专题07 圆（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 北京多区县2026届二模圆专题试题汇编，涵盖圆的基本性质与综合应用，题量丰富，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|3题|圆心角与正多边形关系、直径性质、尺规作图与圆结合|结合北京顺义等区县二模真题，注重空间观念| |填空|6题|切线性质、内接四边形、圆周角定理、内接正方形半径计算|覆盖圆的核心概念，强调几何直观| |解答|12题|切线证明、线段计算、圆与三角形四边形综合|北京西城等多区县二模综合题，突出逻辑推理与模型应用，贴合中考命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 专题07圆 ☆2大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02圆综合 考点01 圆的基本性质 一、单选题 1.(2026北京顺义二模)如图，C,D是 B上两点，BD=CD.∠A=40 两条邻边，则n的值为() 】 B A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【分析】作出圆心O,连接OC,OD,OB,由圆周角定理得到LB0C=2LA=80° 出 ∠BOD=∠COD= ×80°=40°，最后根据正多边形中心角公式求解。 【详解】解：作出圆心O,连接OC,OD,OB .·∠A=40° ∴.∠BOC=2∠A=80° BD=CD .BD=CD 1/33 让教与学更高效 若BD,CD月 CD是正”边形的 利用弦相等则弧相等得 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠B0D=∠COD 2×80°=40 :BD,CD是正n边形的两条邻边 ∴正n边形的一边所对的圆心角为40° 六n=360=9 40 2.(2026北京丰台二模)如图，AB为⊙0的直径，以点A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙0于点 C,D,则∠CBD的大小为() A 0 B D A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】B 【分折】连接4C40,0C,可得△10C是等边三角形，得到∠4A0C-6:即用∠48C=40C=30 2 又由1C=1D得到 C=AD ,即得到∠1BC=∠1BD=30 进而即可求解。 【详解】解：如图，连接AC、AD、OC, 2/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 由题意知，AC=AD=OA=OC, “△AOC是等边三角形， ∴∠A0C=60° 1 ∠ABC= ∠AOC=30° .AC=AD .4C-AD ,∠ABC=∠ABD=30° .∠CBD=30°+30°=60° 3.(2026北京海淀二模)如图，P为⊙0外一点，连接OP,分别以O,P为圆心，OP长为半径画弧， 两弧交于点C,D.连接CD交OP于点N,以N为圆心，NO为半径作圆，交⊙O于点E,F,连接OE, OF,EP.若LEPO=a,则∠EOF的大小为() O● A.180°-2a B.90°- C.2a D.3a 【答案】A 【分析】由题意得点E,F在以OP为直径的⊙N上，连接PF,证明PE和PF都是⊙O的切线，利用切 线长定理结合四边形内角和定理求解即可， 【详解】解：如图，由题意得点E,F在以OP为直径的⊙N上，连接PF, 3/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .∠OEP=∠OFP=90°， ,OE和OF都是⊙O的半径， PE和PF都是⊙O的切线， ∴.∠FPO=∠EPO=a】 .∠E0F=360°-90°-90°-a-a=180°-2a 二、填空题 4.(2026北京东城二模)如图，AB是⊙0的弦，PB与⊙0相切于点B,圆心O在线段PA上.已知 ∠P=50°，则∠PAB的大小为 B P 0 A 【答案】20 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接OB,由切线的性质可得 ∠PBO=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOP的度数，再由圆周角定理即可得到答案. 【详解】解：如图所示，连接OB, B 0 4/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :PB与⊙O相切于点B, .OB⊥PB. ∴.∠PB0=-90° .∠P=50°， ∠B0P=90°-∠P=40°， 1 :∠PAB=)∠B0P=20」 故答案为：20 5.（2026北京朝阳二模)如图，四边形41BC 内接于o0,∠ABC=60,D1B=90,C为D 的中 点，则∠ACD= 0. 【答案】15 【分析】先根据圆的内接四边形求解∠ADC=120°，然后根据圆周角定理求解 ∠CAD=∠CAB=)∠DAB=45°，再由三角形内角和定理求解即可. 2 【详解】解：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴，∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC=60°， ∴.∠ADC=120° : BD ∠DAB=90° °为 的中点， :∠CAD=∠CAB=∠DAB=45】 ∴.∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=15° 6(2026北京顺义二模)如图，B是O0的直径.C,D,E是©0上的点，8C=DE,CE交B于 点F.若∠A=43°，则∠BFC的大小为°. 5/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】47 【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”， BD∥EC得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导∠BFC的大小. 【详解】解：~AB是⊙O的直径， :.∠ADB=90° :∠A=43°， .∠B=47°， ·BC=DE .∠BDC=∠C, .BD EC, .∠BFC=∠B=47° 7.(2026北京房山二模)如图，点4、B、C、D在O0上.B=C,若∠AC=140,则∠ADB= 0 B 【答案】20 【分析】连接DC,由圆内接四边形的性质得∠ADC=40°，再根据等弧所对的圆周角相等即可求解. 【详解】解：如图，连接DC, 6/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 0 ,四边形ABCD是圆内接四边形， ,∠ABC+∠ADC=180° ∴.∠ADC=180°-∠ABC=40°. 4B=BC ·∠ADB=∠CDB=1∠ADC=200 8.(2026北京大兴二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙0的直径，点E是AB下方⊙0上一 点.若∠C=130°，则∠AED的大小为 D E 【答案】40°/40度 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出∠DAB的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°，在直角三角形中求出∠ABD的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解. 【详解】如图，连接BD, D B :四边形ABCD内接于⊙O, .∠DAB+∠C=180°， .∠C=130°， 7/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DAB=180°-130°=50°， :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90° 在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠DAB=90°-50°=40°， :∠AED与∠ABD 都是D 所对的圆周角， ∴.∠AED=∠ABD=40° 9.(2026北京平谷·二模)如图，面积为8的正方形ABCD内接于⊙0，则⊙0的半径为 D 0. 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长.因为正方形内接于圆， 所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度.因为圆的半径是直径的一半， 所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径. 【详解】解：连接AC,设正方形边长为a, :正方形ABCD面积为8， a2=8 D 0.1 B ,正方形ABCD内接于⊙O ∴.正方形的对角线AC为⊙O的直径. 设⊙0半径为， AC=2r 根据勾股定理，AC2=AB2+BC2: 8/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2r)2=a2+a2 代入a2=8, 得4r2=8+8=16, 化简得2=4」 :半径为正数， r=2 考点02 圆综合 一、解答题 1.(2026北京密云·一模)如图，AB是⊙0的直径，AC⊥AB,连接OC交⊙0于点E,D为⊙0上一点， 连接AD、ED和BE,∠DEB=∠C, ()求证：点E为AD 的中点： (②若an∠ADE= ,DE=4,求AC的长. 【答案】(1)见解析 ②4C&V5 3 【分析】(I)连接BD,证明BD⊥AD,OC∥BD,得到OC⊥AD,即可证明结论成立： (2)设OC交AD于点H,求出 AH=DH-1AD-85 ’设⊙0的半径为r,则 H=r-4 ,A0=r, 9/33 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 OH6V5 AH OH 由勾股定理列方程解得r=2W5,得到0H=5,证明△AOH∽aCOA,则ACOA,代入数值即可求 出答案。 【详解】(I)解：如图，连接BD, D B :AB是⊙O的直径，AC⊥AB, ·∠ADB=∠BAC=90°，即BD⊥AD, ∴.∠C+∠AOC=∠BAD+∠ABD=90° :∠DEB=∠C,∠DEB=∠BAD, ∠C=∠BAD .∠AOC=∠ABD OC∥BD, OC⊥AD, 点E为AD 的中点； (2)解：设OC交AD于点H, 在Rt△DHE中，∠EHD=90°， tan∠ADE= 2,DE=4,可设EH=x,DH=2x, ..EH2+DH2=DE2, 即r+(2x)}=4 10/33 西学科网 www.zxxk.com 解程+6 5, HI=2x=8 EH-x=45 5 OE⊥AD, AH-DH=1AD-85 2 5 设⊙0的半径为r,则 H=OE-EH=r-4 5,AO=r,由勾股定理可得， AH2+OH2=AO2 解得2V6 H=OE-EH=r-4565 则 55, :∠C+∠AOH=∠OAH+∠AOH=90°， ∠C=∠OAH, ,∠AOH=∠COA. .△AOHACOA, AH OH AC-OA 8V5 ×2W5 85 OH 6V5 3, 2.(2026北京市西城区二模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙0上， BD和BA的延长线于点E,F,且EF=BF.连接BC,∠CBE=45° 11/33 让教与学更高效 过点C作直线EF分别交 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B (I)求证：EF是⊙O的切线： (②)过点D作MN⊥EF于点M,交AB延长线于点N,若CF=3AF,AB=4,求BN的长. 【答案】(1)证明见解析 4 (②3 【分析】(I)连接OC,OD,先由圆周角定理得∠COD=2∠CBE=90°，由EF=BF得∠E=∠FBE,由 OB=OD得∠ODB=∠FBE,即可得∠ODB=∠E,可证OD‖EF,进而得LOCF=∠COD=90°即 OC⊥EF,结合OC是OO的半径即可证明： (2)先⊙O的半径是2，设AF=x,则CF=3x,OF=2+x,在Rt△OCF中利用勾股定理列方程求解可 得AF、CF,通过“三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形OCMD是矩形求出CM,进而得FM, 设BN=y,用含y的式子表示ON、FN,由OD‖EF得△ODN∽aFMN,利用相似比列方程求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接OC,OD, B ,∠CBE=45o ∠COD=2LCBE=90°. .EF=BF, ∴∠E=∠FBE, .OB=OD. ∠ODB=∠FBE, ∠ODB=∠E, 12/33 西学科网 www.zxxk.com ..ODIEF ∠OCF=COD=90°， OC⊥EF, 又：OC是⊙0的半径， .EF是⊙O的切线： (2)解：如图，过点D作MN⊥EF于点M,交AB延长线于点N, :AB是⊙O的直径，AB=4, ∴.半径OC=OD=OA=OB=2, 设AF=x,则CF=3x,OF=OA+AF=2+x, 在RtAOCF中，由勾股定理得OC2+CF2=OF2, :2+3x=(2+x 解得x=2或x=0(舍去)， 2,CF=3 .AF= 2 :OC⊥EF,MN⊥EF. ∠OCM=∠CMD=90°， 又：∠C0D=90°， .四边形OCMD是矩形， ..CM=OD=2. 3 7 ..FM=CF+CM=3+2= 2 2 设BN=y,则ON=OB+BN=2+y, FN=AF+AB+BN=二+4+y :OD‖EF 13/33 让教与学更高效 9 +y 3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.aODN∽△FMN, 22+y .OD ON 即7 9 FM FN 2 2*, 3,即BN=4 4 解得y · 3.(2026北京燕山教育集团二模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠ACB=45°，点P在BC的延长 线上，PA‖OB」 A C 0 B (1)求证：PA是⊙O的切线： OB1 (②)若AP-2,PB=0,求⊙0直径的长. 【答案】（①）见详解 (2)2 【分析】(1)先利用圆周角定理证得∠AOB=90°，再根据平行线的性质，求得∠PAO=90°，然后利用切 线的判定得出结论： (2)先证明△OBD∽△APD,再根据相似三角形的性质，列出比例式，设OD=k,接着用k表示出OB 然后利用勾股定理求得BD,代入比例式中，求得PD,再利用线段的和求得BP,得到关于k的方程，求 出k,最后求出OB 【详解】(1)证明：如图，连接OA A D B ∠ACB=45° ∴.∠AOB=2∠ACB=90°， .PA∥OB 14/33 可学科网 www.zxxk.com ∴∠PAO=∠AOB=90°， :AO是半径， ∴.PA是⊙O的切线， (2)解：设OA与BP相交于点D. PA∥OB, .∠OBP=∠P, :∠BDO=∠ADP ∴.△OBD∽△APD OD BD OB AD PD AP ..OB 1 AP-2 OD BD OB 1 ‘ADPD=AP=2, OB=0A. OD OD 1 OAOB3· 设OD=k,则OB=3k, 在Rt△OBD中， BD=OB2+OD2=10k ..BD 1 PD-2 ∴.PD=2W10k ∴.PB=PD+BD=3V10k .PB=10 .3V10k=V10 1 .k= 3 .OB=3k=1 15/33 收与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则⊙0的直径为2 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题 的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长 4.(2026北京海淀·二模)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E, ∠BAC+∠ADB=90°DA=DC B E (1)求∠ABD的大小： ②过点A作圆的切线交CB的延长线于点F.若am∠ADB- 3,BF=2√2，求BD的长. 【答案】(1)∠ABD=45° 15 (22 【分析】(1)根据角度的和差关系以及同弧所对的圆周角相等即可求解 (2)根据角度转化可知∠ACB=∠BAF=∠ADB,解直角三角形可知AG,BG,进而即可求解. 【详解】(1)解：在圆内，：同弧所对的圆周角相等， ∴.∠ADB=∠ACB ∠BAC+∠ADB=90°， .∠BAC+∠ACB=90°， .∠ABC=90° DA=DC ∴.∠ABD=∠CBD ∴.∠ABD=45°； (2)解：过点A作AG⊥BD ,AF为切线， ∴.∠FAC=90°， 16/33 西学科网 www.zxxk.com F E D ,∠BAC+∠ACB=90°，∠BAC+∠BAF=90°， .∠ACB=∠BAF=∠ADB tan∠ADB=2 ,BF=22: .tan∠BAF=2-BF 3 AB' :B=3V2 AG=AB.sin∠ABD=3,BG=AB·cos∠ABD=3, ..DG= AG 9 an∠ADB2, 235 BD-DG+BG= 2 5.(2026北京平谷二模)如图，1B为00的直径，点C为圆上一点， DE∥BC交AB延长线于点E,连结AC、CD D C B (I)求证：DE是⊙O的切线： (②回连结4D:若cD=12,cos∠CAD 5,求DE的长. 【答案】(1)证明：连结OD 17/33 让教与学更高效 点D是CB。 CB的中点，过点D作 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 E B 点D是CB 中点， .OD⊥BC, DE∥BC, .OD⊥DE, :OD是⊙0的半径， ∴.DE是⊙O的切线： 240 (21 【分析】(I)连结OD,易证OD⊥BC,再根据已知可得OD⊥DE,即可证明结论： (2)设OD与BC交于点M,连结BD,AD,易求CD=BD=I2,∠CAD=∠CBD=∠DAB,得到 B3,求出AB=20:4D=16,在Rt△BD中，cos∠CBD-BN号 Cos∠BAD=AD-4 BD5,求出OM=14 5 证明aOBM∽aODE,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：设OD与BC交于点M,连结BD,AD B :点D是CB的中点， .CD=BD ∴.CD=BD=12,∠CAD=∠CBD=∠DAB 18/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cos∠CAD=cos∠BAD=4 5 :AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 在R△4BD中，cos∠BAD=4D-4 AB 5 设AD=4x,AB=5x. BD=3x=12, .x=4 .AB=20,AD=16. ..OD=OB=10 OD⊥DE, ∠BMD=90°， 在Rt△BMD中， cos∠CBD=BM4 BD 5 BM=48 5 DM=BD2 -BM2 =36 5 0M=14 5 :BC∥DE, ∴AOBM∽aODE, BM OM DEOD· 4814 5=5 DE-10 .DE= 240 7, 6.(2026北京大兴二模)如图，在△AOB中，A0=B0,点C是AB中点，以O为圆心，OC的长为半 径作⊙O交BO延长线于点D,交OA于点E,交OB于点F,过点D作OO的切线DG交BA延长线于点C, 19/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：DG=CG: EH 1 (②)连接DE并延长交4B于点H,若DE=3,CG=10,求o0的半径。 【答案】(1)证明：连接OC,如图： :OA=OB,C为AB的中点， ∴.OC⊥AB 又.OC是⊙0的半径， ∴CG是⊙O的切线， 又：DG是⊙O的切线， DG=CG: (2)⊙0的半径为5 【分析】(1)证明CG是OO的切线，再根据切线长定理可得结论； EH 2 (2)连接DE并延长交AB于点H,过点O作OM⊥DH于点M,连接EF,根据题意得到G币5，设 8 ⊙0的半径为3x,则OD=0E=0C=3x,分别求出AE=2x,OB=5x,BD=8x, AH=5x, 再根据直角 三角形得到tan∠B=tan∠OAB=DC-3 BD4,即8r=40 3，即可求解。 【详解】(1)略 (2)解：连接DE并延长交AB于点H,过点O作OM⊥DH于点M,连接EF,如图： 20/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B :AO=BO,点C是AB中点， ∴.OC⊥AB,OC平分∠AOB,即OC平分∠EOF, 又，OE=OF, OC⊥EF, :∠DEF=90°， ..OCI DH ,OC⊥AB, ∴.DH⊥AB OD=OE,OG⊥DE, EH 1 'DE3, EH 2 ME 3' EH 2 MH 5' 设⊙0的半径为3x,则OD=0E=0C=3x :OM⊥DE,DH⊥AB,OC⊥AB,即∠OMH=∠MHC=∠OCH=90°， ∴.四边形OMHC是矩形， .MH=OC=3x. EH 2 3x5' 6 :EH=5, .·∠AHE=∠OGE=90°，∠AEH=∠OEM 21/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AEHAOEM. AE EH 2 AE 2 ·0EME3,即3x=3: ∴AE=2x, ..OB=OA=OE+AE=3x+2x=5x, ..BD=OD+OB=3x+5x=8x, 在R△AHE中， :tan∠EAH=EH_ 5x AH 8 4,即an∠0AB= , 4 .OA=OB, ∴.∠B=∠OAB 在Rt△BDG中， tan∠B=tan∠OAB=DC_3 BD 4' 由(1)知，DG=CG=10」 103 .BD 4' :BD= 40 3,即8x= 3 5 六⊙0的半径为3×写=5 7.(2026北京房山二模)如图，点A为⊙0上一点，过点A作⊙0的切线交半径OB的延长线于点C, 过点A作AD⊥OB于点E,交⊙O于点D,连接AB B D (求证：∠CAB=∠DAB: 22/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②过点D作DF1AD交O0于点r,连接CF交HD于点G.若an∠CMB- 2,OB=5,求线段EG的长， 【答案】(1)见详解 32 (217 【分析】(1)连接AO,根据相切可得∠CAB+∠BA0=90°，根据垂直∠BAE+∠ABE=90°，再结合等边 对等角，即可证明∠ABO=∠BA0,问题随之得证： (2)连接AF,结合(I)的结论，由已知角的正切值可得BE、AE的关系，进而可在Rt△DAB中，利用 勾股定理求出AE,即可得EO,证明△AEC∽△OEA,可求出EC,再证明△AEO∽△ADF,可求出DF, 最后△CEG∽aFDG,问题随之得解. 【详解】(1)证明：连接AO, B :AC与⊙0相切， .∠CA0=90°， ∠CAB+∠BA0=90°， AD⊥OB, ∠AEB=90°， :.∠BAE+∠ABE=9O°，即∠BAE+∠ABE=∠CAB+∠BAO, .AO=BO .∠ABO=∠BAO ∠BAE=∠CAB,即∠CAB=∠DAB (2)解：连接AF, 23/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CAB=LDAB tan∠CAB=I 2, :tan∠CAB=tan∠DAB=J 2 BE ·在RtDAB中，AE tan∠DAB= 2 BE-IAE Γ2 :DF⊥AD. .∠ADF=90°， ∴AF为⊙O的直径， AF过圆心点O, :A0=OB=5, :.EO-OB-BE-5-IAE :AD⊥OB, .∠AE0=90° ∴在Rt△DAB中，AO2=AE2+EO2 解得：AE=4(AE=0舍去)， :E0=5-4E=3 ∠CAE+∠ACE=90°=∠CAE+∠EAO ∴.∠ACE=∠EAO ·∠AEC=∠AEO=90°， ∴.△AEC∽△OEA, 24/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0EE,即c=g-16 AE EC OE 3' AD⊥OB .AE=DE=4=GE+DG, .'AD=AE+DE=8. AD⊥OB,DF⊥AD, ∴.OB∥DF, ∴∠AEO=∠ADF,∠AOE=∠AFD, .△AEO∽△ADF, AE EO 六ADDF, 即DF=DxE0=6 AE 同理证明：aCEG∽aFDG. 16 CE_GE 即GE38 DE DG "DG69 GE GE 88 DG+GE DE 9+8 17' GE-DE-8x 32 ×4= 17 17 17· 【点晴】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、解一元二次方程、圆周角定理、正切以及相似三角形的 判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答第二问的关键 8(2026北京丰台二模)如图，MB为00的直径，弦CD与4B交于点2，BC=D,过点B作O0的 切线交AC的延长线于点F. D (1)求证：BF∥CD: @连接DF,交BE于点G.若OE3,am1 2,求BG的长. 25/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()证明：连接OC,OD D BC=BD ∴∠1=∠2」 ∵OC=OD .OE⊥CD 即∠OEC=90° :BF为⊙O的切线， ·BF⊥OB,即∠OBF=90° .∠OEC=LOBF ∴.BF∥CD 10 (2)9 【分析】(1)连接OC,OD,根据弧与圆心角的关系结合三线合一得到∠OC=90°，再由圆的切线的性质 得到∠OBF=90°，即可证明平行： 1 (②)连接BC,则由圆周角定理得∠3=∠A:则an∠3=tan1 2,设BE=x,则CE=2x那么 OB=OA=x+3,AE=0A+OE=x+6 Rt△AEC Rt△ABF △BFGP△EDG 再解 和 ,最后利用 求解即可」 【详解】(1)略 (2)解：连接BC BC=BD .∠3=∠A」 1 在Rt△CBE中，tan∠3=tanA 2, BE 1 …CE2 26/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BE=x,则CE=2x. :0E=3, ..OB=OA=x+3,AE=OA+OE=x+6. 在Rt△AEC中， CE 2x_1 AEx+62· 解得BE=x=2 ..CE=4,0B=OA=5,AB=10 BF 1 在Rt△ABF中， tan AB 2 BF=号AB=5 1 2 .OE⊥CD,OC=OD, ∴.DE=CE=4 .BF∥CD. .△BFG∽△EDG BG BF5 EGDE4· ÷BG=3BE=10 91 9· 9.(2026北京石景山二模)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,延长A0交⊙0于点 C,过点C作PB的平行线，交⊙O于点D,交PA于点E. 力 E D B O A (1)求证： BC=BD 27133 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE 1 (②)若EA3,CD=8,求PB的长. 【答案】(1)证明：连接OB, P D B 1 ,PB是⊙O的切线， .∠PBO=90° CE∥PB ∴∠1=∠PBO=90°，即OB⊥CD :OB是半径， .BC=BD (2)10 【分析】(I)连接OB,根据圆的切线的性质以及平行线的性质证明OB⊥CD,再由垂径定理的推论即可 证明； (2)连接OB交CD于点G,连接AD并延长交BP于点F,由平行线分线段成比例定理可设 DF=a,AD=3a BGDF BG=DF=a Rt△ACD 可证明四边形 是矩形，则 ,然后对 运用勾股定理求解 a=2,则4C=10,AD=6,再由anC=0-45 CDAC,求出AE=15 2,最后根据切线长定理求解即可 【详解】(1)略 (2)解：连接OB交CD于点G,连接AD并延长交BP于点F 28/33 西学科网 ,CE∥PB PE DF 1 AE AD 3 ∴设DF=a,AD=3a :AC是⊙O的直径， ∠ADC=90°」 ∴.∠CDF=90° 由(1)知∠OBP=90°，而CE∥PB .∠DGB=180°-∠OBP=90° ∴.∠DGB=∠OBP=∠GDF=90° ∴四边形BGDF是矩形. ..BG=DF=a, ·OB⊥CD ..DG=CG .A0=CO OG=5AD=二Q 2 35 0B=a+20=2 a=OC=OA ∴.AC=5a CD=VAC2-AD=4a=8 ∴.a=2 AC=10,AD=6 www.zxxk.com 让教与 D B G C A 0 29/33 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AP是⊙O的切线， ∴.∠CAE=90° .'tan C=. AD AE CD AC 6 AE …810 北 2, PE 1 ·EA3 PE=15x15 232· .AP=PE+AE=10 :过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B, .'PB=AP=10 10.(2026北京顺义二模)如图，AB是⊙0的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙0于点D,过 点D作OO的切线DE,过点B作BE LDE于点E,交OO于点F. D (I)求证：∠ABF=90°： CH 1 (②连接AD,FD'FD交AB于点H·若BH4,AD=6,求⊙0的半径. 【答案】(1)证明：：DE是OO的切线，D为切点， .DE⊥OD :C是弦AB的中点，OD过圆心O, OD⊥AB .AB II DE. 又，BE LDE, 30/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BE⊥AB, ∠ABF=90°： (2)3 【分析】(I)由垂径定理和切线的性质易证AB川DE,结合BE LDE,可得BE⊥AB,即可证明结论： (2)设CH=x,则BH=4x,证明OC是△ABF的中位线，设OC=y,则BF=2y,且 2 CD=OD-OC=r-y, 利用勾股定理得到6=(2-y）+(-y),证明aDCH∽aFBH,推出y=3',即可 求解 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AF, B D F设 半径为r, ⊙0 CH 1 BH 4' ∴.设CH=x,则BH=4x, :点C是AB中点， ..AC=BC=CH+BH=5x,AB=10x, 由(1)得∠ABF=90°. AF是⊙O的直径，AF=2r, OD⊥AB,BF⊥AB .OD‖BF, 又点O是AF中点，C是AB中点， .OC是△ABF的中位线， 设OC=y,则BF=2y,且CD=OD-OC=r-y, 31/33 命学科网 www.zxxk.com 在RtACD中，AD=AC2+CD2,即6=(5x°+(-y 整理得6=25x2+(-y)2 在Rta4BF中，AF2=AB2+BF2,即(2r=(0x+(2y 5x2=r2-y2 整理得 :6=(2-)+(-y明 又：∠DCH=∠FBH=90,∠CHD=∠BHIF, .△CHAFBH. CD CH 1 ·BF=BH4, r-y-1 2y4 2 ..y= 31 r-门 r=3(负值舍去)， .⊙0的半径为3 11.(2026北京朝阳·二模)如图，AB,AC与⊙0分别相切于点B, 线于点D,点E是OC的中点，点F在AE的延长线上，DE=DF. (1)求证：∠EDF=2∠CAE: (2)若∠BAC=60°，0C=2,求EF的长. 【答案】(1)见解析 32/33 让教与学更高效 C,连接CO并延长，交AB的延长 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1013 (2)13 【分析】(1)如图，作DG⊥EF于点G,根据等腰三角形的性质得出∠EDF=2∠EDG,根据切线的性 质得出∠AC0=90°，结合∠AEC=∠DEG,根据三角形内角和定理得出∠CAE=∠EDG,即可证明 ∠EDF=2∠CAE (2)如图，连接04」 0. 根据切线长定理和∠B1C=60°得出∠01C=30°，结合0C=2,得出 C=25 ,在 Rt△ACD 中，解直角三角形求出CD=6,再求出CE、DE.在Rt1CE中，由勾股定理，求出 E=V13 i∠CAB=i3 则 l3.再根据EG=DE.sin.∠EDG求解即可. 【详解】(1)证明：如图，作DG⊥EF于点G. B ·DE=DF ∴.∠EDF=2∠EDG,EG=FG :AC与⊙O相切于点C, .∠AC0=90° .∠AEC=∠DEG」 .∠CAE=∠EDG. .∠EDF=2∠CAE (2)解：如图，连接OA. 33/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 与 分别相切于点，， ABAC⊙O BC∠BAC=60° .∠OAC= 2∠BAC=30 0C=2, ∴0A=20C=4 AC=V42-22=25 在R△ACD CD=AC:tan60°=23×√3=6 中， :E为OC中点， .EC=1 ∴DE=6-1=5 在RtAACE中， 由勾股定理，得4E=V(2V3+1=5 ∴sin∠CAE= CE 13 AE13. :∠EDG=∠CAE, sin∠EDG=sin∠CAB=i3 13, ∴.EG=DE·sin∠EDG= 5v13 13. EF=2EG=1013 13. 12.(2026北京东城二模)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，点D在AB的延长线上，过点D作 DE⊥AB交CB延长线于点E,过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F. 34/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 0 (I)求证：CF=EF； (2)若OD=7,BD=2,CB=8,求EF的长 【答案】(1)证明：如下图，连接OC, E :CF为OO的切线， .OC⊥CF ∴.∠OCB+∠FCE=90°， .OB=OC. ∴∠OCB=∠OBC, :∠EBD=∠OBC, ∠EBD=∠OCB :DE⊥AB,即DE⊥AD, :.∠EBD+∠FEC=90°， ...ZFCE ZFEC. ..CF=EF: 35 (2②4 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CF,即∠OCB+∠FCE=90°，进而证明 ∠FCE=∠FEC,即可证明结论： (2)过点F作FH⊥BC于点H,首先确定AB=10,利用三角函数以及对顶角相等，解得BE的长度，进 35/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 而可得CE,DE的长度，进一步可得cs∠E=):根据等腰三角形的性质可得EH= 2 4,然后在 Rt△FEH中，利用三角函数求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：如下图，过点F作FH⊥BC于点H, 分 C :AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°， OD=7,BD=2,CB=8, ∴OB=OD-BD=5, ∴.AB=2OB=10, COS∠ABC= BC-8-4 AB105, ,∠ABC=∠EBD,DE⊥AD, .COS∠EBD= BD BE =cos∠ABC=4 24 BE5,解得BE=2, :.CE=CB+BE=8+5-21 DE=√BE2-BD 22 2 Cos∠E= DE_1.53 在 中， BE-55 t△BDE CF=EF,FH⊥BC :.CH-EH-1CE-21 4 36/33 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21 ∴ Rt△FEH 中， 解得EF3 37/33 专题07 圆 2大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02圆综合 圆的基本性质 考点01 一、单选题 1．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2026·北京丰台·二模）如图，为的直径，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·北京东城·二模）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 5．（2026·北京朝阳·二模）如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 6．（2026·北京顺义·二模）如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 7．（2026·北京房山·二模）如图，点、、、在上，．若，则_________°． 8．（2026·北京大兴·二模）如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 9．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 圆综合 考点02 一、解答题 1．（2026·北京密云·一模）如图，是的直径，，连接交于点，为上一点，连接、和，． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长． 2．（2026·北京市西城区·二模）如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 4．（2026·北京海淀·二模）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，，． (1)求的大小； (2)过点作圆的切线交的延长线于点．若，，求的长． 5．（2026·北京平谷·二模）如图，为的直径，点为圆上一点，点是的中点，过点作交延长线于点，连结、． (1)求证：是的切线； (2)连结，若，，求的长． 6．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，点是中点，以为圆心，的长为半径作交延长线于点，交于点，交于点，过点作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，若，，求的半径． 7．（2026·北京房山·二模）如图，点为上一点，过点作的切线交半径的延长线于点，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交于点，连接交于点．若，，求线段的长． 8．（2026·北京丰台·二模）如图，为的直径，弦与交于点E，，过点B作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，交于点G．若，，求的长． 9．（2026·北京石景山·二模）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，延长交于点C，过点C作的平行线，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（2026·北京顺义·二模）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，，交于点．若，，求的半径． 11．（2026·北京朝阳·二模）如图，，与分别相切于点，，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2026·北京东城·二模）如图，为的直径，点C在上，点D在的延长线上，过点D作交延长线于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 6/7 7/7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $