精品解析：2026年江苏省无锡市东亭中学九年级中考阶段学情自测数学试卷

初三数学 2026.5 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（ ） A. ﹣1 B. π C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：0大于一切负数，0小于一切正数，正数大于负数. 考点：实数的大小比较 2. 若是二次根式，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于零，列式求解即可． 【详解】∵是二次根式， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于零是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并法则与幂的基本运算法则逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、，计算正确，∴D正确． 4. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B. 经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C. 了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D. 若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查方式选择、随机事件定义、统计图应用、方差的性质，逐项判断． 【详解】解：A、∵调查电池使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，应当采用抽样调查， ∴选项A说法错误； B、∵遇到红灯或绿灯是不确定的，遇到绿灯可能发生也可能不发生，符合随机事件定义， ∴选项B说法正确； C、∵扇形统计图的特点是可以清晰反映各部分占总体的百分比， ∴了解已用存储空间占总内存空间的百分比适合用扇形统计图，选项C说法正确； D、∵方差越大，数据波动越大，稳定性越差， ∴甲组方差大于乙组方差时，乙组数据更稳定，选项D说法正确． 6. 一个扇形的圆心角是，半径是，那么这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积，进行计算即可得出答案． 【详解】解：因为r＝6cm，n＝60°， 根据扇形的面积公式可得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解记忆公式是解题关键． 7. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 8. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9. 如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 10. 规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 2026年2月2日至3月13日春运期间，全社会跨区域旅客流动量达9410000000人次，请将9410000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：． 13. 分式和的最简公分母为_____． 【答案】2（m﹣n） 【解析】 【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案． 【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）． ∴它们的最简公分母是2（m﹣n）． 故答案为：2（m﹣n）． 【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握定义．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，根据定义可得答案． 【详解】解：∵同类二次根式的被开方数相同， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点；②在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大，则这个函数的表达式为______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据常见函数的增减性性质，结合题目给出的过定点和增减性要求，即可写出符合条件的函数表达式． 【详解】解：答案不唯一，例如． 检验：当时，， 所以图象经过点；在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大． 故是符合题意的一个函数． 16. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 17. 如图，的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接、相交于点E，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用网格构造直角三角形，根据勾股定理求出、、、、的长，再根据勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、， 由网格构造直角三角形，利用勾股定理得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形，即， ， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，勾股定理以及逆定理是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 18. 如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是______．连结，当点C正好是的内心时，的长是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点K在以为直径的圆O上运动， ∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合， ∴， 当点C为的内心时， ，，分别平分，和， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点B、C、F共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 按要求完成各题 （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：解不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解不等式， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． ∴不等式组得解集为：． 20. 按要求完成各题 （1）解方程：． （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据分式的混合运算，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：，． 【小问2详解】 21. 已知，如图所示，，，点E、F在上．，连接，求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定： （1）由即可证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可得，即可证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200；见解析 （2）25；36 （3）700 【解析】 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以其人数占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出其占比，用乘以“偶尔”的人数占比可求出对应的圆心角； （3）用2000乘以样本中“一直”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “偶尔”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有名． 23. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质 （1）小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______． （2）小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，列表法（画树状图法）求概率，对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列出表格表示所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有4张卡片，从中随机抽取一张是B卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表： A B C D A B C D A和D是化学变化，B和C是物理变化， 一共有12种等可能出现的结果，符合条件的有2种， 所以抽取两张卡片均是物理变化的概率是． 24. （1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线与的外接圆相交于点D，点D即为所求； （2）过点D作于M，交的延长线于N．利用全等三角形的性质证明，可求解． 【详解】解：（1）如图，点D即为所求作． ； （2）如图，过点D作于M，交的延长线于N． 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了作图－作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线，角的平分线，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F． （1）求证：CF＝DF； （2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长． 【答案】（1）证明：连接OC，如图， ∵CF为切线， ∴OC⊥CF， ∴∠1+∠3＝90°， ∵BM⊥AB， ∴∠2+∠4＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°， ∴∠BDC＝∠5， ∴CF＝DF； （2）OF＝． 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得∠1+∠3=90°，则可证明∠3=∠4，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长． 【详解】（1）略 （2）在Rt△ABC中，AC＝＝8， ∵∠BAC＝∠DAB， ∴△ABC∽△ABD， ∴，即， ∴AD＝， ∵∠3＝∠4， ∴FC＝FB， 而FC＝FD， ∴FD＝FB， 而BO＝AO， ∴OF为△ABD的中位线， ∴OF＝AD＝． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 26. 根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究． 素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如右图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，，． 素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 （1）任务一 计算角度 当等于时，________． （2）任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围． （3）任务三 方案选择（从右侧的两种方案中选择一个作答即可） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为多少． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（答案可不用化简）． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点F作，，由题意得，由此即可得出结果； （2）作于点N，延长交于点Q，分别求出当时，当时，的长度即可得出结果； （3）若选择方案一作答：当时，，要充分利用斜坡，则最后一排恰好落在B处，设电池板之间的最大间距为，则，求解即可； 若选择方案二作答：设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点E，则，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点F作， ， 由题意得：， ； 【小问2详解】 解：作于点N，延长交于点Q， ①当时，则， ， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当时，， 同理可得：，． 【小问3详解】 解：若选择方案一作答： ∵H在任意时刻均不能落在内， ∴最大，结合任务二中知：当时，， ∵要充分利用斜坡， ∴最后一排恰好落在B处， 设电池板之间的最大间距为，则， 解得：， ∴， 故在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为； 若选择方案二作答：如图，设新电池板的长度， 过点作水平线的垂线，交于点E，则 ∵H在任意时刻均不能落在内， ∴最大，即当时，最大， 同任务二可得：， ∵电池板与坡面保持不变， ， ∴，即， 解得， 由题意得：， 解得， 故原来长的电池板最大可以定制． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点在这条抛物线上，点的横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当抛物线上、两点之间部分最大值和最小值的差为时，求的值； （3）当点在第一象限时，连接、，以、为邻边构造平行四边形，当对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出和的值，即可得到抛物线的函数表达式； （2）先将抛物线化为顶点式得到顶点坐标和对称轴，求出点关于对称轴的对称点坐标，再根据的不同取值范围分类讨论，分别得到对应范围内的最大值和最小值，根据二者差为列方程求解，舍去不符合范围的解即可； （3）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到点坐标，求出直线的解析式，再分点在对称轴左侧和右侧分类讨论，结合面积比为列方程求解，得到符合条件的的值． 【小问1详解】 解：将点和点代入， 可得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：已知函数表达式为，配方可得， 则该抛物线的对称轴为，顶点为，点关于对称轴的对称点为， 设点的坐标为， 当，、两点之间最大值为，最小值为， 根据题意可得，， 即， 解得，（不合题意，舍去）； 当，、两点之间最大值为，最小值为， 根据题意可得，， 即， 解得，（不合题意，舍去）； 当，、两点之间部分最大值为，最小值为，差为，不符合题意； 当，、两点之间部分最大值为，最小值为，差为，不符合题意， 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：由题意可知：、，，设， 以、为邻边构造平行四边形， 可得：， 解得：， 即， 设所在的直线方程为， 将点的坐标代入可得， 解得， 可得所在的直线方程为， ①如图：当点在对称轴的左侧，即时，延长交轴于，过作轴交于， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为， ∴当， ∴，解得：（不符合题意舍去）； 当， ∴，解得：（不符合题意舍去）； ②如图：当点在对称轴的右侧，即时，延长交轴于，过作轴交与，对称轴与、、分别相交于点、、， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①可知：，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴当， ∴，解得：； 当， ∴，解得：（不符合题意舍去）； 综上所述，． 28. 解决以下问题 （1）问题思考 如图1，正方形中，点、在线段上，且满足，作交的延长线于点，则利用全等三角形的知识可知______（填，，）． （2）变化研究 如图2，正方形中，，点、在线段上，当时，试探究与、的关系，并直接写出的最小值为______． （3）拓展探索 如图3，，，，点、在线段上，且满足，若当取最小值时，，则线段的长为______． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证明，根据全等得到新的条件证得，从而证得答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，可证点三点共线，过点作交于点，过点作交于点，可得四边形为矩形，利用三角函数得到，再根据三角形的面积公式，可得，将求的最小值转化为求面积的最小值，根据定角定高模型来求面积的最小值； （3）同（2）的方式一样，得到与面积之比，将求面积的最小值转化为求的最小值即可． 【小问1详解】 解：四边形为正方形 ， ， ， ， 又点在的延长线上， ， 在与中： ，，， ， ， ， 在与中： ，， ， 又点在线段上， 即； 【小问2详解】 解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，过点作交于点，过点作交于点， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点三点共线； ∵，，， ∴， 即； 在中，， ∴， ∵，， ∴，即，； ∴当最小时，最小， 如图，作的外接圆，圆心为，连接，过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即的最小值为 ∴， ∴面积的最小值为，． 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作交的延长线于点， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 同理可得，则 ∵，设， ∴， ∵ ∴ 过点分别作的垂线，垂足分别为 则 ∴ ∴取得最小值时取得最小值， 由（2）可得时，取得最小值，此时垂直平分 如图所示，作的外接圆，圆心为， ∵ ∴ ∴ ∵，设，则 ∴， ∴ ∵，则 设，则，， ∴，则 ∴， ∴ 连接 ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 2026.5 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（ ） A. ﹣1 B. π C. 0 D. 1 2. 若是二次根式，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B. 经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C. 了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D. 若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 6. 一个扇形的圆心角是，半径是，那么这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8 9. 如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 分解因式：_____． 12. 2026年2月2日至3月13日春运期间，全社会跨区域旅客流动量达9410000000人次，请将9410000000用科学记数法表示为________． 13. 分式和的最简公分母为_____． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 15. 写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点；②在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大，则这个函数的表达式为______． 16. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 17. 如图，的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接、相交于点E，则的值是______． 18. 如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是______．连结，当点C正好是的内心时，的长是______． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 按要求完成各题 （1）计算： （2）解不等式组： 20. 按要求完成各题 （1）解方程：． （2）化简：． 21. 已知，如图所示，，，点E、F在上．，连接，求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 23. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． A．铁钉生锈 B．滴水成冰 C．矿石粉碎 D．牛奶变质 （1）小丽从四张卡片中随机抽取一张，抽中B卡片的概率是_______． （2）小华从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法，求小华抽取的两张卡片内容均为物理变化的概率． 24. （1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2） 25. 如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F． （1）求证：CF＝DF； （2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长． 26. 根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究． 素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如右图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，，． 素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 （1）任务一 计算角度 当等于时，________． （2）任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围． （3）任务三 方案选择（从右侧的两种方案中选择一个作答即可） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为多少． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（答案可不用化简）． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点在这条抛物线上，点的横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当抛物线上、两点之间部分最大值和最小值的差为时，求的值； （3）当点在第一象限时，连接、，以、为邻边构造平行四边形，当对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为时，直接写出的值． 28. 解决以下问题 （1）问题思考 如图1，正方形中，点、在线段上，且满足，作交的延长线于点，则利用全等三角形的知识可知______（填，，）． （2）变化研究 如图2，正方形中，，点、在线段上，当时，试探究与、的关系，并直接写出的最小值为______． （3）拓展探索 如图3，，，，点、在线段上，且满足，若当取最小值时，，则线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $