2025-2026学年北师大版七年级数学下期末必刷测试卷

**基本信息** 这份北师大版七年级数学下期末卷，通过跨学科情境（如地理实践估计面积）、分层问题设计（如动点最值与三角尺动态探究），覆盖概率、几何、函数等核心知识，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|随机事件、直线交点、等腰三角形|第9题动点与等腰直角三角形结合，考查空间观念| |填空题|6/18|整式运算、角平分线、跨学科应用|第13题地理实践与概率结合，体现应用意识| |解答题|8/72|图形变换、函数建模、几何探究|第24题平行线与三角尺动态探究，发展推理能力|

2025-2026学年北师大版七年级数学下期末必刷测试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 2．在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 3．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 5．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 7．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，射线交于点，，点为上一点，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，，则_________． 12．如图，，点在上，平分，则______． 13．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____． 14．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 15．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 16．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1) (2) (3) 18．如图，点A，B，C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的，并求的面积； (2)在直线l上找一点P，使的值最小． 19．如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 20．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 21．对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 22．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 23．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 24．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． (1)如图1，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线，上，，若，则_____． (2)如图2，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即，，，平分交直线于点M，平分交直线于点N．将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． (3)已知：直线，三角板中，，．三角板如图3位置放置，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版七年级数学下期末必刷测试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵本题中数学课本共196页，第98页存在，随手翻开书页时，可能恰好翻到第98页，也可能翻不到， ∴该事件是随机事件． 2．在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】先分别求出4条直线交点最多的个数m和最少的个数n，再计算即可得到结果． 【详解】如下图所示，要使得交点最多，则两两相交且无公共交点，此时有6个交点，即， 如下图所示，要使得交点最少，则两两平行，此时没有交点，即， ． 3．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：8个相加，即，8个相乘，即， 则，即， ∴， ∴． 4．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【答案】C 【分析】利用绝对值和平方的非负性先求出m，n的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 5．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，根据折叠得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸条中， ∴， 根据折叠可得：． 6．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 7．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时，， ∴， ∴， ∴ ． 8．如图，，射线交于点，，点为上一点，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点N作，过点M作，则，由平行线的性质可得，，则可证明，设，则，可证明，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点N作，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则 ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 10．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 12．如图，，点在上，平分，则______． 【答案】/65度 【分析】由平行线的性质推出，求出，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____． 【答案】35 【分析】本题考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是理解题意，得出小球落在该地形图的概率约为0.35．根据图②可得，小球落在该地形图的概率约为0.35，设该地形图的面积为，再根据几何概率可得：该地形图的面积长方形的面积小球落在该地形图内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：据题意可得：小球落在该地形图内的概率约为0.35， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， 则估计该地形图的面积大约为， 故答案为：35． 14．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 15．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 16．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解． 【详解】解：设大长方形的短边长为d， ∴由图2知，， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．如图，点A，B，C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的，并求的面积； (2)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】（1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）连接，与直线l的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知：的面积； （2）解：如图，点P即为所求； 19．如图是两个可以自由转动的转盘，图1被平均分成9份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（转盘指针停在分界线上，则重新转动）；图2被涂上红色和绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（转盘指针停在分界线上，则重新转动）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)“小明转出的数字是5”是 事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)“小明转出的数字是奇数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同”，这个说法对吗？为什么？ 【答案】(1)随机； (2)； (3)不对，见解析． 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出两者概率，比较即可． 【详解】（1）解：“小明转出的数字是5”是随机事件； （2）解：小于数字的数有个， ∴小明转出的数字小于7的概率； （3）解：不对，理由如下： 小明转出的数字是奇数的概率是， 小亮转出的颜色是红色的概率是， ∵， ∴这个说法不对． 20．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 21．对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①根据（1）中等式变形得出结论；②根据，，可得，即可求解； （3）根据等式变形可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， 即：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴. 22．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 【答案】(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 23．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）因为，所以可推出；又因为，所以可利用定理证明． （2）先由（1）的全等结论得到，结合的条件，可得；因为，所以可证明，得到；再根据，算出的长度，进而得到的长度，最后求出的长． （3）利用 ，， 面积关系，可计算的最终差值． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ （）． （2）解：由全等得：，， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ （）， 得 ， ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 24．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． (1)如图1，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线，上，，若，则_____． (2)如图2，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即，，，平分交直线于点M，平分交直线于点N．将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． (3)已知：直线，三角板中，，．三角板如图3位置放置，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）过F作，根据平行线的性质求解即可； （2）过F作，设，由角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得解． （3）过Q作，，设，则，．根据平行线的性质分别求出，，，进而求出，即可得解． 【详解】（1）解：过F作， ， ， ， ，， ， ． （2）解：不变，， 如图，过F作， ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即． （3）解：过Q作，， 设，则，． ∵， ，， ， ， ∵平分， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∴，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $