精品解析：2026届安徽省滁州市定远县育才学校模拟预测检测数学试题

定远育才学校2026届模拟预测检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接把所给复数化简，然后求其共轭复数即可. 【详解】，所以， 故选：B. 2. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】, 则. 3. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 4. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，解得， 所以为等腰三角形，则， 中由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 所以 . 故选：A 5. 如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 【详解】由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 6. 已知数列满足，，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，数列是等差数列，由此可得的通项公式，然后利用裂项相消求和法即可求解数列的前100项和. 【详解】解：因为，所以数列是等差数列，且首项为，公差为3， 则，， 所以， 所以数列的前100项和． 故选：A. 7. [多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 设总样本的方差为，若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据分层抽样均值的求法，计算出，再比较即可；对于B，举例说明即可判断；对于C，由分层抽样方差公式计算出，结合实例判断；对于D，计算出即可判断． 【详解】对于A选项，因为， 所以，， 即，A正确； 对于B选项，不妨设第一部分样本数据为1，1，1，1，1，则，， 设第二部分样本数据为，9，则，，所以，B不正确； 对于C选项，不妨设第一部分样本数据为，，0，1，2，则，， 设第二部分样本数据为1，2，3，4，5，则，， 所以总样本的平均数， 所以，C不正确； 对于D选项，若，，则总样本的平均数， 所以，D正确． 8. 在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出点P，G的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，数形结合可得答案. 【详解】设，， ∵，∴， G点的轨迹为. 又，则，， 即， 化简得P点的轨迹为. 在平面直角坐标系中作出G，P轨迹， 设G点轨迹与y轴两个交点分别为M，N，P点轨迹为圆， 圆心为，半径， 且与y轴两个交点分别为H，T，如图所示， 结合图象得：， 又，， 所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（ ） A. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C. 若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D. 若，，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用古典概型计算可判断A；利用二项分布的方差公式计算可判断B；根据题意可得，计算可判断C；由二项分布的概率公式求得，进而可求得判断D. 【详解】对于A项，第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为，故A项正确； 对于B项，有放回地抽取抽取6次小球，变量， 所以， 则，故B项错误； 对于C项，依题意得，得，所以黑色小球的个数为，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以有，解得，则， 因此，故D项错误. 故选：AC. 10. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 11. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，根据题意确定轨迹，计算可判断D. 【详解】对于A，当为的中点时， 因为是线段的中点，所以， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示， 当点在弧上时，直线与所成角为， 长度，故点的轨迹长度为，故B错误： 对于C，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，故C正确； 对于D，取，，，，，的中点分别为，，，，，， 连接，，，，，，，，，如图2所示， 易知，面，平面， 故平面，，平面，平面， 故平面，又，，平面， 故平面平面，又，，， 故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，； 故，故长度的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______. 【答案】0.46 【解析】 【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案． 【详解】解:设“同学甲答对第i个题”事件，则，，，且，，，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件发生，故所求概率为 .故答案为0.46 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解 13. 在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为，转化为圆心到直线的距离进行求解即可． 【详解】由已知可得，AB的斜率，. 又的面积为，所以点到直线的距离. 直线AB的方程为，即. 则圆心O到直线的距离. 如图，过点作，垂足为，交圆于点. 因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为. 又点到直线的距离， 则应有，所以， 即点到直线的距离小于， 所以有， 解得. 故答案为：. 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求的值； （2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【答案】（1）2（2）5 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解； （2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长． 【详解】（1）∵， ∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC， 可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA， ∴2． （2）∵由（1）可得sinC＝2sinA， ∴由正弦定理可得c＝2a，① ∵cosB，△ABC面积为， ∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，② ∴由①②可得a＝1，c＝2， ∴由余弦定理可得b2， ∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16. 某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次. （1）现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； （2）假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为. （i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式； （ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义. 【答案】（1） （2）（i）且；（ii），实际意义见解析 【解析】 【分析】（1）设恰好经过3次检验就能把不合格产品的样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案； （2）（i）由题得 ，进而根据化简整理得；（ii）易知的可能取值有，则，由得，即，利用导数求出的最大值，即可得出的取值范围，进而即可下结论. 【小问1详解】 设恰好经过3次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件A， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为． 【小问2详解】 （i）由已知得， 的所有可能取值为1，． 所以， 所以， 若，则， 所以，， 所以，即， 所以p关于k的函数关系式为 且). （ii）将份产品样本随机分为组，每组份，则， 的可能取值有， 则， 所以 ， 又，所以， 即，整理得， 两边同时取自然对数，得， 即. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，此时且， 又是的正因数， 所以， 所以，得， 所以，即的取值范围为. 实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好. 17. 记椭圆：的左、右顶点分别为，右焦点为，为上的动点.已知过点且与恰有一个公共点的直线的方程为，与直线分别交于两点. （1）证明为定值； （2）求面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1） 直线的方程为，当时，，即， 而，，则，同理，， 因此，由在上，得， 则，所以为定值1. （2）1，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，结合点在椭圆上计算得证. （2）由（1）的结论，利用直角梯形及三角形面积公式求出面积的函数关系，利用基本不等式求出最小值，进而求出点的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，由（1）得，则直角梯形的面积， 而，于是，， 因此， 当且仅当，即时取等号，此时， 则直线的斜率，即， 又，而，解得， 所以的面积有最小值1，点的坐标为. 18. 已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN. （1）证明：MN⊥PC； （2）当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）连结交于点，连结．由题意可证得平面，则．由线面平行的性质定理可得，据此即可证得题中的结论； （2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后利用公式求解正弦值即可. 【详解】（1）证明：连接AC、BD且AC∩BD＝O，连接PO.因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC， 因为PD＝PB，所以PO⊥BD， 因为AC∩PO＝O且AC、PO⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC， 因为BD∥平面AMHN， 且平面AMHN∩平面PBD＝MN， 所以BD∥MN，MN⊥平面PAC， 所以MN⊥PC. （2）由（1）知BD⊥AC且PO⊥BD， 因为PA＝PC，且O为AC的中点， 所以PO⊥AC，所以PO⊥平面ABCD， 所以PA与平面ABCD所成的角为∠PAO， 所以∠PAO＝60°， 所以，， 因为，所以 以，，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设PA＝2，所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，)，， 所以，， 设平面AMHN的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 令x＝2，则y＝0，，所以， 设AD与平面AMHN所成角为θ， 所以， 所以AD与平面AMHN所成角的正弦值为 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 已知、，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得出，可求出、的值，即可得解； （2）由已知得出对任意的，参变量分离得出，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数的零点个数可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，， 解得，，故. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，，可得， 令，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 则函数至多一个零点，符合题意； 当时，，当时，，且 当时，，作图所示： 由图可知，存在，使得， 且当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，对，函数至多有两个零点，符合题意； 当时，函数有两个零点， 设两个零点分别、， 当或，，当时，， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为， 且当时，；当时，. 故当时，即当时， 函数有三个零点，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2026届模拟预测检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 7. [多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 设总样本的方差为，若，，则 8. 在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（ ） A. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且 C. 若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D. 若，，，，则 10. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 11. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求的值； （2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 16. 某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次. （1）现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； （2）假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为. （i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式； （ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义. 17. 记椭圆：的左、右顶点分别为，右焦点为，为上的动点.已知过点且与恰有一个公共点的直线的方程为，与直线分别交于两点. （1）证明为定值； （2）求面积的最小值及此时点的坐标. 18. 已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN. （1）证明：MN⊥PC； （2）当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值. 19. 已知、，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $