|选择3、7、13、22-24|古代算题、现代生活问题|以模型意识串联实际情境与方程建模| |综合拓展|选择5、8、17、解答20-21、25-26|参数问题、新定义、跨知识综合|通过推理能力实现知识迁移与复杂问题解决|

期末专项提优复习三 二元一次方程组 一、选择题 1. 下面是二元一次方程的解的是（ ）. A. 答案：C 2. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）. A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 答案：B 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是（ ）. A. 答案：B 解析：用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余， 所列方程组为故选B. 4. 解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（ ）. A. 答案：C 解析： ②，得，④ ③－④，得， 即变形的思路是①②.故选C. 5. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：B 解析：关于的二元一次方程组为①－②，得.故选B. 6. 现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A2纸可裁成2张3纸或4张4纸.现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张.设可裁成A3纸张，A4纸张，根据题意，可列方程组（ ）. A. 答案：D 解析：根据一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸，可以得出张A3纸由张A2纸裁剪而成，张A4纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出300.故可列方程组为故选D. 7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，则物价是（ ）. A. 7钱 B. 45钱 C. 53钱 D. 59钱 答案：C 解析：设有人，物价为钱， 由题意，得解得 所以物价是53钱.故选C. 8. 已知方程组的解是则方程组的解为（ ）. A. 答案：A 解析：方程组的解是 解得 方程组的解为故选A. 二、填空题 9. 若是方程的解，则________. 答案：1 10. 若关于的方程组的解互为相反数，则的值为________. 答案：－5 解析：关于的方程组的解互为相反数，. 把代入，得， ， 把代入， 得. 11. 算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式(如图(1))来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法.如图(2)，从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数.因此，根据此图可以列出方程：.请你根据图(3)列出方程组________. 答案： 12. 是关于的二元一次方程(均不为0)的解，则的值为________. 答案：－3 解析：把代入关于的二元一次方程中，得， . 13. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又缕七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干?”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是________分. 答案：6 解析：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据题意，得解得即每尺绢的价格是6分. 14. 若是关于的二元一次方程组的解，则的值是________. 答案：12 解析：由题意，得 . 15. 已知关于，的方程组只有唯一的一组解，则方程组的解是________. 答案： 关于的方程组只有唯一的一组解，. 把代入中，得， 方程组的解是 16. 小明今年4月份两次同时购进了，两种不同单价的水果.第一次购买种水果的数量比种水果的数量多50%，第二次购买种水果的数量比第一次购买种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，第二次购买水果的总费用比第一次购买水果的总费用少(两种水果的单价不变)，则种水果的单价与种水果的单价的比值是________. 答案： 解析：设第一次购买种水果的数量为，则第一次购买种水果的数量为，第二次购买种水果数量为第二次购买水果的总数量为第二次购买种水果的数量为. 设种水果的单价为元，种水果的单价为元，依题意，得，化简，得， 种水果的单价与种水果的单价的比值是. 17. 对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”，例如：，因为3)，所以2136是“共生数”；，因为，所以5479不是“共生数”.若“共生数”.若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为________. 答案：1137 解析：设千位上的数字为，个位上的数字为，则十位上的数字为，百位上的数字为 个位数字与百位数字之和小于20，且能被8整除， 或. 当时，， 均为一位正整数， ， 满足条件的“共生数”为1137； 当时，， 均为一位正整数，无解. 综上所述，满足条件的“共生数”为1137. 18. 已知关于的方程组的解为则关于的方程组的解为________. 答案： 解析：方程组可化为 关于的方程组的解为解得即关于的方程组的解为 三、解答题 19. 解二元一次方程组： (1) 用代入法解方程组 (2) 用适当方法解方程组 答案： (1) 由①，得③，将③代入②，得，，解得， 将代入③，得，解得， 所以原方程组的解为 (2) 原方程组可变为 ②－①，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 20. 甲、乙两名同学同时解方程组甲看错了，得到方程组的解为乙看错了方程中的，得到方程的解为计算的值. 答案：由题意，得解得 . 21. 已知关于，的方程组和的解相同，求代数式的值. 答案：关于的方程组与的解相同， 的解即为方程组与的解， ①＋②，得，把代入②，得， 关于的方程组与的解为 是的解， 解得 . 22. 当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克. 答案：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 由题意，得解得 故从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 23. 本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费，寄件超过1千克的部分按千克计费，小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表： (1) 求，的值. (2) 小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京需花多少运费？ 答案： (1) 依题意，得解得 故的值为的值为2. (2) 由(1) 可知，，则， (元). 故小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京需花61元运费. 24. 古运河是扬州的母亲河.为打造古运河风光带，现有一段长为180m的河道需要改造，任务由两工程队先后接力完成.工程队每天改造工程队每天改造，共用时20天. (1) 根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，然后在括号中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示________，表示________； 乙；表示________，表示________. (2) 求，两工程队分别改造河道多少米.(写出完整的解答过程) 答案： (1) 20 180 180 20 工程队用的时间 工程队用的时间 工程队改造河道的长度 工程队改造河道的长度 (2) 选甲同学所列方程组解答如下： ，得，解得， 把代入①，得， 方程组的解为则. 故工程队改造河道工程队改造河道. 25. 有5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16，8，12，4，15面，现要使每人手中的小旗数相等，要求相邻的同学之间相互调整(不相邻的不作相互调整)，设给面时，即为给面时，即为给面.以下同)，给面，给面，给面，给面，问分别为多少时才能使调动的小旗点数最小? 答案： 由于共有小旗面数为(面)，要使每人手中的小旗面数相等，每人均为11面. 由题意，得变形，得 . 设实数在数轴上的对应点为，实数，6在数轴上的对应点分别为，如图所示， ，当且仅当在线段上时，有最小值9，当且仅当在线段上时，有最小值3，当且仅当与点重合时有最小值0，即当且仅当与点重合时，有最小值12. 当时，有最小值12. 26. 为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，某市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： (1) 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台? (2) 如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 答案： (1) 设甲、乙两种型号的挖掘机分别需台、台， 依题意，得解得 故甲、乙两种型号的挖掘机分别需5台和3台. (2) 设租用辆甲型挖掘机，辆乙型挖掘机， 依题意，得， 化简，得. 为正整数，方程的解为或 当时，支付租金为860(元)>850元，超出限额；当，时，支付租金为(元)元，符合要求. 故只有一种租用方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专项提优复习三 二元一次方程组 一、选择题 1. 下面是二元一次方程的解的是（ ）. A. 2. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）. A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是（ ）. A. 4. 解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（ ）. A. 5. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的幅面规格，一张A2纸可裁成2张3纸或4张4纸.现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张.设可裁成A3纸张，A4纸张，根据题意，可列方程组（ ）. A. 7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何?译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，则物价是（ ）. A. 7钱 B. 45钱 C. 53钱 D. 59钱 8. 已知方程组的解是 则方程组的解为（ ）. A. 二、填空题 9. 若是方程的解，则________. 10. 若关于的方程组的解互为相反数，则的值为________. 11. 算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式(如图(1))来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法.如图(2)，从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数.因此，根据此图可以列出方程：.请你根据图(3)列出方程组________. 12. 是关于的二元一次方程(均不为0)的解，则的值为________. 13. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又缕七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干?”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是________分. 14. 若是关于的二元一次方程组的解，则的值是________. 15. 已知关于，的方程组只有唯一的一组解，则方程组的解是________. 16. 小明今年4月份两次同时购进了，两种不同单价的水果.第一次购买种水果的数量比种水果的数量多50%，第二次购买种水果的数量比第一次购买种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，第二次购买水果的总费用比第一次购买水果的总费用少(两种水果的单价不变)，则种水果的单价与种水果的单价的比值是________. 17. 对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”，例如：，因为3)，所以2136是“共生数”；，因为，所以5479不是“共生数”.若“共生数”.若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为________. 18. 已知关于的方程组的解为则关于的方程组的解为________. 三、解答题 19. 解二元一次方程组： (1) 用代入法解方程组 (2) 用适当方法解方程组 20. 甲、乙两名同学同时解方程组甲看错了，得到方程组的解为乙看错了方程中的，得到方程的解为计算的值. 21. 已知关于，的方程组和的解相同，求代数式的值. 22. 当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克. 23. 本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费，寄件超过1千克的部分按千克计费，小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表： (1) 求，的值. (2) 小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京需花多少运费？ 24. 古运河是扬州的母亲河.为打造古运河风光带，现有一段长为180m的河道需要改造，任务由两工程队先后接力完成.工程队每天改造工程队每天改造，共用时20天. (1) 根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，然后在括号中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示________，表示________； 乙；表示________，表示________. (2) 求，两工程队分别改造河道多少米.(写出完整的解答过程) 25. 有5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16，8，12，4，15面，现要使每人手中的小旗数相等，要求相邻的同学之间相互调整(不相邻的不作相互调整)，设给面时，即为给面时，即为给面.以下同)，给面，给面，给面，给面，问分别为多少时才能使调动的小旗点数最小? 26. 为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，某市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： (1) 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台? (2) 如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $